高等代数研究生入学考试试题-按学校分类（一）

高等学校攻读硕士学位

研究生入学考试高等代数试题集锦

陈德华编

嘉应学院数学学院 二00九年七月

目 录

bjsfdx北京师范大学(2003,2004) gxdx广西大学(2004,2005,2006,) gxsfdx广西师范大学(2003,2004,2005，) gzdx广州大学(2003,2004,2005，) hebgydx哈尔滨工业大学(2009,)

hnlgdx华南理工大学(2005，2006,2009，) hnsfdx华南师范大学(2002，2003,2007，) hnsfdx 湖南师范大学(2000，2001,2002，) hzkjdx华中科技大学(2004,) hzsfdx华中师范大学(2006,) kmlgdx昆明理工大学(2008,) lzdx兰州大学(2002,)

nkdx南开大学(2003,2005,2006)

stdx汕头大学(1998，1999,2000,2002,2003,2004,2005，) sxdx三峡大学(2006,) sxsfdx陕西师范大学(2005,) szdx深圳大学(2004,)

xadzkjdx西安电子科技大学(2001,)

xbdx西北工业大学(1999(1),1999(2), 2000(1),2000(2)，2004，) xmdx厦门大学(2004,) xndx西南大学(2006,)

zgkxy中国科学院(1996,1997,2003)

2

北京师范大学

2003年

1．(1) 计算排列87162534的逆序数，并依次写出将上述排列变成12345678的所有对换。

(2) 设n个数码的排列i1,i2,?in?1,in的逆序数是k，那么排列in,in?1,?i2,i1的逆序数是多少？请说明理由。

2．设

??10??0?1?00?Jn(?)?????????????000??000??????????????????0??00?00?? ????????1??0???0是数域F上的一个n阶若当块，试写出与Jn(?)可交换的域F上的全体n阶矩阵。

3．一个大于1的整数若其因子只有1和本身，则称之为素数。证明p是素数当且仅当任取正整数a,b，若p|ab，则p|a或p|b。

4．已知

f1?eaxcosbx,f2?eaxsinbx,f3?xeaxcosbx

f4?xeaxsinbx,f5?12axxecosbx,f6?x2eaxsinbx 2是六个实函数，它们生成的子空间记作V。说明维商D是V上的一个线性变换，并求D在基f1,f2,f3,f4,f5,f6下的矩阵。

5．设域F上的n维线性空间V的一个线性变换?在基底?1,?2,???,?n下的矩阵为

10??a1?01??a2A??????????????an?100??a00n????????????????0??00????????

?01?00??0 3

(1) 求?的特征多项式；

(2) n维向量空间V有循环基底吗？若有，试求之； (3) 求?的极小多项式并说明理由。

6．设F是一个数域，?是F上的未定元，二阶??矩阵

?a11(?)a12(?)?A(?)???a(?)a(?)??

22?21?其中aij?F[?],1?i,j?2，F[?]是域F上的一元多项式环。运用带余除法证明

A(?)可通过行与列三种初等变换(其中第三种变换允许将某行(列)乘以F[?]中

的多项式加到另一行(列)上)化为

O??c1(?)?C(?)???O? c(?)2??的形式，且c1z(?)|c2(?)。

2004年

1．试用n元初等对称多项式(1) n?2,(x1?x2)2；

(2) ?x12x2，此处?表示对脚标进行所有可能的n元置换后对不同的项求和；

(3) ?x14。

2．设变换?:R2?R2定义为

?x??x?y?z???????y???2x?y?z? ?z??y?z?????i1?L?ik?xi1???xik,k?1,2,???,n表述下列多项式

(1) 证明?是一个线性变换； (2) 求出?在下述基底下的矩阵：

?1??0??0???????e1??0?,e2??1?,e3??0?

?0??0??1???????

4

(3) 求出?在下述基底下的矩阵：

?1??1??0????????1??1?,?2???1?,?3??1?

?1??2??1???????(4) 写出从?1,?2,?3到e1,e2,e3的过渡矩阵。 3．已知线性方程组

?x1?x2?a1?x?x?a?342 ?x?x?b?131??x2?x4?b2(1) 求出系数矩阵的秩；

(2) 给出方程组有解的充分必要条件。

4．令实二次型?(x1,x2,?,xn)?X'AX,其中A?A'?(aij)n?n,X?(x1x2?xn)',设?1与?2分别是A的最大与最小特征值。则对任意的n个实数

b1,b2,?,bn均有

?1(b12?b22???bn2)?(b1b2?bn)A(b1b2?bn)'??2(b12?b22???bn2)

5．令V是一个n维欧氏空间，?1,?2,?,?n是V的一个标准正交基，?是V的一个线性变换，A?(aij)n?n是?关于这个基的矩阵，证明

aji???(?i),?j?,i,j?1,2,?,n.

6．设?是n维向量空间V的一个线性变换，p(x)?(x??)r(x??)s是?的极小多项式，此处?和?是不同的复数。令

V??ker(???)r?{??V|(???)r??0},V??ker(???)r?{??V|(???)r??0}证明：(1) V?和V?都是?的不变子空间；

(2) V?V??V?；

(3) ?|V?的极小多项式是(x??)r，?|V?的极小多项式是(x??)s。

5

广西大学 2004年

1．计算行列式

x1a1Dn?a1a1a2x2a2a2a3a3x3a3???an???an???an

??????????????????xn其中，xi?ai,i?1,2,???,n。

2．已知B是一个非零矩阵，且B的每一个列向量都是方程组

?x1?2x2?2x3?0??2x1?x2??x3?0 ?3x?x?x?023?1的解。(1) 求?的值；(2) 证明|B|?0。

3．设a1,a2,???,an是两两互异的整数，试证明多项式

f(x)?(x?a1)(x?a2)???(x?an)?1

在有理数域上不可约。

4．设A,B是n?n矩阵，且A2?B2?E(E是n级单位矩阵)，|A|?|B|?0，证明A?B不是可逆矩阵。

5．设V是一个n维欧氏空间，??0是V中一个固定的向量，证明 (1) V1?{?|(?,?)?0,??V}是V的一个线性子空间； (2) dimV1?n?1。

6．设A为n级实对称矩阵，A2?A，A的秩等于r(0?r?n)。 (1) 证明存在正交矩阵T，使

?ErTAT???O??1O?? O??其中Er是r级单位矩阵；

6

(2) 计算|A?2En|。

7．设A,B为两个n?n矩阵，A的n个特征值两两互异，若A的特征向量恒为B的特征向量，证明AB?BA。

8．证明数域F上的n维线性空间V的任一子空间都是某一线性变换的核。 9．设V是数域F上的n维线性空间，?是V的线性变换，V1,V2是V的两个非平凡子空间，且V?V1?V2，试证明?是可逆线性变换的充要条件是

V??(V1)??(V2)。

2005年

1．计算行列式

a0a1Dn????an?2an?1?10???00x?1???00??????????????? 00???x?100???0x2．已知矩阵

?31?1??21?????A??002?，B???10?

?1?12??31?????矩阵X满足AX?B?2X，求X。

3．当a,b为何值时，线性方程组

?ax1?x2?x3?4??x1?bx2?x3?3 ?x?2bx?x?423?1有唯一解，无解，有无穷多组解？在有无穷多组解时求其全部解。

4．设有s个n维向量?i?(ai1,ai2,???,ain)(1?i?s?n)，其分量满足

|ajj|?证明这s个向量线性无关。

i?1,i?j?|asij|(1?j?s)

7

5．设W1,W2是n维线性空间V的两个子空间，证明

(1) 若W1,W2均是V的两个非平凡子空间，则存在??V，使?1?W1,?1?W2同时成立。

(2) 若dim(W1?W2)?dim(W1?W2)?1，则W1?W2或W2?W1。 6．设

V1?{(x1,x2,???,xn)?Pn|k1x1?k2x2?????knxn?0,ki?P,i?1,2,???,n}

V2?{(x1,x2,???,xn)?Pn|x1?x2?????xn}

证明，若k1?k2?????kn?0，则P?V1?V2。

7．设f(x)?d(x)f1(x)，且f(x)与g(x)不全为零，证明d(x)g(x)?d(x)g1(x)，是f(x)，g(x)的一个最大公因式的充分必要条件是(f(x),g(x))?1。

8．设A,B都是n阶实对称矩阵，证明

(1) 若A,B都是正定矩阵且AB?BA，则AB是正定矩阵； (2) 如果A?B与B?A均为半正定矩阵，则A?B。

9．设W1,W2是n维线性空间V的两个子空间，且其维数之和为n，证明存在

V的线性变换?，使Ker??W1，?(V)?W2。

2006年

1. 设a?b，证明(x?a)(x?b)|f(x)当且仅当f(a)?f(b)?0。 2.设A为

4

阶方阵且|A|?6，A?(?1,?2,?3,?4)，求

|?3?2?2??1,4?2,3?1,2?4|。

3. 设A为n阶方阵，?1,?2,?3是n维列向量且?1?0，A?1??1，

A?2??1??2，A?3??2??3，试证明?1,?2,?3线性无关。

4. 设A为n阶方阵，证明秩(An)?秩(An?1)。 5. 求齐次线性方程组

8

?x1?x3?x5?0?x?x?0?24 ??x1?x2?x5?0??x1?x4?x5?0的解空间的一组标准正交基。

6. 若Bn?m?Am?n?En，则称Bn?m是Am?n的一个左逆，证明 (1) Am?n有左逆的充要条件是Am?n的列向量线性无关； (2) Am?n的左逆唯一当且仅当Am?n可逆。

7. 设A,B为n阶方阵，且存在可逆阵P使B?P?1AP，证明 (1) A,B有相同的特征值；

(2) A,B相同的特征值的特征子空间的维数相等。

8. 设V为n维线性空间，?是V上的线性变换，证明?是数乘变换充要条件是V中每个一维子空间都是??子空间。

9. 设A为实満秩方阵，求证 (1) AA'正定；

(2) 存在正交阵P,Q使P?1AQ?diag(?1,?2,???,?n)，其中?i?0,i?1,2,???,n。 10. 设A为n阶方阵，则存在与对角矩阵相似的矩阵B与幂零矩阵C使

A?B?C且BC?CB。

9

广西师范大学 2003年

1. 计算题

1) 求n阶行列式Dn的值

xzDn?zyxzyyx?????????yyy

???????????????zzz???x?1?1?1???3?，设?是F3的一个2) 令F3表示数域F上三元列空间，取A??11?137???线性变换，对任意??F3，有?(?)?A?，求Ker(?)，Im(?)及它们的维数。

?1c??a??b3?，3) 设矩阵A??5又|A|??1，A?有一个特征值?0，且属于?0?1?c0?a?????1???的一个特征向量为??1?，求a,b,c,?0的值。

?1???2. 下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。 1) 设A,B,C是三个n?n矩阵，若C?O，且AC?BC，则A?B； 2) 若n阶行列式D?0，则D中一定有一行是其余各行的线性组合； 3) 若欧氏空间中的向量?1,?2,???,?r构成一个正交组，则?1,?2,???,?r一定线性无关；

4) 用正交变换方法将一个实二次型f(x1,x2,???,xn)化为标准型，此标准型是唯一的。

3. 设f(x),g(x)是有理数域上的多项式，已知f(x)不可约且f(x)的一个根(在复数域内的根)也是g(x)的根，证明f(x)的所有根都是g(x)的根。

10

4. 设在实平面上有三条不同的直线

l1:ax?by?c?0，l2:bx?cy?a?0，l3:cx?ay?b?0

证明它们相交于一点的充要条件是a?b?c?0。

5．设?是向量空间V的线性变换，且?2??，但?不是恒等变换?。令

U?{v?V|?(v)?v}，W?{v?V|?(v)??v}

证明U,W都是V的子空间，且V?U?W。

6．证明每个循环群都同构于整数加群Z的一个商群。

7．假定H?G,N?G，令HN?{hn|h?H,n?N}，证明HN?G。 8．证明整数环Z的一个理想I是最大理想当且仅当I是由一个素数生成的。 9．设I和J是环R的两个理想，且I?J，令J是R的理想且IIJR?R。

JI?{a?I|a?J}，证明JII2004年

1. 填空题

1) 若(x?1)2整除Ax4?Bx2?1，则A? ，B? ；

?101???2) 已知A??020?及A2B?A?B?E(E为单位矩阵)，则

??201???|B|? ；

3) 设?1,?2,?3是线性方程组AX?b的3个解向量，b?0，秩A?2，又

?0??0??1????????0??0??0??3??1???，?3??2???，?1??2???

010???????1??0??0???????则AX?b的通解为 。

4) 若向量组?1,?2,???,?s中的每个向量都可以由它的一个部分向量组

?i1,?i2,???,?it唯一地线性表示，那么向量组?1,?2,???,?s的秩是 。

11

2. 计算题

1) 计算n阶行列式的值

a?bDn?aa???abb???bbba?bb???aa?b??????a???a

?????????a?b2) 设V?R4，W1?L(?1,?2,?3)，W2?L(?1,?2)，其中

?1??1020??2??2011??3??10?11??1??331?2??2??130?3?，求W1?W2与W1?W2的基和维数。

223) 已知实二次型f(x1,x2,x3)?2x12?2x1x2?2x1x3?2x2，求出?2x2x3?2x3正交变换X?UY，化二次型为标准形，进而写出此二次型的典范形。

3. 下列命题是否正确？肯定的给予证明，否定的给出反例。

1) F是数域，如果f(x)在F中没有根，则f(x)在F[x]中是不可约多项式。 2) A,B是两个m?n矩阵，如果齐次线性方程组Ax?0的解都是齐次线性方程组Bx?0的解，则秩A?秩B。

3) 如果向量组?1,?2,???,?r的每个向量都可以由向量组?1,?2,???,?s线性表示，当r?s时，?1,?2,???,?r一定线性相关。

4) V是一个欧氏空间，如果f是V的一个线性变换，且保持内积不变，即对于任意?,??V，有(f(?),f(?))?(?,?)，则f一定是正交变换。

4. 证明题

1) 证明多项式f(x)和g(x)互素的充分必要条件是对任意的正整数n，

fn(x)和gn(x)都互素。

2) V是数域F上的n维向量空间，f是V的线性变换。

(1) 取V的一个基?1,?2,???,?n，f在这个基下的矩阵为A，定义|f|?|A|，证明|f|的值与基的选择无关；

12

(2) |f|?0?Kerf?{0}。 3) 设A,B都是正定矩阵，证明 (1) 方程|XA?B|?0的根都大于零； (2) 方程|XA?B|?0的根都等于1?A?B。

2005年

1. 填空题

1) 设f(x)?x4?2x3?3x2?4x?2?Q[x]，f(x)在Q[x]中的所有不可约因式是 ；

2) 已知实3阶方阵A?(aij)满足aij??Aij,i,j?1,2,3(Aij表示元素aij的代数余子式)，且a11?0，则detA? ；

3) 设?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组?1??2,?2??3,?3??4,?4??1的秩等于 ；

4) 设?是向量空间V的一个线性变换，如果?在V的一组基?1,?2,?3下的

?010???矩阵是?001?，写出V的所有?不变子空间 。

?000???2. 计算题

1) 计算n阶行列式的值

x1?a1Dn?x2???xn?1xnx1x2?a2???xn?1xn????????????x1x2???xnx1x2???xn?1xn?an

???xn?1?an?1其中a1a2???an?0。

2) 试求作一个齐次线性方程组，使它的解空间由下列4个向量生成：

?1?(?1,?1,1,2,0)T，?2?(,?,,6,4)T

121122 13

?3?(,0,0,,1)T，?4?(?1,?2,2,9,4)T

其中，?T表示?的转置。

223) 已知二次型f(x1,x2,x3)?2x12?3x2?3x3?2ax2x3(a?0)，通过正交变换22化成标准型f(y1,y2,y3)?y12?2y2，求出参数a及所用的正交变换矩阵。 ?5y314543. 判断下列命题的正确性，并请说明理由或举出反例。

1) 设(f(x),g(x))?d(x)，则满足等式f(x)u(x)?g(x)v(x)?d(x)的u(x)和

v(x)只有一对，其中(f(x),g(x))表示f(x)与g(x)的首项系数为1的最大公因式。

2) 设有n个未知量n?1个方程的线性方程组

?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn2 ????????????????????????????????????an?1,1x1?an?1,2x2?????an?1,nxn?bn?1有解，则行列式

a11a21???an?1,1a12a22???an?1,2?????????a1na2n???b1b2?0 ???bn?1???an?1,n反之也成立。

3) A,B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征多项式，则A与B相似。 4) 设实二次型f(x1,x2,???,xn)的秩为n，则f(x1,x2,???,xn)一定是正定的。 4. 证明题

1) 设f(x)是整系数多项式，f(1)?f(2)?f(3)?p(p是整数)，证明不存在整数m，使得f(m)?2p。

2) 设A是一个n阶方阵，则A2?I的充分必要条件是秩(A?I)?秩

(A?I)?n(其中I为n阶单位阵)。

3) 设?1,?2,???,?m，?1,?2,???,?m是n维欧氏空间V中的两组向量，证明存在

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正交变换f，使得f(?i)??i,i?1,2,???,m的充分必要条件是

(?i,?j)?(?i,?j),i,j?1,2,???,m，其中(?,?)表示向量?与向量?的内积。

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广州大学 2003年

1．令?是数域F上向量空间V的一个线性变换，如果?1,?2,???,?s分别是属于?的互不相同的特征根?1,?2,???,?s的特征向量，那么?1,?2,???,?s线性无关。

2．设f(x)?(x?a1)(x?a2)???(x?an)?1，其中a1,a2,???,an为互异的整数，求证f(x)在Q[x]中不可约。

3．数域F上n维向量空间V的一个线性变换?满足?2??(单位变换)，证明V?V1?V?1，这里V1和V?1分别是属于特征根?1的特征子空间。

4．已知实矩阵A?(aij)3?3满足条件

(1) aij?Aij(i,j?1,2,3)其中Aij为aij的代数余子式； (2) a11?0； 试求行列式|A|。

5．设?0,?1,???,?n?r为AX?b(b?0)的n?r?1个线性无关的解向量，秩

A?r，求对应的齐次线性方程组AX?0的一个基础解系。

6．k取怎样的数值时，线性方程组

?kx1?x2?x3?1??x1?x2?kx3?k ?2x?x?kx?k123?有唯一解，没有解，有无穷多解？

?611???7．设A??161?，求正交矩阵U，使U'AU为对角矩阵。

?116???8．设n元实二次型f(x1,x2,???,xn)?X'AX，A为实对称矩阵，

X?(x1,x2,???,xn)，证明f在条件?xi2?1下的最大(小)值恰为A的最大(小)的

'i?1n 16

特征值。

2004年

1．设f(x)?x4?3x3?x2?4x?3，g(x)?3x3?10x2?2x?3求(f(x),g(x))及

u(x),v(x)使(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)。

2．计算行列式

1223??????n1???n???1

?????????n?13．a,b为何值时，实数域R上的线性方程组

?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?a?12345 ?x?2x?2x?6x?3345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b有唯一解，无穷多解，无解？

4．求齐次线性方程组

?2x1?4x2?5x3?3x4?0??3x1?6x2?4x3?2x4?0 ?4x?8x?17x?11x?0234?1的基础解系，并写出解空间。

5．判断下列矩阵

1?2??1? A???101????1?1?1??的可逆性，如可逆，用初等变换法求其逆矩阵。

6．设?1?(1,2,1,0)，?2?(?1,1,1,1)，?1?(2,?1,0,1)，?2?(1,?1,3,7)，

V1?L(?1,?2)，V2?L(?1,?2)，求V1与V2的交的维数及一组基。

7．线性空间V的线性变换?在基?1,?2,?3下的矩阵为

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?122?? A??212????221??求?的特征值及特征向量。

8．设?是n维线性空间V的一个线性变换，?2?I，证明?的特征值只能为?1。

9．设A是正交矩阵且|A|??1，证明?1是A的一个特征值。

10．设A是一个n阶可逆实矩阵，证明存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U，使得A?US。

2005年

1．m,p,q适合什么条件时，有 (1) x2?mx?1|x3?px?q； (2) x2?mx?1|x4?px?q。 2．计算行列式

abc?ba?d(1) D??cda?d?cb1?xz0???00y1?xz???00dc； ?ba0y???00????????????000???z000???y1?x(2) Dn?1?x???，其中x?yz。

???1?x3．假设向量?可以由向量组?1,?2,???,?r线性表出，证明表示法是唯一的充分必要条件是?1,?2,???,?r线性无关。

4．讨论a,b取何值时，下列方程组无解、有唯一解，有无穷多解，有解时求出其解。

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?x1?2x2?3x3?x4?1?x?x?2x?3x?1?1234 ??3x1?x2?x3?2x4?a??2x1?3x2?x3?bx4??65．设n级方阵A,B满足条件A?B?AB，I为单位矩阵。 (1) 证明A?I为可逆矩阵； (2) 证明AB?BA；

?1?30??，求A。 210(3) 已知B??????002???1002??，求3级可逆阵P，4级可逆阵Q，使 00016．设A???????3000???1000??Q A?P?0100????0000??7．设?1,?2,???,?n是n维线性空间V的一组基，A是以n?s矩阵，

(?1,?2,???,?s)?(?1,?2,???,?n)A，证明L(?1,?2,???,?s)的维数等于A的秩。

8． () () 9． 10．

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哈尔滨工业大学

2009年

1. 设P是一个数域，f(x)，g(x)?P[x]。证明若?f(x),g(x?)?,1则

?f(x)g(x),f(x)?g(x)??1。

2．在R3中，线性变换?对于基

?1?(?1,0,2),?2?(0,1,1),?3?(3,?1,0)

的象为

??1?(?5,0,3),??2?(0,?1,6),??3?(?5,?1,9)

求?在?1,?2,?3上的矩阵A。

?1?11??200??,B??020?。且A与B相似。 24?23． 设矩阵A??????????3?3a???00b??(1) 求a,b；

(2) 求一个可逆阵P，使P?1AP?B。

4．称矩阵A为幂零矩阵，如果存在正整数m使得Am?0。试证

(1) 若A为n阶复幂零矩阵，则An?0；

(2) 若A为n阶复幂零矩阵，则对任意非零常数k，A?kEn都可逆。

5．设向量组(1)?1,?2,???,?r线性无关，并且可由向量组(2)?1,?2,???,?s线性表出。那么，r?s并且，以适当地排列组(2)中向量的次序，使得组(1)替换组(2)地前r个向量后所得到地向量组?1,?2,???,?r，?1,?2,???,?s与组(2)等价。

?AB?6．设X???,其中A,B,C,D均为n阶矩阵，且A是可逆对称矩阵，CD??B'?C。证明存在可逆矩阵T，使T'XT为分块对角阵。

7．设V1、V2是n维欧氏空间V的子空间，且V1的维数小于V2的维数。证明V2 20

中必有一非零向量正交于V1中的所有向量。

8．令Mn表示数域F上一切n阶方阵，所组成线性空间，设

S?{A?Mn|A?A'},T?{A?Mn|A??A'}，证明

(1) S,T都是Mn的线性子空间； (2) Mn?S?T。

9．设A和B都是n阶正定方阵，则方程|?A?B|?0的根都是正的，并且当且仅当A?B时，所有的根都等于1。

11．设A,B,C?Pn?n，试证r(ABC)?r(AB)?r(BC)?r(B)。

21

华南理工大学

2005年

1．证明，如果(f(x),g(x))?1，那么

(f(x)g(x)(f(x)?g(x)),f(x)?f(x)g(x)?g(x))?1

2．问?取何值时，方程组有唯一解、无限多解、无解？并在有解时给出解的结构。

??x1?x2?x3?1? ?x1??x2?x3???2?2x1?(1??)x2?(1??)x3????3．判断下面的矩阵A是否可对角化

66??3??A??020?

??3?12?6???4．证明秩为r(r?1)的矩阵可表示成r个秩为1的矩阵之和。

5．设A为n阶实对称矩阵，?,?分别为其最大与最小特征根，证明对于任意的X?Rn,?X'X?X'AX??X'X，这里X'是X的转置矩阵。

6．设A为正交矩阵，A的特征根均为实数，证明A为对称矩阵。 7．设A、B为实对称矩阵，证明A、B的特征根全部相同的充要条件是存在正交矩阵T，使得T?1AT?B。

8．设An?n是一实矩阵，A'是A的转置矩阵，证明 (1) 齐次线性方程组AX?0与A'AX?0同解； (2) 秩(A)?秩(A'A)；

(3) 方程组A'AX?A'A(其中B是任一s维列向量)一定有解。 9．设?为欧氏空间V中的一个单位向量，定义

?(?)???2??,???

22

其中??,??表示?与?的内积，证明

(1) ?是正交变换，这样的正交变换称为镜面反射；

(2) 对任意的?,??V，若?,?均为单位向量，则存在镜面反射?，使得

?(?)??，并求这个镜面反射的特征值及所对应的特征子空间。

10．设A是一个n阶矩阵，证明A与A'相似。

2006年

1．设f(x),g(x)是数域F上的多项式，证明f(x)|g(x)当且仅当对于任意的大于1的自然数n，fn(x)|gn(x)。

2．设A是一个n阶实矩阵，证明(E?A)(E?A)?1是正交矩阵，当且仅当A是反对称矩阵。

3．求下面的矩阵A的列空间在R4中的正交补的一个标准正交基

?1?11?1????1?1?11? A???1?1?22???2?21?1???4．设a0,a1,???,an为数域F上的互不相同的数而b0,b1,???,bn为数域F上的任意的数。证明在F上存在唯一的n次多项式f(x)使得f(ai)?bi,0?i?n。

5．设A为n阶复矩阵，证明A为对称矩阵的充要条件是存在n阶复矩阵B，使得A?B'B，这里B'表示B的转置矩阵。

6．设A为正定矩阵，则存在正定矩阵S使得A?S2。由此证明每一个可逆实矩阵B都可以表示为一个正交矩阵与一个对称矩阵的乘积。

7．设V是欧氏空间而W是V的有限维子空间，证明W在V中一定有正交补。 8．设V?Mn(F)表示数域F上的n阶矩阵的向量空间，对于A?V，定义

?(A)?A'(A'是A的转置矩阵)。

(1) 证明?是一个线性变换；

23

(2) 求?的全部特征子空间； (3) 证明?可以对角化。

9．设f(x),g(x)是数域F上的互素的多项式，A是F上的n阶矩阵，证明齐次线性方程组f(A)g(A)X?0的解空间f(A)X?0的解空间与g(A)X?0的解空间的直和(其中X表示n维列向量)。

10．设f(x)?x4?x3?x2?x?1。(1)将f(x)在实数域上分解因式；(2)证明f(x)在有理数域上不可约。由此证明cos2?不是有理数。 52009年

1．设f(x),g(x)是P[x]中的非零多项式，且g(x)?sm(x)g1(x)，这里m?1，

(s(x),g1(x))?1,s(x)|f(x)。证明不存在f1(x),r(x)?P[x]，且r(x)?0，

?(r(x))??(s(x))使得

f(x)f(x)r(x) ?m?m?11g(x)s(x)s(x)g1(x)2．设P[x]n表示数域P上所有次数?n的多项式及零多项式构成的线性空间，令多项式fi(x)?(x?a1)???(x?ai?1)(x?ai?1)???(x?an)，其中i?1,2,???,n，且

a1,a2,???,an是数域P中n个互不相同的数。

(1) 证明f1(x),f2(x),???,fn(x)是P[x]n的一组基；

(2) 在(1)中，取a1,a2,???,an为全体n次单位根，求由基1,x,???,xn?1到基

f1(x),f2(x),???,fn(x)的过渡矩阵T。

3．设n阶方阵A满足A2?A，且A的秩r(A)?r。

(1) 证明tr(A)?r，这里A的迹tr(A)定义为A的主对角线上的元素之和； (2) 求|A?E|的值。

4．设?1,?2,?3是欧氏空间V的一组标准正交基，设?1??1??2??3，

24

?2??1??2??3，W?L(?1,?2)。

(1) 求W的一组标准正交基； (2) 求W?的一组标准正交基；

(3) 求???2?2?3在W中的内射影(即求??W，使?????,??W?)，并求?到W的距离。

5．设?是数域P上的n维线性空间V的线性变换，f(x),g(x)?P[x]，证明 (1) f(?)?1(0)?g(?)?1(0)?(f(?)g(?))?1(0)； (2) 当f(x)与g(x)互素时，有

f(?)?1(0)?g(?)?1(0)?(f(?)g(?))?1(0)

6．设f(x1,x2,???,xn)?X'AX为n元实二次型，若矩阵A的顺序主子式

?k(k?1,2,???,n)都不为零，证明f(x1,x2,???,xn)可以经过非退化的线性替换化为下述标准型

22 ?1y12??2y2??????nyn这里?i??i,i?1,2,???,n，并且?0?1。 ?i?17．设数域A,B分别为数域P上的m?n与n?s矩阵，又

W?{B?|AB??0, ?为 P上的 维s列向量， ??即Ps?1}是n维列向量空间Pn?1的子空间，证明

dim(W)?r(B)?r(AB)

8．设f(X,Y)为定义在数域P上的n维线性空间V上的一个双线性函数，证明f(X,Y)?X'AX??i?1?j?1aijxixj可以表示为两个线性函数f1(X)??i?1bixi，

f2(Y)??i?1ciyi之积的充要条件是f(X,Y)的度量矩阵A的秩?1。

nnnn

25

华南师范大学 2002年

1．计算行列式

xa1Dn?1?a1a1a1a1xa2a2a2a2a2xa3a3a3a3a3xa4???an???an???an

???an???x??????????????????2．设f(x),g(x)是数域F上的多项式，f(x)?d(x)f1(x)，g(x)?d(x)g1(x)。证明d(x)是f(x),g(x)的最大公因式当且仅当(f1(x),g1(x))?1。

3．设c是复数，并且是有理数域Q上的一个非零多项式的根，令

J?{f(x)?Q(x)|f(c)?0}。证明J中存在唯一的首项系数为1的多项式p(x)，

使得对于任意f(x)?J,f(x)?p(x)q(x),q(x)?Q(x)。

4．设A是m?n矩阵，B是m?s矩阵，证明存在n?s矩阵X满足AX?B的充要条件是秩(A,B)?秩A。

5．设V是数域F上的线性空间，V中一组向量?1,?2,???,?t生成的子空间是

L(?1,?2,???,?t)?{x1?1?x2?2?????xt?t|x1,x2,???,xt?F}。证明

(1) L(?1,?2,???,?t)是所有包含?1,?2,???,?t的子空间中的最小者； (2) dim[L(?1,?2,???,?k)?L(?1,?2,???,?m)]?秩{?1,L,?k,?1,???,?m}； (3) 若?1,?2,L,?k,?1,?2,???,?m是V中两组线性无关的向量，则

L(?1,?2,???,?k)?L(?1,?2,???,?m)是直和当且仅当?1,?2,???,?k,?1,?2,???,?m线性无关。

6．设

A是实数域R上n阶对称矩阵，对于

定义(?,?)??'A?。证明Rn在此定义??(x1,x2,???,xn)',??(y1,y2,???,yn)'?Rn，

26

下构成欧氏空间的充分必要条件是A为正定矩阵。

7．设实数域3维线性空间R3上的线性变换?定义为

?(x,y,z)?(2x?y,y?z,2y?4z)，设V?1,V?2,V?3分别为其特征值?1,?2,?3的特征子空间。

(1) 求U?V?1?V?2?V?3； (2) ?能否对角化；

(3) 证明?|U可以对角化，求出U的一个基，使?|U在此基下的矩阵为对角形，并写出此对角形矩阵。

228．已知二次型f?3x12?3x2?2x3?2bx1x2(b?0)通过正交替换化为标准形22，求出参数b和相应的正交矩阵。 f?y12?2y2?5y32003年

1. 证明行列式等式

?a11?xa12?x??a21?xa22?x?????????a?xa?xn2?n1???a1n?x??nn???a2n?x??|A|?x??Aij

???????i?1j?1????ann?x??其中|A|?|aij|，Aij是aij在|aij|中的代数余子式。

2. 设f(x),g(x)是数域F上的多项式，m是一正整数，证明

fm(x)|gm(x)?f(x)|g(x)

3.(1) 设A是m?s矩阵，B是s?n矩阵，X?(x1,x2,???,xn)'，证明线性方程组BX?0与ABX?0同解的充要条件是秩(AB)?秩A。

(2) 设A是m?s实数矩阵，证明秩(A'A)?秩(AA')?秩A。

4. 设R是实数域，R2?2为所有2阶实方阵构成的线性空间。对于固定的实数a,b,c,d?R，定义R2?2上线性变换T，

27

?ab?T:X???cd??X

???10??01??00??00???????(1) 求T在基E1??，，，E?E?E?234?00??00??10??01??下的????????矩阵；

?ab??12?(2) 若??cd?????21??，将线性变换T对角化并给出变换的矩阵。

????5. 设实对称矩阵A的特征值全大于a，与A同阶的实对称矩阵B的特征值全大于b。

证明 (1) A?aE和B?bE都是正定矩阵； (2) A?B的特征值全大于a?b。

2007年

1．回答问题

(1) 设f(x),g(x)是数域F上的多项式，在什么条件下，由

f(x)|h(x),g(x)|h(x)可推出f(x)g(x)|h(x)；

(2) 下列变换那些保持矩阵的秩不变：初等变换A?B，相似变换

A?T?1AT，转置变换A?A'，右乘变换A?AC，正交变换A?T'AT；

(3) 写出n阶方阵A可逆的五个等价条件；

(4) 在欧氏空间V中，写出向量组?1,?2,???,?m正交化后得到的正交向量组

?1,?2,???,?m；

(5) 写出实二次型f(x1,x2,???,xn)的规范形，并对此规范形写出符号差和秩。 2．设线性方程组

?x1?x2?kx3?4?2??x1?kx2?x3?k ?x?x?2x??423?1k取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解；在有解时写出它的通解。

3．设n(n?1)阶方阵A，

28

?1a??a1A??????????aa?关于a，讨论矩阵A的秩。

4．设多项式f(x)?x4?x?1，证明 (1) f(x)无有理数的根；

(2) f(x)在有理数域Q上不可约。

???a?????a? ???????????1??5．设?是有限维向量空间V上的线性变换，证明

(1) 若W?L(?1,?2,???,?t)是由?1,?2,???,?t生成的子空间，则

?(W)?L(?(?1),?(?2),???,?(?t))；

(2)

若

V?W1?W2?????Ws且?是可逆的，则

?(V)??(W1)??(W2)??????(Ws)。

6

．

设

向

量

空

间

F4(F是数域)的基

?1?(0,1,1,1),?2?(1,0,1,1),?3?(1,1,0,1),?4?(1,1,1,0),线性变换?关于基?1,?2,?3,?4的矩阵是

?1??2A??0??1?201101201??1? ?0?1??又有基?1?(2,1,1,1),?2?(1,2,1,1),?3?(1,1,2,1),?4?(1,1,1,2),

(1) 求??(1,?2,0,1)的像?(?)关于基?1,?2,?3,?4的坐标； (2) 求基?1,?2,?3,?4到基?1,?2,?3,?4的过渡矩阵。 7．设V是有限维的欧氏空间，证明 (1) {0}??V,V??{0}；

(2) 对于V的子空间U,W，由W?U可得W??U?；

29

(3) (U?W)??U??W?。

8．已知二次型f(x,y,z)?x2?3y2?z2?2bxy?2xz?2yz的秩是2，求参数

b，并指出方程f(x,y,z)?4表示什么曲面。

30

湖南师范大学 2000年

1．填空题

1) n?2，n阶行列式

x0???0an?1x???0an?10?1???0an?2???000??? ?1x?a1???0?????????x???a2的值为 。

2) 在R3中，向量??(1,1,1)关于基{?1,?2,?3}的坐标是 ，其中?1?(1,1,0)，?2?(1,0,1)，?3?(0,1,1)。

3) 已知W1?{(x1,x2,x3,x4)|x1?x2?x3?x4?0,x1,x2,x3,x4?R}，

W1?{(x1,x2,x3,x4)|x1?x2?x3?x4?0,x1,x2,x3,x4?R}都是R4的子空间，那么W1?W2的维数是 。

4) 若在R3中，规定任意两个向量??(x1,x2,x3),??(y1,y2,y3)的内积为

?,??x1y1?2x2y2?3x3y3是 。

，则??(1,0,1)与??(1,2,0)的夹角

225) 若实二次型f(x1,x2,x3)?x12?x2?5x3?2tx1x2?2x1x3?4x2x3是正定的，

则t的取值范围是 。

2．简答题(肯定答案给出简要证明，否定答案举出反例)

1) 设A是对称矩阵，B是反对称矩阵，那么AB?BA和B2是否都是对称矩阵？

2) 设A,B都是实对称矩阵，且A与B的特征多项式相同，那么A与B是否一定相似？

3) 设W1和W2都是数域F上向量空间V的子空间，如果V的任意向量都至

31

少属于W1与W2中的一个，是否有V?W1或V?W2？

4) 若含有n个未知量n?1个方程的线性方程组

?a11x1?a12x2?????a1nxn?b1?ax?ax?????ax?b?2112222nn2 ????????????????????????????????????an?1,1x1?an?1,2x2?????an?1,nxn?bn?1有解，是否必有

a11a21D????an?1,1a12a22???an?1,2?????????a1na2n???b1b2 ???bn?1???an?1,n的值为0？反过来，是否也成立？

3．计算题

1) 求t的值，使f(x)?x3?6x23tx?8有重根。 2) 设

?1111????11?1?1? A???1?11?1???1?1?11???(i) 求矩阵A的特征根；

(ii) 求属于各特征根的特征向量；

(iii) 求一个可逆矩阵T，使T?1AT为对角形矩阵。 4．证明题

1) 设?,?都是向量空间V的线性变换，且有?2??,?2??，证明Ker(?)?Ker(?)?????,????。

2) 证明每一个n阶实可逆矩阵A，均可唯一地表示为

A?UT

的形式，其中U是一个正交矩阵，T是一个上三角形矩阵且主对角线上的元素都是正数。

3) 设?1,?2,?3是三维欧氏空间R3中的一组标准正交基，令

32

?1?(?1?2?2?2?3)，?2?(2?1?2?2??3)，?3?(2?1??2?2?3)，证明

131313?1,?2,?3也是R3的一组标准正交基。

2001年

1．若(x?1)|f(x3)，则(x3?1)|f(x3)。

2．在Q[x]内分解多项式f(x)?x8?4，并证明你的分解式中，所有f(x)的因式都是不可约因式。

3．计算行列式

1234523451d?34512??

45123512344．设?1,?2,???,?s为矩阵A的行向量组，?1,?2,???,?t为矩阵B的行向量组，证明如果齐次线性方程组AX?0的每个解都是BX?0的解，那么?1,?2,???,?t可经?1,?2,???,?s线性表出。

?BA??15．若方阵A,C可逆，证明X???CO??可逆，并求出X。

??6．设n阶方阵A,B及C?AB?BA，且BC?CB，又设f(x)?Q[x]，证明 (i) C?E(单位矩阵) ； (ii) ABk?BkA?kBk?1C； (iii) 计算Af(B)?f(B)A并化简。

7．设A?(aij)n?n是一个n阶正定矩阵，证明B和BAB都是正定矩阵，其中对角矩阵

33

?1??a11??B???????1a22????????? ?1??ann??8．设W是n维线性空间V的一个非平凡子空间，证明 (1) 存在V的一个子空间U，使V?W?U (2) 满足上式的子空间U不是唯一的。

9．设V是复数域上的n维向量空间，A,B是V的线性变换，且AB?BA，证明A的每个特征子空间都是B的不变子空间。

10．设V是一个欧氏空间，0???V，定义变换A：

A????2(?,?)?，???V (?,?)证明 (i) A是V的一个正交变换； (ii) A2是V的单位变换。

2002年

1．设多项式f(x),g(x)互素，证明 (i) (f(x)g(x),f(x)?g(x))?1； (ii) (f(x)g(x),f2(x)?g2(x))?1。

2．f(x)为整系数多项式，且f(1)?1，证明f(3)?0。 3．计算n阶行列式

01D?1202330?????????nnn

???????????????123???04．若矩阵A,B,C?AB满足秩(B)?秩(C)，证明线性方程组BX?0与

34

CX?0同解。

?AB??ADBD??5．对于n阶方阵A,B,C,D，若D可逆，是否?的秩一?C??CO??与?O????定相等？若是，请证明；否则，举出反例。

6．证明二次型

222f(x1,x2,x3,x4)?3x12?2x1x2?2x1x3?2x1x4?3x2?2x2x3?2x2x4?2x3x4?3x3?3x4是半正定的，并把f(x1,x2,x3,x4)化为标准形。

7．设3阶方阵A满足A2?0，?1,?2,?3是线性空间V的一个基，如果

(?1,?2,?3)?(?1,?2,?3)A，证明L(?1,?2,?3)的维数?1。

8．设V的一个线性变换A适合A2?2A，证明 (i) A的核A?1(0)?{2??A?|??V}；

(ii) A的值域AV中任一非零向量是特征值2的特征向量； (iii) V?AV?A?1(0)。

9．若A为实对称矩阵，则A的特征值一定是实数。 10．对于n阶方阵A,B，证明 (i) 若A~B，则A'~B'； (ii) 称矩阵

???01???01??J(?)??????1? ????0?为一个Jordan块，证明J(?'0)与J(?0)相似；

(iii) 若

??J(?0)??A~?J(??1)??? ??J(??s)??

35

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