最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编13:导数
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最新2013届天津高三数学理科试题精选分类汇编13:导数
一、选择题
错误!未指定书签。 .(天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学(理)试题)函数
的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为( )
( )
A. B.1 C.2 D.
错误!未指定书签。 .(天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题)已知函数
f(x)=x?cosx,则f(0.6),f(0),f(-0.5)的大小关系是
2( )
A.f(0)
B.f(0)
错误!未指定书签。 .(天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学).定义在R上的
可导函数f(x),且f(x)图像连续,当x≠0时, f'(x)?x?1f(x)?0,则函数
g(x)?f(x?)?1x的零点的个数为 ( )
C.0
12A.1 B.2 D.0或2
x212错误!未指定书签。 .(天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学)已知函数
f(x)(x?R)满足f(1)?1,且f(x)的导函数f'(x)?,则f(x)??的解集为 ( )
D.?xx?1?
A.?x?1?x?1? B.?xx??1?
二、填空题
C.?xx??1或x?1?
错误!未指定书签。 .(天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题(WORD版))若f(x)在
R上可导,f(x)=x+2f’(2)+3,则?f(x)dx? .
02
3错误!未指定书签。 .(天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷)若不等式
|ax3?lnx|?1对任意x?(0,1]都成立,则实数a取值范围是________.
错误!未指定书签。 .(天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题)计算
?1-1(2x+e)dx= ;
x错误!未指定书签。 .(天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学)曲线xy?1与直
线y=x和y=3所围成的平面图形的面积为_________.
错误!未指定书签。 .(天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题)设
m??10edx,n?x?e1?1xdx,则m与n的大小关系为______.
错误!未指定书签。.(天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷)已知函数
32f(x)?x?bx?cx?d在区间[?1,2]上是减函数,那么b?c的最大值为
________________;
三、解答题
错误!未指定书签。.(天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学(理)试题)已知函数
(为自然对数的底数).
(1)求
的最小值;
(2)设不等式求实数的取值范围 (3)已知比大于0的等比 数列
,使得
,且
的解集为,若,且,
,是否存在等差数列和首项为公
?若存在,请求出数列的通项公式.若不
存在,请说明理由.
错误!未指定书签。.(天津市蓟县二中2013届高三第六次月考数学(理)试题) 已知函数
().
(1)若 (2)若函数
,试确定函数的单调区间;
处切线的斜率都小于
,求
在其图象上任意一点
实数的取值范围. (3)若
错误!未指定书签。.(天津市十二区县重点中学2013届高三毕业班联考(一)数学(理)试题)
3,求的取值范围.
已知函数f?x??ln?2ax?1??x3?x?2ax?a?R?
2(Ⅰ)若x?2为f?x?的极值点,求实数a的值;
(Ⅱ)若y?f?x?在?3,???上为增函数,求实数a的取值范围; (Ⅲ)当a??12时,方程f?1?x???1?x?33?bx有实根,求实数b的最大值.
2013年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一
错误!未指定书签。.(天津市六校2013届高三第二次联考数学理试题(WORD版))已知函数
f(x)=2lnx+ax2-1(a∈R)
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若a=1,分别解答下面两题,
(i)若不等式f(1+x)+f(1-x)
错误!未指定书签。.(天津南开中学2013届高三第四次月考数学理试卷)已知函数
f(x)?x?ln(x?a)的最小值为0,其中a?0.
(1)求a的值
(2)若对任意的x?[0,??),有f(x)?kx2成立,求实数k的最小值
n(3)证明?i?122i?1?ln(2n?1)?2(n?N)
*错误!未指定书签。.(2012-2013-2天津一中高三年级数学第四次月考检测试卷(理))已知函
数f?x??ln?x?a??x?x在x?0处取得极值.
2(1)求实数a的值; (2)若关于x的方程f?x???的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n,不等式2?34?49???n?1n252x?b在区间?0,2?上恰有两个不同的实数根,求实数b?ln?n?1?都成立.
错误!未指定书签。.(天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题)(本小题满分14
分)设函数f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0。 (1)当b>
12时,判断函数f(x)在定义域上的单调性;
(2)求函数f(x)的极值点;
(3)证明对任意的正整数n,不等式ln(1n+1)>1n2-1n3都成立。
错误!未指定书签。.(天津市耀华中学2013届高三第一次月考理科数学试题)(本小题满分14
分)设函数f(x)=a(x-1x)-lnx
(1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围; (3)设函数g(x)=的取值范围。
错误!未指定书签。.(天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学)已知函数
ex,若在[l,e]上至少存在一点x0使f(x0)?g(x0)成立,求实数a
f(x)=aln(e+1)-(a+1)x,g(x)=x-(a-1)x-f(lnx), a∈R,且g(x)在x=1处取得极值. (1)求a的值;
(2)若对0≤x≤3, 不等式g(x)≤|m-1|成立,求m的取值范围;
(3)已知?ABC的三个顶点A,B,C都在函数f(x)的图像上,且横坐标依次成等差数列,讨 论?ABC是否为钝角三角形,是否为等腰三角形.并证明你的结论.
错误!未指定书签。.(天津市天津一中2013届高三上学期一月考理科数学)已知函数
x2
f(x)=(x2+ax-2a2+3a)ex(x∈R),其中A∈R.
(1)当a=0时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)当a≠2/3时,求函数f(x)的单调区间与极值.
错误!未指定书签。.(天津市新华中学2012届高三上学期第二次月考理科数学)已知函数f(x)
=
12ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R).
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值; (2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x2-2x,若对任意x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2],使得f(x1)
错误!未指定书签。.(天津市滨海新区五所重点学校2013届高三联考试题数学(理)试题)设
函数f(x)?ax?xlnx,g(x)?x?x?3.
f(x)x32(Ⅰ)讨论函数h(x)?的单调性;
(Ⅱ)如果存在x1,x2?[0,2],使得g(x1)?g(x2)?M成立,求满足上述条件的最大整数
M;
(Ⅲ)如果对任意的s,t?[,2],都有f(s)?g(t)成立,求实数a的取值范围.
2
1
2013年天津市滨海新区五所重点学校高三毕业班联
错误!未指定书签。.(天津市天津一中2013届高三上学期第二次月考数学理试题)设函数
f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中a>0.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x>0时,证明不等式:
x1?x
错误!未指定书签。.(天津市天津一中2013届高三上学期第三次月考数学理试题)已知函数
f(x)?lnxx?1.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设m?0,求函数f(x)在[m,2m]上的最大值; (3)证明:对?n?N*,不等式ln(2?n)?e2?nnn错误!未指定书签。.(天津市新华中学2013届高三第三次月考理科数学)已知函数
恒成立
f(x)?x?alnx,g(x)??1?ax, (a?R).
(Ⅰ)若a?1,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)设函数h(x)?f(x)?g(x),求函数h(x)的单调区间;
(Ⅲ)若在?1,e?(e?2.718...)上存在一点x0,使得f(x0)?g(x0)成立,求a的取值范围.
错误!未指定书签。.(天津耀华中学2013届高三年级第三次月考理科数学试卷)(本小题满分
14分)已知函数f(x)?px?e=2.71828….
px?lnx,g(x)?lnx?px(1?e?2ep22),其中无理数
(1)若p=0,求证:f(x)?1?x;
(2)若f(x)在其定义域内是单调函数,求p的取值范围;
(3)对于在区间(1,2)中的任意常数p,是否存在x0?0使得f(x0)?g(x0)成立?若存在,求出符合条件的一个x0;若不存在,请说明理由.
最新2013届天津高三数学试题精选分类汇编13:导数参考答案
一、选择题
错误!未找到引用源。 【答案】A
??1【解析】根据积分的应用可求面积为S?2f(x)dx?(x?1)dx?2cosxdx
????100??(12?x?x)20?1?sinx20?12?1?32,选A.
错误!未找到引用源。 【答案】B
【解析】因为函数
f(x)=x?2cosx?)f为偶函数,所以f(?0.5(0,
??0?x?0?x?,当时,,所以函数在递f'(x)=2x?sinxf'(x)=2x?sinx?022增,所以有f(0)
错误!未找到引用源。 【答案】C
【解析】由f'(x)?x?1f(x)?0,得
xf'(x)?f(x)x?0,当x?0时,
xf'(x)?f(x)?0,即(xf(x))'?0,函数xf(x)此时单调递增。当x?0时,xf'(x)?f(x)?0,即(xf(x))'?0,函数xf(x)此时单调递减。又g(x)?f(x)?x?1?xf(x)?1x,函数g(x)?xf(x)?1x的零点个数等价为函数
y?xf(x)?1的零点个数。当x?0时,y?xf(x)?1?1,当x?0时,y?xf(x)?1?1,所以函数y?xf(x)?1无零点,所以函数g(x)?f(x)?x?1的零点
个数为0个。选C.
错误!未找到引用源。 【答案】D
【解析】设F(x)?f(x)?(F'(x)?f'(x)?12x2?12), 则F(1)?f(1)?(12?1212)?1?1?0,
,对任意x?R,有F'(x)?f'(x)?x2??0,即函数F(x)在R上单
调递减,则F(x)?0的解集为(1,??),即f(x)?二、填空题
错误!未找到引用源。 -18
12的解集为(1,??),选D.
?e2,??错误!未找到引用源。 ?3??? ??
错误!未找到引用源。 【答案】e?1ex
1?1【解析】?-11(2x+e)dx?(x?e)x2=1?e?1?1e?e?1e
错误!未找到引用源。 【答案】4-ln3
【解析】由xy?1得y?1x。当y?1x?3,解得xB?13,由??xy?1?y?x,解得xC?1,
由??y?3?y?x得xD?3.所以根据积分的应用知所求面积为
?1(3?311x)dx??31(3?x)dx?(3x?lnx)113?(3x?12x)231?4?ln13?4?ln3.
错误!未找到引用源。 【答案】m?n
解:m??10edx?exx10?e?1?1n?,
?
e1xdx??1?e1x1dx?lnxe1?lne?1,所以
m?n
.
错误!未找到引用源。 【答案】?152解:函数的导数为f'(x)?3x2?2bx?c,因为函数f(x)?x3?bx2?cx?d在区间
[?1,2]上是减函数,所以f'(x)?3x?2bx?c?0在[?1,2]上横成立.则有
2?1?)0?3?2b?c?0?f'(,即,设z?b?c,则c??b?z.做出不等式对应的平??)0?f'(2??12?4b?c?0面区域BCD,如图,平移直线c??b?z,由图象平移可知当
直线c??b?z经过点B时,直线c??b?z的截距最大,此时z最大.由3??3?2b?c?0?b??,解得?2?12?4b?c?0??c??6?32,即B(??,6,)代入z?b?c得
2三、解答题
z??3?(?6)??152,即b?c的最大值为?152.
错误!未找到引用源。 解:(1)
当
;当
由 (2)
,
有解
由即上有解
令,
上减,在[1,2]上增
又,且
的等差数列
和公比
首项为
的等比数列
,
(3)设存在公差为
使
……10分
又时,
故
②-①×2得,
解得
(舍)
故 ,此时
存在满足条件的数列
满足
…… 14分
错误!未找到引用源。 (Ⅰ)解:当时,,所以
,
由 由 所以函数 (Ⅱ)解:因为 由题意得: 即 设 所以当 因为对任意
时,
,
对任意,所以
有最大值为,
恒成立,
,解得,解得
或
,
,
,减区间为
和
.
的单调增区间为
,
对任意恒成立,
恒成立,
,
所以
,解得或,
所以,实数的取值范围为 (III)
错误!未找到引用源。解:(I)f??x??或.
.
2a2ax?1?x?2x?2a?2a4a?12x2ax??1?4a?x?4a?222??2ax?1??
因为x?2为f?x?的极值点,所以f??2??0,即
?2a?0,解得a?0
(II)因为函数f?x?在?3,???上为增函数,所以 f??x??x2ax??1?4a?x?4a?222??2ax?1???0在?3,???上恒成立 6 分
?当a?0时,f??x??x?x?2??0在?3,???上恒成立,所以f?x?在?3,???上为增函数,故a?0 符合题意
?当a?0时,由函数f?x?的定义域可知,必须有2ax?1?0对x?3恒成立,故只能a?0,所以2ax2??1?4a?x??4a2?2??0在?3,???上恒成立
令函数g?x??2ax2??1?4a?x??4a2?2?,其对称轴为x?1?1?14a14a,因为a?0,所以
?1,要使g?x??0在?3,???上恒成立,只要g?3??0即可,
即g?3???4a2?6a?1?0,所以
3?134?a?3?134因为a?0,所以
0?a?3?134.
??3?13?? 4?综上所述,a的取值范围为?0,(Ⅲ)当a??12时,方程f?1?x??2?1?x?33?bx可化为lnx??1?x???1?x??2bx
问题转化为b?xlnx?x?1?x??x?1?x??xlnx?x2?x3在?0,???上有解,即求函数g?x??xlnx?x?x的值域
23因为函数g?x??xlnx?x?x,令函数h?x??lnx?x?x?x?0?,
232
则h??x??1x?1?2x??2x?1??1?x?x,
所以当0?x?1时,h??x??0,从而函数h?x?在?0,1?上为增函数, 当x?1时,h??x??0,从而函数h?x?在?1,???上为减函数, 因此h?x??h?1??0
而x?0,所以b?x?h?x??0,因此当x?1时,b取得最大值0 (第三问如用数形结合求解,相应给分)
错误!未找到引用源。 解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,??), f(x)?/2x?2ax ,
令f/(x)?0,?x?0,?2ax2?2?0,
①当a?0时,f/(x)?0在(0,??)恒成立,?f(x)递增区间是(0,??);
1a1a1a②当a?0时,?2ax?2?0?x??22????x??,又x>0, ?f(x)递增区间是(0,(Ⅱ)(ⅰ)
?a?a),递减区间是(?a?a,??)
设F(x)?f(1?x)?f(1?x)?2ln(1?x)?(1?x)2?1?2ln(1?x)?(1?x)2?1, 化简得:F(x)?2ln(1?x)?2ln(1?x)?2x, F(x)?2/21?x?21?x?4x??4x32,
1?x?0?x?1,?F/(x)?0在0?x?1上恒成立,?F(x)在x?(0,1)上单调递减,
所以F(x)?F(0)?0,?m?0,即m的取值范围是[0,??) (ⅱ)?f(1)?0,f(x)在(0,??)上单调递增, ①若x1,x2?(0,1),则f(x1)?f(x2)?0矛盾,
f(x1)?0,f(x2)?0,则
f(x1)?f(x2)?0与已知
②若x1,x2?(1,??),则f(x1)?0,f(x2)?0,则f(x1)?f(x2)?0与已知f(x1)?f(x2)?0矛盾,
③若x1?1,则f(x1)?0,又f(x1)?f(x2)?0,?f(x2)?0得x2?1与x1?x2矛
盾,
④不妨设0?x1?1?x2,则由(Ⅱ)知当0?x?1时,f(1?x)?f(1?x)?0, 令1?x?x1,则f(2?x1)?f(x1)?0?f(2?x1)??f(x1)?f(x2), 又f(x)在(0,??)上单调递增,?2?x1?x2,即x1?x2?2 证2;f(x1)?f(x2)?0?2lnx1?x12?1?2lnx2?x22?1?0
?2lnx1x2?(x1?x2)?2x1x2?2?0?(x1?x2)?2x1x2?2lnx1x2?2,
22设t?x1x2,则t>0,g(t)?2t?2lnt?2,g/(t)?2?2t?2(t?1)t,
令g/(t)?0,得t?1,?g(t)在(0,1)单调递减,在(1,??)单调递增, ?g(t)min?g(1)?4,\?\不成立. ?(x1?x2)?4,又因为t?1时,x1?x2?1,?2?(x1?x2)?4,?x1?x2?2
2
错误!未找到引用源。解:(1)f(x)的定义域为(?a,??)
x?ax?a当x变化时,f?(x),f(x)的变化情况如下表:
f?(x)?1?1?x?a?1,由f?(x)?0,得x?1?a??a,
x
f?(x) f(x)
(?a,1?a)
1?a
(1?a,??)
- ↘
0 极小值
+ ↗
因此,f(x)在x?1?a处取得最小值,故由题意f(1?a)?1?a?0,所以a?1. (Ⅱ)解:当k?0时,取x?1,有f(1)?1?ln2?0,故k?0不合题意.
22当k?0时,令g(x)?f(x)?kx,即g(x)?x?ln(x?1)?kx.
g?(x)?xx?1?2kx??x(2kx?(1?2k))x?1,令g?(x)?0,得x1?0,x2?1?2k2k?
-1.
(1)当k?12时,
1?2k2k?0,g?(x)?0在(0,??)上恒成立,因此g(x)在[0,??)上单调
递减,从而对于任意的x?[0,??),总有g(x)?g(0)?0,即f(x)?kx2在[0,??)上恒成立. 故k?12符合题意.
12(2)当0?k?(0,1?2k2k时,
1?2k2k?0,对于x?(0,1?2k)内单调递增,因此当取x0?(0,22k1?2k2k),g?(x)?0,故g(x)在
)时,g(x0)?g(0)?0,即
f(x0)?kx0不成立.
故0?k?12不合题意,
12综上,k的最小值为.
(Ⅲ)证明:当n=1时,不等式左边?2?ln3?2=右边,所以不等式成立. 当n?2时,
n?i?1f(22i?12n)??i?1n2?2? ?ln(1?)?2i?1?2i?1??n??2i?1??[ln(2i?1)?ln(2i?1)]
i?1i?1n??2i?1?ln(2n?1).
i?12在(Ⅱ)中取k?12,得f(x)?x222(x?0),从而
f(22i?1)?2(2i?1)2?(2i?3)(2i?1)(i?N,i?2),
*所以有
n?i?122i?1n?ln(2n?1)??i?1f(22i?1n)?f(2)??i?3f(22i?1n)?2?ln3??(2i?3)(2i?1)
i?22?2?ln3?1?1?1??2?ln3?1??2. ???2i?32i?12n?1?i?2?2*nn综上,?i?12i?1?ln(2n?1)?2,n?N.
错误!未找到引用源。解:(1)f'?x??f1x?a'?2x?1, …………1分
?x?0时,f?x?取得极值, ??0??0, …………2分
故
10?a?2?0?1?0,解得a?1.经检验a?1符合题意. …………3分
2(2)由a?1知f?x??ln?x?1??x?x,
由f?x???52x?b,得
ln?x?1??x?232x?b?0,
32x?b,则f2令??x??ln?x?1??x??x???52x?b在区间?0,2?上恰有两个不同的
实数根等价于??x??0在区间
'?0,2?上恰有两个不同的实数根.
??x??1x?1?2x?32???4x?5??x?1?2?x?1?,
当x??0,1?时,?当x??1,2?时,?'?x??0,于是??x?在?0,1?上单调递增;
'?x??0,于是??x?在?1,2?上单调递减.…………6分
???0???b?0?3?依题意有???1??ln?1?1??1??b?0,
2????2??ln?1?2??4?3?b?0?解得,ln3?1?b?ln2?(3)
12. …………9分
2f?x??ln?x?1??x?x的定义域为?x?2x?3??xx??1?,由(1)知
f'?x??'?x?1?,
32令f?x??0得,x?0或x??(舍去), ?当?1?x?0时, f'?x??0,f?x?单
调递增; 当x?0时, f'?x??0,f?x?单调递减. ?f?0?为f?x?在??1,???上的最大
值. …11分
?f?x??f?0?,故ln?x?1??x?x?0(当且仅当x?0时,等号成立)
2对任意正整数n,取x?11?1?1?0得,ln??1???2, …………12分n?n?nn?n?1?n?1?ln???2nn ??故2?34?49???n?1n2?ln2?ln32?ln43???lnn?1n?ln?n?1?. …………14分
(方法二)数学归纳法证明: 当n?1时,左边?1?112?2,右边?ln(1?1)?ln2,显然2?ln2,不等式成立.
34?492假设n?k?k?N*,k?1?时,2?则n?k?1时,有2?34?49???k?1k2?ln?k?1?成立,
???k?1k?k?2?k?1??2?k?2?k?1?2?ln?k?1?.做差比较:
ln?k?2??ln?k?1??k?2?k?1?2?lnk?2k?1k?2?k?1?2?1??11??ln?1?????2?k?1??k?1(k?1)??
构建函数F?x??ln?1?x??x?x,x??0,1?,则F??x??2?x?2x?3?x?1?0,
?F?x?在?0,1?单调递减,?F?x??F?0??0.
取x?1k?1?k?1,k?N*?,ln?1????1??1???F?0??0 ??2?k?1??k?1(k?1)?1即ln?k?2??ln?k?1??k?2?k?1?492?0,亦即
k?2?k?1?22?ln?k?1??ln?k?2?,
故n?k?1时,有2?34????k?1k2?k?2?k?1??k?2?k?1?2?ln?k?1??ln?k?2?,
不等式成立.
综上可知,对任意的正整数n,不等式2?错
误
!
未
找
34?49到
???n?1n引
2?ln?n?1?都成立.
用
源
。
错
误
!
未
找
到
引
用
源
。
错误!未找到引用源。解:(1)g(x)?x?(a?1)x?aln(1?x)?(a?1)lnx(x?0),g(x)?2x?(a?1)?'2a1?x?a?1x(x?0), 依题设,有g(1)?0,所以a=8. (2)g(x)?x2?7x?8ln(1?x)?9lnx(x?0) g(x)?2x?7?''81?x?9x?(x?1)(x?3)(2x?3)x(x?1)(x?0),由g(x)?0',得x?1或x?3 函数g(x)增区间(0,1),减区间(1,3) 函数g(x)在x=3处取得极小值,g(x)min=g(3);函数g(x)在x=1处取得极大值g(x)max=g(1),
不等式|m-1|≥g(x),对0≤x≤3成立,等价于|m-1|≥g(x)max成立 即m-1≥g(x)max=g(1)orm-1≤-g(x)max=-g(1), m≤1-g(1) or m≥1+g(1) (3)设A(xx1,f(x1)),B(x2,f(x2)).C(x1?x33,f(x3)),且x1?x2?x3,x2?, 2则f(x1)?f(x2)?f(x3), ∴BA?(x1?x2,f(x1)?f(x2)),BC?(x3?x2,f(x3)?f(x2)), ∴BA?BC?(x3?x2)(x1?x2)?f(x1)?f(x2)?f(x3)?f(x2)?0. 所以B为钝角,?ABC是钝角三角形. f(x)?8ln(1?ex)?9x,f(x1)?f(xx1?x22)?2f(2) x1?x2=8[ln(1?ex1)(1?ex1)?ln(1?e2)2] x1?x2= 8[ln(1?ex1?ex2?ex1?x2)?ln(1?2e2?ex1?x2)] x1?x2∵xx1?2ex11?x2∴e?ex2?ex2?2e2 x1?x2∴1?ex1?ex2?ex1?x2?1?2e2?ex1?x2 ∴f(x1)?f(x1?x22)?2f(x2)?0 ∴f(x1?x2f(x1)?f(x2),故f(x)是R上的凹函数. 2)?2xxf'(x)?8ex恒成立∴f(x)在(??,??)上单调递减. 1?e?9??9?e1?ex?0若?ABC是等腰三角形,则只能是BA?BC. 即(x22221?x2)?[f(x1)?f(x2)]?(x3?x2)?[f(x3)?f(x2)] ∵x2?x1?x3∴[f(x1)?f(x2)]2?[f(x23)?f(x2)]f(x1)?f(x2)?f(x2.3)?f(x2) f(x1)?f(x2)?f(x2)?f(x3)∴f(x1?x3)?f(x1)?f(x3),22 这与f(x)是R上的凹函数矛盾,故?ABC是钝角三角形,但不可能是等腰三角形. 错
误
!
未
找
到引用
源
。 (1)解
当a?0时,f(x)?x2ex,f'(x)?(x2?2x)ex,故f'(1)?3e.
所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e.
(2)解:f'(x)??x2?(a?2)x?2a2?4a?ex.
:
令f'(x)?0,解得x??2a,或x?a?2.由a?23知,?2a?a?2.
以下分两种情况讨论。 (1)若a>
23,则?2a<a?2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
?2a x???,?2a? ??2a,a?2? — ↘ a?2 ?a?2,??? + ↗ + ↗ 0 极大值 0 极小值 所以f(x)在(??,?2a),(a?2,??)内是增函数,在函数f(x)在x??2a处取得极大值函数f(x)在x?a?2处取得极小值(?2a,a?2)内是减函数.
?2af(?2a),且f(?2a)?3ae.
a?2f(a?2),且f(a?2)?(4?3a)e.
(2)若a<
x 23,则?2a>a?2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
a?2 ???,a?2? + ↗ ?a?2,?2a? — ↘ ?2a ??2a,??? + ↗ 0 极大值 0 极小值 所以f(x)在(??,a?2),(?2a,??)内是增函数,在函数f(x)在x?a?2处取得极大值函数f(x)在x??2a处取得极小值(a?2,?2a)内是减函数。
a?2f(a?2),且f(a?2)?(4?3a)ef(?2a),且f(?2a)?3ae2x?2a.
.
错误!未找到引用源。 (1)f′(x)=ax-(2a+1)+ f′(1)=f′(3)
∴a-2a-1+2=3a-2a-1+∴-a+1=a-1323
a=
23
(2)注x>0! f′(x)=
ax2?(2a?1)x?2x
∵x>0 ∴令f′(x)>0得ax2-(2a+1)x+2>0
∴f(x)在(0,2)在(2,+?)
<1>a=0时,得x<2
a?0时,f′(x)>0得(x-2)(ax-1)>0 <2>a<0时,f′(x)>0得(x-2)(x-∴f(x)在(0,2)在(2,+?) <3>a>0时f′(x)>0得(x-2)(x-①②③
1a1a1a1a1a)<0
)>0
=2 即a=
12时,f(x)在(0,+?)
12>2 即0
12时,f(x)在(
1a,+?)在(0,2)在(2,
1a1a)
时,f(x)在(0,)在(2, +?)在(
1a,2)
(3)fmax(x)
12时 f(x)在(0,2]
∴fmax(x)=f(2)=2a-2(2a+1)+2ln2 =-2a-2+2ln2<0 ∴a>ln2-1 ∴ln2-1
1212
1a1a2时,f(x)在(0,
1a)在(
1a,2)
1a∴fmax(x)=f(=
12a)=
a2·-(2a+1)·+2ln
1a
-2-
1a-2lna
1=2-2lna-
2a
12a=-2(1+lna)- ∵a>
12
12 ∴lna>ln>ln
1e=-1 ∴f(
1a)<0 ∴a>
12
经上
a>ln2-1
错误!未找到引用源。 【解】(Ⅰ)h(x)?ax2?lnx,h?(x)??2ax3?1x?x2?2ax3,
①a?0,h?(x)?0,函数h(x)在(0,??)上单调递增 ②a?0,h?(x)?0,x?h?(x)?0,0?x?2a,函数h(x)的单调递增区间为(2a,??)
2a,函数h(x)的单调递减区间为(0,2a)
(Ⅱ)存在x1,x2?[0,2],使得g(x1)?g(x2)?M成立 等价于:[g(x1)?g(x2)]max?M,
2考察g(x)?x3?x2?3,g'(x)?3x?2x?3x(x?),
3 2x g'(x) 0 (0,23) 23 (23,2] 2
0 ? 0 ? 极(最g(x) ?3 递减 )小值?8527递增 1 由知
上表
可:
285g(x)min?g()??,g(x)max?g(2)?1327,
[g(x1)?g(x2)]max?g(x)max?g(x)min?112,
所以满足条件的最大整数M?4;
(Ⅲ)当x?[,2]时,f(x)?221ax?xlnx?1恒成立
等价于a?x?xlnx恒成立,
2记h(x)?x?xlnx,所以a?hmax(x)
h'(x)?1?2xlnx?x, h'(1)?0.
记h'(x)?(1?x)?2lnx,x?[,1),1?x?0,xlnx?0,h'(x)?0
22即函数h(x)?x?xlnx在区间[,1)上递增,
112记h'(x)?(1?x)?2lnx,x?(1,2],1?x?0,xlnx?0,h'(x)?0
即函数h(x)?x?x2lnx在区间(1,2]上递减,
x?1,h(x)取到极大值也是最大值h(1)?1
所以a?1
另解m(x)?1?2xlnx?x,m'(x)??3?2lnx, 由于x?[,2],m'(x)??3?2lnx?0,
21所以m(x)?h'(x)?1?2xlnx?x在[,2]上递减,
21当x?[,1)时,h'(x)?0,x?(1,2]时,h'(x)?0,
21即函数h(x)?x?x2lnx在区间[,1)上递增,
21在区间(1,2]上递减,
所以h(x)max?h(1)?1,所以a?1
错误!未找到引用源。解:(1)f’(x)=
ax?1x?1(x>-1,a>0)
令f’(x)=0?x??f(x)在(-1,
1a1a?0
1a)为减,在(
xx?1,+?)为增 f(x)min=f(
1a)=1-(a+1)ln(
1a+1)
(2)设F(x)=ln(x+1)-1x?1(x?0)
F’(x)=?x?1?x(x?1)2?x(x?1)xx?12?0?F(x)在(0,+?)为增函数
F(x)>F(0)=0 ?F(x)>0即G(x)=x-ln(x+1)(x>0) G’(x)=1-1x?1xx?1?xx?1?ln(x?1)
?0 ?G(x)在(0,+?)为增函数
G(x)>G(0)=0 ?G(x)>0即ln(x+1)
?ln(x?1)?x
11??g?a??f()?1-?a?1?ln(?1)(3)由(1)知:? aa?a?0?
11?g'a??ln(1?)??0????aa??ln(1?1)?0?a?由(2)把x=1a代入(2)中1a1a?11a
?ln(1a?1)?1a
即1?(a?1)ln(1a1a?1)?1?1a?1?即???(a?1)ln(?1)??1 1a?1)?0
?1?(a?1)ln(即?1?ag(a)?0
错
误
!
未
找
到
引
用
源
。
错误!未找到引用源。解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,??),
当a?1时,f(x)?x?lnx,f?(x)?1?
x f?(x) f(x) (0,1) 1x?x?1x
1 0 极(1,??)
— ? + ? 小
(III)在?1,e?上存在一点x0,使得f(x0)?g(x0)成立,即
x0,使得h(x0)?0,
在?1,e?上存在一点
1?ax即函数h(x)?x?由(Ⅱ)可知
?alnx在?1,e?上的最小值小于零.
①当1?a?e,即a?e?1时,h(x)在?1,e?上单调递减,
综上讨论可得所求a的取值范围是:a?e?1e?12或a??2.
错误!未找到引用源。解:(1)证明:当p=0时,f(x)??lnx.
令m(x)?lnx?x?1(x?0),则m?(x)?1x?1?1?xx
若0?x?1,则m?(x)?0,m(x)在区间(0,1)上单调递增; 若x?1,则m?(x)?0,m(x)在区间(1,??)上单调递减. 易知,当x=1时,m(x)取得极大值,也是最大值.
于是m(x)?m(1)?0,即lnx?x?1?0,即?lnx?1?x 故若p=0,有f(x)?1?x (2)f?(x)?p?px2?1x21x?px?x?px22,令h(x)?px2?x?p(x?0)
①当p=0,f?(x)???0,则f(x)在(0,??)上单调递减,故当p=0时符合题意;
②若p>0,h(x)?px?x?p?p(x?14p1212p)?p?214p?p?14p
12则当p??0,即p?时,f?(x)?0在x>0上恒成立,故当p?时,f(x)在
(0,??)上单调递增;
③若p<0,h(x)?px?x?p?p(x?212p)?p?214p的图像的对称轴为x?12p?0,
h(0)?p?0,则f?(x)?0在x>0上恒成立,故当p<0时,f(x)在(0,??)上单调递
减.
综上所述,p?(??,0]U[,??)
21(3)令F(x)?f(x)?g(x)?px?2lnx?e?2epx2,则原问题等价于是否存在x0>0
使得F(x0)?0成立,故只需满足[F(x)]min?0即可. 因为F?(x)?p?2x?e?2epx22?(px?e)(px?2?e)px2?px2(x?ep)(x?2?ep)
而x?0,1?p?2,故
epepep?0,2?ep?0,
epep故当0?x?时,F?(x)?0,则F(x)在(0,当x?)上单调递减;时,F?(x)?0,
则F(x)在(,??)上单调递增.
e易知F(x)min?F()?e?2?2lnp?e?2?2e?2lnp?4?0与上述要求的
p[F(x)]min?0相矛盾,故不存在x0?0使得f(x0)?g(x0)成立.
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