教育最新K122017 - 2018版高中数学第三单元导数及其应用3.1.1函数的平均变化率3.1.2瞬时速度与导数教学案新人

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3．1.1 函数的平均变化率

3．1.2 瞬时速度与导数

学习目标 1.了解导数概念的实际背景，理解平均变化率和瞬时速度.2.会求函数在某一点附近的平均变化率.3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．

知识点一 函数的平均变化率

假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．

自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)．

思考1 若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？

思考2 怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？

Δyfx2－fx1

思考3 观察函数y＝f(x)的图象，平均变化率＝表示什么？

Δxx2－x1

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梳理 函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率 Δyf(1)定义式：＝

Δxx2－fx1

. x2－x1

(2)实质：____________的增量与____________的增量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x1，x2]上变化的快慢．

(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2))是函数y＝f(x)的图象上两点，则平均变化率

知识点二 瞬时变化率

思考1 物体的路程s与时间t的关系是s(t)＝5t，试求物体在[1,1＋Δt]这段时间内的平均速度．

思考2 当Δt趋近于0时，思考1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？

梳理 (1)物体运动的瞬时速度

设物体运动的路程与时间的关系是s＝f(t)，当________________时，当Δt趋近于0时，函数f(t)在t0到t0＋Δt之间的平均变化率为________________趋近于常数，这个常数称为

2

Δyf＝Δxx2－fx1

表示割线P1P2的________．

x2－x1

t0时刻的瞬时速度．

(2)函数的瞬时变化率

设函数y＝f(x)在x0附近有定义，当自变量在x＝x0附近改变Δx时，函数值相应地改变Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)，如果当Δx趋近于0时，平均变化率____________趋近于一个常数l，则数l称为函数f(x)在点x0的瞬时变化率．

知识点三 函数在某一点处的导数与导函数 思考 f′(x0)与f′(x)表示的意义一样吗？

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梳理 (1)函数f(x)在x＝x0处的导数

函数y＝f(x)在x＝x0处的________________称为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作____________，即f′(x0)＝________________. (2)导函数定义

如果f(x)在开区间(a，b)内每一点x导数都存在，则称f(x)在区间(a，b)可导，这样，对开区间(a，b)内每个值x，都对应一个________________，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数．记为f′(x)(或y′x、y′)． (3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在点x＝x0处的函数值，即f′(x0)＝f′(x)|x＝x0.

类型一 函数的平均变化率

例1 (1)已知函数f(x)＝2x＋3x－5.

Δy①求：当x1＝4，x2＝5时，函数增量Δy和平均变化率；

ΔxΔy②求：当x1＝4，x2＝4.1时，函数增量Δy和平均变化率. Δx12

(2)求函数y＝f(x)＝x在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx都为，哪一点附近的平均变

3化率最大？

反思与感悟 求平均变化率的主要步骤 (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x2)－f(x1)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x2－x1； Δyf(3)得平均变化率＝

Δx2

x2－fx1

.

x2－x1

2

跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及邻近一点B(－1Δy＋Δx，－6＋Δy)，则＝________.

Δx(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为________；函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为________．

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类型二 求瞬时速度

例2 某物体的运动路程s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系可用函数s(t)＝t＋t＋1表示，求物体在t＝1 s时的瞬时速度． 引申探究

1．若本例的条件不变，试求物体的初速度．

2．若本例的条件不变，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9 m/s.

反思与感悟 (1)不能将物体的瞬时速度转化为函数的瞬时变化率是导致无从下手解答本题的常见问题．

(2)求运动物体瞬时速度的三个步骤

①求时间改变量Δt和位移改变量Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)． ②求平均速度v＝

Δs. Δt2

Δs③求瞬时速度，当Δt无限趋近于0时，无限趋近于的常数v即为瞬时速度，即v＝s′(t0)．

Δt跟踪训练2 一质点M按运动方程s(t)＝at＋1做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值．

类型三 求函数在某一点处的导数 例3 求函数f(x)＝x在x＝1处的导数．

反思与感悟 求一个函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；

2

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小学+初中+高中 (2)求平均变化率Δyfx0＋Δx－fx0

Δx＝

Δx；

(3)取极限，得导数f′(x＝Δy0)Δlimx→0

Δx. 跟踪训练3 已知f(x)＝3x2

，f′(x0)＝6，求x0.

1．一物体的运动方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这段时间内的平均速度是( A．0.4 B．2 C．0.3 D．0.2 2．函数f(x)在xfx0＋h－fx0

0处可导，则limh→0 h( )

A．与x0、h都有关

B．仅与x0有关，而与h无关 C．仅与h有关，而与x0无关 D．与x0、h均无关

3．当球的半径从1增加到2时，球的体积的平均膨胀率为________． 4．函数y＝f(x)＝2x2

＋4x在x＝3处的导数为________．

5．已知函数f(x)＝ax在x＝1处的导数为－2，则实数a的值是________．

利用导数定义求导数三步曲

(1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率Δyx0＋Δx－fx0

Δx＝

fΔx. (3)取极限，得导数f′(xlimΔy0)＝Δx→0 Δx. 简记为一差，二比，三极限．

特别提醒：①取极限前，要注意化简ΔyΔx，保证使当Δx→0时，分母不为0.

②函数在x0处的导数f′(x0)只与x0有关，与Δx无关．

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)

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答案精析

问题导学 知识点一

思考1 自变量x的改变量为x2－x1，记作Δx，函数值y的改变量为y2－y1，记作Δy. 思考2 对山路AB来说，用

Δyy2－y1

＝可近似地刻画其陡峭程度． Δxx2－x1

Δy思考3 观察图象可看出，表示曲线y＝f(x)上两点(x1，f(x1))，(x2，f(x2))连线的斜率．

Δx梳理 (2)函数值 自变量 (4)斜率 知识点二

思考1 Δs＝5(1＋Δt)－5＝10Δt＋5(Δt)，

2

2

v＝

Δs＝10＋5Δt. ΔtΔs思考2 当Δt趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为t＝1时的瞬时速度．

Δt梳理 (1)t0到t0＋Δt 知识点三

思考 f′(x0)表示f(x)在x＝x0处的导数，是一个确定的值．f′(x)是f(x)的导函数，它是一个函数．f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值． 梳理 (1)瞬时变化率 f′(x0)或y′|x＝x0 Δlim x→0(2)确定的导数f′(x) 题型探究

例1 解 (1)因为f(x)＝2x＋3x－5， 所以Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1)

＝2(x1＋Δx)＋3(x1＋Δx)－5－(2x1＋3x1－5) ＝2[(Δx)＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)＋(4x1＋3)Δx. Δy＝ΔxΔx2

22

2

2

2

ft0＋Δt－ft0fx0＋Δx－fx0

(2)

ΔtΔxfx0＋Δx－fx0

Δx＋x1＋ΔxΔx ＝2Δx＋4x1＋3.

①当x1＝4，x2＝5时，Δx＝1， Δy＝2(Δx)＋(4x1＋3)Δx＝2＋19

2

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小学+初中+高中 Δy＝21，＝21.

Δx②当x1＝4，x2＝4.1时，Δx＝0.1， Δy＝2(Δx)＋(4x1＋3)Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. Δy＝2Δx＋4x1＋3＝19.2. Δx(2)在x＝1附近的平均变化率为

2

k1＝

f＋Δx－fΔx＝＋ΔxΔx2

－1

＝2＋Δx；

在x＝2附近的平均变化率为

k2＝

f＋Δx－fΔx＝＋Δx－2

Δx22

＝4＋Δx；

在x＝3附近的平均变化率为

k3＝

f＋Δx－fΔx＝＋Δx－3

Δx22

＝6＋Δx.

117

当Δx＝时，k1＝2＋＝，

333

k2＝4＋＝，k3＝6＋＝. 由于k1

跟踪训练1 (1)Δx (2)

24Δyf解析 (1)＝Δx＝

－1＋Δx2

1313311933

－1＋Δx－f－

Δx ＋

－1＋Δx－5－－Δx＝Δx.

(2)函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化率为

f－f－1－－

＝

2－11

＝. 22

由函数f(x)的图象知，

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x＋3??，－1≤x≤1，

f(x)＝?2

??x＋1，1

所以函数f(x)在区间[0,2]上的平均变化率为

f－f2－0

33－23＝＝. 24

＋Δt－sΔt＋Δt＋1－Δt2

Δss例2 解 ∵＝Δt＝

＋Δt2

＋1＋

＋

＝3＋Δt，

Δs∴Δlim ＝Δlim (3＋Δt)＝3. t→0Δtt→0

∴物体在t＝1处的瞬时变化率为3， 即物体在t＝1 s时的瞬时速度为3 m/s. 引申探究 Δss1．解 ∵＝Δt＝

＋Δt2

＋Δt－sΔt＋Δt＋1－1

＋

Δt＝1＋Δt，

Δs∴Δlim ＝Δlim (1＋Δt)＝1. x→0Δtt→0

∴物体在t＝0处的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.

2．解 设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s， ∵Δss＝Δtt0＋Δt－st0

Δt＝2t0＋1＋Δt.

Δs∴Δlim ＝Δlim (2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1. t→0Δtt→0则2t0＋1＝9，∴t0＝4.

则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.

跟踪训练2 解 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率． ∵质点M在t＝2附近的平均变化率

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小学+初中+高中 Δss＝Δt＋Δt－sΔt＝a＋ΔtΔt2

－4a

＝4a＋aΔt，

Δs∴Δlim ＝4a＝8，即a＝2. x→0Δt例3 解 ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1) ＝1＋Δx－1， ∴

Δy1＋Δx－11

＝＝， ΔxΔx1＋Δx＋1

Δy11∴f′(1)＝liΔxm ＝lim ＝. →0ΔxΔx→0

1＋Δx＋12跟踪训练3 解 ∵f′(x0)＝ lim Δx→0

fx0＋Δx－fx0

Δxx0＋ΔxΔx2

＝Δlim x→0

－3x0

2

＝Δlim (6x0＋3Δx)＝6x0， x→0

又f′(x0)＝6，∴6x0＝6，即x0＝1. 当堂训练

28π1．B 2.B 3. 4.16 5.2

3

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