小升初数学正比例和反比例专题讲解及训练(含试题与答案)

小升初数学正比例和反比例专题讲解及训练（含试题与答案）

主要内容

正比例和反比例

学习目标

1、使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否

成正比例或反比例。

2、使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据在方格纸上画出相应

的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另一个量的数值。

3、使学生在认识成正比例、反比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关系，感受有效表

示数量关系及其变化规律的不同数学模型，进一步提升思维水平。

4、使学生进一步体会数学与日常生活的密切联系，增强探索数学知识和规律的意识，养成积极主动地

参与学习活动的习惯，提高学好数学的信心。

考点分析

1、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的比的比值（也

就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：y= K

（一定）。

x

2、用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能根据一种量的值，估

计另一种量相对应的值。

3、两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，

这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ= K （一定）。

4、两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成反比例；没有上述两

种关系，这两个变量不成比例。

典型例题

例1 、（正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系？

分析与解：（1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。

（2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩

小。所以它们是两种相关联的量。

3）路程和时间的比值始终不变， 120

= 120，240

= 120，360

= 120? 123 这个比值就是

火车的行驶速度。

通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时 间是两种相关联的量，也就是时间变化，路程也随着变化；第二点路程和

路程 对应的时间的比的比值 （也就是速度） 是一定的， 有这样的关系：

时间

速度（一定） 。

具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关 系；行驶的路程和时间成正比例的量。

点评： 判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看 一种量变化，另

一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件， 再看它们的比 值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量， 用ｋ表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示： y

= K （一定）。

x

例 2 、（判断是否成正比例） 练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？ 分析与解： 根据正比例的意义， 看两个变量的比值是否一定， 如果两个变量的比值一定， 那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。 买练习本的数量和总价是两种相关联的量， 它们与练习本的单价有下面的关 系：

所以练习本的数量和总价成正比例。

1）图中的点 A 表示时间为 1 分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为

7千米。请你试着描

出其他各点。

2）连接各点，它们在一条直线上吗？

买练习本的总价

数量

练习本的单价（一定）

3）根据图像判断，列车运行2 分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶30 千米大约

分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间相对应的数的比值都是7，即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对照图像，可以根据时

间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，估计时允许有一定的出

入。

（1）描点、连线如图。

2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。

3）根据图像，列车运行2 分半钟时，行驶的路程是17.5 千米；行驶30 千米大约需要4.3 分钟。

例4 、（辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？

分析与解：圆的周长和直径成正比例，而圆的面积和半径却不成正比例。

圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14 ，所以圆的周长和直径成正比例。而圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。

例5 、（反比例的意义）

下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有什么关系？

分析与解：（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。

（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从右往

左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联

的量。（3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如

20 × 12 = 240，30 × 8 = 240，40 × 6 = 240 ??而这个积就是这批零件的

总个数。

通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变

化，相对应的积是一定的，有这样的关系：每小时加工零件的个数× 加工的时间

= 零件的总个数（一定）。所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的

量，它们之间的关系叫做反比例关系。

点评：判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。不要省去任何一步。如果用字母ｘ和ｙ分别表示两种相关联的量，用ｋ表示它们

的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：ｘｙ= K （一定）。

例6 、（判断是否成反比例）总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？分析与解：根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。

每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：每公顷的产量×

公顷数= 总产量（一定）所以每公顷的产量和公顷数成反比例。

例7 、（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。

分析与解：判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显，

和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。和一定，一个加数和另一个加数

不成反比例。因为它们的积不一定。

点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也不是比值一定，它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。

例 8 、（综合题 1）

（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？ （2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？

分析与解： 判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。

（ 1）因为长方形的长 × 宽 = 长方形的面积 （一定），所以长和宽成反比例。 （2）长方形的周长 = （长+宽）× 2 ，长方形的周长一定， 长+宽的和一定， 但不是积一定，所以长和宽不成反比例。

例 9 、（综合题 2） 分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。 （1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数； （2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；

（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。

分析与解： 在大米的总千克数、 每天吃的千克数和天数这三种量中， 当某一种量一定时， 另外两种量

可能成正比例关系， 也可能成反比例关系。 可以根据数量关系式 来判断。

（ 1）因为每天吃的千克数 × 天数 = 大米的总千克数（一定） ，所以大米的总千克数 一定时，每天

吃的千克数和天数成反比例。

大米的总千克数和天数成正比例。

天吃的千克数成正比例。

模拟试题及答案

1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？ 表格 1

表格 2

表格 3 用 60 元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：

2、用一批纸装订练习本，每本 25 页，可以装订 400 本。如果要装订 500 本，每本有 X 页。 题中（ ）量

2）因为

大米的总千克数

天数

每天吃的千克数 （一定），所以每天吃的千克数一定时，

3）因为

大米的总千克数 每天吃的千克数

天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和每

一定，关系式：（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。

3、一间会客室地面用边长0.3 米的正方形地砖铺，需要640 块。如果改用边长0.4 米的正方形地砖，需

要Y 块。

题中（）量一定，关系式：（）○（）＝（）（一定），（）和（）成（）比例。

4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；当高一定

时，（）与（）成（）比例；当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。

5、在被除数、除数、商这三种量中，

当当（）一定时，（

（）一定时，（

）与（）成正比例；

）与（）成反比例；

6、当 a × b ＝c(a、b

、

c 为三种量，且均不为0）。

(）一定，（）与（）成（）比例；

（）一定，（）与（）成（）比例；

（）一定，（）与（）成（）比例；

7、判断。

（1）、工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（）

（2）、图上距离和实际距离成正比例。（）

（3）、X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X－7Y＝0，X和Y不成比例。（）（4）、分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。（）

（5）、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。（）

（6）、两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。（）

（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。（）

（8）在400 米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。（）

（9）工作总量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。（）

（10 ）正方体的棱长和体积成正比例。（）

（11）被除数一定，除数和商成反比例。（）

（12 ）圆的周长和它的直径成正比例。（）

8、判断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。

（1）、装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（）。

（2）、正方形的边长和周长（）。

（3）、水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（）。

（4）、房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（）。

（5）、在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（）。

（6）、在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（）。9、思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说：“明明的体重和身高成正比

例。”你认为小张的说法对吗？为什么？

10、某造纸厂每小时造纸 1.5 吨， 2小时、 3小时┈┈各造纸多少吨？

1造纸时间 / 时 1

2

3

4

造纸吨数 / 吨

1.5

2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。

3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？ 4）根据图像判断， 5 小时造纸多少吨？

参考答案：

1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？

数量 / 本 1 3 6 8 10 20

总价 / 元

4

12

24

32

40

80

4

12

24

= 4 ， = 4 ， = 4 1 3 6

总价 因为 = 数量（一定） ，所以数量一定时，总价和单价成正比例。

单价

因为

总价 数量

单价（一定），所以单价一定时，总价和数量成正比例。

单价 / 元 1.5 2 3 4 5 6

总价 / 元

6

8

12

16

20

24

表格 2

6

1.5

= 4 82

= 4 ， 12

= 4

3

吨数/吨

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cwye.html