级数敛散性总结

摘 要

级数理论是数学分析的重要组成部分，研究级数对于深入探讨数学分析问题有着深远的意义。级数理论中最重要的问题和学者研究最多的问题则是关于级数收敛与发散的问题。级数的收敛与发散性质更是级数存在当中的最基本的立足点。

基于级数发散和收敛的问题，本文对级数进行了比较详细和系统的介绍，并在级数收敛性方面进行了较为详细的概括，包括级数的分类和收敛性的总结和应用。本文第一个部分首先对常见的级数：常数项级数、正项级数、交错级数、函数项级数、幂级数、傅立叶级数，进行了大概的介绍，并从常见级数的定义、常见级数的分类、级数收敛发散的充要条件和对应级数常用的收敛判别方法进行详细的分析概括。

本文的第二个部分针对具体的级数收敛方法，从方法的定义和方法的具体例子应用两个方面对其进行较为全面的介绍和分析，其中包括：判别级数发散与收敛的简单方法、比较判别法、比值判别法、高斯判别法、达朗贝尔判别法、对数判别法、积分判别法、拉贝判别法、柯西判别法。

最后，本文第三部分通过整理级数散敛性判断的方法，对本文进行一个综合的概括，主要从基于级数类型的方法和基于通项特征的方法两个方面总结了解答收敛性问题的分析思路和如何更快的寻找有效的方法。

关键词 ： 级数 敛散性 方法

I

Abstract

Progression theory is an important part of the mathematical analysis. The study of series is of profound significance for further discussing mathematical analysis problems. Series convergence and divergence problem is the most important question in progression theory that many researchers research on. For the analysis, series convergence and series divergence is of the basic foothold existing in mathematical analysis.

Firstly, based on the series convergence and series divergence, this thesis gives a detailed and systematical introduction to series, and a more detailed summary of series convergence, including the classification of series, application of convergence. Firstly, this paper has a general introduction to common series, including constant series, series of positive term, staggered series, series with function terms, power series, fourier series. Besides, the paper has detailed analysis and summary of the definition of common series, the classification of common series, and the sufficient and necessary conditions for the convergence series, together with the commonly used identification methods of corresponding series.

And then the second part of this article has a comprehensive introduction and analysis of the method’s definition and specific examples application of the method, including: simple method distinguishing the divergence of a series , comparative method, ratio method, Gauss method, D'Alembert discriminant method, Logarithmic method, integral method, Rabe method, and Cauchy method.

Finally, the third part of this paper made a comprehensive summary through sorting out identifying methods of series convergence and divergence. Based on the types of series and the methods of general term characteristics, this paper summarized the analysis mentality and effective ways of solutions to convergence problem.

Key words: Series Convergence Mathod

II

第一章 引言

级数理论是数学分析的重要组成部分，与极限理论有密切的联系，它与另一个分支微积分学一起作为基础知识和工具出现在其余各分支中。级数是研究函数的一个重要工具，在理论上和实际应用中都处于重要地位，这是因为一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函数，以及进行近似计算等。

III

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第二章 级数基本概念

2.1 级数的定义

其定义如下：设un?R,n?1,2,3?，记所有无限项加起来的和为

?un?1?n?u1?u2?u3???an??

而?un则称为级数。

n?1?注：数项级数或无穷级数也常简称级数。

2.2 级数的分类

级数的种类繁多，并没有很详细的分类标准，本文考虑从通项的内容来看，主要分成两大类：数项级数和函数项级数。 数项级数：通项没有含有函数的的级数。 等比级数：（又称几何级数）形如

u?uq?uq2?uq3???uq4??

其中q?0 ，称为等比级数。

调和级数：形如

11111???????? 234n称为等比级数。

正项级数：若数项级数的各项的符号都相同，则称为同号级数。对于同号级数，只须研究各项都是由正数组成的级数——称为正项级数。

交错级数:若级数的各项符号正负相间，即：

u1?u2?u3?u4?????1?n?1un???????un?0,n?1,2,3??

称为交错级数。

2

第二章 级数基本概念

一般项级数：没有以上特点的数项级数。

函数项级数：如果级数的每一项依赖于一个连续变量x，un?un?x?,x在一个区a?x?b上变化，这个级数就成为一个函数项级数，简称函数级数，记为?un。

n?1?幂级数：有幂级数列un?x?x0?所产生的函数项级数，即形如

?n??un?x?x0??u0?u1?x?x0??u2?x?x0????un?x?x0???

n?0?n2n的级数成为幂级数。

傅立叶级数：一般地说，若f?x?是以2?为周期且在???,??上可积的函数，以f?x?的傅立叶系数的三角级数

a0?f?x?????ancosnx?bnsinnx?

2n?1称为f?x?的傅立叶级数，其中

an?bn?f?x?cosnxdx,n?0,1,2,?, ????1?1???f?x?sinnxdx,n?1,2,3,?,

??称为傅立叶系数。

泰勒级数：设函数f?x?在点的某一邻域内具有直到n?1阶导数，则形如

?n?0?f?n??x?n?x?a? n!称为泰勒级数。

Laurent级数：如果函数f?x?在环形域R1?x?a?R2解析，则可以展开为

f?x??n????cn?x?a?

??n其中

f???1cn?d?????n?0,?1,?2,??

2?i?k???a?n?1

3

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(2)如果级数?vn发散，??0，那么级数?un也发散。

n?1n?1??证明：（1）对于取定的??0，存在n0??，使得只要n?n0，就有也就是

un????，vnun??????vn,?n?n0

（2）对于取定的???0,??，存在n0??，使得只要n?n0，就有

un????，也就是 vnun??????vn,?n?n0

x??例题3 设x??0,??，试判断级数??1?cos?的散敛性。

n?n?1??解：容易知道

1?coslimn??xn?x2 12n2?1x??因为级数?收敛，所以级数??1?cos? 收敛。

2n?n?1nn?1??1例题4 试判断级数?ln(1?)的散敛性。

nn?1?解：容易知道

?1?lim??1???limln?N?1???? N??n?N??n?1??11因为级数?发散，所以级数?ln(1?)发散。

nn?1nn?1?N

14

第三章 级数敛散性判别法

3.2.2 比值判别法

运用比较判别法来解决级数散敛性问题是一种广泛应用的方法，但前提是需要找到一个能用来做比较的级数，要找到一个合适的级数并不容易，所以很多时候就要用到以下的比值判别法：

设有正项级数?un，如果limn?1??un?1??，则

n??un（1）当??1时，级数?un收敛；

n?1?（2）当??1时，级数?un发散；

n?1?（3）当??1时，级数?un可能收敛也可能发散。

n?1例题5 试判别级数?3ntann?1??4n的散敛性。

解：因为

limun?14n?1?3?1 ?limn??un???4n3n?tan4n?3n?1?tan?故根据比值判别法可知，原级数?3ntann?1?4n收敛。

例题6 试判别级数?解：因为

1的散敛性。 2n?11?n?11??n?1?u1?n2limn?1?lim?lim?1 n??un??n??2?2n?n21n1?n2215

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?111?因此，比值判别法失效，但0?，而级数?是收敛的，可以根据比2221?nnn?1n较判别法可知，原级数?1也收敛。 21?nn?1?3.2.3 活用比较判别法

当所求级数的通项中出现关于n的有理式时，比较对象常常选择P级数或者调和级数。

例题7 试判别级数?解：因为

1的散敛性。

n?1n?n?1??11 ?2n?n?1?n?11又由于?收敛，则由比较判别法可知，级数?也收敛。

2n?1nn?1n?n?1??例题8 试判别级数?解：因为

n?1的散敛性。 42nn?1?n?1n?n2n1???， 2n42n42n4n3?1n?1又由于?收敛，则根据比较判别法可知，原级数?也收敛。

34n2nn?1n?1?例题9 试判别级数?解：因为

n?1的散敛性。

2n?12n?n?5?1nnn?1???

2222n2n2n?n?52n?n?5?1n?1又有级数?发散，根据比较判别法可知，原级数?也是发散的。

2?n?5n2nn?1n?1?16

第三章 级数敛散性判别法

例题10 试判别级数?2nsinn?1??3n的散敛性。

解：考虑到当x?0时，sinx?x，则

?2?sin?,2nsin?2n????? 3n3n3n3n?3?2?2?而????是公比q??1的收敛级数，故根据比较判别法可知，原级数

3n?1?3??n????n?2nsinn?1??3n收敛。

?n2?1例题11 试判别级数?ln的散敛性。

2nn?1解：由于

n2?11?1? ln?ln?1??2?2n2nn??而?1是收敛的级数，所以原级数收敛。 2n?1n?3.3 柯西判别法

柯西根式判别法（普通形式）设级数?un是正项级数，

n?1?(1)如果存在r?1和N??，使得nun?r,?n?N，那么级数?un收敛。

n?1?(2)如果对无穷个n有un?1，那么级数?un发散。

nn?1?柯西根式判别法（极限形式）设?un是正项级数。并设存在极限limnun?q，

n?1?则有

(1)如果q?1，那么级数?un收敛，

n?1?17

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(2)如果q?1，那么级数?un发散。

n?1?证明：（1）对于取定的???0,1?q?，存在N??，使得nun?q???1,?n?N。 （2）对于取定的???0,q?1?，存在N??，使得nun?q???1,?n?N。

?n?例题1 判别级数???的散敛性。

n?1?2n?1?解：由于

n1?n?limnun?limn??lim??1 ?n??n??n??2n?12?2n?1?n?n?n?根据柯西判别法可知，级数???收敛。

2n?1?n?1?2n例题2 试判断级数?的散敛性。

lnn3n?1??n解：由于

2n22limun?lim?limlnn??2?1 n??n??3lnnn??3n30nn2n根据柯西判别法可知，级数?发散。

lnn3n?1?3.4达朗贝尔判别法

达朗贝尔判别法（普通形式） 设?un是严格的正项级数。

n?1??un?1?r,?n?n0，那么级数?un收敛。 (1)如果存在r?1和n0??使得unn?1?un?1?1,?n?n0，那么级数?un收敛。 (2)如果存在n0??使得unn?1?达朗贝尔判别法（极限形式） 设?un是严格的正项级数。并存在极限

n?118

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(4)当级数通项un含形如an、?f?n??的时候，可选用根式判别法。例如：

n?n??n?、??????n?1?2n?1?n?1?n?1??2n?n21??、??2nsin?。

n?n?1??n2一般来说，当选用根式判别法无法判断时，我们也可以选用比式判别法来判断，但有时候我们用根式判别法而不使用比式判别法，因为根式判别法得到的收敛条件比比式判别法更优（王传荣、朱玉灿、徐荣聪，2007）。

(5)当级数通项un含形如

11、的时候，或者含有sin?或con?等三角lnnf?lnn???11函数的因子可以找到原函数，可以选用积分判别法。例：?、?、2nlnnn?2n?2n?lnn?1。 ?n?3nlnnlnlnn?(6)当级数通项un含形如f?n?lnn的时候，可以选用对数判别法，例如?nlnn、

n?1??n?1?1?lnn?lnlnn。

(7)当级数通项同时含有阶层与n次幂或者分子、分母含多个因子连乘除时，使用比值、根式判别法时极限等于1或无穷无法判断其敛散性的时候，选用拉贝

??u?n!enn!1判别法。例：?、?????x?0?，limn?1?n?1???不

nn??un?2n?1nn?1?x?1??x?2???x?n????n?1?能用比值判别法；lim??n???n?limnun?n???1无法判别法散敛性不能用根式判别法，

enn!无法判别散敛性。因此，当根式判别法与比值判别法无法判断敛n散性时，我们可以选用拉贝判别法(叶国菊、赵妨,2009)。

(8)当级数通项是由两个部分乘积而成，其中一部分为单调递减且极限趋于0 的数列，另一部分为部分和有界的数列，如含有sin?或con?等三角函数、??1?等；或可化为??1?如??1?nnn?n?1?2 ???1?；也可以型如?sin?un?，un为任意函数，

n?1n?34

第四章 级数敛散性比较及应用

则可以选用狄利克雷判别法。阿贝尔判别法也可以看成是狄利克雷判别法的特殊形式。例设?bn收敛，则级数?n?1??n?1??bn?n3n?1?1?，，等bblnb1???nn?n??n?12nnnn?1??n?1n?1n都收敛。

(9)当级数通项同时含logn、f?logn?的时候，可以选择伯尔特昂判别法。如:

limn??nlogn?logkn???1?1n?1nlogn???1nlogn?logk?1n?un?1?u???n?数收敛；??1，级数发散。

(10)当

unu的值可化为泰勒开式，则选用高斯判别法。如： n?1??1?xlnn?xn?1np??1?n??

35

??1,级 第五章 参考文献

参 考 文 献

[1]韩志刚. 级数与拉普拉斯变换. 北京: 化学工业出版社, 2003. 19~66 [2]华东师范大学数学系. 数学分析. 北京: 高等教育出版社, 2008. 6~78

[3]胡适耕, 张显文. 数学分析原理与方法. 北京: 高等教育出版社, 2008. 287~354 [4]宋国柱. 分析中的基本定律和典型方法. 北京: 科学出版社, 2004. 71~112 [5]孙清华, 孙昊. 数学分析内容方法与技巧. 北京: 华中科技大学出版社, 2003. 6~78 [6]王传荣, 朱玉灿, 徐荣聪. 大学数学. 北京: 科学出版社, 2007. 23~72 [7]叶国菊, 赵妨. 数学分析与考研指导. 北京: 清华大学出版社, 2009. 140~163 [8]张筑生. 数学分析新讲. 北京: 北京大学出版社, 2008. 155~193

37

第三章 级数敛散性判别法

limun?1?q则有

n??un?(1)如果q?1，那么级数?un收敛。

n?1?(2)如果q?1，那么级数?un发散。

n?1证明：(1)对于取定的???0,1?q?，存在n0??，使得只要n?n0，就有

un?1?q???1. un(2)对于取定的???0,q??1，存在n0??，使得只要n?n0，就有

un?1?q???1. un推论 设?un和?vn都是严格的正项级数。

n?1n?1??(1)如果级数?vn收敛，并且存在n0??，使得

n?1?unv?n,?n?n0，那么级un?1vn?1数?un 也收敛。

n?1?(2)如果级数?vn发散，并且存在n0??，使得

n?1?unv?n,?n?n0，那么级un?1vn?1数?un 也发散。

n?1?例题1 试判别级数?解：由于

n!的散敛性。 nn?1n?n??n?1?!un?1n!???1??1?n?lim?lim?/?lim?lim1/?1?????1 ????n?1?nn??un??n??n?1n???n??????n??en??n?1??由达朗贝尔定理可知，级数?n!收敛。nn?1n19

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例题2 试判别级数?解：由于

5n的散敛性。 5n?1n?u?n?limn?1?lim5???5?1 n??un??n?1??n55n由达朗贝尔定理可知，级数?发散。

5n?1n?3.5 对数判别法

对数判别法（普通形式） 设?un是严格的正项级数。

n?1?1?un?p?1，则有级数?un收敛；若从某一项起，若从某一项起有

lnnn?1lnln1?un?1，则有级数?un发散。 lnnn?1对数判别法（极限形式） 设?un是严格的正项级数。

n?1?1??un?p，则当p?1时，级数?un收敛；当p?1时，级数?un发散；设lnnn?1n?1ln当p?1时，级数?un有可能收敛也有可能发散。

n?1?例题1 试判别级数

111??????的散敛性。 ln?2!?ln?3!?ln?n!?解：因为当n?2时，有nn?n!，所以

nlnn?lnn!

11?ln?n!?nlnn20

第三章 级数敛散性判别法

?11但由于?发散，因此级数?发散。

n?1nln?n?n?2ln?n!??1111例题2 试判别级数???????的散敛性。 33n33333333?3?3解：由题可知，un?因为

1??11???????lnn?c?n???,c为欧拉常数 2n??13111????2n

所以

un?1????3?但是

lnn?1?????3?1??1?1?????n??2?1??????? n???3?c?3n?1?1lnn??n?1?1nln3，ln3?1

则有级数??1ln3n?1n收敛，从而级数?un收敛。

n?1?1202!?20?3!?20?4!?20?例题3 试讨论级数1?????????????的散敛

2732?7?43?7?54?7?性。

解： 由题可知，级数的通项为

n?1n?1?!?20??un?n?1???????n?1,2,3?? ??234n?7?则有

un?1?n??20??????un??n?1???7?

120201??????????????1????n?n??7e?1??7?1????n?n21

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由对数判别法可知，原级数发散。

3.6 积分判别法

柯西积分判别法：设函数f?x?在??1,???单调下降并且非负，则级数?f?n?n?1?与广义积分???1f?x?dx同为收敛或同为发散。

证明：依题意得，f?x?为?对于任意的正数A，f?x??1,???上的非负减函数，在??1,A?上可积，从而有f?n???mmmnn?1f?x?dx?f?n?1?,n?2,3?，依次相加可得

?f?n???f?x?dx??f?n?1???f?n?，若此积分收敛，则上式的左边，对于

n?21n?2n?2m?1任何的整数，有sm??f?n??f?1???f?x?dx?f?1???n?21??mm??1f?x?dx，于是级数

?f?n?收敛。反之，若级数?f?n?为收敛级数，则上式的右边，对于任意正整

n?1n?1数m?m?1?有?f?x?dx?sm?1??f?n??s，因为f?x?是非负减函数，故对任意

1n?1m?的正数A，都有0??f?x?dx?sn?s,n?A?n?1，根据上式得?1A??1 f?x?dx收敛。

同理可证级数?f?n?和积分?n?1???1f?x?dx是同时发散的。

例题1 试判别级数?解：将级数??1的散敛性。 3nn?1???11dx，由于 换成积分形式?133xn?1n?即???1??111dx??x32x2??1?1??1?11?lim?????0?? ???2p??22?2p??2??11dx收敛，根据积分判别法可知，?也收敛。33xn?1n22

第三章 级数敛散性判别法

1例题2 试判别级数?的散敛性

n?1n??11dx，由于 解：将级数?转化成积分的形式?1xnn?1???即???1??11dx?lnxx??1????0???，

?11dx发散，根据积分判别法可知，级数?发散。 xn?1n3.7拉贝判别法

拉贝判别法（普通形式）设?un是严格的正项级数。

n?1???un??1??q,?n?n0，那么级数?un（1）如果存在q?1和n0??，使得n?un?1?n?1?收敛。

??un??1??1,?n?n0，那么级数?un发散。 （2）如果存在n0??，使得n?un?1?n?1?证明：（1）由题可得

1

?pn?1n

?

unq?1?,?n?n0，取一实数p，满足1?p?q，则级un?1nvn?1np数收敛，另

p，则对于充分大的n有

?vn?1?pqun?1???1???1??O??1??，所以，级数?un也收敛。

2?vn?1?n?nnnu??n?1n?1（2）由题意得，

unun?11?11n?1??,?n?n0，因为级数?发散，所以级数

1nn?1nn?1?un?1?n也发散。

?拉贝判别法（极限形式）设?un是严格的正项级数，并且以下的极限存在，

n?123

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?un?lim??1??q n??u?n?1?（1）如果q?1，那么级数?un收敛。

n?1??（2）如果q?1，那么级数?un发散。

n?1?1?3???????2n?1??，当r?1,2,3是的收敛性。 例题1：试讨论级数???2?4??????2n??n?1???r解：当s?1时，

?u?2n?1?n1?limn?1?n?1??limn?1??lim??1， ?n??n??n??un?2n?22?2n?2???1?3???????2n?1??容易根据拉贝判别法可知，级数???发散。

4???????2n??n?1?2??1当s?2时，

??2n?1?2?n?4n?3??un?1?limn?1??limn1??lim?1， ???n??????n??2n??un??2n?2????2n?2???1?3???????2n?1??发散。

容易根据拉贝判别法可知，级数???4???????2n??n?1?2??2当s?3时，

??2n?1?3?n?12n2?18n?7??un?1?3limn?1??limn1??lim??1， ???n??????n??3n??u2n?22???2n?2?n?????1?3???????2n?1??收敛。

容易根据拉贝判别法可知，级数???4???????2n??n?1?2??3从上面我们可以看出,有些比值判别法不能判别的可用拉贝判别法可以判别,但是用拉贝判别法也同样要受到比较因子的精确度的限制。

24

第三章 级数敛散性判别法

3.8高斯判别法

设?un是严格的正项级数，并设有

n?1?un???1??????o??， un?1nnlnn?nlnn?则有

(1)如果??1，那么级数?un收敛；如果??1，那么级数?un发散。

n?1n?1??(2)如果??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，那么级数?unn?1n?1??发散。

(3)如果??1，??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，??1，

n?1?那么级数?un发散。

n?1??推论：设?un是严格的正项级数，并设有

n?1un??1?????o??， un?1n?n2?则有

(1)如果??1，那么级数?un收敛；如果??1，那么级数?un发散。

n?1n?1??(2)如果??1，??1，那么级数?un收敛；如果??1，??1，那么级数?unn?1n?1??发散。

例题1 设x?2?0，试判别级数

11212n??????????? 2?x2?x3?x2?x3?xn?1?x的散敛性。

25

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解：令un?12n??，则 2?x3?xn?1?xnun?un?1????????n?1,2,3?,u0?1?

n?1?x由此可得

?1?x?un?n??un?1?un??1?x?Sn??1?x??u1?u2?u3???un? ?????????????????u0?Sn??n?1?unxSn?1??n?1?un

但由于

?n?1?un?所以当x?0时，un?11 ????xxx1?1?1?23n?1111，级数发散；当?2?x?0是，显然有un?，故级n?1n?1数发散；当x?0时，有

?n?1?un?故?n?1?un?0?n???，所以

1xxx1?????23n?1

limSn?n??1 x11?例题2 设un?ln?ln?sinn?n?????，试讨论级数?un的散敛性。 ?n?1解：因为

un?ln1?11?1???ln???O???n??n5????n?3!n3?1??????ln11?1?1??O??3!n2??n4???11?1????????ln?1??O??n4??3!n2?11?1?????????O??3!n2??n4????????

??11故当??是，级数?un收敛；当??时，级数?un发散。

22n?1n?126

第四章 级数敛散性比较及应用

第四章 级数敛散性比较及应用

4.1 基于级数类型的方法总结

对于级数的敛散性判断，当一个级数是具体属于某一种级数，则可以考虑利用该种级数对应的收敛判别法来进行判别其散敛性。而常见的几种级数和对应的判别法如下表：

表1 判别总结表

级数类型 正项级数

散敛性判别法

比较判别法、根值判别法、比值判别法、 对数判别法、拉贝判别法、高斯判别法

任意项级数

柯西判别法、绝对收敛判别法、 Abel判别法 交错收敛判别法、Dirichlet判别法

函数项级数

M判别法、Abel判别法、Dirichlet判别法、 狄尼判别法、一致收敛判别法

幂级数 傅立叶级数

Abel定理、比值法、根值法

狄尼判别法、Lipschitz判别法、弗耶定理 狄里希来-约当判别法、威尔斯托拉斯逼近定理

4.1.1 对常数项级数

若给出的级数是常数项级数，一般可以利用以下的流程来进行判断：

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广东石油化工学院本科毕业论文：级数敛散性总结

已给级数?un?1?n u??limun?0否？ 否 发散 是 是正项级数否？ 否 是 是否交错级数 否 是任意项级数 是 比值判别法可行？ 莱布尼茨判别法 任意项级数判别法 否 比较判别法的极限形式可行？ 是 否 比值判别法 是 否 其他方法 收敛或发散

图1 判别流程图

对于求级数的散敛性，首先要研究出其通项。但是当级数可化为含参数的一般式、通项为等差或等比式或通项为含二项以上根式的四则运算且通项极限无法求出时，可以选用正项级数的充要条件进行判断。下面通过具体的例子说明：

例题1 试判别级数?分析：容易知道un?u??1的散敛性 2n?11?n?1 21?nu??(1)首先判断limun是否为0，因为1?n2?????，所以有limun?0 n??(2)然后判断是否为正项级数，由于1?n2?1，故原级数为为正项级数 (3)因为

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