前三个月 解题方法篇 专题三 解题策略 第1讲 待定系数法的应用策略 文 新人教版

第1讲 待定系数法的应用策略

[方法精要] 对于某些数学问题，如果得知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数(或参数)来表示这种结果，然后利用已知条件通过变形与比较，根据恒等关系列出含有待定系数的方程(组)，解之即得待定的系数，进而使问题获解，这种常用的数学基本方法称之为“待定系数法”．待定系数法的实质是方程思想，这个

方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中，从而通过解方程(组)求得未知数． 运用待定系数法求解问题，其基本步骤是：

第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决．

题型一 用待定系数法求函数的解析式

例1 已知函数f(x)＝x，g(x)为一次函数，且一次项系数大于零，若f(g(x))＝4x－20x＋25，求g(x)的表达式．

破题切入点 一次函数的解析式具有固定的形式y＝kx＋b，求函数的解析式就是求出参数k，

2

2

b，根据f(g(x))＝4x2－20x＋25，比较函数两边的系数即可解决问题．

解 ∵g(x)为一次函数，设g(x)＝kx＋b(k>0)， ∵f(g(x))＝4x－20x＋25， ∴f(kx＋b)＝4x－20x＋25， 即kx＋2kbx＋b＝4x－20x＋25，

22

2

2

22

k＝4，??

∴?2kb＝－20，??b2＝25，

2

又k>0，解得k＝2，b＝－5， ∴g(x)＝2x－5.

题型二 用待定系数法求曲线方程

x2y2

例2 已知点P(4,4)，圆C：(x－m)＋y＝5(m<3)与椭圆E：2＋2＝1(a>b>0)有一个公共点

ab2

2

A(3,1)，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，直线PF1与圆C相切．

(1)求m的值与椭圆E的方程；

→→

(2)设Q为椭圆E上的一个动点，求AP·AQ的取值范围．

破题切入点 圆过点A，将坐标代入就可以确定m的值，椭圆过点A，只要能求出椭圆的焦点

- 1 -

→→

坐标问题就解决了，这可以用直线PF1与圆C相切解决；由于点A、点P都是定点，故AP·AQ仅仅依赖于椭圆上点的坐标，结合椭圆上点的坐标的关系解决． 解 (1)点A代入圆C方程，得(3－m)＋1＝5. ∵m<3，∴m＝1. 圆C：(x－1)＋y＝5.

设直线PF1的斜率为k，则PF1：y＝k(x－4)＋4， 即kx－y－4k＋4＝0.

|k－0－4k＋4|∵直线PF1与圆C相切，∴＝5.

k2＋1111

解得k＝或k＝. 22

1136

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．

2111

当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，

2∴c＝4，F1(－4,0)，F2(4,0)． 2a＝|AF1|＋|AF2|＝52＋2＝62，

2

2

2

a＝32，a2＝18，b2＝2，

椭圆E的方程为＋＝1.

182

→→

(2)AP＝(1,3)，设Q(x，y)，AQ＝(x－3，y－1)， →→

AP·AQ＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6. ∵＋＝1，即x＋(3y)＝18， 182

而x＋(3y)≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18.

则(x＋3y)＝x＋(3y)＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36]．

2

2

2

2

2

x2y2

x2y2

22

x＋3y的取值范围是[－6,6]．

→→

∴AP·AQ＝x＋3y－6的取值范围是[－12,0]． 题型三 待定系数法在数列中的应用

例3 数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋cn(c是不为零的常数，n＝1,2,3，…)，且a1，a2，a3成等比数列． (1)求c的值； (2)求{an}的通项公式； (3)求数列{

an－c}的前n项之和Tn. n·cn- 2 -

破题切入点 根据通项公式和a1，a2，a3成等比数列就可以列出c满足的关系式，即可求出c的值；根据公式an＋1＝an＋cn写出相邻项之间的关系式，然后利用累加法求出数列的通项公式；数列求和常用的方法是错位相减法，求和时防止“漏项”或“添项”． 解 (1)a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c， 因为a1，a2，a3成等比数列，

所以(2＋c)＝2(2＋3c)，解得c＝0或c＝2. ∵c≠0，∴c＝2.

(2)当n≥2时，由于a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…，an－an－1＝(n－1)c， 所以an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝又a1＝2，c＝2，

故an＝2＋n(n－1)＝n－n＋2(n＝2,3，…)． 当n＝1时，上式也成立， 所以an＝n－n＋2(n＝1,2，…)． (3)令bn＝

2

2

2

n?n－1?

c.

2

an－c1nn＝(n－1)()， n·c2

Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn

1213141n＝0＋()＋2()＋3()＋…＋(n－1)()，①

2222

11111

Tn＝0＋()3＋2()4＋…＋(n－2)()n＋(n－1)()n＋1，② 222221n①－②得：Tn＝1－(n＋1)().

2

总结提高 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程．要判断一个问题是否适用待定系数法求解，关键是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果有，就可以用待定系数法求解．例如数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解．

1．若f(x)＝x＋bx＋c，且f(1)＝0，f(3)＝0，则f(－1)的值为( ) A．6 B．7 C．8 D．9 答案 C

??1＋b＋c＝0，

解析 由已知得?

?9＋3b＋c＝0，?

2

??b＝－4，

解得?

?c＝3.?

∴f(x)＝x－4x＋3，

∴f(－1)＝(－1)－4(－1)＋3＝8.

- 3 -

2

2

1

2．若焦点在x轴上的双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐

4近线方程是( ) A．x±2y＝0 B．2x±y＝0 C．x±3y＝0 D.3x±y＝0

答案 C

x2a－y2

解析 设双曲线的方程为2b2＝1(a>0，b>0)，

则它的一个焦点到一条渐近线的距离为d， 则d＝12

c，

所以渐近线与x轴的夹角为30°， ∴tan 30°＝b＝

3a3

， 因此其渐近线方程为x±3y＝0.

3．二次不等式ax2

＋bx＋2>0的解集是(－12，13)，则a＋b的值是( )

A．10 B．－10 C．14 D．－14 答案 D

解析 因为不等式的解集是(－11

2，3

)，

所以－12，13是一元二次方程ax2

＋bx＋2＝0的两个根，

?a?－1?2＋b?－1

?所以??22＋2＝0，??a?1?2

3＋b?1

3?＋2＝0，

解得???

a＝－12，??b＝－2，

所以a＋b＝－14.

4．若f(x)＝ax2

－2，a为一个正的常数，且f[f(2)]＝－2，则a＝________. 答案

2

2

解析 ∵f(2)＝a·(2)2

－2＝2a－2， ∴f[f(2)]＝a·(2a－2)2

－2＝－2， ∴a·(2a－2)2

＝0.

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