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中考试卷分类—函数与几何图形（2）

1. 如图4，正方形ABCD的边长为10，四个全等的小正方形的对称中心分别在正方形

ABCD的顶点上，且它们的各边与正方形ABCD各边平行或垂直．若小正方形的边长为x，且0

2. （连云港）如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1

和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的ΔAOB，ΔCOD处，直角边OB，OD在x轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至ΔPEF处时，设PE，PF与OC分别交于点M，N，与x轴分别交于点G，H．（1）求直线AC所对应的函数关系式；（2）当点P是线段AC（端点除外）上的动点时，试探究：①点M到x轴的距离h与线段BH的长是否总相等？请说明理由；②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及S取最大值时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2， 知A2)(21)． ，C两点的坐标分别为(1，，，设直线AC所对应的函数关系式为y?kx?b． ···················································· 2分

?k?b?2，?k??1，有?解得?

2k?b?1．b?3．??所以，直线AC所对应的函数关系式为y??x?3． ············································· 4分 （2）①点M到x轴距离h与线段BH的长总相等． 因为点C的坐标为(2，1)，

所以，直线OC所对应的函数关系式为y?又因为点P在直线AC上， 所以可设点P的坐标为(a，3?a)．

过点M作x轴的垂线，设垂足为点K，则有MK?h．

因为点M在直线OC上，所以有M(2h，h)． ···················· 6分 因为纸板为平行移动，故有EF∥OB，即EF∥GH． 又EF?PF，所以PH?GH．

y 1x． 2A P I C N M II O G K B H F E （第24题答图）

x 法一：故Rt△MKG∽Rt△PHG∽Rt△PFE，

GKGHEF1???． MKPHPF21111得GK?MK?h，GH?PH?(3?a)．

222213所以OG?OK?GK?2h?h?h．

2213又有OG?OH?GH?a?(3?a)?(a?1)． ················································ 8分

2233所以h?(a?1)，得h?a?1，而BH?OH?OB?a?1，

22从而总有h?BH． ······················································································ 10分

GHEF1法二：故Rt△PHG∽Rt△PFE，可得??．

PHPF211故GH?PH?(3?a)．

2213所以OG?OH?GH?a?(3?a)?(a?1)．

22从而有故G点坐标为??3?(a?1)，0?． ?2?设直线PG所对应的函数关系式为y?cx?d，

?3?a?ca?d，?c?2?则有?解得 3?0?c(a?1)?d．d?3?3a???2所以，直线PG所对的函数关系式为y?2x?(3?3a)． ········································ 8分 将点M的坐标代入，可得h?4h?(3?3a)．解得h?a?1．

而BH?OH?OB?a?1，从而总有h?BH． ················································ 10分 ②由①知，点M的坐标为(2a?2，a?1)，点N的坐标为?a，a?．

??1?2?S?S△ONH?S△ONG?111113a?3NH?OH?OG?h??a?a???(a?1) 22222221331?3?3·························································· 12分 ??a2?a????a???． ·

2242?2?8当a?33时，S有最大值，最大值为． 28?33?S取最大值时点P的坐标为?，?．

?22?

3. （沈阳）如图所示，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的边BO在x轴的负半轴上，

边OC在y轴的正半轴上，且AB=1，OB=3，矩形ABOC绕点O按顺时针方向旋转600后得到矩形EFOD．点A的对应点为点E，点B的对应点为点F，点C的对应点为点D，抛物线y=ax2+bx+c过点A，E，D．（1）判断点E是否在y轴上，并说明理由；（2）求抛物线的函数表达式；（3）在x轴的上方是否存在点P，点Q，使以点O，B，P，Q为顶点的平行四边形的面积是矩形ABOC面积的2倍，且点P在抛物线上，若存在，请求出点P，点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）点E在y轴上 ··············································································· 1分 理由如下：

连接AO，如图所示，在Rt△ABO中，

AB?1，BO?3，

?AO?2

?sin?AOB?1，??AOB?30 2由题意可知：?AOE?60

??BOE??AOB??AOE?30?60?90

点B在x轴上，?点E在y轴上． ································································· 3分 （2）过点D作DM?x轴于点M

OD?1，?DOM?30

?在Rt△DOM中，DM?点D在第一象限，

31，OM? 22?31??点D的坐标为?··············································································· 5分 ??2，? ·2??由（1）知EO?AO?2，点E在y轴的正半轴上

?点E的坐标为(0，2)

， ?点A的坐标为(?31)·················································································· 6分

抛物线y?ax?bx?c经过点E，

2?c?2

，，D?由题意，将A(?31)?31?2代入y?ax?bx?2中得 ，??22???8??3a?3b?2?1a???9?? 解得 ?3?31b?2??a??b??53?422?9?853x?2 ·?所求抛物线表达式为：y??x2?················································· 9分

99（3）存在符合条件的点P，点Q． ································································· 10分 理由如下：

矩形ABOC的面积?ABBO?3 ?以O，B，P，Q为顶点的平行四边形面积为23．

由题意可知OB为此平行四边形一边， 又

OB?3

······················································································ 11分 ?OB边上的高为2 ·依题意设点P的坐标为(m，2)

点P在抛物线y??8253x?x?2上 99853??m2?m?2?2

99解得，m1?0，m2??53 8?53??P(0，2)，P2??2?1?8，?

??以O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，

?PQ∥OB，PQ?OB?3， ?当点P1的坐标为(0，2)时，

点Q的坐标分别为Q1(?3，2)，Q2(3，2)；

A B F y E C D O M x 当点P2的坐标为???53?2??8，?时，

???133??33?点Q的坐标分别为Q3??，2?2???，Q4??8，?． 8????

4. （徐州）如图1，一副直角三角板满足AB＝BC，AC＝DE，∠ABC＝∠DEF

＝90°，∠EDF＝30°

【操作】将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三．．角板绕点旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q ．．DEF．．．．．E．．．

【探究一】在旋转过程中， （1） 如图2，当（2） 如图3，当

CE＝1时，EP与EQ满足怎样的数量关系？并给出证明. EACE＝2时EP与EQ满足怎样的数量关系？，并说明理由. EACE＝m时，EP与EQ满足的EA（3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当

数量关系式

为_________,其中m的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)

【探究二】若，AC＝30cm，连续PQ，设△EPQ的面积为S(cm2)，在旋转过程中：

（1） S是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，

说明理由.

（2） 随着S取不同的值，对应△EPQ的个数有哪些变化？不出相应S值的取

值范围.

5. （河南）如图，直线y??4x?4和x轴、y轴的交点分别为B、C，3点A的坐标是（-2，0）．（1）试说明△ABC是等腰三角形；（2）动点M从A出发沿x轴向点B运动，同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动，运动的速度均为每秒1个单位长度．当其中一个动点到达终点时，他们都停止运动．设M运动t秒时，△MON的面积为S．① 求S与t的函数关系式；② 设点M在线段OB上运动时，是否存在S=4的情形？若存在，求出对应的t值；若不存在请说明理由；③在运动过程中，当△MON为直角三角形时，求t的值．

6. 如图20，在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点B的坐标

为（4，3）．平行于对角线AC的直线m从原点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线m与矩形OABC的两边．．

分别交于点M、N，直线m运动的时间为t（秒）．(1) 点A的坐标

是__________，点C的坐标是__________； (2) 当t= 秒或 秒时，MN=

1AC；(3) 设△OMN的面积为S，求S与t的函数关2系式；(4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值？若有，求出最大值；若没有，要说明理由．

解：(1)（4，0），（0，3）； ··································································· 2分 (2) 2，6； ·························································································· 4分 (3) 当0＜t≤4时，OM=t． 由△OMN∽△OAC，得∴ ON=

OMON， ?OAOC33····························· 6分 t，S=t2． ·

48当4＜t＜8时，

如图，∵ OD=t，∴ AD= t-4． 方法一：

33······················ 7分 (t?4)，∴ BM=6-t． ·

444由△BMN∽△BAC，可得BN=BM=8-t，∴ =t-4． ······························· 8分

3由△DAM∽△AOC，可得AM=

S=矩形OABC的面积-Rt△OAM的面积- Rt△MBN的面积- Rt△NCO的面积

3133（6-t）-(t?4) (t?4)-（8-t）

22423=?t2?3t． ·············································································· 10分

8=12-方法二：

易知四边形ADNC是平行四边形，∴ =AD=t-4，BN=8-t． ······························· 7分 由△BMN∽△BAC，可得BM=以下同方法一． (4) 有最大值． 方法一： 当0＜t≤4时，

333············· 8分 BN=6-t，∴ AM=(t?4)． ·

44432t的开口向上，在对称轴t=0的右边， S随t的增大而增大， 83∴ 当t=4时，S可取到最大值?42=6； ················································ 11分

8∵ 抛物线S=当4＜t＜8时， ∵ 抛物线S=?32，∴ S＜6． t?3t的开口向下，它的顶点是（4，6）

8综上，当t=4时，S有最大值6． ····························································· 12分 方法二：

?32t，0?t≤4??8∵ S=?

??3t2?3t，4?t?8??8∴ 当0＜t＜8时，画出S与t的函数关系图像，如图所示． ························· 11分 显然，当t=4时，S有最大值6．

7. （郴州）如图10，平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝10，BC边上的高AM=4，E为 BC

边上的一个动点（不与B、C重合）．过E作直线AB的垂线，垂足为F． FE与DC的延长线相交于点G，连结DE，DF．．（1） 求证：ΔBEF ∽ΔCEG．（2） 当点E在线段BC上运动时，△BEF和△CEG的周长之间有什么关系？并说明你的理由．（3）设BE＝x，△DEF的面积为 y，请你求出y和x之间的函数关系式，并求出当x为何值时,y有最大值，最大值是多少？

（1） 因为四边形ABCD是平行四边形， 所以ABDG ··························· 1分 所以?B??GCE,?G??BFE

所以△BEF∽△CEG ··············································································· 3分 （2）△BEF与△CEG的周长之和为定值． ····················································· 4分 理由一：

过点C作FG的平行线交直线AB于H ，

因为GF⊥AB，所以四边形FHCG为矩形．所以 FH＝CG，FG＝CH 因此，△BEF与△CEG的周长之和等于BC＋CH＋BH

由 BC＝10，AB＝5，AM＝4，可得CH＝8，BH＝6， 所以BC＋CH＋BH＝24 ··············································································· 6分 理由二：

H由AB＝5，AM＝4，可知

DA在Rt△BEF与Rt△GCE中，有：

4343EF?BE,BF?BE,GE?EC,GC?CE，

55551212所以，△BEF的周长是BE， △ECG的周长是CE

55FBMxEGC又BE＋CE＝10，因此BEF与CEG的周长之和是24． ···································· 6分

43x,GC?(10?x) 551143622所以y?EFDG?······························· 8分 x[(10?x)?5]??x2?x

2255255655121配方得：y??． (x?)2?256655所以，当x?时，y有最大值． ·································································· 9分

6121最大值为．

6（3）设BE＝x，则EF?

8. （镇江）如图，在直角坐标系xoy中，点P为函数y?12x在第一象限内的图象上的4任一点，点A的坐标为（0，1），直线l过B（0，-1）且与x轴平行，过P作y轴的平行线分别交x轴，l于C，Q，连结AQ交x轴于H，直线PH交y轴于R．（1）求证：H点为线段AQ的中点；（2）求证：①四边形APQR为平行四边形；②平行四边形APQR

为菱形；（3）除P点外，直线PH与抛物线y?

（1）法一：由题可知AO?CQ?1．

12x有无其它公共点？并说明理由． 4?AOH??QCH?90，?AHO??QHC，

············································································· （1分） ?△AOH≌△QCH．

·························································· （2分） ?OH?CH，即H为AQ的中点． ·法二：

················································· （1分） A(01)，，B(0，?1)，?OA?OB． ·

又BQ∥x轴，?HA?HQ． ···································································· （2分） （2）①由（1）可知AH?QH，?AHR??QHP，

AR∥PQ，??RAH??PQH，

············································································ （3分） ?△RAH≌△PQH． ·

?AR?PQ，

又AR∥PQ，?四边形APQR为平行四边形． ············································ （4分）

②设P?m，m?，

??142??1PQ∥y轴，则Q(m，?1)，则PQ?1?m2．

4过P作PG?y轴，垂足为G，在Rt△APG中，

1?1??1?AP?AG2?PG2??m2?1??m2??m2?1??m2?1?PQ．

4?4??4??平行四边形APQR为菱形． ···································································· （6分）

（3）设直线PR为y?kx?b，由OH?CH，得H?22?m??1?，2?，P?m，m2?代入得：

?4??2?m?m?k?b?0，k?，??m1?2?2?直线PR为y?x?m2． · ??···················· （7分） ?1124?km?b?m2.?b??m2.???4?4设直线PR与抛物线的公共点为?x，x2?，代入直线PR关系式得：

??14??12m11?1?x?x?m2?0，(x?m)2?0，解得x?m．得公共点为?m，m2?． 4244?4?所以直线PH与抛物线y?12x只有一个公共点P． 49. （无锡）如图，已知点A从（1，0）出发，以1个单位长度/秒的速度

沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC=600，；以P（0，3）为圆心，PC为半径作圆．设点A运动了t秒，求：（1）点C的坐标（用含t的代数式表示）；（2）当点A在运动过程中，所有使⊙P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值． 解：（1）过C作CD?x轴于D， OA?1?t，?OC?1?t，

y C B x ?OD?OCcos60?3(1?t)1?t，DC?OCsin60?，

22P ?1?t3(1?t)??点C的坐标为?··········· （2分） ??2，2?． ·

??（2）①当

，切点为C，此时PC?OC， P与OC相切时（如图1）

O D A 图1 3， ?OC?OPcos30，?1?t?32?t?②当

y C P O 图2 E A x B 33?1． ················· （4分） 2，则切点为O，PC?OP， P与OA，即与x轴相切时（如图2）

1过P作PE?OC于E，则OE?OC， ····················································· （5分）

2?1?t33?OPcos30?，?t?33?1． ··············································· （7分） 22③当

P与AB所在直线相切时（如图3），设切点为F，PF交OC于G，

3(1?t)， 2则PF?OC，?FG?CD??PC?PF?OPsin30?3(1?t)． ························································ （8分） 2222过C作CH?y轴于H，则PH?CH?PC，

y H C B x P G O A F

??33(1?t)??1?t??3(1?t)???3????， ????????2222??????2化简，得(t?1)?183(t?1)?27?0，

222解得t?1?93?66，

t?93?66?1?0， ?t?93?66?1．

?所求t的值是

10. (辽宁)如图14，在RtΔABC中，∠A=900,AB=AC,BC=42，另有一等腰梯形DEFG

（GF∥DE）的底边DE与BC重合，两腰分别落在AB,AC上，且G,F分别是AB,AC的中点．（1）求等腰梯形DEFG的面积；（2）操作：固定ΔABC，将等腰梯形DEFG以每秒1个单位的速度沿BC方向向右运动，直到点D与点C重合时停止．设运动时间为x秒，运动后的等腰梯形为DEF′G′（如图15）．探究1：在运动过程中，四边形BDG′G能否是菱形？若能，请求出此时x的值；若不能，请说明理由．探究2：设在运动过程中ΔABC与等腰梯形DEFG重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式．

解：如图6，（1）过点G作GM?BC于M．

33?1，33?1和93?66?1． 2AB?AC，?BAC?90，BC?42，G为AB中点 ?GM?2．

又

A

G，F分别为AB，AC的中点 G F

1································ 2分 ?GF?BC?22 2C(E) (D)B 1M 图6 ?S梯形DEFG?(22?42)?2?6

2?等腰梯形DEFG的面积为6． ······································································· 3分

（2）能为菱形 如图7，由BG∥DG?，GG?∥BC ?四边形BDG?G是平行四边形 当BD?BG?A F 1AB?2时，四边形BDG?G为菱形，此时可求得x?2

G?G 2 ?当x?2秒时，四边形BDG?G为菱形．

（3）分两种情况：①当0≤x?22时， 方法一：

B D M

图7

F? C

E

GM?2，?SBDG?G?2x

?重叠部分的面积为：y?6?2x

?当0≤x?22时，y与x的函数关系式为y?6?2x ··································· 10分

②当22≤x≤42时，

设FC与DG?交于点P，则?PDC??PCD?45 G A F G? P D Q 图8

C

F?

E

??CPD?90，PC?PD

作PQ?DC于Q，则PQ?DQ?QC?B 1(42?x) 2?重叠部分的面积为：

1111y?(42?x)?(42?x)?(42?x)2?x2?22x?8

2244

11. 如图14，已知半径为1的⊙O1与x轴交于A，B两点，OM为⊙O1的切线，切点为M，

圆心O1的坐标为（2，0），二次函数y=-x2+bx+c的图象经过A，B两点．（1）求二次函数的解析式；（2）求切线OM的函数解析式；（3）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与ΔOO1M相似．若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）圆心O1的坐标为(2，0)，O1半径为1，?A(1，0)，

········································································································ 1分 B(3，0) ·二次函数y??x?bx?c的图象经过点A，B，

2??1?b?c?0?可得方程组? ·········································································· 2分

?9?3b?c?0?解得：??b?4?二次函数解析式为y??x2?4x?3 ············································ 3分

?c??3（2）过点M作MF?x轴，垂足为F． ···························································· 4分 ． OM是O1的切线，M为切点，?O1M?OM（圆的切线垂直于经过切点的半径）在Rt△OO1M中，sin?O1OM?O1M1? OO12y P P2 1O M B x ?O1OM为锐角，??O1OM?30 ····························· 5分 3?OM?OO1cos30?2??3，

2在Rt△MOF中，OF?OMcos30?3?H A F O1 33?． 22MF?OMsin30?3?13?． 22?33??点M坐标为?，? ················································································· 6分

?22?·??设切线OM的函数解析式为y?kx(k?0)，由题意可知333?k，?k? ·········· 7分 223?切线OM的函数解析式为y?3x ································································ 8分 3（3）存在． ·································································································· 9分 ①过点A作AP1?x轴，与OM交于点P1．可得Rt△APO1∽Rt△MO1O（两角对应相等两三角形相似）

?33?P，?P········································· 10分 1A?OAtan?AOP1?tan30?1??1，3?? ·3??②过点A作AP2?OM，垂足为P2，过P2点作P2H?OA，垂足为H． 可得Rt△AP2O∽Rt△O1MO（两角对应相等两三角开相似） 在Rt△OP2A中，

OA?1，?OP2?OAcos30?3， 2在Rt△OP2H中，OH?OP2cos?AOP2?333??， 224P2H?OP2sin?AOP2??33?313??，?P2?，? ······································ 11分

??224?44??3??33??符合条件的P点坐标有?1，?，?，?

?3??44?????

12. 如图9，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，

交x轴于A，B两点，开口向下的抛物线经过点A，B，且其顶点P在⊙C上．（1）求∠ACB的大小；（2）写出A，B两点的坐标；（3）试确定此抛物线的解析式；（4）在该抛物线上是否存在一点D，使线段OP与CD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 解：（1）作CH?x轴，H为垂足，

············································· 1分 CH?1，半径CB?2 ································· 3分 ?BCH?60，??ACB?120 ·（2）

CH?1，半径CB?2

?HB?3，故A(1?3，0)， ······································ 5分 B(1?3，0) ······························································· 6分

（3）由圆与抛物线的对称性可知抛物线的顶点P的坐标为(1····························· 7分 ，3) ·设抛物线解析式y?a(x?1)?3 ······································································· 8分

20)代入上式，解得a??1 ·把点B(1?3，···························································· 9分

?y??x2?2x?2 ······················································································· 10分

（4）假设存在点D使线段OP与CD互相平分，则四边形OCPD是平行四边形 ······· 11分

?PC∥OD且PC?OD．

·································································· 12分 PC∥y轴，?点D在y轴上． ·又

PC?2，?OD?2，即D(0，2)．

2又D(0，2)满足y??x?2x?2，

?点D在抛物线上 ························································································ 13分

所以存在D(0，2)使线段OP与CD互相平分．

13. （芜湖）如图，已知 A(?4,0)，B(0,4)，现以A点为位似中心，相似比为9:4，

将OB向右侧放大，B点的对应点为C．（1）求C点坐标及直线BC的解析式;

（2）抛物线经过B、C两点，且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象;（3）现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离为32的点P． 解： （1）

过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知： △ABO∽△ACD， ∴

AOBO4??． ADCD9由已知A(?4,0)，B(0,4)可知： AO?4,BO?4． ∴AD?CD?9．∴C点坐标为(5,9)． ··············· 2分 直线BC的解析是为：

y?4x?0 ?9?45?0化简得： y?x?4 ·········································· 3分 （2）设抛物线解析式为y?ax?bx?c(a?0)，由题

24?c??意得：?9?25a?5b?c ，

?b2?4ac?0?1?a??225?4?b??a1?1?25??解得： ?b1??4?c?42?c?4??1?

2∴解得抛物线解析式为y1?x?4x?4或y2?124x?x?4． 255又∵y2?124x?x?4的顶点在x轴负半轴上，不合题意，故舍去． 2552∴满足条件的抛物线解析式为y?x?4x?4 ······················································ 5分 （准确画出函数y?x?4x?4图象） ······························································· 7分

2

（3） 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h， 故P点应在与直线AB平行，且相距32的上下两条平行直线l1和l2上． ·················· 8分 由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为32． 如图，设l1与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点， 在Rt△BEF中EF?h?32，?EBF??ABO?45，

∴BE?6．∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为(0,10) ······································· 10分 同理可求得直线l2与y轴交点坐标为(0,?2) ······················································· 11分 ∴两直线解析式l1:y?x?10；l2:y?x?2．

?y?x2?4x?4?y?x2?4x?4根据题意列出方程组： ⑴?；⑵?

?y?x?10?y?x?2?x1?6?x2??1?x3?2?x4?3

∴解得：?；?；?；?

y?0y?9y?1y?16?2?4?1?3∴满足条件的点P有四个，它们分别是P1(6,16)，P2(?1,9)，P3(2,0)，P4(3,1)

14. (大连)如图24－1，抛物线y=x2的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，四边形

ABCD为矩形，CD边经过点P，AB = 2AD．⑴求矩形ABCD的面积；⑵如图24－2，若将抛物线“y=x2”，改为抛物线“y=x2+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；⑶若将抛物线“y=x2+bx+c”改为抛物线“y=ax2+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积(用a、b、c表示，并直接写出答案)．附加题：若将24题中“y=x2”改为“y=ax2+bx+c”，“AB = 2AD”条件不要，其他条件不变，探索矩形ABCD面积为常数时，矩形

ABCD需要满足什么条件？并说明理由．

15. (大连)如图，△ABC的高AD为3，BC为4，直线EF∥BC，交线段AB

于E，交线段AC于F，交AD于G，以EF为斜边作等腰直角三角形PEF(点P与点A在直线EF的异侧)，设EF为x，△PEF与四边形BCEF重合部分的面积为y．⑴求线段AG(用x表示)；⑵求y与x的函数关系式，并求x的取值范围． 16. （株洲）如图（1），在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点

B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x2的图象为l1. （1）平移抛物线l1，

使平移后的抛物线过点A，但不过点B，写出平移后的抛物线的一个解析式（任写一个即可）.（2）平移抛物线l1，使平移后的抛物线过A、B两点，记抛物线为l2，如图（2），求抛物线l2的函数解析式及顶点C的坐标.（3）设P为

y轴上一点，且S△ABC=S△ABP，求点P的坐标.（4）请在图（2）上用尺规作图的方式探究抛物线l2上是否存在点Q，使?QAB为等腰三角形. 若存

在，请判断点Q共有几个可能的位置（保留作图痕迹）；若不存在，请说明理由.

（1）y??x2?2x?3或y??x2?4x?5等 （满足条件即可）

2??2??1?b?c（2）设l2的解析式为y??x?bx?c，联立方程组?，

??1??9?3b?c解得：b?9,c??11，则l2的解析式为y??x2?9x?11， ……3

2222分

点C的坐标为（9,?7） ……4

416分

（3）如答图23-1，过点A、B、C三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E、F，则AD?2，

73CF?，BE?1，DE?2，DF?5，FE?.

1644得：S?ABC?S梯形ABED?S梯形BCFE?S梯形ACFD?15. ……5

16分

延长BA交y轴于点G，直线AB的解析式为y?1x?5，则点G的坐标为（0，?5），

222设点P的坐标为（0，h）

55①当点P位于点G的下方时，连结AP、BP，则S?，PG???h，?S?S???hPBAGPB?GPA?22又S?ABC?S?ABP?15，得h??55，点P的坐标为（0，?55）. …… 6

161616分

②当点P位于点G的上方时，PG?5?h，同理h??25，点P的坐标为（0，?25）.

21616综上所述所求点P的坐标为（0，?55）或（0，?25） …… 7

1616分

(4) 作图痕迹如答图23-2所示.

由图可知，满足条件的点有Q1、Q2、Q3、Q4，共4个可能的位置. …… 10分

F E

答图23-1

答图23-2

17. （南昌）如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-

19，），且 与抛28物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．（1）求a值；（2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；（3）设A，B两点的横坐标分别记为XA，XB，若在x轴上有一动点Q（x，0），且XA≤x≤XB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别

交于C，D两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值？其最大值为多少？ 解：（1）

2点P??，?在抛物线y1??ax?ax?1上，

?19??28?119·················································································· 2分 ??a?a?1?， ·

4281． ································································································· 3分 211111（2）由（1）知a?，?抛物线y1??x2?x?1，y2?x2?x?1． ··········· 5分

2222211y 当?x2?x?1?0时，解得x1??2，x2?1． 22P 解得a?点M在点N的左边，?xM??2，xN?1． ··············· 6分 当

A M E O N F B x 121x?x?1?0时，解得x3??1，x4?2． 22点E在点F的左边，?xE??1，xF?2． ····················································· 7分

xM?xF?0，xN?xE?0，

?点M与点F对称，点N与点E对称． ··························································· 8分

1y （3）a??0．

2P ?抛物线y1开口向下，抛物线y2开口向上． ··················· 9分

根据题意，得CD?y1?y2

A C O Q D x B 11?1??1????x2?x?1???x2?x?1???x2?2． ············································· 11分

22?2??2?xA≤x≤xB，?当x?0时，CD有最大值2．

18. （山西）如图，已知直线l1的解析式为y=3x+6，直线l1与x轴、y轴分别相交于A、B

两点，直线l2经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线l2从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（1

试探究：当t为何值时，△PCQ为等腰三角形？

19. （黄冈）已知：如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐

标系，A，B，C三点的坐标分别为A（8，0），B（8，10），C（0，4），点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒．（1）求直线BC的解析式；（2）若动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面

积的

2？（3）动点P从点O出7发，沿折线OABD的路线移动

过程中，设ΔOPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围；（4）当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形？请求出此时动点P的坐标；若不能，请说明理由．

20. （仙桃）如图，直角梯形OABC中，AB∥CD,O为坐标原点，点A在y轴正半轴上，

点C在x轴正半轴上，点B坐标为（2，23），∠BCO= 60°，OH⊥BC于点H.动点P从点H出发，沿线段HO向点O运动，动点Q从点O出发，沿线段OA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点P运动的时间为t秒.（1）求OH的长；（2）若ΔOPQ的面积为S（平方单位）. 求S与t之间的函数关系式.并求t为何值时，ΔOPQ的面积最大，最大值是多少？（3）设PQ与OB交于

点M.①当ΔOPM为等腰三角形时，求（2）中S的值. ②探究线段OM长度的最大值是多少，直接写出结论. 解：（1）∵AB∥OC

∴ ?OAB??AOC?900 在Rt?OAB中，AB?2 ,AO?23 ∴OB?4， ?ABO?600

∴?BOC?600 而?BCO?600

∴?BOC为等边三角形 ∴OH?OBcos30?4?3?23…（3分） 2（2）∵OP?OH?PH?23?t

03tt yp?OPsin300?3? 22113t) ∴S??OQ?xp??t?(3?222323t?t （0?t?23）…………………………（6分） =?42333(t?3)2?即S?? 44∴xp?OPcos30?3?0

33………………………………………（7分） 4y （3）①若?OPM为等腰三角形，则：

∴当t?3时，S最大?（i）若OM?PM，?MPO??MOP??POC A ∴PQ∥OC

∴OQ?yp 即t?B H 3?t 2P 23解得：t?

3O x C323232323 8分） ?()???此时S??………………………………（43233y （ii）若OP?OM，?OPM??OMP?750 0B A ∴?OQP?45

过P点作PE?OA，垂足为E，则有： EQ?EP

H Q M13t 即t?(3?t)?3?E22P 解得：t?2 O x C33?22??2?3?3……………………………………（9分） 此时S??42（iii）若OP?PM，?POM??PMO??AOB

∴PQ∥OA

此时Q在AB上，不满足题意.……………………………………………（10分） ②线段OM长的最大值为

Q M3 221. （孝感）锐角ΔABC中，BC=6，SΔABC=12，两动点M，N分别在边AB，AC上滑动，

且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与ΔABC公共部分的面积为y（y>0）．（1）ΔABC中边BC上高AD= （（2）当x= 时，PQ恰好落在边BC上（如图1）；（3）当PQ在ΔABC外部时（如图2），求y关于x的函数关系式（注明x的取值范围），并求出x为何值时y最大，最大值是多少？ 解：（1）AD?4； ·················································································· 2分 （2）x?2.4（或

12）； ················································································· 6分 5（3）设BC分别交MP，NQ于E，F，则四边形MEFN为矩形． 设ME?NF?h，AD交MN于G（如图2） GD?NF?h，AG?4?h． MN∥BC，

M G

B

E P D

F Q C A

N

?△AMN∽△ABC． MNAGx4?h，即? ??BCAD642······················································ 8分 ?h??x?4． ·

3?2??y?MNNF?x??x?4?

?3?2········································································· 10分 ??x2?4x(2.4?x?6)． ·

32配方得：y??(x?3)2?6． ······································································· 11分

3?当x?3时，y有最大值，最大值是6．

22. （宜昌）如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动

点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数， m＞1，n＞0．（1）请你确定n的值和点B的坐标；（2）当动点P是经过点O，C的

抛物线y＝ax＋bx

211上时，求这时四边形OABC的面积． 5x1 .解：(1) 从图中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S＝mz， z由0逐步增

2＋c的顶点，且在双曲线y＝

大到2,则S由0逐步增大到m，故OA＝2，n＝2 . (1分) 同理，AB＝1，故点B的坐标是(1，2).(2分) (2)解法一：

∵抛物线y＝ax＋bx＋c经过点O(0，0)，C(m ，0),∴c＝0，b＝－am，(3分) ∴抛物线为y＝ax－amx，顶点坐标为(

22m1

，－ am2).(4分)

42yAB如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l.

当P在OA上运动时，O,P都在y轴上， 这时P,O,C三点不可能同在一条抛物线上， ∴这时抛物线l不存在, 故不存在m的值..①

O1Cx(25题图1) 当点P与C重合时，双曲线y＝11不可能经过P, 5x故也不存在m的值.②(5分)

(说明：①②任做对一处评1分，两处全对也只评一分) 当P在AB上运动时，即当0

容易求得直线BC的解析式是：y?2x?2m，(7分)

1?m1?m当P在BC上运动，设P的坐标为 (x0,y0)，当P是顶点时 x0＝

m，2). 2111111m上，可得 m＝，∵>2,与 x0＝≤1不合，舍去.(6分)5x552m， 222mmmm＝，顶点P为(，)， x0?1?m1?mm?12m?1m11∵1< x0＝2，又∵P在双曲线y＝上，

25xmm112于是，×＝，化简后得5m－22m＋22＝0,

2m?15故得y0＝解得m1?22?21122?211,m2?,(8分)

101022?211?2,

10211?2,?22?211?20,?m2?与题意2

m

10故由①②③④，满足条件的只有一个值：m?这时四边形OABC的面积＝

16?111. (1?m)?2＝

52

23. （襄樊）如图15，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，，将矩

形OABC沿直线AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E．（1）求OE的长；（2）求过O，D，C三点抛物线的解析式；（3）若F为过O，D，C三点抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿射线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t（秒）

为何值时，直线PF把ΔFAC分成面积之比为1：3的两部分？ 解：（1）

四边形OABC是矩形，

··············································· （1分） ??CDE??AOE?90，OA?BC?CD．

············································· （2分） ?CED??OEA，?△CDE≌△AOE． ·?OE?DE． 又

?OE2?OA2?(AD?DE)2，

即OE?4?(8?OE)，

解之，得OE?3． ·········································（3分） （2）EC?8?3?5．如图4，过D作DG?EC于G，

···································（4分） ?△DGE≌△CDE． ·

222?DEDGDEEG129，．?DG?，EG?． ??ECCDECDE55?2412?···········································（5分） ?D?，?． ·

?55?因O点为坐标原点，故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y?ax?bx．

25??64a?8b?0，a??，???32???24?2 2412解之，得??b?5.???a?b?.55??5???4y??（3）

525················································································· （7分） x?x． ·

324抛物线的对称轴为x?4，?其顶点坐标为?4，?．

??5?2?1??8k?b?0，?k?，设直线AC的解析式为y?kx?b，则?解之，得?2

b??4.???b??4.?y?1······················································································ （9分） x?4． ·

2??12??设直线FP交直线AC于H?m，m?4?，过H作HM?OA于M．

?△AMH∽△AOC．?HM:OC?AH:AC．

S△FAH:S△FHC?1:3或3:1，

?AH:HC?1:3或3:1，?HM:OC?AH:AC?1:4或3:4． ?HM?2或6，即m?2或6．

?1)． ·?H1(2，?3)，H2(6，···································································· （10分）

111718x?．当y??4时，x?． 421171954直线FH2的解析式为y??x?．当y??4时，x?．

4271854?当t?秒或秒时，直线FP把△FAC分成面积之比为1:3的两部分

117直线FH1的解析式为y?

24. （兰州）如图19-1，OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为原点，点A

在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=5，OC=4．（1）在OC边上取一点D，将纸片沿AD翻折，使点O落在BC边上的点E处，求D，E两点的坐标；（2）如图19-2，若AE上有一动点P（不与A，E重合）自A点沿AE方向向E点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为t（0

于点M，过点M作AE的平行线交DE于点N．求四边形PMNE的面积S与时间t之间的函数关系式；当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的条件下，当t为何值时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点M的坐标． 解：（1）依题意可知，折痕AD是四边形OAED的对称轴， ?在Rt△ABE中，AE?AO?5，AB?4．

?BE?AE2?AB2?52?42?3．?CE?2．

． ··················································································· 2分 ?E点坐标为（2，4）

在Rt△DCE中，DC2?CE2?DE2， 又

DE?OD．

?(4?OD)2?22?OD2 ． 解得：CD?5． 2?5?····················································································· 3分 ?D点坐标为?0，? ·2??△APM∽△AED． PM∥ED，?PMAP5，又知AP?t，ED?，AE?5 ??EDAE2t5t?PM???， 又PE?5?t．

522而显然四边形PMNE为矩形．

t15················································· 5分 ?S矩形PMNE?PMPE??(5?t)??t2?t ·

222（2）如图①

?S四边形PMNE51?5?25???t???，又0??5

22?2?82

525时，S矩形PMNE有最大值． ······························································ 6分 28（3）（i）若以AE为等腰三角形的底，则ME?MA（如图①） 在Rt△AED中，ME?MA，PM?AE，?P为AE的中点，

15?t?AP?AE?．

22y 又PM∥ED，?M为AD的中点． E C B 过点M作MF?OA，垂足为F，则MF是△OAD的中位线， N P D 1515?MF?OD?，OF?OA?， M 2422?当t??当t?55??时，?0??5?，△AME为等腰三角形．

22???55??24?O F 图① A x 此时M点坐标为?，?． ·············································································· 8分 （ii）若以AE为等腰三角形的腰，则AM?AE?5（如图②）

5?5?在Rt△AOD中，AD?OD2?AO2????52?5．

22??过点M作MF?OA，垂足为F．

△APM∽△AED． PM∥ED，?2y C N D M O F 图② A x E P B APAM． ?AEADAMAE5?51?t?AP???25，?PM?t?5．

52AD52??MF?MP?5，OF?OA?AF?OA?AP?5?25，

?当t?25时，（0?25?5），此时M点坐标为(5?25，5)． ····················· 11分

综合（i）（ii）可知，t?5或t?25时，以A，M，E为顶点的三角形为等腰三角形，2相应M点的坐标为?，?或(5?25，5)．

25. （哈尔滨市）在矩形ABCD中，点E是AD边上一点，连接BE，且∠ABE＝30°，BE

＝DE，连接BD．点P从点E出发沿射线ED运动，过点P作PQ∥BD交直线BE于点

Q．(1) 当点P在线段ED上时（如图1），求证：BE＝PD＋设PQ长为x，以P、Q、D三

3PQ； （2）若 BC＝6，3?55??24?点为顶点所构成的三角形面积为y，求y与 x的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P运动到线段ED的中点时，连接QC，过点P作PF⊥QC，垂足为F，PF交对角线BD于点G（如图2），求线段PG的长。 26. （哈尔滨市）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x?5与x轴、y轴分别交于A、

B两点，将△ABO绕原点O顺时针旋转得到△A′B′O，并使OA′⊥AB，垂足为D，直线AB与线段A′B′相交于点G．动点E从原点O出发，以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，设动点E运动的时间为t秒．（1）求点D的坐标；（2）连接DE，当DE与线段OB′相交，交点为F，且四边形DFB′G是平行四边形时，（如图2）求此时线段DE所在的直线的解析式；（3）若以动点为E圆心，以25为半径作⊙E，连接A′E，t为何值时。Tan∠EA′B′＝理由。

1？并判断此时直线A′O与⊙E的位置关系，请说明812

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