高等数学基础提高二讲义1

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考研高等数学（中等题+理论）讲义

主讲：汪诚义

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第一章 函数、极限、连续

§1.1 函数

（甲） 内容要点 一、函数的概念

1. 定义

y?f(x)，x?I

x 为自变量，y 为因变量或称为函数值 f:x?y 为对应关系

自变量在定义域里面取值的时候，所有的函数值的全体就称为值域。

口诀（1）：函数概念五要素；对应关系最核心。 2. 分段函数（考研中用得很多） ,x?1?x2f(x)?例1： ?,x?13x?1?

?x,x?0例2：x??

?x,x?0?

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?x2,x?0?例3：max(x,x2,x3)??x,0?x?1

?3,x?1?x

口诀（2）：分段函数分段点；左右运算要先行。 3．反函数

例：y?x2 的反函数 x?? 由于不单值，所以要看作 x?y

y 和x??2y，它们的图像与y?x一致。

如果改变符号，写成y?x和 y??

x，那么它们的图像要变。

4．隐函数

F(x,y)?0 确定y与x的函数关系

有些隐函数能化为显函数，例：x?y?1，y? 另外有些隐函数则不能化为显函数。例：ex?y221?x和y??1?x22。

?sin(3x?2y)?5?0

二、基本初等函数的概念、性质和图像

（内容自己复习参考书，这里仅举例说明其重要性） 例1：考察 limx???(x???)(x??)arctanx

y?arctaxn的图像

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例2：考察limex?0?1x2

因为lim(?x?01x2)???

指数函数y?ex的图像

?1x2 因此limex?0?0

三、复合函数与初等函数

1. 复合函数

（i）已知f(x)，g(x)，求f[g(x)] （ii）已知f[g(x)]，g(x)，求f(x) 2. 初等函数

由基本初等函数经过有限次四则运算或复合运算用一个表达式表示的函数 原则上来说，分段函数不是初等函数 四、考研数学中常出现的非初等函数 1．用极限表示的函数 （1）y?limfn?x?

n?? （2）y?limf?t,x?

t?x 2．用变上、下限积分表示的函数

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（1）y?F(x)? （2）y?G(x)? 则

dydx?xaf?t?dt 其中f?t?连续，则

dydx?f?x?

???1?2?x?x?f?t?dt 其中?1?x?，?2?x?可导，f?t?连续，

??x??f??1?x???1??x? ?f??2?x???2

口诀（3）：变限积分是函数；出现之后先求导。

五、函数的几种性质 1．有界性：

（i）定义：设函数y?f?x?在X内有定义，若存在正数M，使x?X都有f?x??M，则称f?x?在X上是有界的。 （ii）例：f(x)? 2．奇偶性：

（i）定义：设区间X关于原点对称，若对x?X，都有f??x???f?x?，则称f?x?在

X上是奇函数。

1x在（0，1）内无界，在（1/2，1）内有界

若对x?X，都有f??x??f?x?，则称f?x?在X上是偶函数。

（ii）图像对称性：奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y轴对称。 常用公式：?a?a?0当f为奇函数?f(x)dx??a2f(x)dx当f为偶函数???0

口诀（4）：奇偶函数常遇到；对称性质不可忘。

3．单调性：

（i）定义：设f?x?在X上有定义，若对任意x1?X，x2?X，x1?x2都有若对任意f?x1??f?x2??f?x1??f?x2??则称f?x?在X上是单调增加的[单调减少的]；x1?X，x2?X，x1?x2都有f?x1??f?x2??f?x1??f?x2??，则称f?x?在X上是

单调不减[单调不增]

（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。） （ii）判别方法：在（a，b）内，若f?(x)?0，则f(x)单调增加；若f?(x)?0，则单调减少。 口诀（5）：单调增加与减少；先算导数正与负。 4．周期性：

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（i）定义：设f?x?在X上有定义，如果存在常数T?0，使得任意x?X，x?T?X，都有f?x?T??f?x?，则称f?x?是周期函数，称T为f?x?的周期。 由此可见，周期函数有无穷多个周期，一般我们把其中最小正周期称为周期。 （ii）例：f(x)?sin?x(??0)周期为T?2??；f(x)?sinx2?cosx3周期为12?是

4?和6?的最小公倍数；f(x)?sin?x?sin2x不是周期函数，因为2和?没有最小公倍数。

（乙）典型例题

一、定义域与值域

?3?x3,x??2? 【1.1函数 （乙）典型例题（1）（前）】例2．求y?f?x???5?x,?2?x?2的值

?2?1??x?2?,x?2域，并求它的反函数。

解：x??2，y?3?8?11，x?33?y，

?2?x?2，3?y?5?x?7，x?5?y，

x?2，y?1??x?2??1，x?2?1?y，

2 所以y?f?x?的值域为???,1???3,7???11,??? ?2?1?y,y?1? 反函数x??5?y,3?y?7

?3?.3?y,y?11

二、求复合函数有关表达式 例1．设f?x??x1?x2，求f?f??f?x????fn?x?

n重复合 解：f2?x??f?f?x???x1?kx2f?x?1?f2?x??x1?x21?x221?x?x1?2x2，

若fk?x??，

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则fk?1?x??fk?x?1?f2k?x??x1?kx21?x221?kx?x1??k?1?x2

根据数学归纳法可知，对正整数n，fn?x??x1?nx2

【1.1函数 （乙）典型例题（1）（中）】 例2．已知f??ex??xe?x，且f?1??0，求f?x? 解：令ex?t，x?lnt，因此f??ex??f??t?? f?x??f?1??xlntt，

?lntt1dt?1212lnlnt2x1?12ln2x

?f?1??0，?f?x??

三、有关四种性质

2x

【1.1函数 （乙）典型例题（2）（后）】例2．求I? 解：f1?x??ex?e?x是奇函数， ?f1??x??e?x?ex??f1?x? f2?x??lnx??1?1xx?e?e?5?x?x?ln?x?x?1dx

2???2x?1是奇函数，

? ?f2??x??ln?x? ?ln?2x?1

??x2?1??x22

x?x?1 ?ln1?lnx? ??f2?x? 因此x?ex?e?x?lnx? 于是I??x?1

2??x?1是奇函数

162??1?1xdx?0?2?xdx?0627

四、函数方程

【1.1函数 （乙）典型例题（3）（后）】 例1．设f?x?在?0,???上可导，f?0??0，

反函数为g?x?，且?f?x?0g?t?dt?xe，求f?x?。

2x - 6 -

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解：两边对x求导得g?f?x??f??x??2xex?x2ex，于是xf??x??x?2?x?ex，故

xxf??x???x?2?e，f?x???x?1?e?C，由f?0??0，得C??1，则

f?x???x?1?ex?1。

口诀（6）：正反函数连续用；最后只留原变量。

例2．设f?x?满足sinf?x??13sinf??1?3x??x，求f???x? 解：令g?x??sinf?x?，则

g?x??1g??1x???x， 3?3?

1g??1x??3??1?1?1?32g??32x???32x， 3

132g??1x??1g?1x??1?32??33??33??34x， ??

1g??1?1?1?13n?13n?1x???3ng??3nx???32?n?1?x， ? 各式相加，得g?x??1?1??11?3ng??3nx??x1???? ???99n?1?? ?g?x??1，?lim13ng??1?n???3nx??0 ? lim?11?1?9n???1????n?

?991???1?189 因此g?x??98x，于是

f?x??arcsi98nx?2k?或?2k?1???arcsin98x（k为整数）

口诀（7）：一步不行接力棒；最终处理见分晓。

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§1.2 极限

（甲）内容要点

一、极限的概念与基本性质 1．极限的概念

（1）数列的极限limxn?A

n?? （2）函数的极限limf?x??A；limf?x??A；limf?x??A

x???x???x?? limf?x??A；limf?x??A；limf?x??A

x?x0x?x0?x?x0? 2．极限的基本性质

定理1 （极限的唯一性）设limf?x??A，limf?x??B，则A?B 定理2 （极限的不等式性质）设limf?x??A，limg?x??B 若x变化一定以后，总有f?x??g?x?，则A?B

反之，A?B，则x变化一定以后，有f?x??g?x?（注：当g?x??0，B?0情

形也称为极限的保号性）

定理3 （极限的局部有界性）设limf?x??A 则当x变化一定以后，f?x?是有界的。 定理4 设limf?x??A，limg?x??B 则（1）lim?f?x??g?x???A?B （2）lim?f?x??g?x???A?B （3）lim?f?x??g?x???A?B （4）limf?x?g?x??AB?B?A?0?

（5）lim?f?x??

g?x?B?A?0?

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二、无穷小

1．无穷小定义：若limf?x??0，则称f?x?为无穷小（注：无穷小与x的变化过

程有关，lim穷小）

2．无穷大定义：任给M?0，当x变化一定以后，总有f?x??M，则称f?x?为

无穷大，记以limf?x???。

3．无穷小与无穷大的关系：在x的同一个变化过程中， 若f?x?为无穷大，则

1f?x?1x?0，当x??时

1xx??为无穷小，而x?x0或其它时，

1x不是无

为无穷小，

若f?x?为无穷小，且f?x??0，则 4．无穷小与极限的关系：

1f?x?为无穷大。

limf?x??A?f?x??A???x?，其中lim??x??0 5．两个无穷小的比较

设limf?x??0，limg?x??0，且limf?x?g?x??l

（1）l?0，称f?x?是比g?x?高阶的无穷小，记以f?x??o?g?x?? 称g?x?是比f?x?低阶的无穷小 （2）l?0，称f?x?与g?x?是同阶无穷小。

（3）l?1，称f?x?与g?x?是等阶无穷小，记以f?x?~g?x? 6．常见的等价无穷小，当x?0时

sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1?cosx~e?1~x，lim?1?x?~x，?1?x??1~ax。

xa12x2，

7．无穷小的重要性质

有界变量乘无穷小仍是无穷小。

口诀（8）：极限为零无穷小；乘有界仍无穷小。

三、求极限的方法

1．利用极限的四则运算和幂指数运算法则

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2．两个准则

准则1：单调有界数列极限一定存在

（1）若xn?1?xn（n为正整数）又xn?m（n为正整数），则limxn?A存在，且

n??A?m

（2）若xn?1?xn（n为正整数）又xn?M（n为正整数），则limxn?A存在，

n??且A?M

准则2：夹逼定理

设g?x??f?x??h?x?。若limg?x??A，limh?x??A，则limf?x??A 3．两个重要公式 公式1：limsinxxx?0?1

n1?? 公式2：lim?1??n??n??1???e；lim?1??u??u??u?e；lim?1?v?v?e

v?01 4．用无穷小重要性质和等价无穷小代换

5．用泰勒公式（比用等价无穷小更深刻）（数学一和数学二） 当x?0时，e?1?x?xx22!???xnn!?ox??

ne?1?x?xx2 例：求lim2x?0x3用e?1?x?xx22!?x33!?ox??（最后一项比x33高阶无

xx?036穷小）原式?lim?o(x)x33?16，这样比用洛比达法则简单

sinx?x?x33!x2?x55!x4????1?nx2n?1?2n?1?!n?ox?2n?1?

cosx?1?2!?4!2?????1?x2n?2n?!n?1?ox?2n?

ln?1?x??x?x2x3?x33x5????1?xnnn?1?ox??

nn?x? arctaxa3?5?????1?2x2n?12n?1?ox?2n?1?

x?oxn ?1?x??1?ax?a?a?1?2!x???a?a?1???a??n?1??n!??

n - 10 -

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口诀（17）：函数为零要论证，介值定理定乾坤。

第二章 一元函数微分学 §2.1 导数与微分

（甲）内容要点

一、导数与微分概念 1．导数的定义

设函数y?f?x?在点x0的某领域内有定义，自变量x在x0处有增量?x，相应地函数增量?y?f?x0??x??f?x0?。如果极限

?y?xf?x0??x??f?x0??x lim?x?0?lim?x?0

存在，则称此极限值为函数f?x?在x0处的导数（也称微商），记作f??x0?，或y?df?x?dxx?x0x?x0，

dydxx?x0，

等，并称函数y?f?x?在点x0处可导。如果上面的极限不存在，

则称函数y?f?x?在点x0处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x?x0??x，?x?x?x0，则f??x0??limf?x??f?x0?x?x0x?x0

我们也引进单侧导数概念。 右导数：f???x0??limf?x??f?x0??x?x0x?x0f?x??f?x0??lim?x?0f?x0??x??f?x0???xf?x0??x??f?x0?

左导数：f???x0??lim 则有

x?x0?x?x0?lim?x?0??x

f?x?在点x0处可导?f?x?在点x0处左、右导数皆存在且相等。

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2．导数的几何意义与物理意义

如果函数y?f?x?在点x0处导数f??x0?存在，则在几何上f??x0?表示曲线y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线的斜率。

切线方程：y?f?x0??f??x0??x?x0? 法线方程：y?f?x0???1f??x0??x?x0??f??x0??0?

口诀（18）：切线斜率是导数，法线斜率负倒数。 设物体作直线运动时路程S与时间t的函数关系为S?f?t?，如果f??t0?存在，则

f??t0?表示物体在时刻t0时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数y?f?x?在点x0处可导，则f?x?在点x0处一定连续，反之不然，即函数y?f?x?在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。例如，y?f?x??x，在x0?0处连

续，却不可导。 4．微分的定义

设函数y?f?x?在点x0处有增量?x时，如果函数的增量?y?f?x0??x??f?x0?有下面的表达式

?y?A?x0??x?o??x? ??x?0?

其中A?x0?为?x为无关，o??x?是?x?0时比?x高阶的无穷小，则称f?x?在x0处可微，并把?y中的主要线性部分A?x0??x称为f?x?在x0处的微分，记以dy或

x?x0df?x?x?x0。

我们定义自变量的微分dx就是?x。 5．微分的几何意义

?y?f?x0??x??f?x0?是曲线y?f?x?在点x0处相应于自变量增量?x的纵坐标

f?x0?的增量，微分dyx?x0是曲线y?f?x?在点M0?x0,f?x0??处切线的纵坐标相应的

增量（见图）。

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6．可微与可导的关系

f?x?在x0处可微?f?x?在x0处可导。 口诀（19）：可导可微互等价；它们都比连续强。 且dy?A?x0??x?f??x0?dx

x?x0 一般地，y?f?x?则dy?f??x?dx 所以导数f??x??dydx也称为微商，就是微分之商的含义。

7．高阶导数的概念

如果函数y?f?x?的导数y??f??x?在点x0处仍是可导的，则把y??f??x?在点x0处的导数称为y?f?x?在点x0处的二阶导数，记以y??也称f?x?在点x0处二阶可导。

?n? 如果y?f?x?的n?1阶导数的导数存在，称为y?f?x?的n阶导数，记以y，

nx?x0，或f???x0?，或

dydx22x?x0等，

y?n??x?，

dydxn等，这时也称y?f?x?是n阶可导。

二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则 （1）四则运算求导和微分公式 [f1f2]?f1f2?f1f2

'''' [f1f2f3]?f1f2f3?f1f2f3?f1f2f3

''' (

fg)?'fg?fgg2''

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（2）反函数求导公式

设y?f(x)的反函数为x?g(y)，则g'(y)? （3）复合函数求导和微分公式 设y?f(u),u?g(x)，则 （4）隐函数求导法则

每一次对x求导，把y看作中间变量，然后解出y'

例：ex?y?sin(3x?2y)?5x?6y?7，确定y?y(x)，求y' 解：两边每一项对x求导，把y看作中间变量

'' ex?y(1?y')?[cos3(x?2y)]3(?2y)?5?6y?0

1f(x)'?1f[g(y)]'

dydx?dydududx?f[g(x)]g(x)

'' 然后把y'解出来 （5）对数求导法

取对数后，用隐函数求导法则 y?(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)12

lny? 求导得

y'y?1[ln(x?1)?ln(x?2)?ln(x?3)?ln(x?4)]

2x?1(1?1x?2?1x?3?1x?4)

解出y'

y?xxx?0

xlnx y?e 解出y'

lny?xlnx

y'y ?lnx?1解出y'

（6）用参数表示函数的求导公式

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dy设x??(t),y??(t),则

dydx??'(t)dt?dx?'(t)dt(?'(t)?0)

（乙）典型例题

一、用导数定义求导数

例．设f?x???x?a?g?x?，其中g?x?在x?a处连续，求f??a? 解：f??a??limf?x??f?a?x?a?lim?x?a?g?x??0x?ax?ax?a?g?a?

二、分段函数在分段点处的可导性

【2.1导数与微分（乙）典型例题（1）（后）——（乙）典型例题（2）（前】例1．设函数 ?x2,x?1 f?x???

?ax?b,x?1 试确定a、b的值，使f?x?在点x?1处可导。

解：?可导一定连续，

?f?x?在x?1处也是连续的。 由 f?1?0??limf?x??limx?1

2x?1?x?1? f?1?0??limf?x??lim?ax?b??a?b

x?1?x?1? 要使f?x?在点x?1处连续，必须有a?b?1或b?1?a 又 f???1??limx?1f?x??f?1?x?1??lim?x?1x?1x?12?lim??x?1??2

x?1 - 25 -

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么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB。值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。

四、泰勒定理（泰勒公式）

定理1 （带皮亚诺余项的n阶泰勒公式） 设f?x?在x0处有n阶导数，则有公式 f?x??f?x0??f??x0?1!f?x?x0???x0?n!f???x0?2!?x?x0?2

n ??? ?x?x0?

?x?x0?n?Rn?x?

其中Rn?x??o?x?x0? ?x?x0?称为皮亚诺余项。

n????Rn?x?? lim?0? ?x?x0?x?x?n?0?? 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的

x初等函数如e，sinx，cosx，ln?1?x?和?1?x?（?为实常数）等的n阶泰勒公式都要

?熟记。

定理2 （带拉格朗日余项的n阶泰勒公式）

设f?x?在包含x0的区间?a,b?内有n?1阶导数，在?a,b?上有n阶连续导数，则对x??a,b?，有公式

f?x??f?x0??f??x0?1!f?n??x?x0??f???x0?2!?x?x0?2

????x0?n!?x?x0?n?Rn?x?

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其中Rn?x??f????x??n?1?!?n?1?x0?n?1，（?在x0与x之间）称为拉格朗日余项。

上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。x0?0时，也称为麦克劳林公式。 如果limRn?x??0，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。

n?? f(a)?f(b) g?x??x

← → 拉格朗日中值定理 ↑ n=0

（乙）典型例题

一、用罗尔定理的有关方法

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（1）（后）—（乙）典型例题（2）（前）】 例1．设f?x?在?0,3?上连续，在?0,3?内可导，且f?0??f?1??f?2??3，f?3??1。

罗尔定理 柯西中值定理 泰勒定理 试证：必存在???0,3?，使f?????0

证：?f?x?在?0,3?上连续，?f?x?在?0,2?上连续，且有最大值M和最小值m。于是m?f?0??M；m?f?1??M；m?f?2??M，故

1313 m?得f?c???f?0??f?1??f?2???M。由连续函数介值定理可知，至少存在一点c??0,2?使

?f?0??f?1??f?2???1，因此f?c??f?3?，且f?x?在?c,3?上连续，?c,3?内

可导，由罗尔定理得出必存在???c,3???0,3?使得f?????0。

模型I：设f?x?在?a,b?上连续，?a,b?内可导，f?a??f?b??0则下列各结论皆成立。

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? （1）存在?1??a,b?使f??1??lf??1??0（l为实常数）

???2??k?2k?1f??2??0??f??a,b2 （2）存在使（k为非零常数）

（3）存在

?3??a,b?使

f???3??g??3?f??3??0（g?x?为连续函数）

证：（1）令F?x??elxf?x?，在?a,b?上用罗尔定理 ?F??x??lelxf?x??elxf??x?

?存在?1??a,b?使F???1??lel?f??1??el?f???1??0

11 消去因子el?，即证。

1 （2）令F?x??e? F?x??kxxKf?x?，在?a,b?上用罗尔定理

xKk?1ef?x??exKf??x?

?2k???2??k?2k?1e????a,bF2 存在使

f??2??e?2kf???2??0

消去因子e?2k，即证。

（3）令F?x??eG?x?f?x?，其中G??x??g?x? F??x??g?x?eG?x?f?x??eG?x?f??x? 由F???3??0 消去因子eG??3?，即证。

口诀（24）：导数函数合为零；辅助函数用罗尔。

模型II：设f?x?，g?x?在 ?a,b?上皆连续，?a,b?内皆可导，且f?a??0，g?b??0，则存在???a,b?，使

f????g????f???g?????0

证：令F?x??f?x?g?x?，则F?a??F?b??0，显然F?x?在?a,b?上满足罗尔定理的条件，则存在???a,b?，使F?????0，即证。

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（5）（后）】 例6．设f?x?，g?x?在?a,b?内可导，且f??x?g?x??f?x?g??x?，求证f?x?在?a,b?内任意两个零点之间至少有一个g?x?的零点

证：反证法：设a?x1?x2?b，f?x1??0，f?x2??0而在?x1,x2?内g?x??0，

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则令F?x??f?x?g?x?在?x1,x2?上用罗尔定理

f?x1?g?x1?f?x2?g?x2? [?f?x1??f?x2??0，?F?x1???0，F?x2???0]

（不妨假设g?x1??0，g?x2??0否则结论已经成立）

则存在???x1,x2?使F?????0，得出f????g????f???g?????0与假设条件矛盾。所以在?x1,x2?内g?x?至少有一个零点

二、用拉格朗日中值定理和柯西中值定理

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（7）（前）】补充例题：设f?x?在?0,1?上连续，在?0,1?内可导，且f??x??0，

f'(?)f'(?)e?eb?aba求证：存在?,??(a,b)，使得?e

f(b)?f(a)e?eba?证：令g(x)?ex 使用柯西中值定理，存在??(a,b)使再对f?x?用拉格朗日中值定理

f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)代入即可

?f'(?)e?

口诀（25）：寻找?,?无约束，柯西拉氏先后上。

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（7）（后）】例3．设f?x?在?0,1?上连续，?0,1?内可

????导，且f0?0，f1?1，证明： ???? （I）存在??0,1，使得f??1??

?,???0,1?，???，使f????f?????1 （II）存在

证：（I）令

g?x??f?x??x?1，则

g?x?在

?0,1?上连续，g?1??1?0且g(0)??1?0，，

用介值定理推论存在 （II）在

???0,1?，使g????0，即f????1??

?0,??和??,1?上对f?x?用拉格朗日中值定理，存在???0,??，使

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得f?????f????f?0???0?1???

f?1??f???1??1??1???1?? 存在????,1?，???，使f?????

?

??1??

?f?????f?????1

口诀（26）：寻找?,?有约束，两个区间用拉氏。

三、泰勒公式

【2.2微分中值定理（乙）典型例题（9）（前）】 例1．设f?x?在??1,1?上具有三阶连续导数，且f??1??0，f?1??1，f??0??0。 求证：?????1,1?，使f???????3。 证：麦克劳林公式 f?x??f?0??f??0?x?f???0?2!x?2f??????3!x

3 其中x???1,1?，?介于0与x之间。 ?f??0??0 0?f??1??f?0?? 1?f?1??f?0??f???0?2!f???0?2!??1?22?16f?????1???1? ??1??1?0?

3?1?163f?????2??1 ? 0??2?1?

后式减前式，得f?????1??f?????2??6

?f????x?在??1,?2?上连续，设其最大值为M，最小值为m。 则m?12?f?????1??f?????2???M

再由介值定理，?????1,?2????1,1?

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