2014挑战中考数学压轴题经典版

目录

第一部分函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题

例2 2012年苏州市中考第29题

例3 2012年黄冈市中考第25题

例4 2010年义乌市中考第24题

例5 2009年临沂市中考第26题

例6 2008年苏州市中考第29题

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题

例2 2012年扬州市中考第27题

例3 2012年临沂市中考第26题

例4 2011年湖州市中考第24题

例5 2011年盐城市中考第28题

例6 2010年南通市中考第27题

例7 2009年江西省中考第25题

1.3 因动点产生的直角三角形问题

例1 2013年山西省中考第26题

例2 2012年广州市中考第24题

例3 2012年杭州市中考第22题

例4 2011年浙江省中考第23题

例5 2010年北京市中考第24题

例6 2009年嘉兴市中考第24题

例7 2008年河南省中考第23题

1.4 因动点产生的平行四边形问题

例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题

例2 2012年福州市中考第21题

例3 2012年烟台市中考第26题

例4 2011年上海市中考第24题

例5 2011年江西省中考第24题

例6 2010年山西省中考第26题

例7 2009年江西省中考第24题

1.5 因动点产生的梯形问题

例1 2012年上海市松江中考模拟第24题

例2 2012年衢州市中考第24题

例4 2011年义乌市中考第24题

例5 2010年杭州市中考第24题

例7 2009年广州市中考第25题

1.6 因动点产生的面积问题

例1 2013年苏州市中考第29题

例2 2012年菏泽市中考第21题

例3 2012年河南省中考第23题

例4 2011年南通市中考第28题

例5 2010年广州市中考第25题

例6 2010年扬州市中考第28题

例7 2009年兰州市中考第29题

1.7 因动点产生的相切问题

例1 2013年上海市杨浦区中考模拟第25题

例2 2012年河北省中考第25题

例3 2012年无锡市中考第28题

1.8 因动点产生的线段和差问题

例1 2013年天津市中考第25题

例2 2012年滨州市中考第24题

例3 2012年山西省中考第26题

第二部分图形运动中的函数关系问题

2.1 由比例线段产生的函数关系问题

例1 2013年宁波市中考第26题

例2 2012年上海市徐汇区中考模拟第25题

例3 2012年连云港市中考第26题

例4 2010年上海市中考第25题

2.2 由面积公式产生的函数关系问题

例1 2013年菏泽市中考第21题

例2 2012年广东省中考第22题

例3 2012年河北省中考第26题

例4 2011年淮安市中考第28题

例5 2011年山西省中考第26题

例6 2011年重庆市中考第26题

第三部分图形运动中的计算说理问题

3.1 代数计算及通过代数计算进行说理问题

例1 2013年南京市中考第26题

例2 2013年南昌市中考第25题

3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题

例1 2013年上海市黄浦区中考模拟第24题

例2 2013年江西省中考第24题

声明

选自华东师范大学出版社出版的《挑战中考数学压轴题》（含光盘）一书。该书收录当年全国各地具有代表性的中考数学压轴题，并把它们分为4部分、24小类。该书最大的特色是用几何画板和超级画板做成电脑课件，并为每一题录制了视频讲解，让你在动态中体验压轴题的变与不变，获得清晰的解题思路，完成满分解答，拓展思维训练。

《挑战中考数学压轴题》自出版以来广受读者欢迎，被评为优秀畅销图书,成为“中考压轴题”类第一畅销图书。在上海、北京、江苏、浙江等省市的名牌初中的毕业班学生中，几乎人手一本，成为冲刺名牌高中必备用书。

由于格式问题，该书最具特色的电脑课件和视频文件在此无法一并附上，敬请原谅。

第一部分 函数图象中点的存在性问题

1.1 因动点产生的相似三角形问题

例1 2013年上海市中考第24题

如图1，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线y ＝ax 2＋bx （a ＞0）经过点A 和x 轴正半轴上的点B ，AO ＝BO ＝2，∠AOB ＝120°．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）连结OM ，求∠AOM 的大小；

（3）如果点C 在x 轴上，且△ABC 与△AOM 相似，求点C 的坐标．

图1

思路点拨

1．第（2）题把求∠AOM 的大小，转化为求∠BOM 的大小．

2．因为∠BOM ＝∠ABO ＝30°，因此点C 在点B 的右侧时，恰好有∠ABC ＝∠AOM ． 因为∠AOB ＝120°,OA=OB ,两角平分60度。

3．根据夹角相等对应边成比例，分两种情况讨论△ABC 与△AOM 相似． 满分解答

（1）如图2，过点A 作AH ⊥y 轴，垂足为H ．

在Rt △AOH 中，AO ＝2，∠AOH ＝30°， 所以AH ＝1，OH ＝3．所以A (1,3)-．

因为抛物线与x 轴交于O 、B (2,0)两点，

设y ＝ax (x －2)，代入点A (1,3)-，可得

3a =

． 图2 所以抛物线的表达式为23323(2)y x x x x =-=-． （2）由2232333(1)3333

y x x x =-=--， 得抛物线的顶点M 的坐标为3(1,)-．所以3tan BOM ∠=． 所以∠BOM ＝30°．所以∠AOM ＝150°．

（3）由A (1,3)-、B (2,0)、M 3(1,)-

， 得3tan ABO ∠=，23AB =有两点间的距离公式可知，，23OM =．

所以∠ABO ＝30°，3OA OM =． 因此当点C 在点B 右侧时，∠ABC ＝∠AOM ＝150°．

△ABC 与△AOM 相似，存在两种情况：

①如图3，当

3BA OA BC OM ==时，23233

BC ===．此时C (4,0)． ②如图4，当3BC OA BA OM ==时，33236BC BA ==?=．此时C (8,0)． 图3 图4

考点伸展

在本题情境下，如果△ABC 与△BOM 相似，求点C 的坐标．

如图5，因为△BOM 是30°底角的等腰三角形，∠ABO ＝30°，因此△ABC 也是底角为30°的等腰三角形，AB ＝AC ，根据对称性，点C 的坐标为(－4,0)．

图5

动感体验

请打开超级画板文件名“13上海24”，拖动点C 在x 轴上运动，可以体验到，点C 在点B 的右侧，有两种情况，△ABC 与△AOM 相似．点击按钮的左部和中部，可到达相似的准确位置。

例2 2012年苏州市中考第29题

如图1，已知抛物线211(1)444b y x b x =

-++（b 是实数且b ＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A 、B （点A 位于点B 是左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．

（1）点B 的坐标为______，点C 的坐标为__________（用含b 的代数式表示）； （2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题中，等腰直角三角形PBC 暗示了点P 到两坐标轴的距离相等．

2．联结OP ，把四边形PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b 的式子表示．

3．第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经过点A 与x 轴垂直的直线上．

满分解答

（1）B 的坐标为(b , 0)，点C 的坐标为(0,

4

b )． （2）如图2，过点P 作PD ⊥x 轴，PE ⊥y 轴，垂足分别为D 、E ，那么△PDB ≌△PEC ． 因此PD ＝PE ．设点P 的坐标为(x, x)．

如图3，联结OP ．

所以S 四边形PCOB ＝S △PCO ＋S △PBO ＝1152428

b x b x bx ??+??=＝2b ． 解得165x =．所以点P 的坐标为(1616,55)． 图2 图3

（3）由2111(1)(1)()4444b y x b x x x b =-++=--，得A (1, 0)，OA ＝1．

①如图4，以OA 、OC 为邻边构造矩形OAQC ，那么△OQC ≌△QOA ． 当BA QA QA OA =，即2QA BA OA =?时，△BQA ∽△QOA ． 所以2()14

b b =-．解得843b =±．所以符合题意的点Q 为(1,23+)． ②如图5，以OC 为直径的圆与直线x ＝1交于点Q ，那么∠OQC ＝90°。

因此△OCQ ∽△QOA ．

当BA QA QA OA

=时，△BQA ∽△QOA ．此时∠OQB ＝90°． 所以C 、Q 、B 三点共线．因此BO QA CO OA =，即1

4

b QA b =．解得4QA =．此时Q (1,4)．

图4 图5 考点伸展

第（3）题的思路是，A 、C 、O 三点是确定的，B 是x 轴正半轴上待定的点，而∠QOA 与∠QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况．

这样，先根据△QOA 与△QOC 相似把点Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B 的位置．

如图中，圆与直线x ＝1的另一个交点会不会是符合题意的点Q 呢？

如果符合题意的话，那么点B 的位置距离点A 很近，这与OB ＝4OC 矛盾．

动感体验

请打开几何画板文件名“12苏州29”，拖动点B 在x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形PCOB 的面积等于2b 的时刻．双击按钮“第（3）题”，拖动点B ，可以体验到，存在∠OQA ＝∠B 的时刻，也存在∠OQ ′A ＝∠B 的时刻．

例3 2012年黄冈市中考模拟第25题

如图1，已知抛物线的方程C 1：

1(2)()y x x m m

=-+- (m ＞0)与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．

（1）若抛物线C 1过点M (2, 2)，求实数m 的值；

（2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积； （3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使得BH ＋EH 最小，求出点H 的坐标；

（4）在第四象限内，抛物线C 1上是否存在点F ，使得以点B 、C 、F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

图1 思路点拨

1．第（3）题是典型的“牛喝水”问题，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小．

2．第（4）题的解题策略是：先分两种情况画直线BF ，作∠CBF ＝∠EBC ＝45°，或者作BF //EC ．再用含m 的式子表示点F 的坐标．然后根据夹角相等，两边对应成比例列关于m 的方程． 满分解答

（1）将M (2, 2)代入1(2)()y x x m m =-

+-，得124(2)m m

=-?-．解得m ＝4． （2）当m ＝4时，2111(2)(4)2442

y x x x x =-+-=-++．所以C (4, 0)，E (0, 2)． 所以S △BCE ＝1162622

BC OE ?=??=． （3）如图2，抛物线的对称轴是直线x ＝1，当H 落在线段EC 上时，BH ＋EH 最小． 设对称轴与x 轴的交点为P ，那么HP EO CP CO

=． 因此234HP =．解得32HP =．所以点H 的坐标为3(1,)2

． （4）①如图3，过点B 作EC 的平行线交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′．

由于∠BCE ＝∠FBC ，所以当CE BC CB BF

=，即2BC CE BF =?时，△BCE ∽△FBC ． 设点F 的坐标为1(,(2)())x x x m m -+-，由''FF EO BF CO =，得1(2)()22x x m m x m

+-=+． 解得x ＝m ＋2．所以F ′(m ＋2, 0)． 由'CO BF CE BF =244m BF m +=+．所以2(4)4m m BF ++=

由2BC CE BF =?，得222

(4)4(2)4m m m m +++=+?． 整理，得0＝16．此方程无解．

图2 图3 图4

②如图4，作∠CBF ＝45°交抛物线于F ，过点F 作FF ′⊥x 轴于F ′，

由于∠EBC ＝∠CBF ，所以BE BC BC BF

=，即2BC BE BF =?时，△BCE ∽△BFC ． 在Rt △BFF ′中，由FF ′＝BF ′，得1(2)()2x x m x m

+-=+． 解得x ＝2m ．所以F ′(2,0)m ．所以BF ′＝2m ＋2，2(22)BF m =+．

由2BC BE BF =?，得2(2)222(22)m m +=+．解得222m =±

综合①、②，符合题意的m 为222+． 考点伸展

第（4）题也可以这样求BF 的长：在求得点F ′、F 的坐标后，根据两点间的距离公式求BF 的长．

动感体验

请打开几何画板文件名“12黄冈25”，拖动点C 在x 轴正半轴上运动，观察左图，可以体验到，EC 与BF 保持平行，但是∠BFC 在无限远处也不等于45°．观察右图，可以体验到，∠CBF 保持45°，存在∠BFC ＝∠BCE 的时刻．

例4 2010年义乌市中考第24题

如图1，已知梯形OABC ，抛物线分别过点O （0，0）、A （2，0）、B （6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M 的坐标；

（2）将图1中梯形OABC 的上下底边所在的直线OA 、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O 1、A 1、C 1、B 1，得到如图2的梯形O 1A 1B 1C 1．设梯形O 1A 1B 1C 1的面积为S ，A 1、 B 1的坐标分别为 (x 1，y 1)、(x 2，y 2)．用含S 的代数式表示x 2－x 1，并求出当S =36时点A 1的坐标；

（3）在图1中，设点D 的坐标为(1，3)，动点P 从点B 出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC 运动，动点Q 从点D 出发，以与点P 相同的速度沿着线段DM 运动．P 、Q 两点同时出发，当点Q 到达点M 时，P 、Q 两点同时停止运动．设P 、Q 两点的运动时间为t ，是否存在某一时刻t ，使得直线PQ 、直线AB 、x 轴围成的三角形与直线PQ 、直线AB 、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．

图1 图2 动感体验

请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I 上下运动，观察图形和图象，可以体验到，x 2－x 1随S 的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q 在DM 上运动，可以体验到，如果∠GAF ＝∠GQE ，那么△GAF 与△GQE 相似．

思路点拨

1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．

2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．

3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．

满分解答

（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =

-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62

x x S x x -+-?3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484

y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()38

4x x x x ??-+-=????．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=??-=? 解得126,8.x x =??=? 此时点A 1的坐标为（6，3）．

（3）设直线AB与PQ交于点G，直线AB与抛物线的对称轴交于点E，直线PQ与x 轴交于点F，那么要探求相似的△GAF与△GQE，有一个公共角∠G．

在△GEQ中，∠GEQ是直线AB与抛物线对称轴的夹角，为定值．

在△GAF中，∠GAF是直线AB与x轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ≠∠GAF．

因此只存在∠GQE＝∠GAF的可能，△GQE∽△GAF．这时∠GAF＝∠GQE＝∠PQD．

由于

3

tan

4

GAF

∠=，tan

5

DQ t

PQD

QP t

∠==

-

，所以

3

45

t

t

=

-

．解得

20

7

t=．

图3 图4

考点伸展

第（3）题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．

例5 2009年临沂市中考第26题

如图1，抛物线经过点A (4，0)、B （1，0)、C （0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P 是抛物线上的一个动点，过P 作PM ⊥x 轴，垂足为M ，是否存在点P ，使得以

A 、P 、M 为顶点的三角形与△OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点P 的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）在直线AC 上方的抛物线是有一点D ，使得△DCA 的面积最大，求出点D 的坐标． ,

图1 思路点拨

1．已知抛物线与x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．

2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长．

3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程．

4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．

满分解答

（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为

)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得2

1-=a ．所以抛物线的解析式为22

521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ． （2）设点P 的坐标为))4)(1(2

1,(---x x x ． ①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(2

1---=x x PM ，x AM -=4． 如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x

x x ．解得5=x 不合题意． 如果21==CO AO PM AM ，那么2

14)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ． 此时点P 的坐标为（2，1）．

②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(2

1--=x x PM ，4-=x AM ． 解方程24)

4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．

解方程

2

1

4

)4

)(

1

(

2

1

=

-

-

-

x

x

x

，得2

=

x不合题意．

③如图4，当点P 在点B的左侧时，x＜1，)4

)(

1

(

2

1

-

-

=x

x

PM，x

AM-

=4．

解方程2

4

)4

)(

1

(

2

1

=

-

-

-

x

x

x

，得3

-

=

x．此时点P的坐标为)

14

,3

(-

-．

解方程

2

1

4

)4

)(

1

(

2

1

=

-

-

-

x

x

x

，得0

=

x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)

14

,3

(-

-或)2

,5(-．

图2 图3 图4

（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为2

2

1

-

=x

y．

设点D的横坐标为m)4

1(<

2

5

2

1

,

(2-

+

-m

m

m，点E的

坐标为)2

2

1

,

(-

m

m．所以)2

2

1

(

)2

2

5

2

1

(2-

-

-

+

-

=m

m

m

DE m

m2

2

1

2+

-

=．

因此4

)

2

2

1

(

2

1

2?

+

-

=

?

m

m

S

DAC

m

m4

2+

-

=4

)2

(2+

-

-

=m．

当2

=

m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．

图5 图6

考点伸展

第（3）题也可以这样解：

如图6，过D点构造矩形OAMN，那么△DCA的面积等于直角梯形CAMN的面积减去△CDN和△ADM的面积．

设点D的横坐标为（m，n）)4

1(<

42)4(2

1)2(214)22(21++-=--+-?+=

n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=．

动感体验

请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P 在抛物线上运动，可以体验到，△P AM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在B 左侧”、“ P 在x 轴上方”和“P 在A 右侧”，可以显示△P AM 与△OAC 相似的三个情景．

双击按钮“第(3)题”， 拖动点D 在x 轴上方的抛物线上运动，观察△DCA 的形状和面积随D 变化的图象，可以体验到，E 是AC 的中点时，△DCA 的面积最大．

例6 2008年苏州市中考第29题

图1

思路点拨

1．求等腰直角三角形OAB 斜边上的高OH ，解直角三角形POH 求k 、b 的值．

2．以DN 为边画正方形及对角线，可以体验到，正方形的顶点和对角线的交点中，有符合题意的点E ，写出点E 的坐标，代入抛物线的解析式就可以求出a ．

3．当E 在x 轴上方时，∠GNP ＝45°，△POB ∽△PGN ，把PB PG ?转化为14PO PN ?=．

4．当E 在x 轴下方时，通过估算得到PB PG ?大于2．

满分解答

（1）1OH =，3k =23b = （2）由抛物线的解析式(1)(5)y a x x =+-，得

点M 的坐标为(1,0)-，点N 的坐标为(5,0)． 因此MN 的中点D 的坐标为（2，0），DN ＝3．

因为△AOB 是等腰直角三角形，如果△DNE 与△AOB 相似，那么△DNE 也是等腰直角三角形．

①如图2，如果DN 为直角边，那么点E 的坐标为E 1（2，3）或E 2（2，－3）． 将E 1（2，3）代入(1)(5)y a x x =+-，求得1

3

a =-． 此时抛物线的解析式为21145(1)(5)3333

y x x x x =-+-=-++． 将E 2（2，－3）代入(1)(5)y a x x =+-，求得31=a ．

此时抛物线的解析式为353431)5)(1(312--=-+=

x x x x y ． ②如果DN 为斜边，那么点E 的坐标为E 311(3,1)22或E 4)2

11,213(-． 将E 311(3,1)22代入(1)(5)y a x x =+-，求得29

a =-． 此时抛物线的解析式为222810(1)(5)9999

y x x x x =-+-=-++． 将E 4)211,213(-代入(1)(5)y a x x =+-，求得9

2=a ． 此时抛物线的解析式为9109892)5)(1(922--=-+=x x x x y ．

图2 图3 对于点E 为E 1（2，3）和E 311(3,1)22

，直线NE 是相同的，∠ENP ＝45°． 又∠OBP ＝45°，∠P ＝∠P ，所以△POB ∽△PGN ． 因此2101472<=?=?=?PN PO PG PB ． 对于点E 为E 2（2，－3）和E 4)2

1

1,2

13(-，直线NE 是相同的． 此时点G 在直线5=x 的右侧，33

14>PG ． 又334>PB ，所以21034143343314>?=?>?PG PB ． 考点伸展

在本题情景下，怎样计算PB 的长？

如图3，作AF ⊥AB 交OP 于F ，那么△OBC ≌△OAF ，OF ＝OC 233PF ＝2233 P A 3323)313

=-=，所以31PB =． 动感体验

请打开几何画板文件名“08苏州29”，拖动表示a 的点在y 轴上运动，可以体验到，当抛物线经过点E 1和E 3时，直线N E 1、N E 3和直线AB 交于同一个点G ，此时△POB ∽△PGN ．当抛物线经过点E 2和E 4时，直线NE 2、NE 4和直线AB 交于同一个点G ，可以体验到，这个点G 在点N 右侧较远处．

1.2 因动点产生的等腰三角形问题

例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题

如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，点D为边BC的中点，DE⊥BC 交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点，点Q为边AC上的一动点，且∠PDQ＝90°．（1）求ED、EC的长；

（2）若BP＝2，求CQ的长；

（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若△PDF为等腰三角形，求BP的长．

图1 备用图

思路点拨

1．第（2）题BP＝2分两种情况．

2．解第（2）题时，画准确的示意图有利于理解题意，观察线段之间的和差关系．

3．第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ．

满分解答

（1）在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，所以BC＝10．

在Rt△CDE中，CD＝5，所以

315

tan5

44

ED CD C

=?∠=?=，

25

4

EC=．

（2）如图2，过点D作DM⊥AB，DN⊥AC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是△ABC的两条中位线，DM＝4，DN＝3．

由∠PDQ＝90°，∠MDN＝90°，可得∠PDM＝∠QDN．

因此△PDM∽△QDN．

所以

4

3

PM DM

QN DN

==．所以

3

4

QN PM

=，

4

3

PM QN

=．

图2 图3 图4 ①如图3，当BP＝2，P在BM上时，PM＝1．

此时

33

44

QN PM

==．所以

319

4

44

CQ CN QN

=+=+=．

②如图4，当BP＝2，P在MB的延长线上时，PM＝5．

此时

315

44

QN PM

==．所以

1531

4

44

CQ CN QN

=+=+=．

（3）如图5，如图2，在Rt△PDQ中，

3 tan

4

QD DN

QPD

PD DM

∠===．

在Rt△ABC中，

3

tan

4

BA

C

CA

∠==．所以∠QPD＝∠C．

由∠PDQ＝90°，∠CDE＝90°，可得∠PDF＝∠CDQ．因此△PDF∽△CDQ．

当△PDF是等腰三角形时，△CDQ也是等腰三角形．

①如图5，当CQ＝CD＝5时，QN＝CQ－CN＝5－4＝1（如图3所示）．

此时

44

33

PM QN

==．所以

45

3

33

BP BM PM

=-=-=．

②如图6，当QC＝QD时，由cos

CH

C

CQ

=，可得

5425

258

CQ=÷=．

所以QN＝CN－CQ＝

257

4

88

-=（如图2所示）．

此时

47

36

PM QN

==．所以

725

3

66

BP BM PM

=+=+=．

③不存在DP＝DF的情况．这是因为∠DFP≥∠DQP＞∠DPQ（如图5，图6所示）．

图5 图6

考点伸展

如图6，当△CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到△BDP也是等腰

三角形，PB＝PD．在△BDP中可以直接求解

25

6 BP=．

动感体验

请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．

请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，△PDM 与△QDN保持相似．观察△PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DF＝DP的情况．

例2 2012年扬州市中考第27题

很经典，要掌握。

如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴．

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）设点P是直线l上的一个动点，当△P AC的周长最小时，求点P的坐标；

（3）在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时△P AC的周长最小．2．第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性．分类讨论。

满分解答

（1）因为抛物线与x轴交于A(－1,0)、B(3, 0)两点，设y＝a(x＋1)(x－3)，

代入点C(0 ,3)，得－3a＝3．解得a＝－1．

所以抛物线的函数关系式是y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3．

（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x＝1．

当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．

设抛物线的对称轴与x轴的交点为H．

由BH PH

BO CO

=，BO＝CO，得PH＝BH＝2．

所以点P的坐标为(1, 2)．

图2 （3）点M的坐标为(1, 1)、(1,6)、(1,6

-)或(1,0)．

考点伸展

第（3）题的解题过程是这样的：

设点M的坐标为(1,m)．首先用含有未知数的式子表示出点的坐标。然后用含有未知数的式子表示出线段的长度。然后找关系，列方程。有几个未知数，就需要几个方程。如果求最值，用配方法。

在△MAC中，AC2＝10，MC2＝1＋(m－3)2，MA2＝4＋m2．

①如图3，当MA＝MC时，MA2＝MC2．解方程4＋m2＝1＋(m－3)2，得m＝1．

此时点M的坐标为(1, 1)．

②如图4，当AM＝AC时，AM2＝AC2．解方程4＋m2＝10，得6

m=±．此时点M的坐标为(1,6)或(1,6

-)．

③如图5，当CM＝CA时，CM2＝CA2．解方程1＋(m－3)2＝10，得m＝0或6．

当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)．

图3 图4 图5、

动感体验

请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，P A＋PC最小，△P AC的周长最小．拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察△MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线．

例3 2012年临沂市中考第26题

已搞定

如图1，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．

（1）求点B 的坐标；

（2）求经过A 、O 、B 的抛物线的解析式；

（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P 、O 、B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

图1

思路点拨

1．用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验．

2．本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P 重合在一起．

满分解答

（1）如图2，过点B 作BC ⊥y 轴，垂足为C ．

在Rt △OBC 中，∠BOC ＝30°，OB ＝4，所以BC ＝2，23OC =．

所以点B 的坐标为(2,23)--．

（2）因为抛物线与x 轴交于O 、A (4, 0)，设抛物线的解析式为y ＝ax (x －4)， 代入点B (2,23)--，232(6)a -=-?-．解得3a =-． 所以抛物线的解析式为23323(4)y x x x x =--=-+． （3）抛物线的对称轴是直线x ＝2，设点P 的坐标为(2, y )．

①当OP ＝OB ＝4时，OP 2＝16．所以4+y 2＝16．解得23y =±．

当P 在(2,23)时，B 、O 、P 三点共线（如图2）．

②当BP ＝BO ＝4时，BP 2＝16．所以224(23)16y ++=．解得1223y y ==-． ③当PB ＝PO 时，PB 2＝PO 2．所以22224(23)2y y ++=+．解得23y =-． 综合①、②、③，点P 的坐标为(2,23)-，如图2所示．

图2 图3

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