2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）

本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟 参考公式：锥体的体积公式V?2221Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 32 1?2?3???n?n?n?1??2n?1?6?n?N?．

*一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的． 1．已知i是虚数单位，若?m?i??3?4i，则实数m的值为

A．?2 B．?2 C．?2 2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C?2B，则

D．2

2c为 bA．2sinC B．2cosB C．2sinB D．2cosC 3．圆?x?1???y?2??1关于直线y?x对称的圆的方程为

A．?x?2???y?1??1 B．?x?1???y?2??1 C．?x?2???y?1??1 D．?x?1???y?2??1 4．若函数f?x??2222222222x2?ax?1的定义域为实数集R，则实数a的取值范围为

A．??2,2? B．???,?2???2,??? C．???,?2???2,??? D．??2,2? 5．某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制

成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为?50,60?，

0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 0 则其中分数在?90,100?范围内的样本数据有

50 60 70 80 90 100 分数 频率/组距 ?60,70?，?70,80?，?80,90?，?90,100?．若用分层抽

样的方法从样本中抽取分数在?80,100?范围内的数据16个，

图1

A．5个 B．6个 C．8个 D．10个 6．已知集合A??xx?Z且??3??Z?，则集合A中的元素个数为 2?x? D．5

A．2 B．3 C．4

b=ab成立的一个必要非充分条件是 7．设a，b是两个非零向量，则使a?A．a?b B．a?b C．a??b???0? D．a?b 8．设a，b，m为整数（m?0），若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为

1222020a?b?modm?．若a?C020?C20?2?C20?2???C20?2，a?b?mod10?，则b的值可以是

A．2011 B．2012 C．2013 D．2014 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）

9．若不等式x?a?1的解集为x1?x?3，则实数a的值为 ． 10．执行如图2的程序框图，若输出S?7，则输入kk?N???*?的值为 ．

11．一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图3所示，则这个四棱锥的体积是 ．

开始 输入k

5 n?0,S?0 y?x nlog?k?是 否 输出S 结束 2 2 1 1 正（主）视图 侧（左）视图

n?n?1 S?S?2??n?14 图2 图3

俯视图

12．设?为锐角，若cos???????3?sin??，则???? ． ?126?5??1，记Sn为数列?an?的前n项和，则S2014? ． an?113．在数列?an?中，已知a1?1，an?1??（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）

在极坐标系中，直线??sin??cos???a与曲线??2cos??4sin?相交于A，B两点， 若AB?23，则实数a的值为 ．

15．（几何证明选讲选做题）

如图4，PC是圆O的切线，切点为C，直线PA与圆O交于

A，B两点，?APC的平分线分别交弦CA，CB于D，E

C D O A 图4

P

E B PE两点，已知PC?3，PB?2，则的值为 ．

PD

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

已知函数f(x)?sinx?acosx的图象经过点??，0?． （1）求实数a的值；

（2）设g(x)??f(x)??2，求函数g(x)的最小正周期与单调递增区间． 17．（本小题满分12分）

甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是

2?π?3??2，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是 563，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立． 2510（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；

（2）设?表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，

求?的分布列与均值（数学期望）．

18．（本小题满分14分）

如图5，在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1中，点E是棱D1D的中点，点F在棱B1B上，且满足B1F?2FB．

（1）求证：EF?AC11；

（2）在棱C1C上确定一点G， 使A，E，G，F四点共面，并求此时C1G的长； （3）求平面AEF与平面ABCD所成二面角的余弦值．

19．（本小题满分14分）

已知等差数列?an?的首项为10，公差为2，等比数列?bn?的首项为1，公比为2，n?N*． （1）求数列?an?与?bn?的通项公式；

（2）设第n个正方形的边长为cn?min?an,bn?，求前n个正方形的面积之和Sn．

（注：min?a,b?表示a与b的最小值．） 20．（本小题满分14分）

35x2y2?1?a?0?的中心为原点O，左，右焦点分别为F1，F2，离心率为已知双曲线E：2?，

5a4??????????a2QF2?0． 点P是直线x?上任意一点，点Q在双曲线E上，且满足PF2?3（1）求实数a的值；

（2）证明：直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值；

（3）若点P的纵坐标为1，过点P作动直线l与双曲线右支交于不同两点M，N，在线段MN上取异于

点M，N的点H，满足 21．（本小题满分14分）

PMPN?MHHN，证明点H恒在一条定直线上．

已知函数f?x??x?2x?1e（其中e为自然对数的底数）．

2x??（1）求函数f(x)的单调区间；

（2）定义：若函数h?x?在区间?s,t??s?t?上的取值范围为?s,t?，则称区间?s,t?为函数h?x?的“域同

区间”．试问函数f(x)在?1,???上是否存在“域同区间”？若存在，求出所有符合条件的“域同区间”；若不存在，请说明理由．

2014年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（理科）试题参考答案及评分标准

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题，满分40分．

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B A D B C D A 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题，满分30分．其中14~15

题是选做题，考生只能选做一题． 题号 答案 9 2 10 3 11 4 12 13 14 15 2 10?2011 ?1或?5 22 3三、解答题：本大题共6小题，满分80分． 16．（本小题满分1）

（本小题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）

解：（1）因为函数f(x)?sinx?acosx的图象经过点??，0?，所以f???π?3???????0． ?3?即sin??3a?π??π????0．解得a?3． ．即?acos??0???22?3??3?（2）方法1：由（1）得f(x)?sinx?3cosx．

所以g(x)?[f(x)]?2?sinx?3cosx?2

?sin2x?23sinxcosx?3cos2x?2?3sin2x?cos2x ?3?1?????2?sin2x?cos2x?2sin2xcos?cos2xsin ????2?266????2??2π???2sin?2x??．

6??所以g(x)的最小正周期为

2???． 2?????,2k????k?Z?， 22?因为函数y?sinx的单调递增区间为?2k??所以当2kπ?πππ?2x??2kπ??k?Z?时，函数g(x)单调递增， 262ππ即kπ??x?kπ??k?Z?时，函数g(x)单调递增．

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