微分几何期末复习题

微分几何复习题

一、填空题

1. 向量r(t)?(t,3t,a)具有固定方向，则a= 。 2. 非零向量r(t)满足?r,r?,r????0的充要条件是 。 3. 若向量函数r(t)满足r(t)?r?(t)?0，则r(t)具有固定 。 4. 曲线r?r(t)的正常点是指满足 的点. 5. 曲线r(t)?(2t,t3,et)在任意点的切向量为 。

6. 曲线r(t)?(acosht,asinht,at)在t?0点的切向量为 。 7. 曲线r(t)?(acost,asint,bt)在t?0点的切向量为 。 8. 设曲线在P点的切向量为?，主法向量为?，则过P由?,?确定的平面 是曲线在P点的 。

9. 若r(t0)是曲线r?r(t)的正则点，则曲线r?r(t)在r(t0)的密切平面方程是 。

10. 曲线r?r(t)在点r(t0)的单位切向量是?，则曲线在r(t0)点的法平面方程是 。

11. 一曲线的副法向量是常向量，则这曲线的挠率?? 。 12. 曲线r?r(t)在t = 1点处有??2?，则曲线在 t = 1对应的点处其挠率

?(1)= 。

13. 曲线x=cost，y=sint, z=t在t=0处的切线方程是 。 14. 曲线的主法向量的正向总是指向 。

15. 空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量 。 16. 曲线r(t)={t3?t2?t, t2?2t+2, 2}上的点不是正常点的是t = 。 17. 曲线r?r(t)的曲率是 。 18. 曲线r?r(t)的挠率是 。

19. 一般螺线的曲率和挠率的关系是 。

20. 曲率为0的曲线是 , 挠率为0的曲线是 。

21. 设有曲线C:x?et,y?e?t,z?t2，当t?1时的切线方程为 。

22. 设有曲线x?etcots,y?etsitn,z?et，当t?0时的切线方程为 。

23. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是的 的不变量。

24. 在旋转曲面r???(t)cos?,?(t)sin?,?(t)?中， 是旋转曲面的经线。

25. 若点(u0, v0)为曲面的正则点，则ru?rv在(u0, v0)满足 。 26. 曲面z?z(x,y)在点(x0,y0,z0)的法线方程是 。 27. 直纹面的参数表示总可以写成r? 。

28. 如果u?曲线族和v?曲线族处处不相切，则称相应的坐标网为 。

29. 曲面上一族坐标曲线是测地线，另一族为它的正交轨线的坐标网是 。

31. 已知曲面r?r(u,v)的第一类基本量为E、F、G，则两方向du:dv与?u:?v垂直的充要条件是 。

32. 对曲面r?r(u,v)有dr2?4du2?3dv2,则曲面上曲线u=u(t),v=v(t)从t0到t (t >t0)的弧长s = 。

33. 若曲面r?r(u,v)在(0，1)点处的第二基本形式????du2?3dv2，则在(0，

1)点处，ru?nu? 。其中n为曲面的单位法向量。

34. 已知曲面r?r(u,v)的第二类基本量L、M、N，则曲面上渐近曲线的微分方程是 。

35. 若曲面r?r(u,v)的第一基本形式为ds2?Edu2?Gdv2，曲面在一点的切向dr与u-线的夹角为?,则曲面在这点沿切方向dr的测地曲率kg= 。

36. 挠率 的曲线其副法向量是常向量。

37. 曲线r?r(t)在P(t0)点的主法向量是?，则曲线在P点的从切平面方程是 。

38. 曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是

39. 曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称该曲线为 。

40. 半径为R的球面的高斯曲率K= 。

41. 一个曲面为可展曲面的充分必要条件是它的 恒等于零。 42．在可展曲面上，测地三角形的三内角之和 。

43．球面r?{Rcos?cos?,Rcos?sin?,Rsin?}上， 线是球面上的纬圆。

44．在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 。 45．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是 。 38．曲面上的曲纹坐标网为正交网的充要条件是 。 46．极小曲面是指 的曲面。 47．曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的 的最大值和最小值.

48．两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是 。 49．设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的 。

50．法曲率的最大值和最小值正好是曲面的 曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的 方向.

51．距离单位球面球心距离为d (0

52．在脐点处曲面的第一、第二类基本量满足 , 把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为 。

53．法曲率的最大值和最小值正好是 , 使法曲率达到最大值和最小值的方向是 方向.

54．平面r?(u,v,0)的第一基本形式为 。

55．悬链面r?(coshucosv,coshusinv,u)的第一类形式是 。 56．曲面z?axy上坐标曲线x?x0， y?y0的交角的余弦值是 。57．正螺面r?(ucosv,usinv,bv)的第一基本形式是 。 58．双曲抛物面r?(a(u?v),b(u?v),2uv)的第一基本形式是 。 59．正螺面r?(ucosv,usinv,bv)的平均曲率 。 60．函数?N是主曲率的充要条件是 。 61．方向(d)?du:dv是主方向的充要条件是 。

62．根据罗德里格定理，如果方向(d)?(du:dv)是主方向，则 ，其中???kn是曲面沿方向(d)的法曲率。

63．旋转曲面中的极小曲面必是平面或 。

64．空间曲面的基本公式中的Gauss公式是 , Weingarten 公式是 。

65．设曲面S上的曲线C在P点的曲率为k, 测地曲率为kg, 法曲率为kn,则它们之间手关系是 。

66．设曲面S上的曲线C在P点的曲率为k, 测地曲率为kg, 切方向上的法曲率为kn, 则它们之间手关系是 。

67．如果曲面S上的存在直线, 则此直线的测地曲率为 。 68．测地线的方程为 。

69．简单光滑闭曲线的Gauss-Bonnet公式是 。 70．逐段光滑简单闭曲线的Gauss-Bonnet公式是 。 二、单项选择题

1. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( )

A. 曲面上曲线的曲率； B. 曲面上曲线的测地曲率； C. 曲面上测地三角形的内角和； D. 曲面的高斯曲率。

2. 圆柱螺线x?cost,y?sint,z?t在点?1,0,0?的切线为 ( )

x?1yz??； B. y?z?0； 011x?1yz??； D.y?z?0。 C. 100A．

3. 圆柱螺线r?(cost,sint,t)的切线与z轴 ( )

Ａ. 平行； Ｂ. 垂直；

??Ｃ. 有固定夹角； Ｄ. 有固定夹角。

434. 设有平面曲线C:r?r(s)，s为自然参数，?,?是曲线的基本向量．下列叙述错误的是 ( )

Ａ. ?为单位向量； Ｂ. ???； Ｃ. ???k?； Ｄ. ???k?。 5. 直线的曲率k为 ( )

Ａ. –１； Ｂ. ０； Ｃ.１； Ｄ.２。

6. 关于平面曲线的曲率C:r?r(s),s为自然参数, 不正确的是 ( )

Ａ. k(s)??(s)； Ｂ. k(s)??(s)，?为?(s)的旋转角； Ｃ. k(s)?????； Ｄ. k(s)?|r(s))|。

7. 设曲线r?r(s)在P(s)点的基本向量是?,?,?,则下列论述不正确的是( )

Ａ. ?,?,?均为单位向量； Ｂ. ???； Ｃ. ???； Ｄ. ??。

t?在点t?的切线与z轴关22系为 ( )

7. 曲线x?a(t?sint),y?a(1?cost),z?4asinＡ. 垂直； Ｂ. 平行； Ｃ. 成

??的角； Ｄ. 成的角。 348. 曲线r?r(s)在P(s)点的基本向量是?,?,?，曲率k(s)，挠率?(s)，则下式 ( A )不正确。

A. ???k?； B. ???k????； C. ??k?； D. ?????。

9. 过空间曲线C上点P(非逗留点)的切线和P点的邻近点Q的平面π，当Q沿曲

线C趋于点P时，平面π的极限位置称为曲线C在P点的 ( )

A. 法平面； B. 密切平面； C. 从切平面； D. 不存在。 10. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( )

A. 直线； B. 圆； C. 圆柱螺线； D. 平面曲线。 11. 平面曲线的密切平面与曲线所在平面 （ ）

A. 相交； B. 平行； C. 重合； D. 垂直。 12. 下面曲线中是一般螺线的是 （ ）

A. 平面曲线； B. 圆柱螺线； C. 直线； D. 球面曲线。 13. 曲线r?r(t)在P(t)点的曲率为k , 挠率为?，则下列式子( )不正确。

A. k?r??r??r?2； B. k?r??r??r?3； C. k?r； D. ???r?r??r????2?r??r???。

14. 对于向量函数r(t)，若r(t)?r?(t)，则( )

A．r(t)是定长向量； B. r?(t)定长向量； C．r(t)是定向向量； D. r?(t)是定向向量。 15. 空间曲线的形状由( )决定

A． 由曲率和挠率； B. 仅由曲率； C． 仅由挠率； D. 由参数的选取. 16. 曲率是常数的曲线 ( )

A． 一定是直线； B. 一定是圆；

C． 一定是球面上的曲线； D. 答案A,B,C都不对. 17. 圆柱螺线r?(acost,asint,bt) 在任一点的切线与z轴的夹角?( )

A．为90?； B. 0?； C. 与t有关； D. 与b有关。

x2y2z218. 椭球面2?2?2?1的参数表示为 （ ）

abc

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