准静态问题

专题1 准静态问题的力三角形判断法

在静力学中，经常遇到在力系作用下处于准静态平衡的物体其所受诸力变化趋势判断问题．这种判断如果用平衡方程作定量分析往往很繁琐，而采用力三角形图解讨论则清晰、直观、全面．

我们知道，当物体受三力作用而处于平衡时，必有∑Ｆ＝０，表示三力关系的矢量图呈闭合三角形，即三个力矢量（有向线段）依次恰好能首尾相接．当物体所受三力有所变化而又维系着平衡关系时，这闭合三角形总是存在而仅仅是形状发生改变．比较不同形状的力三角形各几何边、角情况，我们对相应的每个力大小、方向的变化及其相互间的制约关系将一目了然．所以，作出物体准静态平衡时所受三力矢量可能构成的一簇闭合三角形，是力三角形判断法的关键操作．

三力动态平衡的力三角形判断通常有三类情况．

类型一、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力方向确定，这个力的大小及第三个力的大小、方向变化情况待定

例１ 如图1－1所示，竖直杆AB在绳AC拉力作用下使整个装置处于平衡状态，若绳AC加长，使点C缓慢向左移动，杆AB仍竖直，且处于平衡状态，那么绳AC的拉力T和杆AB所受的压力N与原先相比，下列说法中正确的是（）

图1－１

A．T增大，Ｎ减小 B．T减小，Ｎ增大 C．T和Ｎ均增大 D．T和Ｎ均减小

分析与解 由于绳AC以不同方向拉杆，使杆AB有一系列可能的平衡状态．我们考察两绳系在直立杆顶端的结点A，它在绳AC的拉力T、重物通过水平绳的拉力F（F=G）和杆AB的支持力作用下平衡．三力中，水平绳拉力不变，杆支持力方向不变，总是竖直向上，大小如何变化待定；而绳AC的拉力大小、方向均不确定．用代表这三个力的有向线段作出一簇闭合三角形如图1－２所示，取点O为始端，先作确定力F的有向线段①，从该线段箭头端点按已知方向力的方向作射线②，它是所有可能的力的作用线位置，从射线②上

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任意点指向O点且将图形封闭成三角形的有向线段③便是第三个力矢量，在所得三角形集合图上，根据题意，用曲箭头表示出动态变化的趋势．

图1－2

从图1－２中可知，随着绳AC趋于水平，其上的拉力减小，杆的支持力亦减小．注意到杆对结点支持力与结点对杆压力是作用力与反作用力，故本题正确答案为选项D． 例2 如图1－3所示，用绳通过定滑轮牵引物块，使物块在水平面上从图示位置开始沿地面做匀速直线运动，若物块与地面间的动摩擦因数μ＜1，滑轮的质量及摩擦不计，则在物块运动过程中，以下判断正确的是（）

图1－3

A．绳子拉力将保持不变 B．绳子拉力将不断增大 C．地面对物块的摩擦力不断减小 D．物块对地面的压力不断减小

分析与解 本题中物块是在四个力作用下保持动态平衡．我们可先将地面施予物体的支持力N与摩擦力合成为地面作用力F，由于f=μＮ′＝μＮ，可知力F的方向是确定的：与支持力的方向成arctanμ角，支承面约束力（支持力与滑动摩擦力或最大静摩擦力的合力）与支持力间的这个角，通常称“摩擦角”，如图1－4所示．这样，问题转化为三力平衡，其中重力G为确定力，地面作用力F为方向确定力，属于类型一的问题．

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图1－4

如图1－5所示，取点O，作表示重力的有向线段①，从该线段箭头端点作地面作用力F的作用线所在射线②，作从射线②上任意点指向O点且将图形封闭成三角形的一系列有向线段③，它们就是绳拉力矢量，用曲箭头标明变化趋势．

图1－5

根据题给限制条件，由于μ＜1，故力三角形中①、②两线间夹角小于45°；由于初始状态绳拉力与水平面成45°，故力三角形中线段③与线段①的夹角从45°开始减小，图1－5中θ角小于90°．容易判断：绳子拉力不断增大，地面作用力不断减小；由图1－4所示关系显见，地面支持力与摩擦力均随之减小．本题正确答案为选项BCD． 综上所述，类型一问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端沿已知方向力的方向作射线，从射线上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段，勾画出一簇闭合的矢量三角形，用曲箭头标明动态趋势．由此可判断各个力的大小和方向的变化趋势．

类型二、三力中有一个力确定，即大小、方向不变，一个力大小确定，这个力的方向及第三个力的大小、方向变化情况待定

例3 如图1－6所示，质量为m的小球，用一细线悬挂在点O处．现用一大小恒定的外力F（F＜mg）慢慢将小球拉起，在小球可能的平衡位置中，细线最大的偏角θ是多少？

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图1－6

分析与解 本题中研究对象小球可在一系列不同位置处于静止，静止时小球所受重力、细线上拉力及大小恒定的外力的合力总是为零．三力关系由一系列闭合的矢量三角形来描述，这些三角形中表示重力的矢量边是公共边，有一条矢量边长度相同．现在来作出这样的三角形簇：

如图1－7所示，取点O为起始点，作确定不变的重力矢量①，以其箭头端点为圆心，表示外力F大小的线段长为半径作一圆，该圆上各条矢径②均可为已知大小的力矢量，该圆周上各点指向O点并封闭图形成三角形的有向线段③便是第三个力即细线拉力矢量．这样我们得到了全面反映小球在可能的平衡位置时力三角形集合图．

图1－7

由图1－7可知，表示线拉力矢量与重力矢量的线段③与线段①间的夹角最大为θ＝arcsin(Ｆ/Ｇ)（线段③作为圆的切线时），细线拉力总沿着线，故小球可能的平衡位置中，细线与竖直方向的偏角最大为arcsin(Ｆ/Ｇ)．

例4如图1－8所示，在“验证力的平行四边形定则”实验中，用两只弹簧秤A、B把像皮条上的结点拉到某一位置O，这时两绳套AO、BO的夹角∠AOB小于90°．现保持弹簧秤A的示数不变而改变其拉力方向使α角减小，那么要使结点仍在位置O处不动，就应调整弹簧秤B的拉力大小及β角，则下列调整方法中可行的是（）

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图1－8

A．增大弹簧秤B的拉力、增大β角 B．增大弹簧秤B的拉力、β角不变 C．增大弹簧秤B的拉力、减小β角 D．弹簧秤B的拉力大小不变、增大β角

分析与解 本题中我们考察结点O，使之处于平衡的三个力中，一个力（橡皮条上的拉力F）大小方向均确定，一个力（弹簧秤A的拉力FA）大小确定，需判断第三个力（弹簧秤B的拉力FB）的变化情况．

如图1－9所示，取点O为起始点，先作力F的有向线段①，以其箭头端点为圆心，表示大小不变力FA的线段长为半径作一圆，该圆的每条矢径②均为力FA矢量，从该圆周上各点指向O点的各有向线段③便是弹簧秤B的拉力FB矢量．这样我们勾画出表示可能的三力关系的三角形集合图．

图1－9

如图所示，若初始状态三力关系如△OO′A，在α角减小的前提下，线段③变长，即FB增大，而β角可能减小、不变或增大，三力依次成△OO′A1、△OO′A2、△OO′A3所示的关系，故正确答案为选项ABC．

综上所述，类型二问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，在它的箭头端以已知方向力为矢径作圆，从圆周上的点作指向确定力矢量箭尾的有向线段，勾画出一簇闭合的矢量三角形．由此可判断未知力的大小和方向的变化趋势．

类型三、三力中有一个力大小方向确定，另二力方向变化有依据，判断二力大小变化情况

例５ 如图1－10所示，绳子a一端固定在杆上C点，另一端通过定滑轮用力拉住，一重物用绳b挂在杆BC上，杆可绕B点转动，杆、绳质量及摩擦不计，重物处于静止．若将绳子a慢慢放下，则下列说法正确的是（）

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图1－10

A．绳a的拉力Fa减小，杆的压力F增大 B．绳a的拉力Fa增大，杆的压力F增大 C．绳a的拉力Fa不变，杆的压力F减小 D．绳a的拉力Fa增大，杆的压力F不变

分析与解 使结点C在各个位置处于平衡的三个力中只有绳b的拉力Fb（大小等于重力，方向竖直向下）是确定的，另两个力的大小不定、方向变化，但这两个力的方向有依据：绳a的拉力Fa总沿绳a收缩的方向，杆BC支持力方向总是沿杆而指向杆恢复形变的方向，那么表示这两个力的有向线段与几何线段相关，任意位置时表示三力关系的矢量三角形与表示位置关系的某几何三角形一一对应．

图1－11

如图1－11所示，自结点C先作表示确定力Fb的有向线段①，另两个变化力Ｆ′和Fa的有向线段②、③分别平行于杆BC及绳a，且与有向线段①依次首尾相接构成闭合三角形，与该力三角形相似的是几何三角形ABC．C的位置改变时，由于力三角形与几何三角形总相似，可由几何边长的变化判定对应力大小的变化：随着绳子慢慢放下，几何边AC变长、BC不变，则绳a的拉力Fa增大，杆BC对结点C支持力F′不变，即杆所受压力F不变．正确答案为选项D．

例６ 如图1－12所示，重为G的物体用两根绳子OA、OB悬挂，开始时绳OA水平，现将两绳同时顺时针缓慢转过90°，始终保持α角大小不变，且物体始终静止，设绳OA的拉力为T1，绳OB的拉力为T2，则在此旋转过程中（）

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图1－12

A．T1先减小后增大 B．T1先增大后减小 C．T2逐渐减小 D．T2最终变为零

分析与解 物体在重力及两绳拉力作用下保持准静态平衡．两绳拉力均变化，但方向总沿绳，随绳的方位而变化．本题属类型三情况，我们来做出绳处于各可能位置时对应的力三角形图．如图1－13所示，取点O，作表示确定的重力G矢量的有向线段①，分别将表示OA绳拉力T1和OB绳拉力T2矢量的有向线段②、③与线段①依次首尾相接，构成闭合三角形，两绳在初始位置时，力三角形为图中的△OO′C，这应是一个直角三角形，此后两绳相对位置保持不变，同时顺时针缓慢转过90°，则总沿绳的两绳拉力方向也同时地缓慢变化90°，说明表示两绳拉力的有向线段②、③间夹角α保持不变．在90°范围内，与两绳各位置相对应的三力关系如图中△OＯ′C1、△OＯ′C2??这簇三角形有一公共边即有向线段①，而∠C、∠C1、∠C2??相同，根据几何规律，这簇力三角形内接于同一个圆，有向线段①是此圆的一条弦，∠C、∠C1、∠C2??是该弦对应的弧

上的圆周角，

同弧上的圆周角相等，初始时力三角形OＯ′C为直角三角形，则此时的向线段③长度是该圆的直径OC．

图1－13

由图1－13可比照图形的几何性质，我们可以确定绳OA拉力T1和绳OB拉力T2的变化情况：有向线段②从Ｏ′C到Ｏ′C1到Ｏ′C2??弦长增大到成为一条直径再逐渐减小，转过90°时为Ｏ′O；有向线段③一开始处于直径位置，以后一直减小，到转过90°时减

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为零．故T1是先增大后减小；T2则一直减小直至零．正确答案为选项BCD．

综上所述，类型三问题的作图方法是：以确定力矢量为力三角形系的基准边，将另二力按方向依据来确定力矢量依次首尾相接，通过力三角形与相应的几何三角形的性质比照，勾画出闭合的矢量三角形．

小试身手

1.如图1－14所示，用细绳通过定滑轮沿竖直光滑的墙壁匀速向上拉，则拉力F和墙壁对球的支持力N的变化情况是（）

图1－14

A．F增大，Ｎ增大 B．F增大，Ｎ不变 C．F减小，Ｎ增大 D．F减小，Ｎ不变

2.如图1－15所示，用等长的细线OA、OB悬挂一重物，保持重物位置不变，使线的B端沿半径等于OA的圆周向点C移动，则在移动过程中OB线的拉力的变化情况是（）

图1－15

A．先减小后增大 B．先增大后减小 C．总是减小 D．总是增大

3.在“验证力的平行四边形定则”的实验中，如图1－16所示，使弹簧秤b从图示位

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置开始顺时针缓慢转动．在此过程中，保持O点的位置和弹簧秤a的拉伸方向不变，则在整个过程中，两弹簧秤a、b的示数变化情况是（）

图1－16

A．弹簧秤a的示数增大，弹簧秤b的示数减小 B．弹簧秤a的示数减小，弹簧秤b的示数增大

C．弹簧秤a的示数减小，弹簧秤b的示数先增大后减小 D．弹簧秤a的示数减小，弹簧秤b的示数先减小后增大

4.如图1－17所示，小球在光滑的墙与装有铰链的木板之间，当使木板与墙的夹角θ增大时（θ＜90°）,下列说法中正确的是（）

图1－17

A．小球对木板的压力增大 B．小球对木板的压力减小

C．木板对小球的弹力可能小于小球的重力 D．小球对木板的正压力对轴的力矩变大

5.如图1－18所示，两块互相垂直的板AO、BO和水平面的夹角均为α，板间放一光滑球，当板AO不动，而板BO绕两板交线沿逆时针缓慢转动时，球对板BO的压力将（）

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图1－18

A．变大 B．变小 C．先增大后减小 D．先减小后增大

6.如图1－19所示，在倾角45°的斜面上，放置一质量为m的小物块，小物块与斜面间的动摩擦因数μ＝

/３，欲使小物块能静止在斜面上，应对小物块再施一力，该

力最小时的大小与方向应该是（）

图1－19

A．mgsin15°，与水平成15°斜向右上 B．mgsin30°，竖直向上 C．mgsin75°，沿斜面向上 D．mgtan15°，水平向右

7.如图1－20所示，杆BC的B端铰接在竖直墙上，另一端C为一滑轮．重物G上系一绳经过滑轮固定于墙上A点处，杆恰好处于平衡．若将绳的A端沿墙向下移到点A′，再使之平衡(BC杆、滑轮、绳的质量及摩擦均不计)，则()

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图1－20

A．绳的拉力增大，杆BC受到的压力增大 B．绳的拉力不变，杆BC受到的压力减小 C．绳的拉力不变，杆BC受到的压力增大 D．绳的拉力不变，杆BC受到的压力不变

8.如图1－21所示，竖直绝缘墙壁上点Q处固定一质点A，在点Q的正上方点P处用丝线悬挂另一质点B．A、B两质点因带电而互相排斥，由于漏电，使两质点A、B带电量逐渐减少．在电荷漏完之前，悬线对质点B的拉力大小变化情况是（）

图1－21

A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．大小不变 D．先变大后变小

9.如图1－22所示，AB为轻质杆，AC为细绳，在点A悬挂一重物G，将绳的固定点从点C逐渐向上移到点C′，则绳的拉力T1和杆受的压力T2发生的变化是（）

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图1－22

A．T1逐渐增大，T2逐渐减小 B．T1逐渐减小，T2逐渐减小

C．T1先逐渐减小，再逐渐增大，T2逐渐增大 D．T1先逐渐减小，再逐渐增大，T2逐渐减小

10.建筑工人常通过如图1－23所示的安装在楼顶的一个定滑轮将建筑材料运送到高处，为了防止建筑材料与墙壁相碰，站在地面上的工人还另外用绳CD拉住材料，使它与竖直墙面总保持距离l．不计两根绳的重力，在建筑材料上升的过程中，绳AB和绳CD上的拉力T1和T2的大小变化是（）

图1－23

A．T1增大，T2增大 B．T1增大，T2不变 C．T1增大，T2减小 D．T1减小，T2减小

11．如图1－24所示，在悬点O处用细线拉着小球，使它静止在半径一定的半圆柱面上，现使半圆柱面从图示位置起沿水平面缓慢向左移动一些距离，则（）

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图1－24

A．小球对柱面的压力增大 B．细线对小球的拉力不变 C．柱面对小球的支持力不变 D．小球对细线的拉力减小

12.如图1－25所示，一球被绳子悬挂起来，绳AO水平，当小球被一水平力F向右缓慢拉起时，绳OC上张力将_____________；绳OA上张力将_____________；而绳OB上张力则_____________．（填“变大”、“变小”或“不变”）

图1－25

13.如图1－26所示，小球被细线吊着放在光滑的斜面上，小球质量为m，斜面倾角为θ，在向左缓慢移动斜面的过程中，绳上张力最小值是_____________．

图1－26

图1－27

14.如图1－27所示，在绳下端挂一物体，用力F拉物体使悬线偏离竖直方向α角，且保持平衡，若保持α角不变，当拉力F与水平方向夹角β＝_______时，F有最小值． 15.如图1－28所示，在水平放置、半径为R的光滑圆弧槽内，有两个半径均为R/3、

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重分别为G1、G2的小球A和B，平衡时槽面圆心O与球Ａ的球心连线与竖直方向的夹角α多大？

图1－28

图1－29

16.如图1－29所示，质量为m的物体放在水平地面上，物体与地面间的动摩擦因数为μ＝

/３，想用大小恒定的力F推动物体沿水平地面滑动，推力方向与水平面的夹

角在什么范围内是可能的？

参考解答

1.A 2.A 3.D 4.B 5.A 6.A 7.C 8.C 9.B 10.A 11.AD 12.变大 变大 不变 13.mgsinθ 14.α 15.几何△OAB为正三角形，两球三力平衡的关系如图答1-1，则有

Ｇ1/ｓｉｎ６０°＝ＦBA/sinα； Ｇ2/sin６０°＝ＦAB/[sin(６０°－α)]． 故tanα＝

Ｇ2/(２Ｇ1＋Ｇ2)．

图答1-1 图答1-2

-1

16.如图答1－2所示，摩擦角φ＝arctanμ＝30°，考虑临界情况，重力mg、地面约束力及推力F构成闭合三角形时有

(ｍｇ)/[ｓｉｎ(６０°－θ0)]＝Ｆ/ｓｉｎφ，

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θ0＝６０°－arcｓｉｎ(ｍｇ)/(２Ｆ)． 由图答1-2可知θ≤θ0时，物体可在地面滑动．

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