复变函数教学大纲

《复变函数》教学大纲

一、《复变函数》课程说明

（一）课程代码： 08130006

（二）课程英文名称：Functions of Complex Variables

（三）开课对象：数学与应用数学本科、信息与计算科学本科学生 （四）课程性质：考试

复变函数是数学专业的一门专业必修课，又是数学分析的后继课。已经形成了非常系统的理论并且深刻地渗入到代数学，解析数论、微分方程、概率统计、计算数学和拓扑学等数学分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方面也有很多的应用。先修课程：数学分析，解析几何，高等代数，普通物理，常微分方程。

（五）教学目的：

通过本课程的讲授和学习，使学生了解和掌握解析函数的一般理论，接受严密的复分析训练，并为将来从事教学，科研及其它实际工作打好基础。

（六）教学内容：

本课程主要讲述解析函数的分析理论，级数理论和几何理论；主要内容为复平面和复变函数，解析函数的初等函数及多值性问题，复函数的积分和调和函数，级数，留数理论及应用，保形映照等。

（七）教学时数 学时数：72学时 分 数：4学分

教学时数具体分配：

教 学 内 容 第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 解析函数的幂级数表示法 第五章 解析函数的罗朗展式与孤立奇点 第六章 留数理论及应用 第七章 保形映照 合 计 （八）教学方式 教师课堂讲授为主。

（九）考核方式和成绩记载说明

讲授 6 12 12 12 8 12 8 70 实验/实践 考试2 2 合计 6 12 14 12 8 12 8 72 考核方式为考试。严格考核学生出勤情况，达到学籍管理规定的旷课量取消考试资格。综合成绩根据平时成绩和期末成绩评定，平时成绩占40% ，期末成绩占60% 。

二、讲授大纲与各章的基本要求

第一章 复数与复变函数

教学要点：

通过本章的教学使学生初步使学生初步掌握并熟悉复平面的基础知识和复函数的概念，掌握区域和复数的各种表示方法及其运算，了解复球面的建立与球极投影，和复变函数的定义与二元实函数的关系。

1、 使学生掌握复数各种表示方法及其运算。 2、 使学生了解区域的概念。

3、 使学生了解复球面与无穷远点。 4、 使学生理解复变函数概念。

教学时数：6学时 教学内容：

第一节 复 数

一、复数域、复平面 二、复数的模与辐角

三、乘幂、方根、共轭复数 第二节 复平面上点集

一、平面点集的几个基本概念 二、区域、约当曲线 第三节 复变函数 一、复变函数

二、复极限、复连续

第四节 复球面和无穷远点 一、复球面

二、扩充复平面上的几个概念 考核要求： 1、复数

1.1 复数的各种运算、表示法和三角不等式（应用） 2、复平面上点集

2.1 平面点集的几个基本概念 （领会） 2.2 区域、约当曲线 （领会） 3、复变函数

3.1 复极限、复连续（识记） 4、复球面和无穷远点

4.1 无穷远点（识记）

第二章 解析函数

教学要点：

1、理解复变函数可导与解析的概念，弄清这两个概念之间的关系。 2、熟练掌握解析函数的C－R条件，能运用C－R条件判定函数的解析性。 3、熟练掌握和运用解析函数的求导与求导公式。

5、 熟练掌握指数函数、幂函数、三角函数的定义和基本性质以及简单映射性质。并会

运用欧拉公式和复数的指数表示。

5、掌握各初等多值函数的定义和基本性质，了解其多值性。

教学时数：12学时 教学内容：

第一节 解析函数的概念与C－R条件 一、复导数、复微分

二、解析函数，C－R条件 第二节 初等解析函数 一、指数函数 二、三角函数 三、双曲函数

第三节 初等多值函数 一、根式函数 二、对数函数 三、一般幂函数 四、一般指数函数 考核要求：

1、解析函数的概念与C－R条件 1.1 复变函数可导与解析（领会） 1.2 解析函数的C－R条件（应用）

2、初等解析函数

2.1 指数函数、幂函数、三角函数 （应用） 3、初等多值函数

3.1 各初等多值函数的定义和基本性质（识记）

第三章 复变函数的积分

教学要点：

1、 掌握复变函数沿一条逐段光滑曲线积分的定义，基本性质和计算方法，及其与实函 数积分的关系。

2、熟练掌握柯西积分定理，能证明柯西积分定理。 3、理解解析函数在单连通区域内的不定积分概念。 4、熟练掌握和运用柯西积公式与高阶导数公式。

5、掌握柯西不等式、刘维尔定理、最大模原理，并能应用它们做一些较简单的证明题，

了解摩勒拉定理。

教学时数：12学时 教学内容：

第一节 复积分的概念性质 一、复积分的定义 二、复积分的计算 三、复积分的性质

第二节 Cauchy积分定理 一、Cauchy积分定理

二、不定积分

三、Cauchy积分定理的推广 第三节 Cauchy积分公式及推论

一、Cauchy积分公式

二、解析函数的无穷可微性 三、刘维尔定理

第四节 解析函数与调和函数的关系 一、解析函数与调和函数的关系

考核要求：

1、复积分的概念性质

1.1 复积分 （识记、领会、应用） 2、Cauchy积分定理

2.1 Cauchy积分定理（领会） 2.2 不定积分 （应用） 3、Cauchy积分公式及推论

3.1 柯西积公式与高阶导数公式（领会、应用） 3.2 刘维尔定理（领会） 4、解析函数与调和函数的关系

4.1解析函数与调和函数的关系（应用）

第四章 解析函数的幂级数表示

教学要点：

1、 理解复数项级数的基本概念，掌握一致收敛性的判别法。

2、 掌握幂级数的基本性质和求收敛半径的公式，理解幂级数在收敛圆内的内闭一致 收敛性与所定义函数的解析性。

3、 记住ez,In(1+z),sinz,cosz和(1+z)a 的幂级数展开式，并能熟练的运用。 4、 掌握解析函数零点的孤立性定理和唯一的定理。 教学时数：12学时 教学内容：

第一节 复级数的基本性质 一、复数项级数

二、一致收敛的复函数项级数 三、解析函数项级数 第二节 幂级数

一、幂级数的收敛性

二、收敛半径

三、和函数的解析性

第三节 解析函数的Taylor展式 一、Taylor定理

二、幂级数的和函数在收敛圆的状况 第四节 解析函数的零点，唯一性定理 一、解析函数零点的孤立性 二、唯一性定理

考核要求：

1、复级数的基本性质 1.1 复数项级数 （理解） 2、幂级数

2.1 幂级数 （识记、领会、应用） 3、解析函数的零点，唯一性定理

第五章 解析函数的罗朗展式、孤立奇点

教学要点：

1、理解罗郎级数的概念，会求出一些简单的罗郎级数的收敛域。 2、能熟练的求出一些较简单函数的罗郎展开式。

3、掌握解析函数奇点的三种类型及其特征与性质，了解解析函数在无穷远点的性质。 4、了解整函数与亚纯函数的概念 教学时数：8学时 教学内容：

第一节 解析函数的罗朗展式 一、双边幂级数，罗朗展式

二、在孤立奇点去心邻域的罗朗展式 第二节 解析函数的孤立奇点 一、孤立奇点的三种类型

二、可去奇点 三、极点 四、本性奇点

第三节 解析函数的无穷远点的性质 一、解析函数的无穷远点的性质 第四节 整函数、亚纯函数 一、整函数 二、亚纯函数

考核要求：

1.解析函数的罗朗展式 (应用) 2.解析函数的孤立奇点 (应用)

3.解析函数的无穷远点的性质(领会与应用) 4.整函数、亚纯函数 （领会）

第六章 留数定理及应用

教学要点：

1、留数的定义及计算方式，在无穷远点的留数。 2、留数定理。

3、利用留数定理计算实积分。 4、辐角原理，儒歇定理。

教学时数：12学时 教学内容： 第一节 留数

一、留数的定义，留数的定理，留数的方法 第二节 用留数计算实积分 一、用留数计算实积分

第三节 辐角原理及应用

一、对数留数 二、辐角原理 三、Ruché定理 考核要求：

1、掌握留数的定义及计算方式（包括在无穷远点的留数）。

2、了解留数定理，知道利用留数定理计算实积分的一般方法，并能计算常见的三种类型的确积分。

第七章 保形映照

教学要点：

1、理解导数的模与辐角的几何意义和保形映射概念。 2、熟练的掌握ez,Inz,zn以及儒可夫斯基函数的映射性质。 3、熟练掌握分式线性映射的基本性质。

4、能将一些较简单的单连通区域变换成单位圆或上半平面。 5、了解黎曼映射定理和边界对应定理。 教学时数：8学时 教学内容：

第一节 解析变换的特性 一、线性变换 二、保形形

三、保交比性，保圆性，保对称点性 第二节 某些初等函数构成的保形变换

一、关于保形变换的黎曼定理和边界对应定理

考核要求：

1、ez、Inz、 zn以及儒可夫斯基函数的映射性质。 2、掌握分式线性映射的基本性质。

3、能将一些较简单的单连通区域变换成单位圆或上半平面

三、推荐教材和参考书目

1．《复变函数论》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。

2．《函数论方法》庹克平，李凤友编著，天津师范学院数学系。 3．《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。 4．《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。 5．《解析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。

一、对数留数 二、辐角原理 三、Ruché定理 考核要求：

1、掌握留数的定义及计算方式（包括在无穷远点的留数）。

2、了解留数定理，知道利用留数定理计算实积分的一般方法，并能计算常见的三种类型的确积分。

第七章 保形映照

教学要点：

1、理解导数的模与辐角的几何意义和保形映射概念。 2、熟练的掌握ez,Inz,zn以及儒可夫斯基函数的映射性质。 3、熟练掌握分式线性映射的基本性质。

4、能将一些较简单的单连通区域变换成单位圆或上半平面。 5、了解黎曼映射定理和边界对应定理。 教学时数：8学时 教学内容：

第一节 解析变换的特性 一、线性变换 二、保形形

三、保交比性，保圆性，保对称点性 第二节 某些初等函数构成的保形变换

一、关于保形变换的黎曼定理和边界对应定理

考核要求：

1、ez、Inz、 zn以及儒可夫斯基函数的映射性质。 2、掌握分式线性映射的基本性质。

3、能将一些较简单的单连通区域变换成单位圆或上半平面

三、推荐教材和参考书目

1．《复变函数论》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。

2．《函数论方法》庹克平，李凤友编著，天津师范学院数学系。 3．《多复变函数》[美]那托西姆汉著，科学出版社。 4．《解析函数边值问题》路见可著，上海科技出版社。 5．《解析函数的边界性质》[苏]N.普里瓦洛夫著，科学出版社。

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