2013届南通高三数学二轮复习：专题二十一 平面解析几何

1 专题二十一 平面解析几何（2）

（解决椭圆的方程和性质）

考试说明要求：中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质的要求是B 级.

高考试题应用：高考中直线和椭圆为必考题，形式多样。重点考查椭圆的标准方程和基本性质，尤以直线

与椭圆的位置关系为考查核心。考查运算求解能力和探究问题的能力。综合运用知识分析问题、解决问题，对通性通法和基础知识的熟练掌握是解题的关键.

解决问题指南：圆锥曲线的定义是其几何性质的“根”与“源”，是建立曲线方程的基础，它揭示了圆锥

曲线上的点与焦点（及准线）间的关系，是解析几何综合往往都是以最值问题或圆锥曲线的基本量的求解为依托，然后通过转化，运用函数与方程的思想加以解决。坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法，要注意坐标系建立的适当中，从而提高运算效率.

一、能力展示

1．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为 .

2．设A 、B 是椭圆2212516x y +=上不同的两点，点C （-3，0），若A 、B 、C 共线，则AC CB

的取值范围是 . 3．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2=60°，则椭圆离心率的取值范围为 .

二、能力培养

1．求经过点（2，-3），且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程. 变式：求离心率为

12

，且与椭圆229436x y +=有共同焦点的椭圆方程.

2．设F 1、F 2分别为椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为

（1）求椭圆C 的焦点；

（2）如果222AF F B =

，求椭圆C 的方程.

3．设A 、B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点，椭圆的长轴长为4

，且点在该椭圆上。

（1）求椭圆的方程；

（2）设P 为直线4x =上不同于点（4，0）的任意一点，若直线AP 与椭圆相交于异于A 的点M ，证明：ΔMBP 为钝角三角形.

2

三、能力测评

1．如图，F 1、F 2分别为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，A 和B 是以O （O 为坐标原点）为圆心，以1OF 为半径的圆与该椭圆的两个交点，且ΔF 2AB 是等边三角

形，则

椭圆的离心率为 .

2．已知两定点12(4,0),(4,0),F F G -是平面上的动点，H 在线段F 2G 上。P 在线段F 2G 上，F 2G=10，111

2,0F H FG HP FG =?= ，求点P 的轨迹方程 .

3．设P 是椭圆22

12516x y +=上任意一点，A 和F 分别是椭圆的左顶点和右焦点，则14

PA PF PA AF ?+? 的最小值为 .

专题二十一 平面解析几何（2）

（解决椭圆的方程和性质）

三、能力提升

1．已知椭圆的中心在原点，焦点在y 轴上，若其离心率为12

，焦距为8，则该椭圆的方程 . 2．已知点(,4)P m 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上的一点，F 1、F 2是椭圆的两个焦点，若12PF F ?的内切圆的半径为32

，则此椭圆的离心率为 .

3．若F 1、F 2是椭圆22

1169

x y +=的两个焦点，过F 1作直线与椭圆交于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为 .

4．已知F 1、F 2是椭圆22

12516

x y +=的左、右焦点，若M 为椭圆上一点，且12MF F ?的内切圆的周长等于3π，则满足条件的点M 有 个.

5．已知直线:2l y x =+与圆O （O 为坐标原点）相切，椭圆C 1：22221(0)x y a b a b +=>>

短半轴长等于圆O 的半径，则椭圆的焦距为 .

7．已知椭圆C 的长轴的两个端点分别为A （-2，0），B （2，0），过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为3，点P 是椭圆C 上异于A ，B 的一动点，直线FM ，FN 的斜率的乘积为u

.

3 （1）求椭圆C 的方程；

（2）对于给定的常数a ，证明u 是一个与P 的位置无关的常数.

8．已知椭圆22

1x y m n

+=（常数m 、n R +∈，且m n >）的左右焦点分别为12,,F F M 、N 为短轴的两个端点，且四边形12F MF N 是边长为2的正方形.

（1）求椭圆方程；

（2）过原点且斜率分别为k 和k -（2k ≥）的两条直线与椭圆22

1x y m n

+=的交点为A 、B 、C 、D （按逆时针顺序排列，且点A 位于第一象限内）求四边形ABCD 的面积S 的最大值.

9．中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的焦距为2，两准线间的距离为10。设A （5，0），过点A 作直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点P 作x 轴的垂线交椭圆C 于另一点S .

（1）求椭圆C 的方程；

（2）求证直线SQ 过x 轴上一定点B ；

（3）若过点A 作直线与椭圆C 只有一个公共点D ，求过B 、D 两点，且以AD 为切线的圆的方程.

专题二十一 平面解析几何（2）

（解决椭圆的方程和性质）

一、能力展示

1．分析：5264,22183a c b a b c =?=???=??+=??=?焦点位置不确定，故所求椭圆方程为2212516x y +=或2211625x y +=. 答案：2212516x y +=或22

11625

x y +=； 2．解析：因为C 是椭圆的左焦点，当A 为椭圆的右顶点时，AC 最大，CB 最小，这时

4AC CB =，当A 为椭圆的左顶点时，AC 最小，CB 最小，这时14AC CB =，故AC CB 的取值范围是1,44??????

4 答案：1,44??????

3．分析：不妨设椭圆方程为22

12221(0),,x y a b PF m PF n a b

+=>>==，在12PF F ?中，由余弦定理可知22242cos60,2c m n mn m n a =+-?+= ，

222222()242,443,m n m n nm a mn c a mm ∴+=+-=-∴=-即22344mn a c =-. 又2

22m n mn a +??≤= ???（当且仅当m n =时取等号）.222221443,,4c a c a a ∴-≤∴≥即12e ≥. e ∴的取值范围是1,12??????

. 答案：1,12??????

精要点评：

第1题：求解椭圆的标准方程一定要注意焦点所在的坐标轴，分两种不同形式处理，注意焦点对标准方程的决定作用.

第2题：对于焦半径的大小，应该注意特殊点位置的考虑. 第3题：与焦点三角形有关的计算或证明.一般可以利用途弦定理求解.对焦点三角形的一般处理办法是定义式的平方，余弦定理，面积公式等有机结合与灵活运用.

二、能力培养

1．分析：椭圆229436x y +=

的焦点为(0,，可设所求的椭圆方程为2

2

1(0)5x y λλλ+=>+，把2,3x y ==-代入得10λ=或2λ=-（舍去）.所以所求的椭圆的方程为22

11015

x y +=. 变式：分析：设所求椭圆方程为2

2

2221(0),5,, 5.5

x y a b c λλλλλ+=>=+==+ 因为12c a =，解出15λ=，故所求的椭圆方程为22

11520

x y += 2．分析：（1）设焦距为2c ，由已知可得1F 到直线l

=2c =. 所以椭圆C 的焦距为4.

（2）设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知120,0y y <<，直线l

的方程为2)y x =-.

5

联立22222),1y x x y a

b ?=-??+=??

得22224(3)30a b y y b ++-=.

解得12y y ==. 因为222AF F B =，所以122y y -=.

2=得3a =，而224a b -=

，所以b =

故椭圆C 的方程为22

195x y +=. 3．解析：（1）由题意：24a =，所以2a =，所求椭圆方程22

2

14x y b +=.

又点(1,2在椭圆上，可得21b =，所求椭圆方程为2214x y +=. （2）证明：由（1）知：(2,0),(2,0)A B -.设(4,),(,)M M P t M x y . 则直线PA 的方程为：(2)6t y x =+.由22(2),644,t y x x y ?=+???+=?

得2222(9)44360t x t x t +++-=. 因为直线PA 与椭圆相交于异于A 的点M ，所以22429M t x t --+=+，所以222189M t x t

-+=+. 由(2)6M M t y x =+，得269M t y t =+.所以2222186,99t t M t

t ??-+ ?++??. 从而22246,,(2,)99t t BM BP t t t ??=-= ?++??

. 所以222

222

8620999t t t BM BP t t t ?=-+=-<+++ .又,,M B P 三点不共线， 所以MBP ∠为钝角.所以MBP ?为钝角三角形. 方法指导：

第1题：一般地，与椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>共焦点的椭圆可设其方程为

6 22221x y a k b k +=++2()k b >-.本题可设所求的椭圆方程为22

1(0)5

x y λλλ+=>+，由题设确定λ即可. 第2题：在解答解析几何的习题中要善于根据曲线和图形的性质，用平面几何的知识加以解答，本题用余弦定理和椭圆的定义，从而简化了运算，达到化繁为简的目的.

第3题：本题是一个综合题，此类问题一般衔由两个独立的条件求解系数,a b ，得到椭圆方程.然后选择一个适当的变量（本题中选用的是t ，也可能是M 点的坐标）表示M 和P ，利用向量知识或余弦定理判定三角形的形状.

三、能力测评

1．解析：依题意知122190,30F AF AF F ∠=?∠=?，

11221||||,||2AF F F c AF ∴===，

由椭圆的定义得21||||21)2AF AF a c a +==椭圆

的离心率c e a

= 答案

1.

2．解析：因112F H FG = ，所以H 为线段1FG 的中点，又因为1

0HP FG ?= ，所以HP 为线段1FG 的中垂线，所以1F P GP =，所以12212108PF

PF F G F F +==>=.所以P 点的轨迹是以原点为中心，10为长轴长，8为焦距的椭圆，即点P 的轨迹方程为：22

1259

x y += 答案：22

1259

x y += 3．分析：设2200001(,),254

p x y PA PF PA AF x y ?+?=+- 22

20

009(1),16259,02525x x x x =+--=-∴=时有最小值9-； 答案：9-.

防错机制：

1．椭圆上的点到焦点的距离（一般称之为焦半径）可以利用椭圆定义将椭圆上的点到两个焦点的距离进行转化，一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首先应考虑用定义来解题. 2．椭圆标准方程的求法，求解的一般步骤是先定型再计算，计算时一般用待定系数法.当题目的条件不能确定椭圆焦点的位置时，应注意有两种结果，要分别计算.

3．熟悉椭圆的几何性质是解决椭圆问题的基础，椭圆中最常见的求解离心率的值，应该寻找,,a b c

的

7 一个等式，求解离心率的取值范围，应该寻找,,a b c 的一个不等式.

三、能力提升

1. 解析：由题意知，4128,3,2

c c c e a a ==∴===，8,a ∴=从而22248b a c =-=， ∴方程是22

16448y x +=. 答案：22

16448

y x += 2．分析：一方面12PF F ?的面积为

1(22)2a c r +?；

另一方面12PF F ?的面积为111||2,(22)||2222p p y c a c r y c ?+?=?， ||||||43()||,,(1),1135

2

p p p p y y y a c a a a c r y c c r c r c r +∴+?=?∴=∴+=∴=-=-=，

∴椭圆的离心率为35c e a ==. 答案：35

3．分析：由椭圆定义得周长为221122416AB AF BF AF BF AF BF a ++=+++==.

答案：16

4．解析：因为12MF F ?的内切圆的周长等于3π，所以12MF F ?的内切圆的半径为32，所以11(2)||(22)22

M c y a c r =+，所以|4|M y =，又因为M 为椭圆上一点，所以||4M y ≤，所以满足条件的点M 有2个.

答案：2

5．

分析：3

c e a == ，2222223,2,23a c b c a b ∴==∴=. 直线:2l y x =+与圆222:O x y b +=相

切，22,2,3b b b a =∴==∴=

，得a =所以1c =，即椭圆的焦距为2. 答案：2

6．分析：（1）由已知可设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，则2a =，其焦点坐标为(,0)c ±，由22221c y a b +=得2b y a =±，从而过焦点且垂直于长轴的弦长为22b a ，由题设2

23b a =，所以23b =，故所求的椭圆方程为22

143

x y +=

.

8 （2）求得右焦点F 的坐标为(1,0)

设P 的坐标为00(,)x y ，则2222000031(4)434x y y x +=?=- 直线AP 的方程为0(2)2y y x x =++，它与l 的交点为00(2)(,2y a M a x ++， 直线BP 的方程为00(2)2y y x x =--，它与l 的交点为0

0(2)(,2

y a N a x +-， 因此002220002220(2)(2)02243(4)114(1)4(1)y a y a x x y a a u a a x a a +--+---=?=?=-----， 它是一个与点P 的位置无关的常数.

7．分析：（1

）依题意：42m n n m n -=?=??∴??==??

?，所求椭圆方程为22142x y += （2）设(,)A x y .由22142

y kx x y =???+=??

得A ??

根据题设直线图象与椭圆的对称性，知2164(2).12k S k k ==≥+ 16

(2)12S k k k ∴=≥+.设1()2M k k k =+，则21()2M k k '=-，当2k ≥时，21()20M k k

'=->

()M k ∴在[)2,k ∈+∞时单调递增，[]min 9()(2)2M k M ∴==. ∴当2k ≥时，min 163299

2

S == 8．分析：（1）设椭圆的标准方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>. 依题意得：222,210,c a c

=???=??

，得1c a =???=??24b ∴=.所以，椭圆的标准方程为22154x y +=. （2）设1122(,),(,),P x y Q x y AP tAQ =，则1212

5(5).x t x y ty -=-??=?

9 结合22112222154,15

4x y x y ?+=????+=??得122332x t t x t =-+???-=??. 设(,0)B x ，则1122,11x x x x t x x x t

-+===-+， 所以，直线SQ 过x 轴上一定点(1,0)B .

（3）设过点A 的直线方程为；(5)y k x =-，代入椭圆方程22

154

x y +=得： 2222(45)50125200k x k x k +-+-=.

依题意得：0?=，即2222(50)4(45)(12520)0k k k -+-=得：

k =

1,(1,x D =∴. 当点D 位于x 轴上方时，过点D 与AD 垂直的直线与x 轴交于点E ，直线DE 的方程是：

1)5

y x -=-，1(,0)5E ∴ 所求的圆即为以线段DE

为直径的圆，方程为：223

24()(4525

x y -+-=； 同理可得：当点D 位于x

轴下方时，圆的方程为：2

2324()(525x y -++

=.

二十二 平面解析几何（3）

（解决圆锥曲线的基本综合问题）

考试说明要求：中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质的要求是A 级；抛物线的标准方程与几何

性质的要求是A 级。

高考试题应用：圆锥曲线一般从如下四个方面考查：其一：考查有关概念，即运用椭圆、双曲线、抛物线

的定义来判断曲线的类型或探索曲线的轨迹；其二：考查有关性质，即运用椭圆、双曲线、

抛物线的简单几何性质解题；其三：求曲线的方程，即考查椭圆、双曲线、抛物线的标准

方程的求解，当然，求解时要结合有关性质；其四：综合考查，即把圆锥曲线与直线、圆

综合在一起或与其它知识融为一体，考查综合应用知识的能力和运算变形能力。

解决问题指南：圆锥曲线的定义是其几何性质的“根”与“源”，是建立曲线方程的基础，它揭示了圆锥

10 曲线上的点与焦点（及准线）间的关系，是解析几何综合题的重要背景。函数与方程思想

是贯穿于解析几何的一条主线，很多综合题往往都是以最值问题或圆锥曲线的基本量的求

解为依托，然后通过转化，运用函数与方程的思想加以解决。坐标法是解决有关圆锥曲线

问题的基本方法，要注意坐标系建立的适当中，从而提高运算效率。

一、能力展示

1．已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则该双曲线的离心率为 .

2．已知双曲线22

16436

x y -=的焦点为12,F F ，点P 在双曲线上，且12PF PF ⊥，则12F PF ?的面积 . 3．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为2c ，以O 为圆心，a 为半径作圆M ，若过2,0a P c ?? ???

作圆M 的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为 .

二、能力培养

1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：

（1）与双曲线22

1916

x y -=有共同的渐近线，且过点（-3，

； （2）与双曲线22

1164

x y -=有公共焦点，且过点（

2）. 2．如图1，(1,0)A -、(1,0)B 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的长轴上两点，C 、D 分别为椭圆的短轴和长轴的端点，P 是CD 上的动点，若AP BP ? 的最大值与最小值分别为3、57

。 （1）求椭圆的离心率；

（2）如图2，点F （1，0），动点Q 、R 分别在抛物线2

4y x =及椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的实线部分上运动，且QR //x 轴，求FQR ?的周长l 的取值范围

.

3．已知椭圆的中点在原点，准线方程为4x =±，如果直线:320l x y -=与椭圆的交点在x 轴上的射影恰为椭圆的焦点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线l 与椭圆在第一象限内的交点为P ，F 是椭圆的右焦点，若直线430x y m ++=与以PF 为直径的圆相切，求实数m 的值；

（3）设M 是椭圆上任意一点，F 是椭圆的一个焦点，试探究以椭圆长轴为直径的圆O 与以MF 为直

11 径的圆的位置关系.

三、能力测评

1．点M 是椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q ，若PQM ?是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是 .

2．双曲线22

221(0)x y a b a b

+=>>的焦距为2c ，直线l 过点(a ,0),(0,b )，且点（1，0）到直线l 的距离与点（-1，0）到直线l 的距离之和45

s c ≥，则双曲线的离心率e 的取值范围为 . 3．已知曲线C ：22y x =，点A （0，-2）及点B （3，a ），从点A 观察点B ，要使视线不被C 挡住，则实数a 的取值范围是 .

专题二十二 平面解析几何（3）

（解决圆锥曲线的基本综合问题）

三、能力提升

1．若k R ∈，则方程22

132

x y k k +=++表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是 . 2．已知双曲线C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的右顶点、右焦点分别为A 、F ，它的左准线与x 轴的交点为B ，若A 是线段BF 的中点，则双曲线C 的离心率为 .

3．已知点A （0，2），抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为l ，线段F A 交抛物线于点B ，过B 做l 的垂线，垂足为M ，若AM M F ⊥，则p = .

4．设点P 是双曲线22

221(0)x y a b a b

+=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点，其中12,F F 分别是双曲线的左、右焦点，且122PF PF =，则双曲线的离心率为 .

5．设椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左，右两个焦点分别为12,F F ，短轴的上端点为B ，短轴上的两个三等分点为P 、Q ，且12F PF Q 为正方形。则椭圆的离心率为 .

6．已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F

，且过点（4

，.

（1）求双曲线方程；

（2）若点M （3，m ）在双曲线上，求证：12MF MF ⊥.

12 7．设椭圆C ：22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与AF 2垂直的直线交x 轴负半轴于点Q ，且12220F F F Q += .

（1）求椭圆C 的离心率；

（2）若过A 、Q 、F 2

三点的圆恰好与直线:30l x -=相切，求椭圆C 的方程；

（3）在（2）的条件下，过右焦点F 2作斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，在x 轴上是否存在点P （m ,0）使得以PM ，PN 为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m 的取值范围，如果不存在，说明现由

.

8．已知椭圆以坐标原点为中心，坐标轴为对称轴，且该椭圆以抛物线216y x =的焦点P 为其一个焦点，以双曲线22

1169

x y -=的焦点Q 为顶点. （1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点A （-1，0），B （1，0），且C ，D 分别为椭圆的上顶点和右顶点，点M 是线段CD 上的

动点，求AM BM ? 的取值范围.

专题二十二 平面解析几何（3）

（解决圆锥曲线的基本综合问题）

一、能力展示

1．分析：因为两条渐近线的夹角为60?

，所以b a =

3，则2c e a ==

或3

答案：2

2．分析：由双曲线定义得12||16PF PF -=得2212122256PF PF PF PF +-?=，且

13 222124400PF PF c +==，12F PF ?的面积为12362

PF PF 1?= 答案：36

3．分析：设切线PA 、PB 互相垂直，又半径OA 垂直于PA ，所以OAP ?

是等要直角三角形，故2a c =

，解得c e a ==.

答案：

2 精要点评：

第1题：双曲线的渐近线决定了,a b 之间的一个关系，但是双曲线的焦点决定双曲线的渐近线，因此，首先要分类确定双曲线的渐近线，再求解双曲线的离心率.

第2题：双曲线中与焦点有关的三角形问题，一般首先要考虑双曲线的定义，要注意双曲线定义中的绝对值.

第3题：离心率的求解关键是根据几何特征建立关于,,a b c 的等式，本题中是根据相切得到三角形的形状，再将形状转化为边长之间的关系，从而建立,,a b c 的等式.

二、能力培养

1．分析一：（1）设双曲线方程为22221x y a b -=或23

221y x a b

-=.

由题意，得224,3(3)1a b a ?=???-?=??

或224,3(3)1a b b ?=??-=（无解）. 解得2

29,44a b ==，所以所求双曲线的方程为22

194

4x y -=. （2）设双曲线方程为22

221x y a b

-=.

由题意易求得c =

又双曲线过点242),1b

-=.

又22222,12,8a b a b +=∴== ， 故所求双曲线的方程为22

1128

x y -=. 分析二：（1）设所求双曲线方程为22

(0)916

x y λλ-=≠

14

将点(-代入得14λ=，所以所求双曲线方程为22

194

4

x y -=. （2）设双曲线方程为22

1164x y k k

-=-+，

将点代入得4k =，所以所求双曲线方程为22

1128

x y -=. 2．分析：（1）设11(,)P x y ，则1111(1,),(1,)AP x y BP x y =+=- .22111AP BP x y ∴?=+- ，

AP BP ? 的最大值与最小值分别为3、57，2211x y ∴+的最大值与最小值分别为4、127，而2211x y +表示线段CD 上的点到原点的距离OP 的平方

∴点OP 的最大值为2OD =，即2,a OP =的最小值即为O 到线段CD

，

由平面几何知识得OC =

b =

1c ==，则椭圆的离心率12c e a =

=. （2）设00(,)R x y ，由抛物线的定义知QF 等于点Q 到抛物线准线1x =的距离， QF QR ∴+等于点R 到抛物线准线1x =的距离为01x + 由椭圆的第二定义知01(4)2QF x =-，NAB ∴?的周长000111(4)322l x x x =++-=+. 由22

21434x y y x ?+=???=?得：抛物线与椭圆交点的横坐标为23，即得0223x <<. 所以FQR ?的周长l 的取值范围为10(,4)3

. 3．分析：（1）设椭圆方程为22

221(0)x y a b a b

+=>>，直线320x y -=与椭圆的一个交点的坐标为3(,)2c c ，代入椭圆方程得：222291,4c c a b +=又2

4a c

=，222a b c =+

，解得：2,a b ==，1c =，所以，椭圆的标准方程为22

143

x y +=. （2）由（1）知3

(1,)2P ，(1,0)P ，则以PF 为直线的圆的方程为223

9(1)()416

x y -+-=， 圆心坐标为3(1,)4，半径为34.当直线430x y m ++=与圆相切时，则9|4|3454

m d ++==，解得10m =-

15 或52-

. （3）设F '是椭圆的另一个焦点，则有||||2MF MF a '+=.

以NF 为直径的圆的圆心为N ，半径为

1||2

MF ，又圆O 的半径为a ， 所以两圆圆心之间的距离是11||||||22ON MF a MF '==-，故两圆内切. 方法指导：

第1题：求双曲线方程，关键是求,a b ，在解题过程中应熟悉a 、b 、c 、e 及准线之间的关系.如渐近线方程0ax by ±=，则可设双曲线方程为2222(0)a x b y λλ-=≠，这个方程可以称之为共渐近线的双曲线系.

第2题：（1）将两个向量的数量积用点P 的坐标表示，再利用数形结合的思想，将2211x y +转化为点到直线的距离求解；（2）抛物线的定义、椭圆基本性质的灵活运用，培养学生读图的能力，从图中提取信息，联系平面几何的知识解决问题.

第3题：新高考对圆锥曲线的要求有所降低，突出了直线和圆的位置关系.但是椭圆定义仍然非常重要，不可轻视.第（1）问考查学生能否熟练运用通性通法解决圆锥曲线中的常规问题，第（2）问利用点到直线的距离公式解决直线和圆相切的问题，第（3）问对学生的探索能力、形数相互转化能力要求稍高.三问完美结合，具有一定的前瞻性.

三、能力测评

1．分析：由题意可知圆M 的半径为2

b a

，M 到y 的距离为c ，由于PQM ?是等腰三角形，故只能是PMQ ∠为钝角，从而只

须2

b a

>则可，

即222b a c <=-，两边同除以2a 并整理得

：210e -<

，解得

22e <<01e <<

，所以e ?∈ ??

答案：0,2? ?? 2．分析：直线l 的方程为1x y a b

+=，即b x a y a b +=.由(1,0)到l

的距离1d =同理由(1,0)-到l 的距

离2d =

，122ab s d d c

∴=+==.由43s c ≥，得245ab c c ≥，

即252,

c ≥于是

有22e ，即42425250e e -+≤，解得2554e ≤≤，由1e >得

16 2

e ≤≤ 3．分析：关键是用什么模型，设切点00(,)x y ，则切线为0004()y y x x x -=-，过点(0,2)A -，得切于点(1,2)，切线为24(1)y x -=-，切线与直线3x =的交点为(3,10)，故10a <，答案：(,10)-∞ 防错机制：

1．熟练掌握圆锥曲线的定义，理解椭圆、双曲线以及抛物线的定义中的本质区别，是完成圆锥曲线试题的基本保证；

2．注意圆锥曲线中,,a b c 之间的关系，特别是椭圆与双曲线中的区别，理解抛物线中p 的几何意义，并且能够灵活运用；

3．灵活使用圆锥曲线的第二定义，对于求解圆锥曲线上的点到焦点的距离，或求解过焦点的弦的长度等问题，会有事半功倍的效果.

三、能力提升

1．解析：方程表示焦点在x 轴上的双曲线的充要条件是3020

k k +>??+

答案：32k -<<-

2．分析：由题意知：2,0,(,0),(,0)a B A a F c c ??- ???，则2a a c c =-，即2210e e --=

，解得1e =

1

3．分析：由抛物线定义得BM BF =，设N 为MF 中点，则BN 垂直于MF ，所以B 为AF 中点，则,14p B ?? ???

代入方程22(0)y pm p =>

得p =.

4．解析：由题意12||||2PF PF a -=，所以12||4,||2PF a PF a ==，又因为圆2222x y a b +=+的半径

c =，所以12PF PF ⊥，所以22212||||4PF PF c +=，即222(4)(2)4a a c +=，

所以c e a

==.

5．分析：由题意知：(0,)3b P ，设1(,0)F c -，因为12F PF Q 为正方形，所以3b c =，即223,9b c b c =∴=，即2210a c =

，所以离心率10

e =

答案：

10

17 6．分析：（1）

知此双曲线为等轴双曲线，可设方程为22(0)x y λλ-=≠，

将点(4,坐标代入方程可解得6λ=，所以所求双曲线方程为22

166

x y -=. （2）将点M 的坐标代入方程22

166

x y -=

，解得m =

12(F F -.当点M

坐标为时，1MF

(2=-，2MF

2==所以直线1MF 、2MF 的斜率乘积为1-，即12MF MF ⊥.

同理，当点M

的坐标为(3,时，12MF MF ⊥.

7．解析：（1）设0(,0),Q x 由2(,0),(0,)F c A b 知20(,),(,)F A c b AQ x b =-=-

2

2

200,0,b F A AQ cx b x c ⊥∴--==- ，

由于12220F F F Q +=

即1F 为2F Q 中点.故2

2b c c c -+=- 2222

3b c a c ∴==- 故椭圆的离心率1

2e =

（2）由（1）知1

2c

a =，得1

2c a =于是213

(,0),(,0)22F a Q a -，

AQF ?的外接圆圆心为1

(,0)2a -，半径1

||2r FQ a == 所以1|3|

22a

a --=

，解得2,1,a c b =∴=，所求椭圆方程为22

143x y +=

（3）由（2）知2(1,0),:(1)F l y k x =-

22(1)

143y k x x y

=-???+=??代入得2222(34)84120k x k x k +-+-=

设1122(,),(,)M x y N x y ，则2

122834k x x k +=+，1212(2)y y k x x +=+-

11221212(,)(,)(2,)PM PN x m y x m y x y m y y +=-+-=+-+

由于菱形对角线垂直，则()0PM PN MN +?=

18 故1212()20k y y x x m +++-=，则21212(2)20k x x x x m +-++-=

22

2

22882203434k k k m k k ??-+-= ?++?? 由已知条件知0k ≠且2221,3344k k R m k k

∈∴==++，104m ∴<< 故存在满足题意的点P 且m 的取值范围是104m <<

. 8．解析：（1）抛物线216y x =的焦点P 为(4,0)，双曲线22

1169

x y -=的焦点Q 为(5,0) ∴可设椭圆的标准方程为22

221x y a b

+=，由已知有0a b >>，且5,4a c == 2

25169b ∴=-=，∴椭圆的标准方程为22

1259x y +=. （2）设00(,)M x y ，线段CD 方程为

153x y +=，即33(05)5y x x =-+≤≤ 点M 是线段CD 上，00033(05)5y x x ∴=-+≤≤ 22000000(1,),(1,),1AM x y BM x y AM BM x y =+=-∴?=+- ， 将00033(05)5y x x =-+≤≤代入得22003315AM BM x x ???=+-+- ???

22000341834451918255253434

AM BM x x x ????=-+=-+ ??? 005x ≤≤ ，AM BM ∴? 的最大值为24，AM BM ? 的最小值为19134

. AM BM ∴? 的取值范围是191,2434??????

.

专题二十三 平面解析几何（4）

（解决圆锥曲线中的定点和定值问题）

考试说明要求：直线的斜率与倾斜角的要求是B 级；直线方程的要求是C 级；直线的平行关系与垂直关系

的要求是B 级；两条直线的交点的要求是B 级；两点间的距离，点到直线的距离的要求是

19 B 级；圆的标准方程和一般方程的要求是C 级；直线与圆、圆与圆的位置关系的要求是B

级；中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质的要求是B 级；中心在坐标原点的双曲

线的标准方程与几何性质的要求是A 级；抛物线的标准方程与几何性质的要求是A 级.

高考试题应用：解析几何中的定点、定值是近几年来高考中的热点问题，在近三年的高考中均有所体现，

在小题中主要考查圆锥曲线的方程和几何性质的应用，在解答题中考查的是圆锥曲线的综

合问题中含有定值、定点问题.

解决问题指南：对直线方程，圆的方程，直线与圆及直线与圆锥的位置关系，重点关注直线与圆的位置关

系；圆锥曲线的标准方程，特别关注椭圆的标准方程；圆锥曲线的几何性质，特别是椭圆

的几何性质；以及它们的图形特征；对圆锥曲线方程的运算的要求有所提高，考查趋于方

程的变形运算.

一、能力展示

1．已知椭圆22

142

x y +=，A 、B 是其左、右顶点，动点M 满足M B AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ，在x 轴上有异于点A 、B 的定点Q ，以MP 为直径的圆经过直线BP ，MQ 的交点，则点Q 的坐标为 .

2．设1F 和2F 为双曲线22

221x y a b

+=的两个焦点，若1F 、2F ，P (0，2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为

.

3．已知椭圆C ：22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，点M 在右准线l 上运动，记直线AM 、OM 、FM 的斜率分别为1k 、2k 、3k ，若椭圆C 的离心率为

12，则132k k k += . 二、能力培养

1．已知圆C ：229x y +=，点A (-5,0). 在直线OA 上（O 为坐标原点），存在定点B （不同于点A ），满足：对于圆C 上任一点P ，都有PB PA

为一常数，试求所有满足条件的点B 的坐标

.

20

2．已知直线C ：2

2

1y x a +=，直线:0l kx y k --=，O 为坐标原点. （1）讨论曲线C 所表示的轨迹形状；

（2）若直线l 与x 轴的交点为P ，当0a >时，是否存在这样的以P 为直角顶点，另外两个顶点在曲线C 上的等腰直角三角形？若存在，求出共有几个？若不存在，请说明理由.

3．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)

其焦点在圆221x y +=上. （1）求椭圆的方程；

（2）设A ，B ，M 是椭圆上的三点（异于椭圆顶点），且存在锐角θ，使cos sin OM OA OB θθ=+ .

（i ）求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值；

（ii ）求22OA OB +.

三、能力测评

1．已知线段PQ 两端点的坐标分别为（-1，1），（2，2），若直线:0l x my m ++=与线段PQ 有交点，求m 的取值范围 .

2．设F 为抛物线2

4y x =的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若0FA FB FC ++= ，则F A F B F C ++= .

3．椭圆22

1169

x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，过焦点1F 的直线交椭圆于A 、B 两点，若2ABF ?的内切圆的面积为π，A ，B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ，则21y y -的值为

.

专题二十三 平面解析几何（4）

（解决圆锥曲线中的定点和定值问题）

三、能力提升

1．直线21y mx m =++恒过一定点，则此点的坐标为 .

2．在平面直角坐标系xOy 中，已知以O 为圆心的圆与直线:(34),()l y mx m m R =+-∈恒有公共点，且

21 要求使圆O 的面积最小，则圆O 的方程是 .

3．已知直线(2)(0)y k x k =+>与抛物线C ：28y x =相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点。若2,FA FB =则k = .

4．设F 是椭圆22

13224

x y +=的右焦点，定点A (2,3)，点P 在椭圆上，则2PA PF +的最小值是

.

5．已知点P 是双曲线22

221x y a b

+=(a ＞b ＞0)右支上一点，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，I 为12PF F ?的内心，若121212

IPF IPF IF F S S S ???=+成立，则双曲线的离心率为 . 6．已知椭圆C 的焦点在x

轴上，中心在原点，离心率e =:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆C 的短半轴为半径的圆O 相切.

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设椭圆C 的左、右顶点分别为A 1、A 2，点M 是椭圆上异于A 1、A 2的任意一点，设直线MA 1、MA 2的斜率分别为1MA k 、2MA k ，证明1MA k 、2MA k 为定值；

（3）设椭圆方程22

221x y a b

+=，A 1、A 2为长轴两个端点，M 为椭圆上异于A 1、A 2的点，1MA k 、2MA k 分别为直线MA 1、MA 2的斜率，利用上面（2）的结论得1MA k 、2MA k = （只需直接填入结果即可，不必

写出推理过程）.

7．已知圆O 的方程为221x y +=，直线1l 过点A (3，0)，且与圆O 相切.

（1）求直线1l 的方程；

（2）设圆O 与x 轴交于P ，Q 两点，M 是圆O 上异于P ，Q 的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为线2l ，直线PM 交直线2l 于点P ′，直线QM 交直线2l 于点Q ′.求证：以P ′Q ′为直径的圆C 总经过定点，并求出定点坐标.

8．已知椭圆C ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的离心率为12

，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线

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