第3章 协整理论的基本内涵

第3章 协整理论的基本内涵

在宏观经济里有一个十分有趣的现象，许多经济指标都遵循随机游动过程。所以，突发性的经济振荡所产生的影响在几年后仍然不会消失，它是永久性的。也就是说，两个随机变量都遵循随机游动过程，即它们是非平稳的，但是它们的某个线性组合是平稳。我们把这种关系称作协整关系，一般地，若两个或多个非平稳的变量序列，其线性组合后的序列呈平稳性，则可称这些变量序列间有协整关系存在。 3.1

协整理论产生历史过程

传统的计量经济学模型在建模有一个前提，那就是所选的各个变量的时间序列必须是平稳的。这样才能保证在模型选择和检验时的一些统计量， 如衡量模型拟合数据优度的可决系数R2，检验变量显著性的T统计量等具有标准的分布，从而根据这些统计量进行的统计推断才能有据可行和有效可靠。一旦违反平稳性假定，上述所有推论无效，很容易产生“虚假回归”(Spurious Regression)。 表现在两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的R2)。例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。在现实经济生活中，情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。

虚假回归问题首先由Yule(1926)年提出，其后由Granger和Newbold(1974)给出详细的陈述，并提出了一些探测“虚假回归”的经验准则：R2?DW时，则所估计的样本回归可能存在虚假回归。Phillips(1986)从理论上证明了这一点，即不相关的单位根变量间会产生“虚假回归”现象。

协整理论是Engle and Granger在1978年首先提出来的，为解决非平稳时间序列变量之间建立回归模型问题。在此之前，人们为了避免出现虚假回归，往往只采用平稳时间序列来建立回归模型，或者先将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，然后再作回归。非平稳时间序列平稳化方法通常是差分方法，差分方法尽管能把非平稳数据变得平稳，但同时也丢掉许多信息，无疑使回归分析的广泛应用受到极大制约

协整理论，是针对几个同阶单整的时间序列之间可能存在一种长期的稳定关系，其线性组合可能降低单整阶数。在经济领域中，许多情况下通过经济理论我们可以知道某两个变量应该是协整的，利用协整理论，我们可以给出一个确切地判断，通过协整检验就是对经济理论正确性的检验。大大提高了回归分析的应用范围。

3.2 协整理论思想方法

协整理论是针对非平稳时间序列变量之间建立回归模型的基本理论，其目的是希望建立的回归模型避免出现“虚假回归”。协整是针对单整提出来的，因此必须认识单整的基本概念。

3.2.1单整概念及检验方法

所谓单整（Integration）：如果一个非平稳时间序列?xt?必须经过d次差分之后才能化成一个平稳的、可逆的ARMA时间序列，则称该时间序列?xt?是d阶单整。记为xt~I(d)。显然，对于平稳时间序列，应该是I(0)；当d=1时，表明时间序列是一阶单整序列。当时间序列为单整时，伴随时间的推移其方差将变为无穷大。

时间序列的非平稳性检验成为建立计量经济模型关键性的前提之一，目前比较成熟的检验方法主要是单位根检验法，具体有DF检验和ADF检验两种主要方法。

3.2.1.1DF检验法（Dickey-Fuller Test） 为说明DF检验法，先考虑3种形式的回归模型

yt??yt?1?ut t=1,2,…,T (3.1) yt??yt?1?a?ut t=1,2,…,T (3.2)

yt??yt?1?a??t?ut t=1,2,…,T (3.3)

其中a是常数，?t是线性趋势函数，ut~i.i.d.N(0,?2)。如果-1

势平稳。如果?=1，则yt序列是一阶单整非平稳序列。如果?的绝对值大于1，序列发散。判断序列是否平稳，可以检验?是否严格小于1来实现。但我们也可以在上述方程两端减去

yt?1得如下方程：

?yt??yt?1?ut t=1,2,…,T (3.4) ?yt??yt?1?a?ut t=1,2,…,T (3.5) ?yt??yt?1?a??t?ut t=1,2,…,T (3.6)

其中，?=?-1，则假设检验可以写为：

??H0:??0 (3.7)

?H1:??0??可以通过最小二乘法得到?的估计值?，构造检验?显著性水平的t统计量。但是，Dickey-Fuller研究表明这个t统计量在原假设下已经不再服从t分布，Mackinnon进行了大规模的模拟，给出了不同回归模型以及不同样本数下t统计量在1%，5%和10%显著性水平下的临界值。但是DF方法只适用AR(1)，如果序列存在高阶滞后先关，这违背了随机误差项是独立同分布的假设。在这种情况下，必须改变方法，使用增广的DF检验法来检验含高阶序列相关序列的单位根。

3.2.1.2 ADF检验（augmented Dickey-Fuller Test）

ADF检验（augmented Dickey-Fuller Test）方法通过在回归方程右端加入因变

量yt的滞后差分项来控制高阶序列相关

?yt??yt?1???i?yt?1?ut t=1,2,…,T (3.8)

i?1p?yt??yt?1?a???i?yt?1?ut t=1,2,…,T (3.9)

i?1p?yt??yt?1?a??t???i?yt?1?ut t=1,2,…,T (3.10)

i?1p扩展后的检验为：

?H0:??0 (3.11) ??H1:??0?Mackinnon通过模拟得出了在不同回归模型及不同样本容量下检验?在设定

显著性水平下的t统计量的临界值。但是在应用ADF检验时，必须注意以下两个问题：（1）必须为回归定义合理的滞后阶数。通常利用AIC准则（Akaie Information

Criterion）来确定给定时间序列模型的滞后阶数。（2）可以选择常数和线性时间

?趋势，选择哪种形式很关键，因为检验?显著性水平t统计量在原假设下的渐进

分布依赖于这些项的定义。

3.2.2协整概念及检验方法 3.2.2.1协整概念

协整是针对单整而言，考虑同阶单整时间序列间是否存在长期的均衡关系。 所谓的协整（Cointegration）是指若两个或多个非平稳的变量序列，其某个线性组合后的序列呈平稳性。此时我们称这些变量序列间有协整关系存在。

设k维随机向量Xt?(x1t,x2t,...,xkt)?中所含分量均为d阶单整，记为

Xt~I?d?。如果存在一个非零向量?，使得随机向量Yt???Xt~I(d?b),0?b?d，则称随机向量Xt具有d，b阶协整关系，记为

Xt~CI?d,b?，向量?被称为协整向量。需要注意的是：其一，作为非平稳变量之间关系的协整向量不是惟一的；其二，协整变量必须具有同阶单整；其三，最多可能存在k-1个线性无关的协整向量；其四，协整变量之间具有共同的趋势成分。

特别地，yt和xt为随机变量，并且yt,xt~I?1?，当yt?k0?k1xt~I?0?，则称

yt和xt是协整的，?k0,k1?称为协整系数。

关于协整的概念，我们给以下说明：首先，协整回归的所有变量必须是同阶单整的，协整关系的这个前提并非意味着所有同阶单整的变量都是协整的，比如假定yt,xt~I?1?， yt和xt的线性组合仍为I?1?，则此时yt和xt虽然满足同阶单整，但不是协整的。其次，在两变量的协整方程中，协整向量?k0,k1?是唯一的，然而，若系统中含有k 个变量，则可能有k - 1 个协整关系。

3.2.2.2 协整检验方法

协整检验的目的是决定一组非平稳序列的线性组合是否具有协整关系，也可以通过协整检验来判断线性回归方程设定是否合理。协整检验和估计协整线性系统参数的统计理论构成了协整理论的重要组成部分。如果没有它们，那么协整在

实践中便会失去其应有的重要作用。常用的协整检验有两种，即Engle- Granger两步协整检验法和Johansen协整检验法。这两种方法的主要差别在于Engle-Granger两步协整检验法两步法采用的是一元方程技术，而Johansen协整检验法采用的是多元方程技术。因此Johansen协整检验法在假设和应用上所受的限制较少。

1 Engle-Granger两步协整检验法

Engle-Granger两步协整检验法考虑了如何检验零假设为一组I?1?变量的无协整关系问题。他们用普通最小二乘法估计这些变量之间的平稳关系系数，然后用单位根检验来检验残差。拒绝存在单位根的零假设是协整关系存在的证据。我们从最简单的情况开始讨论，设两个变量yt和xt都是I?1?序列，考虑下列长期静态回归模型

yt??0??1xt??t

(3.12)

对于上述的模型的参数，我们用最小二乘法给出其参数估计。利用MacKinnon 给出的协整ADF 检验统计量，检验在上述估计下得到的回归方程的残差et是否平稳（如果yt和xt不是协整的，则他们的任意组合都是非平稳的，因此残差et将是非平稳的）。也就是说，我们检验残差et的非平稳的假设，就是检验yt和xt不是协整的假设。更一般地，我们有以下具体方法：（1）使用ADF检验长期静态模型中所有变量的单整阶数。协整回归要求所有的解释变量都是一阶单整的，因此，高阶单整变量需要进行差分，以获得I?1?序列。（2）用OLS法估计长期静态回归方程，然后用ADF统计量检验残差估计值的平稳性。

2．Johansen-Juselius(JJ)协整检验法

当长期静态模型中有两个以上变量时，协整关系就可能不止一种。此时若采用Engle- Granger协整检验，就无法找到两个以上的协整向量。 Johansen和Juselius提出了一种在VAR（向量自回归模型）系统下用极大似然估计来检验多变量之间协整关系的方法，通常称为Johansen协整检验。具体做法是如下：

设一个VAR模型如下

Yt?BY1t?1?B2Yt?2??BpYt?p?Ut

(3.13)

其中Yt为m维随机向量，Bi（i?1,2,我们将(3.13)式转换为

,p）是m?m阶参数矩阵，Ut~IID?0,??。

?Yt???i?Yt?i??Yt?p?Ut

i?1p (3.14)

(3.14)式称为向量误差修正模型(VECM)，即一次差分的VAR模型加上误差修正项

?Yt?p，设置误差修正项的主要目的是将系统中因差分而丧失的长期信息引导回来。在这里?i???I?B1??Bi?， ????I?B1??Bp?。参数矩阵?i和?分

别是对Yt变化的短期和长期调整. m ×m 阶矩阵?的秩记为r ，则存在三种情况： (i) r = m，即?是满秩的，表示Yt向量中各变量皆为平稳序列； (ii) r = 0，，表示?为空矩阵，Yt向量中各变量无协整关系；

(iii) 0 < r ≤m – 1，，在这种情况下，?阵可以分解为两个m ×r 阶(满列秩) 矩阵α和β的积，即Φ = αβ′。其中α表示对非均衡调整的速度，

?β为长期系数矩阵(或称协整向量矩阵)，，即??的每一行?i是一个协整向量，秩r 是系统中协整向量的个数。 尽管α和β本身不是唯一的，但β唯一地定义一个协整空间。因此，可以对α和β进行适当的正规化。

这样，协整向量的个数可以通过考察?的特征根的显著性求得。若矩阵?的秩为r，，说明矩阵?有r个非零特征根，按大小排列为?1,?2,数可通过下面两个统计量来计算：

,?r。特征根的个

?trace??T?log?1??i?

i?r?1m

(3.15) (3.16)

?max??Tlog?1??r?1?

其中?i是式(3.15)中?矩阵特征根的估计值， T 为样本容量。

(3.15)式称为迹检验，

H0:r?m?H1:r?m

(3.16)式称为最大特征根检验，

H0:r?q,q?1,2,,m?H1:r?q?1

原假设隐含着?r?1??r?2?表示此系统中存在m?r个单位根，最初先??m?0，

设原假设有m个单位根，即r = 0，若拒绝原假设H0，表示?1?0，有一个协整关系；再继续检验有( m - 1) 个单位根，若拒绝原假设H0，表示有两个协整关系；依次检验直至无法拒绝H0为止。Johansen与Juselius在蒙特卡罗模拟方法的基础上，给出了两个统计量的临界值，目前大多数计量经济软件都直接报告出检验结果。

3.3 协整理论基本研究框架及其计量模型

某些经济变量之间存在长期稳定的均衡关系。但是，在短期这种稳定关系也许会出现某种失衡，为了弥补这些缺陷，并且把短期行为和长期值相联系，并对失衡部分做出纠正。误差修正模型（ECM模型）就是因此而建立的，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，因此又称为DHSY模型。

下面我们给出最简单的误差修正模型的定义。设两个同阶单整序列yt和xt，并且它们具有协整关系，其关系可以表示成自回归分布滞后模型：

yt???? t (3.17) ?1?xt?1?1y?t1??0x?t我们可以将（3.17）式写为

?yt???(1??y??(??1)t1??0x?t0?1)xt?1??t??0?xt?(1??1?)y??k?k???1?tt101tx (3.18)

其中k0???1??1?,k1???0??1??1??1?，则（3.18）式称为一阶误差修正模型。在这里参数?0称为影响参数，?1??1?被称为反馈效果，k0,k1称为长期反映系数。

关于误差修正模型的参数估计，我们引入Engle-Granger两步法，这是由Engle

和Granger （1987）提出的，其基本思想是通过两个步骤检验经济变量间的长期均衡关系，并以ECM 构建短期动态模型。

第一步：在下列静态长期均衡回归的基础上，检验两I?1?变量yt和xt间的协整关系，

yt?k0?k1xt??t

(3.19)

若残差估计项是平稳过程，则说明yt和xt是协整的。 若yt和xt是协整的，则协整系数?k0,k1?的OLS估计是一致的。 第二步：确定协整关系后再估计ECM

?t?1?ut ?yt???i?xt?i???j?yt?j???i?0j?0pp (3.20)

?t?1为(8)式中的残差的OLS法估计值。在(3.20)式中的滞后期p凭经验而定，? 对式(3.20)继续进行OLS估计，我们就可以得到模型的参数估计。可以证明，Engle-Granger两步法所得到的模型的参数估计具有良好的统计性质。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cwb2.html