2021届河北省唐山市第一中学高三10月月考数学(理)试题Word版含答案

2021届河北省唐山市第一中学高三10月月考

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1.已知14sin 5z i θ=-，23cos 5z i θ=-，若12z z -是纯虚数，则tan θ=（ ）

A ．34

B ．34-

C ．43

D ．43

- 2.已知函数()y f x =，[,]x a b ∈，那么集合{(,)|(),[,]}{(,)|2}x y y f x x a b x y x =∈=中元素的个数为（ ）

A ．1

B ．0

C ．0或1

D ．1或2

3.已知2log 3.45a =，4log 3.65b =，3log 0.31()5

c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．a c b >> D ．c a b >>

4.设向量(cos 25,sin 25)a =，(sin 20,cos 20)b =，若t 是实数，且u a tb =+，则||u 的最小值为（ ）

A B ．1 C D ．12

5.已知向量a ，b 的夹角为120，且||2a =，||3b =，则向量23a b +在向量2a b +方向上的投影为（ ）

A B 6.设函数2,||1(),||1

x x f x x x ?≥=?

A ．(,1][1,)-∞-+∞

B ．(,1][0,)-∞-+∞ C. [0,)+∞ D ．[1,)+∞

7.函数()sin cos (0)f x a x b x a =-≠的图象关于4x π

=对称，则3()4

y f x π=-是（ ） A ．图象关于点(,0)π对称的函数 B ．图象关于点3(,0)2

π对称的函数 C. 图象关于点(,0)2π对称的函数 D ．图象关于点(,0)4

π对称的函数 8.函数()sin()(0,0,||)f x A x A ????π=+>><的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）

A ．()2)3f x x π

=+ B ．()2)3f x x π

=- C.()2)3f x x π=+ D ．()2)3

f x x π=- 9.以下四个命题中，真命题的是（ ）

A ．(0,)x π?∈， sin tan x x =

B ．“对任意的x R ∈，210x x ++>”的否定是“存在0x R ∈，20010x x ++<”

C ．R θ?∈，函数()sin(2)f x x θ=+都不是偶函数

D ．ABC ?中，“sin sin cos cos A B A B +=+”是“2C π=

”的充要条件 10.已知函数()x

a f x x e =-存在单调递减区间，且()y f x =的图象在0x =处的切线l 与曲线x y e =相切，则符

合情况的切线l （ ）

A ．有3条

B ．有2条 C. 有1条 D ．不存在

11.设()f x 是定义在R 上的偶函数，任意实数x 都有(2)(2)f x f x -=+，且当[0,2]x ∈时，()22x f x =-，若函数()()log (1)(0,1)a g x f x x a a =-+>≠，在区间(1,9]-内恰有三个不同零点，则a 的取值范围是（ ）

A ．1(0,)(7,)9+∞

B ．11(,)(1,3)95 C. 11(,)(3,7)95 D ．11(,)(3,7)73

12.已知函数21()(0)2

x f x x e x =+-<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是（ ）

A ．(e -∞

B ．(e e - C. (e e D ．()e -∞

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.若函数()2sin()(210)63

f x x x ππ=+-<<的图象与x 轴交于点A ，过点A 的直线与函数的图象交于B ，C 两点，则()OB OC OA +=_________.

14.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，12n n a S +=，则数列{}n a 的通项公式为________.

15.已知()sin cos 2sin cos f x x x x x =++，[0,)2

x π∈，则()f x 的值域为________. 16.已知函数()|cos |sin f x x x =，给出下列五个说法：

①2014(

)3f π=； ②若12|()||()|f x f x =，则12()x x k k Z π=+∈； ③()f x 在区间[,]44ππ-上单调递增；④函数()f x 的周期为π；⑤()f x 的图象关于点(,0)2π-成中心对称； 其中正确说法的序号是________.

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项为1的等比数列{}n b 的公比为q ，

233S a b ==，且1a ，3a ，4b 成等比数列.

（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；

（2）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，若2log (21)n n a n S na b T -=++对一切正整数n 成立，求实数a ，b 的值.

18.已知ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(2,1)m b =，

(cos cos ,cos )n c A a C A =+，且//m n .

（1）求角A 的值；

（2）若3AB AC AD +=，AB =2AD =，求sin BAD ∠.

19.已知函数()cos(2)2sin()sin()344

f x x x x πππ=-+-+. （1）求函数()y f x =的单调增区间；

（2）设ABC ?的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，满足c =，()1f C =，且点O 满足||||||OA OB OC ==，求()CO CA CB +的取值范围．

20.设函数()y f x =是定义在(0,)+∞上的函数，并且满足下面三个条件：

①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；

②当1x >时，()0f x <；

③(3)1f =-；

（1）求(1)f 与1()9f 的值；

（2）证明()f x 在(0,)+∞上是减函数；

（3）如果不等式()(2-)2f x f x +<成立，求x 的取值范围.

21.已知等比数列{}n a 的公比1q ≠，首项113a =，1

a ，22a ，33a 成等差数列； （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）求数列{}n n a 的前n 项和n T ； （3）若1213

log n n c a -=，n P 为数列2

14{}n n n c c +的前n 项和，求不超过2016P 的最大的整数k . 22.已知函数2()ln ()2

a f x x x x x a a R =-

-+∈在其定义域内有两个不同的极值点. （1）求a 的取值范围；

（2）记两个极值点分别为1x ，2x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式112e x x λλ+<恒成立，求λ的范围. 2021届河北省唐山市第一中学高三10月月考

数学（理）试题参考答案

一、选择题

1-5:BCCCA 6-10:CACDD 11、12：CD

二、填空题

13.32 14. 11(1)23

(2)n n n a n -=?=?≥? 15.[1,21]+ 16.①③ 三、解答题

17.（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，

由①②解得13a =，3q =.

所以3(1)33n a n n =+-=，13n n b -=.………………5分

（2）(1)22[33]332

n n n n S na n n n n --=?+?-=，1(13)2121313n n n T ?-+=?+=-. 若2log (21)n n a n S na b T -=++对一切正整数n 成立，则

3log 3a n b n =+，log 33a =，a =0b =.……………………10分

18.（1）3π

.………………6分

（2）又因为3AB AC AD +=，则D 为ABC ?的重心，以AB 、AC 为邻边作平行四边形ABEC ，因为2AD =，

所以6AE =，在ABE ?中，AB =，120ABE ∠=.

=，解得1sin 4AEB ∠=且cos AEB ∠=.

因此1511351sin sin()324BAD AEB π-∠=-∠=-=.………………12分 19.解：（1）∵()cos(2)2sin()sin()344f x x x x πππ=-+-+

1cos 22(sin cos )(sin cos )2x x x x x x =++-+

2211cos 22sin cos cos 22cos 222x x x x x x x =++-=- sin()6

x π=-.……………………3分 单调增区间为[,]63k k π

π

ππ-+，k Z ∈.……………………5分

（2）()sin(2)16

f C C π=-=，∵0C π<<，022C π<<， ∴112666C π

π

π-<-<，∴262C ππ-=，3

C π=，………………6分 设,CA CB 的中点分别为M ，N ，

∵O 点满足||||||OA OB OC ==，∴O 为ABC ?的外心，

()||||||||CO CA CB CO CA CO CB CM CA CN CB +=+=+

221()2a b =

+………………8分 22212cos 2cos 2()(sin sin )82sin 2

c A B A B C --=+=?. 4(22cos()cos())4(2cos())(*)A B A B A B -+-=+-,

233C A B π

π=?+=，2222(,)333A B B πππ-=-∈-.

由(*):3A B π

==时，得最大值12，

则64(2cos())12A B <+-≤，

故原式的取值范围是[6,12].………………12分

20.（1）令1x y ==易得(1)0f =.而(9)(3)(3)112f f f =+=--=-， 且1(9)()(1)09f f f +==，得1()29

f =.………………4分 （2）221211

01()0x x x x f x x <?<， ∴22211111

()()()()()x x f x f x f f x f x x x ==+<， ∴()f x 在R +上为减函数.………………8分

（3）由条件（1）及（I ）的结果得：1[(2)]()9

f x x f -<，02x <

<， 由（2）得：

1(2)902

x x x ?->???<

解得x 的范围是(1-.……………………12分 21.解：（1）∵1a ，22a ，33a 成等差数列，∴21343a a a =+， ∴23410q q -+=，

∵1q ≠，∴13

q =， ∴1111()()333

n n n a -=?=.………………2分 （2）由（1）3n n

n n a =， ∴231323333n n T n =++++，①

23131323(1)33n n n T n n +=+++-+，②

①-②得，23113(13)2131313133313

n n n n n T n n ++--=++++-=--， ∴1

3(13)342

n n n n T +-=+.………………7分 （3）由1213

log n n c a -=，得21n c n =-，

22144111111()(21)(21)(21)(21)22121n n n n c c n n n n n n +==+=+--+-+-+，

2016

111111111111 1()

1()1()1()

213235257240314033

P=+-++-++-+++-

2016

2016

4033

=+.

∴不超过

2016

P 的最大的整数k是2016.………………12分

22.解：依题，函数()

f x的定义域为(0,)

+∞，所以方程'()0

f x=在(0,)

+∞有两个不同的根，即，方程

ln0

x ax

-=在(0,)

+∞有两个不同根.

转化为，函数

ln

()

x

g x

x

=与函数y a

=的图象在(0,)

+∞上有两个不同交点.

又

2

1ln

'()

x

g x

x

-

=，即0x e

<<时，'()0

g x>，x e

>时，'()0

g x<，

所以()

g x在(0,)e上单调增，在(,)

e+∞上单调减.从而

1

()()

g x g e

e

==

最大

，………………3分

又()

g x有且只有一个零点是1，且在0

x→时，()

g x→-∞，在x→+∞时，()0

g x+

→，所以()

g x的草图如下，

可见，要想函数

ln

()

x

g x

x

=与函数y a

=的图象在(0,)

+∞上有两个不同交点，只须

1

0a

e

<<.……………6分

（2）因为1

12

e x x

λλ

+<等价于

12

1ln ln

x x

λλ

+<+.由（1）可知

1

x，

2

x分别是方程ln0

x ax

-=的两个根，即12

ln x ax

=，

22

ln x ax

=，

所以原式等价于

1212

1()

ax ax a x x

λλλ

+<+=+，因为0

λ>，

12

0x x

<<，

所以原式等价于

12

1

a

x x

λ

λ

+

>

+

.………………7分

又由

11

ln x ax

=，

22

ln x ax

=作差得，1

12

2

ln()

x

a x x

x

=-，即

1

2

12

ln

x

x

a

x x

=

-

.

所以原式等价于

1

2

1212

ln

1

x

x

x x x x

λ

λ

+

>

-+

，

因为

12

0x x

<<，原式恒成立，即112

212

(1)()

ln

x x x

x x x

λ

λ

+-

<

+

恒成立.

令12

x t x =，()0,1t ∈， 则不等式(1)(1)ln t t t λλ

+-<+在()0,1t ∈上恒成立.………………8分 令(1)(1)()ln()t h t t t λλ+-=-

+， 又2222

1(1)(1)()'()()t t h t t t t t λλλλ+--=-=++（）， 当21λ≥时，可见()0,1t ∈时，'()0h t >，所以()h t 在()0,1t ∈上单调增，又(1)0h =，()0h t <在()0,1t ∈恒成立，符合题意,………………10分

当21λ<时，可见2(0,)t λ∈时，'()0h t <，2(,1)t λ∈时，'()0h t <， 所以()h t 在2(0,)t λ∈时单调增，在2(,1)t λ∈时单调减，又(1)0h =， 所以()h t 在()0,1t ∈上不能恒小于0，不符合题意，舍去. 综上所述，若不等式112e x x λλ+<恒成立，只须21λ≥，又0λ>，所以1λ≥.………………12分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cx1e.html