六年级下册奥数讲义-奥数方法：分析综合法

我们解题的过程,就是寻找已知条件和所求问题之间联系的思维过程。这种思维过程有两种,一种是综合法,即从已知出发,由因导果,逐步推出所求的问题；另一种是分析法,即从所求问题出发,执果索因,步步逆推,直到所需条件都已知为止。而把这两种方法结合起来的思考方法就是分析综合法,即通过边分析,边综合,在分析的时候,随时考虑已知条件,使中间问题向条件靠拢；在综合的时候也要随时注意搭配已知条件,向问题引申。用这种方法解答一些较难的问题时容易奏效。

[例1] 一类自然数,它们各数位上数的和为2003,那么这类自然数中最小的一个是

[例2] 如图l所示,在一圆形跑道上,甲从A

点、乙从B点同时出发反向而行,8分钟后两人相遇,

再过6分钟甲到B点,又过10分钟两人再次相遇,甲

环行一周需

分析与解答

从第一次相遇到第二次相遇用了6+10=16(分

钟),两人共行一圈。从出发到两人第一次相遇用了8

分钟,所以两人共行半圈,即从A到B是半圈。甲从A到曰用了8+6=14(分钟),甲环行一周需14×2=28(分钟)。

[例3] 有11只杯口向上的杯子放在桌上,每次将其中的4只杯子同时“翻转”,使其杯口向下。问能不能经过这样有限多次的“翻转”,使11 只杯口全部向下?为什么?

思路剖析

对每只杯口向上的杯子,只有“翻转”一次、三次、以后才能使杯口向下,即对每只杯子,只有“翻转”奇数次后,其杯口才能向下。现在要求8 只杯口全部朝下,那么每只杯子必须经过奇数次“翻转”,根据前面的性质,这九个奇数的和一定是个奇数,即只有经过奇数次“翻转”才能使11 只杯子的杯口朝下。

另外,每次只能同时“翻转”4只杯子。这就是说,不管如何“翻转”,最后“翻转”的总次数一定是4的倍数。4是偶数,所以“翻转”的总次数是个偶数。前面要求“翻转”总次数必须是奇数,这里又说它一定是偶数,前后矛盾,所以按要求无论怎样“翻转”,都不能使11只杯口全部向下。

解答

每只杯口只有经过奇数次“翻转”才能由杯口朝上的状况变为杯口朝下。另外,每次必须是4只杯子同时“翻转”,所以无论如何“翻转”,最终“翻转”的总次数一定是偶数。

根据任一奇数一定不能与某一偶数相等的性质,因此,按要求不可能经过有限次“翻转”后使杯口全部向下。

[例4] 一个公司有两个部门,生产部门与销售部门人数的比是5: 3；如果从生产部门调14人到销售部门,则生产部门与销售部门人数的比是1:2。原来两个部门各有多少人?

思路剖析

本题用综合法考虑,由题中条件“两个部门的人数之比是5:3”知:生

产部门人数占两部门总人数的

同理,可以推出:从生产部门调14人到销售部门后,生产部门人数占

两部门总人数的

解答

依题意可知:两部门总人数为

e例5] 斯利哈拉是印度古代数学家。下面这道趣题,就是有名的“斯利哈拉问题”:有一群蜜蜂,其中落在杜鹃花上,落在桅子花上,这两者差的3倍飞向月季花,最后剩下一只小蜜蜂在芳香的茉莉花和玉兰

花之间飞来飞去,问共有几只蜜蜂?

思路剖析

本题用分析法解答,思路如下:

(1)要求共有几只蜜蜂,关键是要求出“最后一只蜜蜂”对应的分率；

(2)要求“最后一只蜜蜂”对应的分率,必须求出落在杜鹃花、桅子花和飞向月季花的三种蜜蜂一共占的分率；

(3)因为前两种蜜蜂所占分率都是已知的,所以要求三种蜜蜂一共占的分率,必须先求出飞向月季花的蜜蜂所占的分率。

[例6] 快、中、慢三辆车从同一地点同时出发,沿同一公路追赶前面的一个骑车人。这三辆车分别用6分钟,10分钟、12分钟追上了骑车人。现在知道快车每小时行24千米,中车每小时行20千米,那么,慢车每小时行多少千米?

思路剖析

本题较为复杂,结合分析和综合两种方法进行考虑,为了便于分析, 用图示法将题中条件和问题表示,如图2所示。

用分析法考虑:

(1)已知慢车用12分钟追上骑车人,要求慢车每小时行多少千米,只需要知道慢车在这段时间内所行的路程,而要求慢车从发车到追上骑车人所行的路程,需要知道中车追上骑车人时所行的路程,和骑车人最后2 分钟所走的路程。

(2)根据中车每小时行20千米,10分钟追上骑车人,可以求出中车追上骑车人时所行的路程。

(3)要求骑车人最后2分钟所走的路程,只需要知道骑车人的速度。

(4)同时已知骑车人从被快车追上到被中车追上相隔10-6=4分钟,要求骑车人的车速,只需知道在这段时间内他所走的路程。

(5)已知快车每小时行24千米,可求出快车6分钟行的路程,同样,可求出中车10分钟行的路程。

(6)算出了中车10分钟行的路程和快车6分钟行的路程,可以求出骑车人相继被快车和中车追上相隔的4分钟内所行的路程。

我们根据上述分析和综合分析(图3),问题得到解决。

答:慢车每小时行19干米o

[例7】甲、乙两人沿铁路相向而行,速度相同,一列火车从甲身边开

过用了8秒,5分钟后火车又从乙身边开过,用了7秒钟,那么再过多少

分,甲、乙两个相遇?

思路剖析

在这道题目里,已知条件只有3个时间数据,既不知道距离又不知道甲、乙两人速度,看上去,似乎很难用算术方法解答。但其实本题只是一

道条件隐蔽,综合性较强的行程问题,我们不妨先作出如图4所示的示意图,然后用分析综合法考虑,就不难得出本题答案

解答

依题意,火车与甲之间可视为追及,从火车头追上甲,到火车车尾离

开甲共花了8秒,所以火车与甲的速度差为每秒火车长；

火车与乙可视为相遇,从火车头与乙相遇到火车车尾离开乙,花了7 秒,所以火车与乙的速度和为每秒火车长。

因为甲、乙两人速度相同,所以火车与乙的速度和等于火车与甲的速度和。根据(速度和+速度差)÷2=快速；(速度和一速度差)÷2=慢速。

丁得火车的速度为每秒(列车长),甲、乙步行的速度为

每秒(列车长)。因此；火车速度是人步行速度的15 倍。

当火车从甲身边开过后,又从乙身边开过,用了5分钟时间,这段路

程由人步行则需5×15=75(分钟),由于火车从甲身边开过后到从乙身边开过的这段时间内,甲也向乙走了5分钟,因此,火车从乙身边开过时, 甲、乙之间只相距75-5=70(分钟)人步行的路程,因为这段路程是速度相同的甲、乙两人同时走完的,所以只需70÷2=35(分钟)两人即可相遇。

于是得出下式:

答:再过35分钟,甲、乙两人相遇。

点津

在运用分析综合法解题时必须始终关注“问题所求”的方向,即在分析的时候随时考虑已知条件,使中间问题向条件靠拢；在综合的时候,也要随时注意搭配已知条件,向问题引申,在探索解题方法的过程中分清哪些是“通路”,哪些是“弯路”,哪些是“死路”,从而找到解题的正确方法。

1．有一个数学兴趣小组一次竞赛的平均分数恰巧为88分,总分只知道是四位数□ 57 □,其中有两个数字看不清,你能据此推断出参加竞赛的人数吗?

2．有甲、乙两条船在同一条河上相距128公里,若两船相向而行,则2 小时相遇；若同向而行,则16小时甲赶上乙,问两船在静水中的速度各是多少?

3．有一个用棋子围成的三层空心方阵,最外一层每边有棋子17个, 求摆这个方阵共用了多少个棋子?

4．警察追小偷,开始追时警察与小偷相距20米,警察跑了45米后, 与小偷还相距8米,问警察还要跑多少米才能追上小偷?

5．甲、乙两人计算同一道题,甲算出的得数比正确结果少10,而正确结果是乙的得数的甲得数是乙得数的求这个正确结果是多少?

6．小明骑自行车去外婆家,原计划用5小时30分,由于途中有千米的道路不平,走这段不平的路时,速度相当于原计划速度的因此,晚到了12分钟,请问小明家和外婆家相距多少千米?

7．有一个工程,甲乙两队合做要12天完成,如果甲队先做3天,然后

由乙队做1天,则共完成这项工程的15％,如果把这项工程由甲队单独完成,需要多少天才能完成?

8．知青下乡时,某一知青从甲村去乙村,他从甲村走到乙村需2天,第一天走全程的多72千米,第二天走的路程等于第一天的求甲乙

两村的距离?

9．某一学校甲、乙两个班到离校24千米的博物馆参观,有一辆汽车,一次只能够乘坐一个班的学生,为了尽快地到达博物馆,两个班商定,由甲班先坐车,乙班先步行,同时出发,甲班学生在中途下车步行去博物馆,汽车立即返回接在途中步行的乙班学生,已知甲、乙两班学生步行速度相同,而汽车的速度是步行速度的7倍,问汽车应在距博物馆多少千米处返回接乙班学生,才能使两班学生同时到达博物馆(学生上、下车及汽车换向的时间都不计算)?

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