复变函数期末考试复习题及答案详解

《复变函数》考试试题（一） dz1、 ?|z?z?1(z?z)n?0|__________.（n为自然数） 022.sinz?cos2z? _________.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?14.设

z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

?5.幂级数

?nzn的收敛半径为__________.

n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析，则称它是__________. lim1?z2?...?zn7.若nlim??zn??z，则n??n?______________.

zRes(ezn,0)?8.

________，其中n为自然数.

9. sinzz的孤立奇点为________ .

limf(10.若z0是f(z)z?zz)?___的极点，则0.

三.计算题（40分）：

f(z)?11. 设

(z?1)(z?2)，求f(z)在D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

1dz2. ?|z|?1cosz.

2??13. 设

f(z)??3??7C??zd?，其中

C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i).

w?z?14. 求复数

z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常数，那么它在

D内为常数.

2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两

个单值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

《复变函数》考试试题（二）

二. 填空题. (20分)

1

1. 设z??i，则|z|?__,argz?__,z?__

2.

设

f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C，则

zlim?1?if(z)?________.

3.

?dz|z?z0|?1(z?zn?_________.（n为自然数）

0)?4. 幂级数

?nzn的收敛半径为__________ .

n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0，则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________.

8. 设f(z)?11?z2，则f(z)的孤立奇点有_________.

9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.

10. Res(z?1z4,1)?____. 三. 计算题. (40分)

1. 求函数

sin(2z3)的幂级数展开式. 2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正

实轴取正实值的一个解析分支，并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点

z?i处的值.

i3. 计算积分：I???i|z|dz，积分路径为（1）单位圆（|z|?1）

的右半圆.

?sinzz?24. 求

(z??dz)22.

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析，试证：f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题（三）

二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________. 2. 函数ez的周期为_________.

2

3. 若zn?21?n?i(1?1n?n)n，则limn??zn?__________.

4. sin2z?cos2z?___________.

dz5. ?|z?z?0|?1(z?zn_________.（n为自然数）

0)?6. 幂级数

?nxn的收敛半径为__________.

n?07. f(z)?1设

z2?1，则f(z)的孤立奇点有__________.

8. 设

ez??1，则z?___. 9. 若z0是

f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.

0z10. Res(ezn,0)?____.

三. 计算题. (40分)

11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.

??2. 试求幂级数?n!nzn的收敛半径. n?n3. 算下列积分：

?ezdzCz2(z2?9)，其中C是|z|?1.

4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分) 1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明：如果|f(z)|在D内为常

数，那么它在D内为常数.

2. 设

f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个正数

R及M，使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题（四）

3

二. 填空题. (20分) 1. 设z?11?i，则Rez?__,Imz?___.

2. 若limzzzn??，则1?z2?...?nn??limn??n?______________.

3. 函数ez

的周期为__________. 4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________ 5. 若函数f(z)在复平面上处处解析，则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________. 7. 设

C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.

8. sinzz的孤立奇点为________.

9. 若z0是

f(z)的极点，则limz?zf(z)?___.

010.

(ezReszn,0)?_____________.

三. 计算题. (40分)

1. 解方程z3?1?0.

2. 设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),?).

3.

?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .

114. 函数f(z)?ez?1?z有哪些奇点？各属何类型（若是极点，指明它

的阶数）.

四. 证明题. (20分)

1. 证明：若函数

f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解

析.

2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.

《复变函数》考试试题（五）

二. 填空题.（20分） 1. 设

z?1?3i，则|z|?__,argz?__,z?__.

4

2. 当z?___时，ez为实数. 3. 设ez??1，则z?___.

4.

ez的周期为___.

5. 设

C:|z|?1，则?C(z?1)dz?___.

6. Res(ez?1z,0)?____.

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为_________. 9. sinzz的孤立奇点为________.

10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则

?1C(z?a)ndz?___.

（n为自然数） 三. 计算题. (40分)

z?11. 求复数z?1的实部与虚部.

2. 计算积分：

I??LRezdz，

在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 2?3.

求积分：I??d?01?2acos??a2，其中0

4.

应用儒歇定理求方程z??(z)，在|z|<1内根的个数，在这里

?(z)在|z|?1上解析，并且|?(z)|?1.

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微.

2. 设

f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数n，以及两个数R

及M，使得当

|z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

5

6、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（ ）

7、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某一条曲线上恒为常

数，则f(z)在区域D内恒等于常数。（ ）

8、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/ f(z)的m阶极点。（ ） 9、如果函数f(z)在D?{z:|z|?1}上解析，且|f(z)|?1(|z|?1)，则

|f(z)|?1(|z|?1)。（ ）

10、limezz????。（ ）

二、填空题（2x10=20分）

1、若znn?sin1?n?i(1?2n)n，则zlim???zn?__________。 2、设f(z)?1sinz，则f(z)的定义域为__________。

3、函数sin z的周期为___________。 4、sin2z?cos2z?________。

??

5、幂级数?nzn的收敛半径为_____________。

n?06、若z0是f(z)的m阶零点且m>1，则z0是f'(z)的______零点。

7、若函数f(z)在整个复平面除去有限个极点外，处处解析，则称它是_______。

8、函数 f(z)?z的不解析点之集为__________。

9、方程20z8?11z3?3z?5?0在单位圆内的零点个数为_________。

、Res(ez10z2?1,1)?_____________。

三、计算题（5x6=30分）

n1、lim?n???2?i??6??. 2、设f(z)??3?2?7??1C??zd?，其中C?{z:|z|?3}，试求f'(1?i). f(z)?ez3、设z2?1，求Res(f(z),?i).

4、求函数

z(z?1)(z?2)在1?|z|?2内的罗朗展式。

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部。 26

6、利用留数定理计算积分???x2?x?2??x4?10x2?9dx。

四、证明题（6+7+7=20分）

1、方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6。 2、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析， u(x,y)等于常数，则f(z)在D内恒等于常数。

3、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。 五、计算题（10分）

求一个单叶函数，去将z平面上的带形区域{z:?2?Imz??}保形

映射为w平面的单位圆盘{w:|w|?1}。

《复变函数》考试试题（八）

二、 判断题（4x10=40分）：

1、若函数f(z)在z0解析，则f(z)在z0的某个邻域内可导。（ ） 2、如果z0是f(z)的本性奇点，则limz?zf(z)一定不存在。（ ）

03、若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在D内连续，则u(x,y)与v(x,y)都在D内连续。( )

4、cos z与sin z在复平面内有界。（ ）

5、若z0是f(z)的m阶零点，则z0是1/f(z)的m阶极点。（ ） 6、若f(z)在z0处满足柯西-黎曼条件，则f(z)在z0解析。（ ） 7、若limz?zf(z)存在且有限，则z0是函数的可去奇点。（ ）

08、若f(z)在单连通区域D内解析，则对D内任一简单闭曲线C都有?Cf(z)dz?0。（ ）

9、若函数f(z)是单连通区域D内的解析函数，则它在D内有任意阶导数。（ ）

27

10、若函数f(z)在区域D内的解析，且在D内某个圆内恒为常数，

则在区域D内恒等于常数。（ ） 二、填空题（4x5=20分）

1、函数ez的周期为__________。 ??2、幂级数?nzn的和函数为__________。

n?03、设f(z)?1z2?1，则f(z)的定义域为___________。???4、nzn的收敛半径为_________。

n?0Res(ez5、zn,0)?_____________。

三、计算题（8x5=40分）： 1、?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz.

2、求Res(eiz1?z2,?i).

?1?i?n?1?in?3、

?2??????2??。 4 设u(x,y)?ln(x2?y2)。求v(x,y)，使得f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足f(1?i)?ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）。

5、求z4?5z?1?0，在|z|<1内根的个数

28

则

z0也是P(z) 的根。

《复变函数》考试试题（九）

一、判断题。（正确者在括号内打√，错误者在括号内打×，2?5=10分）

1．当复数z?0时，其模为零，辐角也为零。 （ ） 2．若zn?10是多项式P(z)?annz?an?1z?????a0（an?0）的根，

（ ）

3．如果函数f(z)为整函数，且存在实数M，使得Ref(z)?M，则f(z)为 一常数。 （ ）

4．设函数f1(z)与f2(z)在区域D内解析，且在D内的一小段弧上相等，

则对任意的z?D，有

f1(z)?f2(z)。 （ ）

5．若z?? 是函数f(z)的可去奇点，则Rez??sf(z)?0。

（ ）

二、填空题（每题2分） 1． i2?i3?i4?i5?i6?____。

2．设z?x?iy?0，且???argz??，??y2?arctanx??2，当29

x?0,y?0时，argz?arctanyx?_______。 3．函数w?1z将z平面上的曲线(x?1)2?y2?1变成w平面上的曲线__________。 4

．

方

程

z4?a4?0(a?0)的

不

同

的

根

为

________________________。

5．(1?i)i__________________________________。 ?6

．

级

数

?[2?(?1)n]zn的收敛半径

为

n?0________________________。

7．cosnz在|z|?n（n为正整数）内零点的个数为

________________________。

8．函数f(z)?6sinz3?z3(z6?6)的零点z?0的阶数为______。 9．设a为函数

f(z)??(z)?(z)的一阶极点，且

?(a)?0,?(a)?0,??(a)?0，则

Rez?asf(z)?___________________。

10．设a为函数

f(z)的m阶极点，则

Ref?(z)z?asf(z)?___________________。 三、计算题。（50分） 1．设

u(x,y)?1ln(x2?y22)。求v(x,y)，使得

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)为解析函数，且满足f(1?i)?12ln2。其中z?D（D为复平面内的区域）。（15分）

2．求下列函数的奇点，并确定其类型（对于极点要指出它们的阶）。（10分）

1z?1 （1） tan2z； （5分） （2）eez?1。（5分）

3．计算下列积分。（15分）

30

（1） ?z19|z|?4(z2?1)4(z4?2)3dz（8分）， （2）??d?01?cos2?（7分）。

4．叙述儒歇定理并讨论方程z7?5z4?z2?2?0在|z|?1内根的个数。（10分）

四．证明题。（20分）

1．设f(z)?u(x,y)?iv(x,y)是上半复平面内的解析函数，证明

f(z)是下半复平面内的解析函数。（10分）

2．设函数

f(z)在|z|?R内

解

析

，

令

M(r)?max|z|?r|f(z)|,(0?r?R)。证明：M(r)在区间[0,R)上是

一个上升函数，且若存在r1及r2（0?r1?r2?R），使

M(r1)?M(r2)，则f(z)?常数。（10分）

《复变函数》试卷(十)

一、填空题。(每题2分) 1、设z?r(cos??isin?)，则

1z?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，

则

zlim?zf(z)?A的充

要

条件是

0___________________。__ ___3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意

一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。

4、设z?a为f(z)的极点，则limz?af(z)?______。

5、设f(z)?zsinz，则z?0是f(z)的______阶零点。

31

6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。

7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲

线是______。 8、设z??sin?6?icos?6，则z的三角表示式为

_____________。__

?9、?40zcoszdz?___________________。

?z10、 设f(z)?ez2，则f(z)在z?0处的留数为_________。 二、计算题。

1、计算下列各题。(9分)

(1) cosi; (2) ln(?2?3i); (3) 33?i 2、求解方程z3?8?0。(7分)

3、设u?x2?y2?xy，验证u是调和函数，并求解析函数

f(z)?u?iv，使之f(i)??1?i。(8分)

4、计算积分。(10分)

(1)

?C(x2?iy)dz，其中C是沿y?x2由原点到点z?1?i的曲

线。

(2)

?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。 5、试将函数f(z)?1(z?1)(z?2)分别在圆环域0?|z|?1和

1?|z|?2内展开为洛朗级数。(8分)

6 、计算下列积分。

(8分)

(1) ?5z?2sin2|z|?2z(z?1)2dz; (2)

?z|z|?4z2(z?1)dz.

7、计算积分???x2??1?x4dx。(8分) 8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)

32

??（1） ?nzn?1 （2）(?1)nznn?1? n?1n!9、讨论f(z)?|z|2的可导性和解析性。(6分) 三、 证明题。

1、设函数f(z)在区域D内解析，|f(z)|为常数，证明f(z)必为

常数。(5分)

2、试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为

实常数。(5分)

《复变函数》考试试卷(十一)

一、填空题。(每题2分)

1、设z?r(cos??isin?)，则zn?_________________。 2、设函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)，A?u0?iv0，z0?x0?iy0，则

zlim?zf(z)?A的充要条件是

0___________________________。

3、设函数f(z)在单连通区域D内解析，则f(z)在D内沿任意一条简单闭曲线C的积分?Cf(z)dz?_______。

4、设z?a为f(z)的可去奇点，则limz?af(z)为。

5、设f(z)?z2(ez2?1)，则z?0是f(z)的______阶零点。 6、设f(z)?11?z2，则f(z)在z?0的邻域内的泰勒展式为_______________________。

33

7、设|z?a|?|z?a|?b，其中a,b为正常数，则点z的轨迹曲线是______。

8、设z?si?n?ico?s，则z的三角表示式为_____________。__

9、?1?i1zezdz?___________________。 10、设f(z)?z2sin1z，则f(z)在z?0处的留数为_________。 二、计算题。

1、计算下列各题。(9分) (1) Ln(?3?4i); (2) e?1??i6; (3) (1?i)1?i

2 求解方程z3?2?0。(7分)

3设u?2(x?1)y，验证u是调和函数，并求解析函数

f(z)?u?iv，使之f(2)??i。(8分)

4、计算积分?1?i0[(x?y)?ix2]dz。积分路径为(1)自原点到1?i的

直线段；(2) 自原点沿虚轴到i，再由i沿水平方向向右到1?i。

(10分) 5、试求f(z)?1z?2在z??1的邻域内的泰勒展开式。(8分) 6、计算下列积分。(8分) (1)

?sinz|z|?2(z??dz; (2)

?z2?2|z|?4z2(z?3)dz.

2)2

7、计算积分?2?d?05?3cos?。(6分)

8、求下列幂级数的收敛半径。(6分)

?? ?(1?i)nzn （2）(n!)2（1）zn ?0?nnn?1n9、设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l,m,n的值。(8分) 三、 证明题。

1设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明

f(z)必为常数。(5分)

34

2试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数。(5分)

35

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