黄冈中学数学试卷

黄冈中学数学高考模拟试题（一）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．已知x [0,2π]，如果y cosx是增函数，且y sinx是减函数，那么（ ）．

ππ

B． x π 223π3π

x 2π C．π x D．

22

A．0 x

2

2．已知映射f：A B，其中A＝B＝R，对应法则f：y x 2x，对于实数k B，

在集合A中不存在原象，则k的取值范围是（ ）．

A．k 1 B．k 1 C．k 1 D．k 1

x 1 a2，

3．若不等式组 有解，则实数a的取值范围是（ ）．

x 4 2a

A．（-1，3） B．[-3，1] C．[-1，3] D．（-∞，-1） （3，＋∞） 4．已知f(x) bx 1为x的一次函数，b为不等于1的常量，且g(n)

(n 0)， 1

设an g(n) g(n 1)(n N*)，则数列{an}为（ ）．

f[g(n 1)](n 1)，

A．等差数列 B．等比数列 C．递增数列 D．递减数列

5．已知直线l，m与平面 ， ， 满足 l，l// ，m ，m 和m ，那么必定有（ ）．

A． 且l m B． 且m// C．m// 且l m D． // 且 6．在复平面上，到复数

1

3i对应点F的距离与到直线l：3z 3z 2 0的距离相3

等的点的轨迹是（ ）．

A．抛物线 B．双曲线 C．椭圆 D．直线 7．已知 的分布列为

且设 2 1，则 的期望值是（ ）．

A．

2129 B． C．1 D． 3636

8．做一个面积为1平方米、形状为直角三角形的铁架框，在下列四种长度的铁管中，

最合理（够用，又浪费最少）的是（ ）．

A．4.6米 B．4.8米 C．5米 D．5.2米

9．有一个各条棱长约为a的正四棱锥，现用一张正方形包装纸将其完全包住，不能裁剪，可以折叠．那么包装纸的最小边长为（ ）． A．(

2 6

)a B．(2 6)a 2

1 )a 2

C．(1 )a D．(

10．已知函数y f(x)（x R）满足f(x 1) f(x 1)，且x [-1，1]时，f(x) x2,则y f(x)与y log5x的图象的交点个数为（ ）．

A．2 B．3 C．4 D．5

x2y2

1的一个顶点和一个焦点，且圆心在该双曲线上，则 11．该圆C过双曲线

916

圆心到该双曲线的中心的距离是（ ）．

4416

C． D．5 B．

333

π3

12．设函数f(x) x（x R），若0 时，f(msin ) f(1 m) 0恒成立，

2

则实数m的取值范围是（ ）．

1

A．（0，1） B．（-∞，0） C．( ，) D．( ，1)

2

A．

二、填空题（每小题4分，共16分）

13．若点P(cos ，sin )在直线y 2x上，则sin2 2cos ＝________． 14．一个袋中有带标号的7个白球，3个黑球．事件A：从袋中摸出两个球，先摸的是黑球，后摸的是白球．那么事件A发生的概率为________．

2

3211

的首项a1，最长弦长为an，若公差d (，)，那么n的取值集合为________．

63

22

15．在圆x y 5x内，过点(，)有n条弦的长度成等差数列，最短弦长为数列

52

16．P-ABCD是棱长均为a的正四棱锥，则由侧面△PAD的中心O1沿表面走到相对侧面△PBC的中心O2的最短距离等于________．

三、解答题（第17～21题每题12分，第22题14分，共74分） 17．设向量a＝（cos23°，cos67°），b＝（cos68°，cos22°），u＝a＋tb（t R）． （1）求a·b；

（2）求u的模的最小值． 18．（注意：考生在甲、乙两题中选一题作答，若两题都答，只以甲题计分）

（甲）如图所示，PD垂直于正方形ABCD所在平面，AB＝2，E是PB的中点，与

AE夹角的余弦值为

．

3

（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标； （2）在平面PAD内求一点F，使EF 平面PCB．

（乙）如图所示，已知直三棱柱ABC A1B1C1中， ACB＝90o，侧面AB1与侧面AC1所成的二面角为60°，M为AA1MC1 30°， CMC1 90°，AB a．

1上的点， A

（1）求BM与侧面AC1所成角的正切值； （2）求顶点A到面BMC1的距离．

19．已知椭圆的焦点是F1( ，0)和F2(3，0)，离心率为e （1）求椭圆上的点到直线2x 3y 8 0距离的最大值； （2）若P在椭圆上，PF1 PF2

3

． 2

2

，求△PF1F2的面积． 3

20．{an}和{bn}分别是等比数列和等差数列，它们的前四项和分别为120和60，而第

2222

二项与第四项的和分别是90和34，令集合A {a1，a2，a3， ，an}，B {b1，b2，

b3， ，bn}．求证：A B．

21．某人上午7时，乘摩托艇以匀速v海里/时(4 v 20)从A港出发到距50海里的B港去，然后乘汽车以匀速 千米/时(30 100)自B港向距300千米的C市驶去，应该在同一天下午4时至9点到达C市．设汽车、摩托艇所需要的时间分别是x、y小时． （1）作图表示满足上述条件的x、y范围；

（2）如果已知所要的经费p 100 3 (5 x) 2 (8 y)（元），那么v、 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？

22．已知f(x)是定义在[ 1，0) (0，1]上的奇函数，当x [ 1，0]时，

f(x) 2ax

1

（a为实数）． x2

（1）当x (0，1]时，求f(x)的解析式；

（2）若a 1，试判断f(x)在[0，1]上的单调性，并证明你的结论； （3）是否存在a，使得当x (0，1]时，f(x)有最大值 6．

参考答案

1．C 2．A 3．A 4．B 5．A 6．D 7．A 8．C 9．C 10．C 11．C 12．D 13．

27

14． 15．{4，5，6} 16．a 530

17．a ＝（cos23°，sin23°），b ＝（cos68°，sin68°）， （1）a·b＝ cos23°cos68°＋sin23°＋sin68°＝ cos45°＝

2

2

． 2

2

2

（2）a＝cos23°＋sin23°）＝1，b＝cos68°＋sin68°＝1，|u|＝u＋（a＋tb）＝a＋tb＋2ta·b＝1 t 2t (t

2

2

22222

222

2212) ，所以当t 时，222

|u|min

2 2

18．（甲）（1）如题图以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系 A（2，0，0）、B（2，2，0），C（0，2，0），设P（0，0，2m） E（1，1，m），则 （-1，1，m）， （0，0，2m）

，

所以E点的坐标是（1，1，1）．

（2）F 平面PAD，可设F(x，0，z) EF (x 1， 1，z 1)，EF 平面

2m2 1 m2 2m

m 1，3

PCB (x 1， 1，z 1) (2，0，0) 0 x 1．则 (x 1，

1，z 1) (0，2， 2) 0 z 0，所以点F的坐标是（1，0，0），即点F是DA的中

点．（乙）（1）三棱柱ABC A1B1C1为直棱柱， BAC为二面角B1 AA1 C1的平面角，

BC 侧面AC1．所以 BAC 60°，又 ACB 90°．连接MC，则MC是MB在侧面AC1

上的射影．所以 BMC为BM与侧面AC1所成的角．又 CMC1 90°， A1MC1 30°，所以 AMC 60°．设BC m，则AC

23所以tan BMC ．（2）m，MC m．323

过A作AN MC．垂足为N，因为AN//MC1，所以AN//面MBC1．面MBC MBC1，过N作NH MB，垂足为H，则NH是N到面MBC1的距离，也即A到MBC1的距离．AB a，AC

aa

，且 ACN 30°，可得AN ，且 AMN 60°．所以24

MN

3339

a．NH MN sin BMC a a．说明：本题（2）亦可利121252

用VA MBC1 VB AMC1来求解

c 3，4

a 2，xy a 4，

2 2 19．设椭圆2 2 1，半焦距为c，则 c椭圆32

ab． a b 3 b 1

2 a

2

2

x2

y2 1．设椭圆上的点为P(2cos ，sin )．P到直线2x 3y 8 0的距离方程为4d

4cos 3sin 85sin( ) 813

，当且仅当sin( ) 1时取

4），椭圆上的点到直线2x 3y 8 0的最大值为． 3

2222

（2

），又 PF

PF||FF| |PF| |PF|12121212

3

“＝”（其中tan

2 2|PF

2|，|PF1|

|PF1| |PF2| 4，即12 (|PF1| |PF2|)|

2|1|

|PF2PF2

2

2 16 2|PF1| |PF2| 2 2 |PF1| |PF2| 4 ，333

113

，S

|PF1| |PF2|

，

222

143

2323

a1(1 q4)

120,， S4 120

20．证明：等比数列{an}中， 当q 1时， 1 q化简得

a2 a4 90; aq aq3 90,

1 1 S'4 60，

q 4q 3 0，所以q 3，a1 3，an 3，等差数列{bn}中，

b b 34，4 2

2

n

4 3

4b d 60， b1 9， 1231n

解得所以bn 4n 5．A {9，9，9， ，9}， 2

d 4， b d b 3d 34，1 1

B＝{9，13，17， ，4n＋5}．设A中任意元素为9(k N)，则需证9是B中的一个元

k

*

k

9k 5

(m N*)，则需证9k 5素，设其为4m 5(m N)，则需证9 4m 5，即m 4

*

k

1k 11k 1

是4的倍数．因为9k 5 (8 1)k 5 8k Ck8 Ckk 1 8 Ckk 5 8k Ck8

Ckk 1 8 4，所以以上多项式各项都是4的倍数，9k 5能被4整除．所以集合A

中的任意元素都是B中的元素，又13 B，13 A，所以A B 21．（1）依题意得v

30050

， ，4 v 20，30 100，所以3 x 10，

xy

525

y ①．由于汽车、摩托艇所需要的时间和x y应在9至14时之间，即22

9 x y 14 ②．因此，满足①、②的点（x，y）的存在范围是图中阴影部分（包括

边界）．

（2）p 100 3 (5 x) 2 (8 y)，3x 2y 131 p．设131 p k，那么当k最大时，p最小．在通过图中的阴影部分区域（包括边界）且斜率为

3

的直线3x 2y k2

中，使k值最大的直线必通过点（10，4）．即当x 10，y 4时，p最小．此时，v 12.5，

30，p的最小值为93元

22．（1）设x (0，1]，则 x [ 1，0)，f( x) 2ax 则f(x) 2ax

1

，f(x)是奇函数，x2

1

，x (0，1]； 2x

2111

（2）f'(x) 2a 3 2(a 3)，因为a 1，x (0，1]，3 1，a 3 0，

xxxx

即f'(x) 0，所以f(x)在[0，1]上是单调递增的．

（3）当a 1时，f(x)在(0，1]上单调递增，f(x)max f(1) a a

3

5

（不2

3

11

含题意，舍去），当a 1，则f'(x) 0，x ，如下表f(x)max f( )

aa

6 a 22 x

2

(01]，

2

所以存在a 2使f(x)在(0，1]上有最大值 6．

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