概率统计习题册(2015)

《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号

第一章 随机事件与概率

§1.1 随机事件

1. 写出下列随机试验的样本空间：

（1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（以百分制记分）.

（2）在以原点为圆心的单位圆内任取一点，记录它的坐标.

2.设A,B,C是三个事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件：

（1）A发生而B,C都不发生.

（2）A,B都发生而C不发生. （3）三个事件恰有一个发生. （4）三个事件至少有一个发生. （5）三个事件至少有两个发生. （6）三个事件不多于两个发生. (7) A,B,C都不发生.

3. 指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并说明理由. （1）A∪B=AB∪B； （2）(A∪B)C=A∩B∩C； （3）(AB)(AB)=φ；

（4）若A?B，则A=AB；

（5）若AB=φ且C?A，则BC=φ.

1

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§1.2 随机事件的概率

1.设事件A与B互不相容，P(A)=0.3，P(B)=0.6，求P(A∪B).

2.设A,B,C是三个随机事件，P(AB)=P(BC)=0，P(AC)=

18

，P(A)=P(B)=P(C)=

1

4

，求A,B,C至少有一个发生的概率.

3. 设P(A)=13，P(B)=1

2

. 在下列三种情况下求P(BA)的值： （1）AB=φ； （2）A?B； （3）P(AB)=1

8

.

4. 设A、B为两个事件，P(B)=0.5，P(A?B)=0.3，求P(A∩B).

2

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§1.3 古典概型与几何概型

1. 一批产品共10件，其中一等品3件，二等品5件，三等品2件，现从中任取3件，求：（1）恰好有两件一等品的概率；（2）至少有2件产品的等级相同的概率．

2. 从5双不同的鞋中任取4只，求这4只鞋子中至少有两只能配成一双的概率.

3. 将3个球随机地放入4个杯子中去，求杯子中球的最大个数分别为1，2，3的概率.

4. 在区间(0,1)中随机地取两个数，求事件“两数之差的绝对值小于1

2

”的概率.

3

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§1.4 条件概率

1. (1) 已知P(A)=1/4,,P(B|A)=1/3,P(AB)=1/2,求P(A∪B). (2) 已知P(A)=0.3,P(B)=0.4,P(AB)=0.5, 求条件概率

P(B|A∪B).

2. 掷两枚均匀的骰子, 已知它们出现的点数各不相同, 求其中有一个点数为4的概率.

3. 假设有3箱同型号的零件，分别装有25件，20件，15件，而一等品分别有20件，18件，12件. 现在等可能地任选一箱，从中先后各随机抽取一个零件（第一次取到的放回）：（1）计算两次都取到一等品的概率；（2）已知两次都取到了一等品，求取自第一箱的概率.

4. 甲袋中有4个红球2个白球，乙袋中有5个红球3个白球，从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求：（1）乙袋中取得红球的概率.（2）已知从乙袋中取到红球，求从甲袋中取到一个红球一个白球的概率.

4

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§1.5 事件的独立性

1．P(A)=0.3,P(C)=0.6,P(BA)=0.4,P(B∪C)=0.72，B与C独立，求P(A∪B).

2. 加工一个产品要经过三道工序, 第一二三道工序不出废品的概率分别为0.9, 0.95, 0.8, 若假定各工序是否出废品是独立的, 求经过三道工序生产出的是废品的概率.

3．某种电子元件寿命在1000小时以上的概率为0.8，求3个这种元件使

用1000小时后，最多只坏了一个的概率.

4．甲乙二人轮流投篮，甲先开始，假定他们命中的概率为0.4及0.5，则

甲先投中的概率为多少？乙先投中的概率为多少？

5

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§2.5 随机变量函数的分布

x

?0.2,?1≤x<0??2

1. 设随机变量X的分布函数为F(x)=?0.5,0≤x<1，求Y=X的

3. 设随机变量X服从区间[0,2]上的均匀分布，求随机变量Y=X的密度函数.

2

分布律.

?2. 设随机变量X~f?x

,X(x)=??2?0,

? ?

0.9,1≤x<2? ?1,

x≥2

4. 设随机向量X服从参数为2的指数分布，证明：Y=1?e

?2X

服从区间

[0,1]上的均匀分布. 0

，求Y=2X+3的密度函数.

其它

5. 随机变量X~N(0,1), 证明: Y=1?X~N(1,1).

16

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第二章 自测题

一、填空题

1. 若X~N(μ,σ)，则

2

X?μσ服从_____________分布.

?3e?3xx>0

，则EX=____，2. 设随机变量的概率密度为f(x)=?

x≤0?0

?0,x

?0.4,?1≤x<0?

，则X的分布律为8. 随机变量X的分布函数F(x)=?

0.8,02x≤

__________________.

9. 12人小组中，有5名“三好生”，从中任选6人参加竞赛，用X表示6人中“三好生”的人数，则P{2≤X≤4}=_________.

E(2X?1)= .

3. 设随机变量X的分布函数为F(x)=A+Barctanx,?∞

5. 连续型随机变量X的概率密度满足f(?x)=f(x)(x∈R)，其分布函数为F(x)，则对任意正数a，有P(|X|>a)=________________(用分布函数表示).

6. 若随机变量X的概率密度为fX(x)，则随机变量Y=?3X的概率密度

2

2

?1

?,

10.已知连续型随机变量X~f(x)=?2

??0,

0≤x≤2其它

，则

P{-3≤X≤0.5}=_______.

A??1,x>2?2

11.连续型随机变量X的分布函数F(x)=?，则x

?x≤2?0,A=______

，

P{0≤X≤4}=__________

,密度函数

fY(y)= .

7.离散型随机变量的概率分布为P{X=i}=a?(),i=1,2.....,则

f(x)=_____________.

3

4

i

a=_______.

?λe?2x,x≥0

，则λ=______, 12. 若X~f(x)=?

?0,x<0

P{X>100}=_________.

17

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二、计算题

1. 已知随机变量X的密度函数f(x)=??

sinx,

0≤x≤a

?0,

其它

，求：

（1）a；（2）P(X>π3

)；（3）分布函数F(x).

2. 设连续型随机变量X的分布函数为

?

?0,x

?2arctanx+1,?1≤x<1，?π2

??

1,x≥1求（1）X的密度函数；（2）EX,DX.

3. 设随机变量X的密度函数f(x)=??2x,0

0,其它Y=e?2X

的期望

与方差.

18

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X

4. 已知随机变量X的概率分布为

12?10

，求

三、应用题

P0.20.10.30.4

Y=4X+1,Z=X2的概率分布.

5. 已知随机变量X~N(0,1)，求Y=eX

的密度函数.

1. 袋中有7个球，其中4个红球，3个黑球. 现从袋中任取3个球，求取

出的红球数X的概率分布以及取出不少于2个红球的概率.

2. 已知某种机器零件的寿命X（单位：千小时）是一个连续型随机变量，

其密度函数为f(x)=??

e?x,

x>0，每个零件的成本为2元. 假设每

?0,

x≤0

个零件的售价为5元，并且当零件的寿命低于900小时时厂家将退还全部货款. 求该厂家售出每个零件的期望利润.

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3. 校对一份5页的稿件，假定每页的错误数服从参数为2的泊松分布，求

（1）恰有一页错误数不超过1个的概率；（2）至少有一页错误数不超过1个的概率.

4. 假设某居民区每个用户的煤气月使用量服从正态分布，平均用量为39.5

立方米，标准差为10立方米. 试求在该居民区随意调查的三个用户中有两户的煤气用量都在25到30立方米之间的概率.

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第三章 随机向量 §3.1 随机向量的分布

1. 设二维随机向量(X,Y)的概率分布为：

YX 0 0 1 2 缘分布：（3）P{X=Y}；（4）P{X

2

a 0.2 0.2 1 0.3 0.1 0.1 求：（1）a的值；（2）X,Y的边缘分布；（3）P{X

2. 把一枚均匀的骰子独立地抛掷两次，X表示第一次出现的点数，Y表示（2）X,Y的边两次出现的点数的最大值.求：（1）(X,Y)的概率分布；

3. 设(X,Y)服从G={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上的均匀分布，求： （1）(X,Y)的概率密度函数；（2）X和Y的边缘密度函数.

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4. 设随机向量(X,Y)的密度函数为：

2

f(x,y)=??

x+cxy,

0≤x≤1,0≤y≤2

其他

，

?0

求：（1）常数c；（2）P{X+Y≤1}；（3）X和Y的边缘密度函数.

设随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=??

kxy2

5. 0≤y≤x≤1

?0

其他

,

求：（1）k；（2）X和Y的边缘密度；（3）P{X<1

3

}.

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§3.2 条件分布与随机变量的独立性

1. 一个袋内装有5个白球，3个红球. 第一次从袋内任意取一个球，不放回，第二次又从袋内任意取两个球，Xi表示第i次取到的白球数( i=1,2 ). 求X2=1的条件下X1的条件分布.

2. 随机向量(X,Y)只取 (0,0),(?1,1),(?1,2) 及 (2,0) 四对值，相应概

3. 设二维随机向量(X,Y)的密度函数为

?Cxy20

， g(x,y)=?

其他0?

求常数C，并判断X与Y是否独立.

23

1115

率依次为,??,?,?，试判断随机变量X与Y是否独立.

126312

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?e?y0

4. 设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数f(x，y)=?，

其他?0

（1）求X，Y的边缘密度函数；（2）判断X，Y是否独立；（3）求在Y=y的条件下，X的条件概率密度函数；（4）求P(X+2Y≤1)；（5）求

P(X≥2|Y=4).

24

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§3.3 随机向量函数的分布与数学期望

1. 设随机变量X与Y相互独立，且X，Y的概率分布分别为

X 0 1 Y 1 2 3. 已知二维随机向量(X,Y)的分布如习题1（1）所示，求

EX,EY,EXY,E(X+Y).

4. 已知(X,Y)的密度函数为：

p 1 43 4 p 2 53 5试求：（1）二维随机向量(X,Y)的分布；（2）随机变量ξ=X+Y与

η=XY的概率分布.

2. 设二维随机向量(X,Y)服从D={(x,y)|0≤x≤2,0≤y≤1}上的均匀分布. 求Z=XY的密度函数.

1??x(1+3y2)0≤x≤2,0≤y≤1

， f(x,y)=?4

其他?0?

X

试求EX，EY，及E(X+Y)，EXY，E().

Y

25

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§3.4 随机向量的数字特征

Y

X

?101

1. 已知随机向量(X,Y)的概率分布为 ?11/81/81/8， 01/801/81

1/81/81/8

（1）求X与Y的协方差矩阵以及相关系数；（2）X与Y是否相互独立？是否不相关？

2. 设(X,Y)服从二元正态分布N(0,1;1,4;0.5)，求E(2X2

?XY+3).

3. 已知X~N(2,9)，Y~[?2,4]，EXY=5，求：

（1）D(2X?3Y)；(2)cov(X+Y,X?Y) .

4.设二维随机变量(X，Y)的概率密度函数为

?f(x，y)=?1

?(x+y)0

， ?8

?

0其他求EX，EY，ρXY，D(X?Y).

26

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§3.5 大数定律和中心极限定理

1. 一盒同型号螺丝钉共有100个，已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量，期望值是100克，标准差是10克，求一盒螺丝钉的重量超过10.2千克的概率.

3. 某城市的市民在一年里遭遇交通事故的概率达到千分之一，为此，一家保险公司决定在这个城市中新开一种交通事故险，每个投保人每年缴纳18元保险费，一旦发生事故，投保人将得到1万元的赔偿，经调查，预计有

10万人会购买这种保险，假设其他成本为40万元，问保险公司亏本的概率多大？平均利润多少？

2. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P(0.2)，求这本书的印刷错误总数不超过70的概率.

27

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第三章 自测题

一、填空题

5.设随机变量X~b(10,0.3)，Y~U[1,7]，且X与Y相互独立，则

E(2XY?Y2)= .

1. 若(X,Y)的概率分布如下表所示，则a,b应满足的条件是 ，若X和Y独立，则a= , b= .

2. 设随机向量(X,Y)的密度函数f(x,y)=?

?c,?1≤x≤1,0≤y≤2

，

?0,

其他则c= ，P{X+Y<0}= .

3. 设随机变量X,Y相互独立，且P{X≤1}=

12,P{Y≤1}=1

3

，则 P{X≤1,Y>1}= ___________.

4. 设(X,Y)的密度函数f(x,y)=??8xy,0≤x≤y≤1

?

0,其他， 则在

Y=y(0

6. 设(X,Y)为二维随机向量，且D(X)=25,D(Y)=36,ρX,Y=0.6，则

X\\Y 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 2 1/3 a b D(X+Y)= ，D(X?2Y)= .

7. 设随机变量X~N(?3,1),Y~N(2,4)，且X与Y相互独立，则

X?2Y+11~ . 二、选择题

1. 若二维随机向量(X,Y)满足E(XY)=EX?EY，则（ ）

(A) D(XY)=DX?DY (B) D(X+Y)=D(X?Y) (C) X与Y相互独立 (D) X与Y不相互独立

2. 设随机变量X与Y独立同分布，且P{X=?1}=P{Y=?1}=0.5，

28

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P{X=1}=P{Y=1}=0.5，则（ ）

(A) X=Y (B) P{X=Y}=0.25 (C)

(A) Cov(X,Y)=0 (B) D(X+Y)=DX+DY (C) D(XY)=DX?DY (D) E(XY)=EX?EY 7.若X与Y的相关系数ρXY=0，则表示X与Y（ ）

(A)相互独立 (B)不线性相关 (D) E((C)存在常数a，b 使得P(Y=aX+b)=1 三、计算题

P{X=Y}=0.5 (D) P{X=Y}=1

3.设随机变量X1,X2的概率分布为

Xi?101

(i=1,2)，且

P1/41/21/4

XEX

)=

YEY

P{X1X2=0}=1，则P{X1=X2}=（ ）

(A) 0 (B) 1/4 (C) 1/2 (D) 1

4. 设两个相互独立的随机变量X和Y分布服从正态分布N(0,1)和

1. 设袋中有4个球，分别标有号码1,2,3,4, 现从中每次任取1个球，不放回抽取两次，X,Y分别表示取出的球上的最小号码和最大号码，求

N(1,1)，则下列结论正确的是（ ）

(A) P{X+Y≤0}=0.5 (B) P{X+Y≤1}=0.5 (C) P{X?Y≤0}=0.5 (D) P{X?Y≤1}=0.5 5.设随机变量X与Y相互独立，且X~N(1，4)，Y~N(0，1)，令

(X,Y)的概率分布并判断X与Y的独立性，计算EX,EY,DX,DY.

Z=X?Y，则EZ2= （ ）

(A) 1 (B) 4 (C) 5 (D) 6

6.已知随机变量X、Y不相关，有关数字特征均存在，则以下结论中不成立的是 （ ）

29

2. 设二维随机向量(X,Y)的概率分布为：

Y -1 0 1 X 0 0.1 0.25 0.3 《概率论与数理统计》同步练习册 班级 姓名 学号

1 0.15 0.1 0.1 试求（1）X,Y的边缘分布；（2）cov(X,Y)、D(X?Y)和ρXY.

3.设A，

B为两个随机事件，且P(A)=1114，P(B|A)=3， P(A|B)=2

，令X=??

1，A发生， ?0，A不发生，Y=??1，B发生，

?

0，B不发生，求(1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布；(2) X与Y的相关系数

ρXY；(3) Z=X2+Y2

的概率分布.

4.设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，在X=x(01}.

30

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5. 设随机向量(X,Y)的密度函数为f(x,y)=??

2(x+y),0≤x≤y≤1

，?

0,其他（1）求X,Y的边缘密度函数，并判断X,Y是否相互独立； （2）求P{X+Y<1}；（3）求E(XY).

6. 为方便计算，在进行加法运算时，对每个加数都四舍五入取到百分位，

其各加数的舍入误差可以认为是服从(?0.5×10?2，

0.5×10?2

)上均匀分布的相互独立的随机变量。现有100个加数相加，试以99.7%的概率断定其误差所在的范围(?a，a).

31

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第四章 数理统计的基础知识 §4.1 总体与样本 §4.2 统计量

1. 设容量n=9的样本的观察值为（8，7，6，9，7，7，5，8，6），则样

本均值X与样本方差S分别为多少？

2

3．(1) 设总体X服从参数为λ的泊松分布，X1,X2,??,Xn是来自总体

的样本，试写出样本的概率分布.

(2) 设总体X服从参数为λ的指数分布，X1,X2,??,Xn是来自总体的

样本，试写出样本的概率密度函数.

2．设X1,X2,??,Xn是取自总体X的样本，X,S分别为样本均值与样本

方差，假定μ=EX,σ2

§4.3 常用的统计分布 §4.4 抽样分布

1. 设总体X服从正态分布N(42,5.4)，从总体X中随机抽取一容量为

2

2

25的样本，求样本均值X落在40.8到43.8之间的概率.

32

=DX均存在，试求EX,DX,ES.

2

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2. 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的简单随机样本，

2

4. 设X1,X2,X3,X4是来自正态总体N(0,2)的样本，令统计量

2

X=α(X1?2X2)2+β(3X3?4X4)2，若统计量X服从χ2分布，试计

算α,β的值．

Y=(X1+X2)2+(X3?X4)2, 若CY～χ2(2)，求常数C.

5. 设X1,??,X8和Y1,??,Y10分别是取自总体N(?1,2)和N(2,5)的样

22

本，且相互独立，S1和S2

2

3．假设总体X与总体Y相互独立且都服从N(0,3)，X1,X2,??,X9和

2

分别是两个样本的样本方差，试求

5S12

24S2

服从的

Y1,Y2,??,Y9是分别来自总体X和Y的样本. 试证明：统计量T=

33

分布.

X1+X2+??+X9Y+Y+??+Y

21

22

29

~t(9).

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第四章 自测题

一、选择题

1. X1,X2,??Xn是来自正态总体X~N(μ,σ)的样本,其中μ已知,σ未知,则下列不是统计量的是( )

n

2

X12+X2+??+X92

Y1,Y2,??,Y16分别为来自X和Y的样本, 则 2 2

Y1+Y22+??+Y16

2

服从的分布为( )

(A) F(16,9) (B) F(9,16) (C) F(9,9) (D) F(16,16)

(A) maxXk (B)X?μ (C)

1≤k≤n

∑σk=1

Xk

(D) minXk

1≤k≤n

6. 设X～N(μ,σ)其中μ已知，σ未知，X1,X2,X3是样本，则下列

选项中不是统计量的是 ( )

22

2. 设随机变量X的密度函数为 f(x)=

12πe

?

(x+3)24

,x∈(?∞,+∞)，

(A) X1+X2+X3 (B) max{X1,X2,X3} (C) ∑

3

则服从N(0,1)分布的随机变量为( )

Xi2

2

(A)

X+3X?3X+3X?3

(B) (C) (D)

2222

2

i=1σ (D) X1?μ

2

2

7. 设X~N(μ,σ)，且μ已知，σ未知，X1,X2,??,Xn是X的一个容

量为n的样本，下列各式中哪个不是统计量（ ）

2

(A) X1+X2 (B) ∑Xi?5μ (C) ∑Xi (D) X1?σ

i=1

i=1

n

n

3. X服从正态分布，EX=?1，EX

=4，X1,X2,??,Xn是来自总体

1n

X的样本，X=∑Xi，则X服从的分布为（ ）

ni=1

(A) N(?1,) (B) N(?1,) (C) N(?

2

3n4n113,4) (D) N(?,) nnn

8. 假设总体X~U[

11

?θ,+θ],其中θ为未知参数，又假设22

4. 设X~N(0,σ)，则服从自由度为n?1的t分布的随机变量是（ ）

1n

X1,X2,??,Xn是来自总体X的一组样本，令Y=∑(Xi?μ)2，

ni=1

则当μ为( )时，Y不是统计量.

(A)

nXnXnXnX

(B) (C) (D) SSS2S2

5. 设总体X~N(0,16),Y~N(0,9),X,Y相互独立,X1,X2,??,X9和

34

(A)

1n

∑Xi (B) maxXi (C) EX (D) DX

1≤i≤nni=1

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1n1n22

9. 设X~N(0,1)，X=∑Xi，S=∑(Xi?X)，服从自由

ni=1n?1i=1

度为n?1的χ分布的随机变量是（ ）

2

(C) ∑Xi~

i=1

n

2

χ2(n) (D) XS~t(n?1)

2

12. 设X1,X2,??X16是取自总体X~N(1,σ)的样本，X为样本均值，

2

(A) ∑Xi (B) S (C) (n?1)X (D) (n?1)S

i=1

n

22

2

已知Y=aX+b~N(0,1)，则有（ ）

(A) a=

10. 设X1,X2,??Xn为来自正态总体N(μ,σ)简单随机样本，X是样本

均值，记S1=

n

4

2

σ,b=?4,b=

4

σ4

(B) a=σ,b=?σ (D) a=σ,b=σ

2

(C) a=?

2

1n1n222

，(X?X)S=∑i∑(Xi?X)，2

n?1i=1ni=1

n

σσ13．设总体X与Y相互独立，且都服从N(0,σ)，X1,X2,X3和

2

S3

11222

则服从自由度为n?1=∑(Xi?μ)，S4=∑(Xi?μ)，

ni=1n?1i=1

Y1,Y2,Y3,Y4分别是来自X和Y的样本，则统计量

分布为( )

i=14

∑Xi

3

2

服从的

的t分布的随机变量是（ ）

i=1

∑(Yi?Y)(A) t=

X?μS1/n?1X?μS3/n

(B) t=

X?μS2/n?1X?μS4/n

(A) N(01,) (B) F(3,3) (C) F(3,4) (D) t(3) 二、填空题

1.设X1,X2,??,Xn是来自总体X~N(1,3)的一个简单随机样本，X是

样本均值，则EX=__________,DX=_____________.

2. 设105，110，120，125，118为总体X的一组样本值，则样本均值

2

(C) t= (D) t=

11．设X1,X2,??Xn是取自总体N(0,1)的样本，X,S分别为样本均值与

样本标准差，则下列正确的是（ ）

(A) X~N(0,1) (B) nX~N(0,1)

X=________, 样本方差S2=_________.

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