GCT数学2003-2007年试题与解析

2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题

（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）

1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11。 ?（ ）

1?2?3?4?5?6?7?8?9?10?11A．10 B．11 C．12 D．13

2．记不超过10的素数的算术平均数为M，则与M最接近的整数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5

3．1 000 m的大道两侧从起点开始每隔10 m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要（ ）。

A．树200棵，花200盆 B．树202棵，花200盆 C．树202棵，花202盆 D．树200棵，花202盆

2001200220034．已知a?，b?，c?，则（ ）。

2003200420021．

A．a?b?c B．b?c?a C．c?a?b D．c?b?a

5．某工厂月产值3月份比2月份增加10%，4月份比3月份减少10%，那么（ ）。

1A．4月份与2月份产值相等 B．4月份比2月份产值增加

9911C．4月份比2月份产值减少 D．4月份比2月份产值减少

991006．函数y=ax2+bx+c（a?0）在[0，+?）上单调增的充分必要条件是（ ）。 A．a?0且b≥0 B．a?0且b≤0 C．a?0且b≥0 D．a?0且b≤0 7．函数y1?（（a?0）与y2?（的图像关于（ ）。 fa?x）fa?x）A．直线x?a=0对称 C．x轴对称

B．直线x+a=0对称 D．y轴对称

99100（x?y）（x?y）8．已知实数x和y满足条件= ?1和=1，则x101+y101的值是（ ）。

A．?1 B．0 C．1 D．2

9．一批产品的次品率为0.1，逐件检测后放回，在连续三次检测中至少有一件是次品的概率为（ ）。

A．0.271 B．0.243 C．0.1 D．0.081

10．A、B、C、D、E五支篮球队相互进行循环赛，现已知A队已赛过4场，B队已赛过3场，C队已赛过2场，D队已赛过1场，则此时E队已赛过（ ）。

103

A．1场 B．2场 C．3场 D．4场

22

11．过点P（0，2）作圆x+y=1的切线PA、PB，A、B是两个切点，则AB所在直线的方程为（ ）。

1111A．x?? B．y?? C．x? D．y?

222212．如图，正方形ABCD的面积为1，E和F分别是AB和BC的中心，则图中阴影部分面积为（ ）。

ADEBFC1323 B． C． D． 243513．已知两平行平面?，?之间的距离为d（d?0），l是平面?内的一条直线，则在平面?内与直线l平行且距离为2d的直线的有（ ）。

A．0条 B．1条 C．2条 D．4条

514．正圆锥的全面积是侧面积的倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对的圆心角为

4（ ）。

???A．? B． C． D．

???

A．

15．设点（x0，y0）在圆C：x2?y2?1的内部，则直线x0 x + y0 y=1和圆C（ ）。 A．不相交

B．有一个交点

C．有两个交点，且两交点间的距离小于2 D．有两个交点，且两交点间的距离等于2

216．设（的极值点的个数是（ ）。 fx）fx）??t（t?1）dt，则（0xD．3

?（fx0）?d（fx0）17．如果函数（在x0处可导，?（=（?（，则极限limfx0??x）fx）fx0）fx0）?x?0?x（ ）。

A．等于f '（x0） B．等于1 C．等于0 D．不存在 18．甲、乙两人百米赛跑的成绩一样，那么（ ）。 A．甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样 104

A．0 B．1 C．2

B．甲、乙两人每时刻的瞬时速度都不一样 C．甲、乙两人至少在某时刻的瞬时速度一样 D．甲、乙两人到达终点时的瞬时速度必定一样

19．方程x2?xsinx?cosx的实数根的个数是（ ）。 A．1个 B．2个 C．3个 20．设I??sin。 （cosx）dx，则（ ）

0?D．4个

A．I=0

210x21．行列式

B．I?0 C．0?I?1

?1x2x1x?1展开式中x4的系数是（ ）。

x200?1?xB．?2

C．1

D．I=0

A．2 D．?1

?1?1??，B=?110?，则必有（ ）2022．设A=?。 ?231??????31???A．AB=BA

B．AB=BTAT

C．BA= ?8 D．AB=0

23．设A为4阶非零方阵，其伴随矩阵A*的秩r（A*）=0，则秩r（A）等于（ ）。

A．1或2 B．1或3 C．2或3 D．3或4

24．设A为m?n的非零矩阵，方程组Ax=0只有零解的充分必要条件是（ ）。 A．A的列向量线性无关 B．A的列向量线性相关 C．A的行向量线性无关 D．A的行向量线性相关 25．已知三阶矩阵M的特征值为?1= ?1，?2=0，?3=1，它们所对应的特征向量为?1=（1，

TTT0，0），?2=（0，2，0），?3=（0，0，1），则矩阵M是（ ）。

?0?10??A．??000?

?001?????110??B．??001?

?001????00?1??C．??000?

?100?????100??D．??000?

?001???

105

2003年GCT入学资格考试数学基础能力试题

参考答案与解析

1．【答案】B

（a?a）n【解析】等差数列求和公式Sn?1n

2（1?11）?11分子=?66

2分母=?5+11=6

66原式=?11

62．【答案】C

【解析】不超过10的素数为2，3，5，7；M=为4。 3．【答案】B

【解析】 10 0 10 1 × × 10 2 × ? 10 100 × 2?3?5?7?4.25，故与M最接近的整数4，则一侧树的棵数为100+1=101，花的盆数为

100，故两侧乘以2，故选B。

4．【答案】D

200120022003111【解析】a?，b?，c? ?1??1??1?200220022003200320042004111由 ??200220032004111得1? ?1??1?200220032004故a?b?c 5．【答案】D

【解析】设2月份产量为1，则3月份产量为1.1，4月份产量为0.99，故4月份比2月

1份产量减少。

1006．【答案】C 【解析】根据二次函数图像性质知，函数y=ax2+bx+c在[0，+?）上是单调增函数的充分

?a?0?a?0?必要条件必须满足?b，故选C。 ??b≥0?≤0???2a7．【答案】D 106

fxa+）=xa+f和x（a?+x=）a+?fx）=x，【解析】令（有（。

f（?x+a）yf（x+a）f（x）得图像如下：

所以图像关于y轴对称。 故选D。 8．【答案】A

?x?y??1?x?0?x??1【解析】由已知可得：? ??或?x?y??1y??1y?0???ox

所以x101+y101=?1

9．【答案】A 【解析】抽三次正品的概率为0.93=0.729，故至少有一件是次品的概率为1?0.729=0.271。 10．【答案】B

【解析】由于A队赛4场，故A必须与其他四队都赛； yP（0，2）D队已赛1场，D队只与A队赛；

B队已赛3场，B队与A、C、E分别赛； C队已赛2场，C队与A、B分别赛。

ABF所以E队已赛2场 11．【答案】D

xO【解析】如右图所示，OA=1，OP=2，?AOP=60°，OF=

11OA=。 221 2所以AB所在直线的方程为y=

12．【答案】C

【解析】因E、F分别为AB、BC的中点，所以DE和DF交AC于M，N等分AC，故

1S△AMD=S△DMN=S△DNC（等底等高），S△AMD+S△DNC=

31111?22?21?? S△BEF+S梯形MNEF=???????2222?32?43112S阴影=??

33313．【答案】C

【解析】如右图可知，满足条件的有2条直线。 14．【答案】B

【解析】设正圆锥的底面半径以R，母线长为L，则圆锥侧面积=?RL

圆锥全面积=?R2+?RL

?2dld 2d30°30°? 107

因此

πRL4??L?4R

πRL?πR25故所求圆心角=15．【答案】A

2πR2πRπ??，选B。 l4R21（x0，y0）（=，）0在圆内，【解析】令

2

x0x+y0y=1，可代为x?2，故选A。

16．【答案】B

1111【解析】由f（x）=?t（t?1）dt?t4?t3?x4?x3

043043x2xf '(x)=x3? x2= x2(x?1)，令f '(x)=0得x=0，x=1。显然x=1是f (x)的极值点；在x=0的邻

域内f '(x)?0，不变号，则x=0不是f (x)的极值点，故选B。

17．【答案】C 【解析】df（x0）=f（x0+?x）?f（x0）

?（fx0）?d（fx0）（fx0??x）?（fx0）?[（fx0??x）?（fx0）]?lim?0

?x?0?x?0?x?xlim18．【答案】C

【解析】甲、乙两人每时刻的瞬时速度可能一样，故A、B均错。

甲、乙两人每时刻的瞬时速度有可能一样，有可能不一样，故D错。

故选C。 19．【答案】B

y1=x【解析】令y1=x2

1??1y2=xsinx+cosx=1?x2sin?x?arctan? x??由数形（如图）结合可知交点个数为2个。

20．【答案】D

??【解析】令t=x-,则cosx=cos(+t)=sint。

2?dx=dtI=?sin(?sint)dt=??sin（sint)dt??????2??2y2

????因为被积函数f (t)=-sin(sint)在??,?上是奇函数。所以I=0，故选D。

????21．【答案】A 108

2?1xx2x?1【解析】要使行列式

11展开式中含x4，则在行列式中，各不同的行、列都

0x20x0?1?x有x，即（2x、x、x、x）=2x4（即对角线上都为x），故选A。

22．【答案】D

【解析】

?1?1?（?1）?21?1?（?1）?31?0?（?1）?1?AB=??20??110????1?1?2?1?0?22?1?0? ???????231????32?0?0?1??31?3?1?1?23?1?1?33?0?1?1????1?2?1????220? ???561??BA=?110?1?1?（?1）?1?0?0?1?????231????20?????1?1?1?2?0?31?3?1??31???2?1?3?2?1?32?（?1）?3?0?1?1??????11?1???1?2?1|AB|=220??1?2?（?2）?2?（?1）?2??4?4?0 561|BA|=

3?111?1??3?11?8

?12??（?1）1?2?2?01?3?2?1???12BTAT=??13??123???1?1?2?1?1?3?（?1）1?????22??1?2?3?01?3?3?1??????10?????01?0?1?1?（?1）0?2?1?00?3?1?1?????1023．【答案】A ?n（rA）为满秩【解析】r（A?）=??1（rA）?n?1

??0（rA）≤n?2因r（A?）=0，r（A）≤4?2=2，故选A。

24．【答案】A

5?6?? 1??109

?a11a12a13?a1n??x1??aa22a23?a2n??x2?21?????0 解 由AX=0，得???????????am1am2am3?amn??xn?即a11x1+a12x2+?+a1nxn=0

因此，A的列向量线性无关，即x1=x2=?xn=0 25．【答案】D

【解析】M=[?1?1故选D。

1??10?2?2 ?3?3]= ?2?00??000?0?? 1?? 1102004年GCT入学资格考试数学基础能力试题

（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）

1．在一条长3 600 m的公路一边，从一端开始等距竖立电线杆，每隔40 m原已挖好一个坑。现改为每隔60 m立一根电线杆，则需要重新挖坑和填坑的个数分别是（ ）。

A．50和40 B．40和50 C．60和30 D．30和60

2．某校有若干女生住校，若每间房住4人，则还剩20人未住下，若每间住8人，则仅有一间未满，那么该校有女生宿舍的房间数为（ ）。

A．4 B．5 C．6 D．7

3．甲、乙两种茶叶以x:y（重量比）混合配制成一种成品茶，甲种茶每斤50元，乙种每斤40元，现甲种茶价格上涨10%，乙种茶价格下降10%后，成品茶的价格恰好仍保持不变，则x:y等于（ ）。

A．1:1 B．5:4 C．4:5 D．5:6

n?14．设Sn?1?2?3?4???（ ）。 （?1）n，则S2004?S2005=A．2 B．1 C．0 D．?1

5．在一条公路上，汽车A，B，C分别以80、70、50 km/h的速度匀速行驶，汽车A从甲站开向乙站，同时车B，车C从乙站出发与车A相向而行开往甲站，途中车A与车B相遇2h后再与车C相遇，那么甲、乙两站相距（ ）。

A．2 010 km B．2 005 km C．1 690 km D．1 950 km

6．已知ab?1，且满足2a2?2008a?3?0和3b2?2008b?2?0，则（ ）。 A．3a?2b?0 B．2a?3b?0 C．3a?2b?0 7．实数a，b，c在数轴上的位置如下图所示

baOcxD．2a?3b?0

图中O为原点，则代数式a?b?b?a?a?c?c=（ ）。

B．?a?ab?2c C．a?2b D．3a

cab8．设a，b，c均为正数，若，则（ ）。 ??a?bb?cc?aA．c?a?b B．b?c?a C．a?b?c D．c?b?a 9．argz表示z的幅角，今有??arg，??arg，则sin=（ ）。 （?1?2i）（2?i）（?+?）4343A．? B．? C． D．

555510．将5个相同的球放入位于一排的8个格子中，每格至多放一个球，则3个空格相连的概率是（ ）。

3535A． B． C． D．

56562828111

A．?3a?2c

11．如图，直角△ABC中，∠C为直角，点E和D，F分别在直角边AC和斜边AB上，且AF=FE=ED=DC=CB，则∠A=（ ）。

BDFACEππππ B． C． D． 89101112．如图，长方形ABCD由四个等腰直角三角形和一个正方形EFGH构成，若长方形ABCD的面积为A，则正方形EFGH的面积为（ ）。

A．

DHECFGAAAAA B． C． D．

101214813．△ABC中，AB=5，AC=3，∠A=x，该三角形BC边上的中线长是x的函数y?（，fx）则当x在（0，?）中变化时，函数（的取值的范围是（ ）。 fx）A．（0，5） B．（1，4） C．（3，4） D．（2，5） 14．直线l与直线2x?y?1关于直线x?y?0对称，则直线l的方程是（ ）。 A．x?2y?1 B．x?2y?1 C．2x?y?1 D．2x?y?1

B

A．

15．在圆心为O，半径为15的圆内有一点P，若OP=12，则在过P点的弦中，长度为整数的有（ ）。

A．14条 B．24条 C．12条 D．11条

?1的值为16．如图，（、g是两个逐段线性的连续函数，设（，ufx）（x）ux）?（（fgx））（）（ ）。

y5432g（x）1x?1012345678 f（x）

112

A．

3 4B．

?3 4C．?1 12D．

1 1217．过点作曲线y?sinx的切线，设该曲线与切线及y轴所围成的面积为A1，（p,sinp）曲线与直线x?p及x轴所围成的面积为A2，则（ ）。

A．lim?p?0A21A21? B．lim??

p?0AA1?A2321?A2C．lim?p?0A22A2? D．lim??1

p?0A1?A23A1?A218．如下不等式成立的是（ ）。

A．在（?3，0）区间上，ln3?x?ln （3?x）C．在[0，区间上，ln3?x?ln ??）（3?x）π0B．在（?3，0）区间上，ln3?x?ln （3+x）D．在 [0，区间上，ln3?x?ln ??）（3+x）π019．设（为连续函数，且?（。 fx）fxsinx）sinxdx?1，则?（fxsinx）xcosxdx?（ ）A．0

B．1

C．?1

D．?

（2-1）x2把曲线y= x（b?x）20．如图，抛物线y?（b?0）与x轴所构成的区域面积分

为AA与AB两部分，则（ ）。

yy?（2?1）x2y=x（b?x）ABAAObx

A．AA?AB C．AA?AB

a11a12a22a32a13a33

B．AA?AB

D．AA与AB的大小关系与b的数值有关 ?2a11?2a31?2a12?2a22?2a32?2a13?2a23?（ ）。 ?2a3321．设a21a31a23?M?0，则行列式?2a21A．8M B．2M C．?2M D．?8M

22．若向量?，?，? 线性无关，而向量?+2?，2?+k?，3?+? 线性相关，则k=（ ）。 A．3 B．2 C．?2 D．?3 ?100??110??，B??122?，?1?1020C?AB23．设A??，则矩阵中，第3行第2列的元素C?????003??013?????是（ ）。

131A． B． C．1 D．

223113

?1?22??，三阶矩阵24．设矩阵A??。 ?26xB?0，且满足AB=0，则（ ）???30?6???A．x??8，（rB）?1

C．x?8，（rB）?1

B．x??8，（rB）?2 D．x?8，（rB）?2

?100?25．下列矩阵中，与对角矩阵??010???相似的矩阵是（ ?002???101?10??101A．??021??1 ?21???B．?0? C．??010??001????001??????002??

。 ?D．?110??010????002?? ）

1142004年GCT入学资格考试数学基础能力试题

参考答案与解析

1．【答案】D

【解析】每隔40 m挖坑的数为：3 600 ?40+1=91 每隔60 m挖坑的数量为：3 600 ?60+1=61

由于40与60的最小公倍数为120，可知挖重叠的坑的数量为：3 600 ?120+1=31 因此需要重新挖坑的数量为：61?31=30 填坑的数量为：91?31=60 故选D。 2．【答案】C

【解析】设该校有女生宿舍x间，则有

?4x?20?8（x?1）?5?x ?7 ?x=6 ?

?4x?20?8x 3．【答案】C

【解析】价格变化前成品价格为

50x?40y元

x?y50（1?10%）x?40（1?10%）y价格变化时成品价格可表示为元

x?y50x?40y55x?36y浮动前后成品价格保持不变 ?x?yx?y解得5x=4y，得x:y=4:5

4．【答案】B

?n?（n为偶数） ??2n?1

【解析】Sn=1?2+3?4+?+（?1）n=?n?1n?1???（?1）n（n为奇数） ??2S2 004= ?1 002

2005?12004?（?1）2005??1002?2005?1003 2因此S2004?S2005??1002?1003?1

S2 005=?

5．【答案】D

【解析】设A，B相遇时所用时间为th，则A，C相遇所用时间（t+2）h， 有（70+80）t=（80+50）（t+2）?t=13h，因此甲、乙两站距离为（70+80）?13=1 950 km 6．【答案】B 【解析】

2a2+2 008a+3=0?4a2+2 008?2a+6=0 ①

115

3b2+2 008b+2=0?9b2+2 008?3b+6=0

式①?②得（2a?3b）（2a+3b）+2 008（2a?3b）=0

（2a?3b）（2a+3b+2 008）=0 2a?3b=0或2a+3b+2 008=0

7．【答案】A

【解析】由图可知b?a?0，c?0，因此a+b?0，b?a?0，a?c?0 故有|a+b|?|b?a|+|a?c|+c= ?a?b+b?a?（a?c）+c= ?3a+2c 8．【答案】A

cbcbaa【解析】????1??1??1?

a?bb?cc?aa?bc?ab?ca?b?ca?b?ca?b?c??

a?ca?bb?c因a、b、c均为正数，故a+b?b+c?a+c，b?a?c 9．【答案】D

【解析】依题意可知：

112 sin??sin????222251?2（?1）?222?1cos???cos???222251?2（?1）?2

sin（???）?sin?cos??cos?sin??②

2 5?15 1??1?223????? ?5?5?55510．【答案】C

5【解析】3个空格相连的放法有C56=6种，又总的放法有C8?56种（由于是相同的球，

635故不是A8），故3个空格相连的概率为。 ?562811．【答案】C

【解析】AF=FE=ED=CB?∠A=∠FEA，∠EFB=∠EDA，∠DCE=∠DEC，∠B=∠CDB 由三角形性质知：∠EFB=2∠A ∠EFB+∠A=∠CED?∠CED=3∠A

??∠CED=??2∠B ??2?A= 又因∠C=2，知? ∠?

???∠A+∠B=? 212．【答案】C

【解析】设AB=a，BC=b，则S=ab

由△ADE，△AHB，△EFC和△BGC都是等腰直角三角形，知

2b 2222HE?AE?AH?2b?a HG?HB?BG?a?b

222|AH|=

2a2AE?2bBG?116

又因四边形EFGH是正方形，故2b?

13．【答案】B

【解析】如右图可知A△ABC=

2223a?a?b，即有a =b 222232A?ab?b2?b2?S

231112S22A正方形EFGH=HG=（a?b）?b2??S?

288312115ABACsin（???）?sinx 2215A△ABD=ABADsin??ysin?

2213A△ADC=ACADsin??ysin?

22A?C?DB

A△ABC=A△ABD+A△ADC?5ysin??3ysin??15sinx

在△ACD和△ABD中由余弦定理得：

BD?AB?AD?2ABADcos??52?y2?2?5ycos?

222①

DC?AC?AD?2ACADcos??32?y2?2?3ycos?

222因D是BC的中线，故 5ycos??3ycos??8 ②

由式①2+②2整理得34y2?30y2cos（???）=225sin2x +64（??? =x）

（15cos x?y2）2=（17?y2）2

2y2=17?15cos x

由x?(0,?)，知1?y2?16即1?y?4 14．【答案】A

【解析】因为直线x+y=0是二、四象限角平分线，所以已知直线上的点P1（0，?1）关

11于直线x= ?y的对称点Q（1，0），点P2（，0）关于直线x+y=0的对称点R（0，?），

22yx1Q（1，0），R（0，?）所在直线方程为??1，即x?2y?1。

112?215．【答案】B

【解析】最长的弦长是直径，OP垂直于所求直线时，弦长为最短。

最短的弦长为lmin?2152?122?18，最长的弦长lmax?2?15?30。

因此18≤l≤30，l可取13个整数，其中最小弦长和最大弦长各对应一条弦，其余11个整数每个对应两条弦，共有24条。故选B。

16．【答案】A

117

?2x（0?x?2） ?fx）??1【解析】由图知（9 ?x???42（x≥2）

??3x?6（0?x?2） ?（gx）??24 x??3（x≥2） ?3

4时，2≤g（x）?6 3?934（ux）?f?（gx）??x?3（0?x≤） ???（?3x?6）?2433故u'（1）=

417．【答案】D

p2sinp?pcosp【解析】A1??p??sinxdx

0A12当0?x≤

y（p，sin p）A2??sinxdx?1?cosp

pp?0?lim?A2?1

A1?A2A2x=pxy=cosp(x-p)+sinp18．【答案】B

【解析】x≥0?x+3≥3?ln≥ln3?ln≥ln3?x （3+x）（3+x）当?3?x?0时，有3?3+x，ln3?ln，ln3?x?ln，故选B （3+x）（3+x）19．【答案】C 【解析】因（xsinx）'=sinx+xcosx，而?（sinx?xcosx）dx??xsinx???0

0??故?（fxsinx）sinxdx??（fxsinx）x　cosxdx?0

0????0?（fxsinx）xcosxdx??1

20．【答案】B

【解析】如图所示：有交点 y?（2?1）x2?（xb?x）

y2b得x?0或2

x2y=（2??）AB=A1+A 2 A1=?2b20AA2b20y=x（b?x）AB122b22?13（2-1）xdx?x322?23?b

12obx118

bbA2=?b2b（xb?x）dx=1=122bx2?12x32b32b（31?113222b2）?3b（1?4） =（111222?4?3?12）b3=（12?112）b3 所以

AB=112b3 Ab0b?x）dx=12b3?13b3=1A+AB=?（x6b3

所以AA=AB，故选B。 21．【答案】D

?2a11?2a12?2a13a11a12a13?2a21?2a22?2a323?（?2）a21a22a23??8M ?2a31?2a32?2a33a31a32a33故选D。

22．【答案】D 设x1（?+2?）+x2（2?+k?）+x3（3?+?）= 0

（x1+x3）? +（2x1+2x2）? +（kx2+3x3）?=0 ?x1?x由?，?，?线性无关，知?3?0?2x1?2x2?0?k??3

??kx2?3x3?023．【答案】B

由C=AB?1

所以C?1=(AB?1) ?1=BA?1 ???100??又A??100?1??020???1??，则A???0?003???20??． ??001?3????110??100????110????2C?1=BA?1???1?122?0?2??????0????11?013???23?. ?1??1??003?????021???119【解析】【解析】

故选B。 24．【答案】A

?a1a2a3?? 【解析】设B=?bbb123???ccc?23??1因AB=0，B?0，故有

?a?2k?2c??a?2c111?2b11?0??1??2a?b1?2k?2c11?6b1?xc1?0?，A=???????3a?6c?0?c1?k11???83?x???220?故可取B???220??220???000? ?????110????000??（rB）?1

故选A。

25．【答案】C

【解析】根据相关概念可知C为正确答案。

?22?6?8??0?6??

1202005年GCT入学资格考试数学基础能力试题

（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）

11111111（1?）（1?）（1?）（1?）（1?）（1?）（1?）（1?）23456789的值是（ ）1．。 0.1?0.2?0.3?0.4?0.5?0.6?0.7?0.8?0.9A．

2 81B．

2 9C．

9 2D．

81 22．设p为正数，则x2?px?99?（ ）。 A． （x?9）（x?11）C． （x?9）（x?11）

B． （x?9）（x?11）D． （x?9）（x?11）3．在四边形ABCD中对角线AC，BD垂直相交于O点，若AC?30，BD?36，则四边形ABCD的面积为（ ）。 A．1 080 B．840

C．720 D．540

14．某项工程8个人用35天完成了全工程量的，如果再增加6个人，那么完成剩余的

3工程还需要的天数是（ ）。

A．18 B．35 C．40 D．60

2225．已知x?y?5且z?y?10，则x?y?z?xy?yz?zx=（ ）。 A．50 B．75 C．100 D．105

6．2005年，我国甲省人口是全国人口的c%，其生产总值占国内生产总值的d%;乙省人口是全国人口的e%，其生产总值占国内生产总值的f%，则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是（ ）。

cdceA． B．

efdf2（1?i）7．复数z?的模z=（ ）。

C．

cf deD．

de cfA．4 B．22 C．2 D．2

a等于b8．三个不相同的非0实数a，b，c成等差数列，又a，c，b恰成等比数列，则

（ ）。

A．4 B．2 C．?4 D．?2 9．任取一个正整数，其平方数的末位数字是4的概率等于（ ）。 A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 10．一个圆锥形容器（甲）与一个半球形容器（乙），它们的开口圆的直径与高的尺寸如图所示（单位:dm），若用甲容器取水注满乙容器，则至少要注水（ ）次。

A．6

B．8

C．12

D．16

121

1211

11．在△ABC中，AB?10，AC?8，BC?6，过C点以C到AB的距离为直径作圆，

（乙）（甲）该圆与AB有公共点，且交AC于M，交BC于N，则MN等于（ ）。

3411A．3 B．4 C．7 D．13

4523??a2?1?12．已知a?0，cos??则cos????的值是（ ）。 ，6?2a?A．?3 2B． C．

1 2D．3 22图像上的一点，过P分别作两坐标轴的平行线，交Oxx轴于M，交Oy轴于N，则△MPN的面积为（ ）。

22A．2 B．1 C． D．

2414．设一个圆的圆心为P（6，m），该圆与坐标轴交于A两点，则P（0，?4）（、B0，?12）13．已知P为反比例函数y?到坐标原点的距离是（ ）。

A．213 B．8 C．10 D．102

22??1，若圆（x?cos?）?（y?sin?）?1的圆心在第四象限，则方程15．已知tan。 x2cos??y2sin??2?0的图形是（ ）

A．双曲线 的定义域是（ ）。

A．x≤1

B．椭圆

C．抛物线

D．直线

gx）?1?x?（fsin?x）?1?x?（f1?cos?x）1?，则函数（16．设函数（的定义域是?0，fx）B．0≤x≤1 C．x≤0.5 D．0.5≤x≤1

xxfx）?17．函数（在上有（ ）。 （??，??）（x?1）（x?2）A．1条竖直渐近线，1条水平渐近线

B．1条竖直渐近线，2条水平渐近线 C．2条竖直渐近线，1条水平渐近线 D．2条竖直渐近线，2条水平渐近线

12?0）18．设（在点x?0处可导，且（则f（=（ ）。 fx）f）?（n?1，2，，3?），nnA．0 B．1 C．2 D．3

??x）?1，则对任意常数?，必有fx）的二阶导数连续，且limf（19．若（x???x????x?a）?x）lim?f（?f（。 ?=（ ）

122

A．a

B．1 C．0 ??aD．af（ ）?x）dx=（ ）20．设x2lnx是（的一个原函数，则不定积分?xf（。 fx）21A．x3lnx?x3?C B．2x?x2lnx?C

39C．x2lnx?x2?C D．3x2lnx?x2?C 21．设连续函数y?（a?内严格单调递增，且（f0）?0，（fa）?a，若f）x在?0，。 （gx）是（f）x的反函数，则?（（fx）?（gx））dx=（ ）

022A．f（ a）?g（a）2B．f（ a）aC．2?（fx）dx

0aD．2?（gx）dx

a0?0???1??1??0??2???1???1??0?22．设向量?1???，的一个?2???，?3???，?4???，则向量组（?1，?2，?3，?4）?1???1??0??1??????????1???1??0???1?极大线性无关组是（ ）。

A．?3，B．?1，?4 ?2，?3，?4

C．?1，?2，?3 D．?1，?2，?4

?3?11??23．设A??。 ?201?，则A的对应于特征值2的一个特征向量是（ ）

?1?12????1??1??0??1?? ??1? ?1? ?1? A．?B．C．D．0?????????1??0???1??0?????????24．已知X为n维单位列向量，XT为X的转置，En为单位矩阵，若G?XXT，则G2

等于（ ）。

A．G

B．?G C．1

abcD．En

25．设a，b，c是方程x3?2x?4?0的三个根，则行列式bca的值等于（ ）。

cabA．1

B．0

C．?1

D．?2

123

2005年GCT入学资格考试数学基础能力试题

参考答案与解析

1．【答案】A

【解析】细心观察一下此题很有规律。

11238???22349?9? 原式=

（0.1?0.9）?（0.2?0.8）?（0.3?0.7）?（0.4?0.6）?0.59812故A为正确答案。 2．【答案】C

【解析】此题看起来很复杂，有未知数存在，但如果我们应用韦达定理问题就简单多了，因为p为正数，故两根之和为负数，故C为正确答案。

3．【答案】D

【解析】因为AC?BD

111所以A四ABCD?A△ABC?A△ADC??AC?（OB??ODAC）?OD ACOB222

111?AC（OB?OD）?AC?BD??30?36?5402221故D为正确答案。?AC ?BD4．【答案】C 2【解析】根据题意，设需x天完成。则有：

123?（8?6）?x?

8?353x?40

故选C。 5．【答案】B

?x?y?5【解析】由已知??z?y?10①②?z?x?5③

将①、②、③式的两边分别平方后相加即得。 （2x2?y2?z2）?（2xy?yz?zx）?150 所以x2?y2?z2?xy?yz?zx?75

故选B。 6．【答案】D

【解析】此题可设全国人口为a，国内生产总值为b。

def%?bd%?b则由题意，有甲省人均生产总值为，乙省为故二者的比值为。

cfe%?ac%?a124

解此类题就是把未知的假设出来，问题一下就可以简化易解了。从而得出答案为D。 7．【答案】C 【解析】由复数的性质，z2?z。

2故z?（1?i）?（2）?2

22故选C。 8．【答案】A

【解析】此题可以按等差或按等比将三个数设出来，再根据性质求解方程组显然麻烦。 这里我们直接利用等差中项：2b?a?c ① 等比中项 c2?ab ② 联立①②可得：4b2?a2?5ab?0 ③ ?a??a?将等式两边同时除b，即???5???4?0

?b??b?aa显然得?4或?1（舍去）

bb故选A。

22 ④

9．【答案】B

【解析】显然这些数都是由数字0～9组合成的。 其中平方数的末位数为4的只有数字2和8。

21故其概率为??0.2

105故选B。 10．【答案】B

【解析】此题实质就是比较甲、乙两容器的体积。

112?V甲??（?）?1??V乙32?8 ??14V甲V乙????13??23?故V乙是V甲的8倍，即至少注入8次，答案为B。

11．【答案】B

【解析】首先按题意作图，显然△ABC为直角三角形，其中∠C?90?，而M，N为圆上两点，故△MCN为直角三角形，由圆以几何性质可知，即CD到AB的MN即为此圆的直径，距离，即为B答案。

12．【答案】A

?【解析】此题要是按cos展开计算非常麻烦，我们这里就以特殊代一般，这是解（??）6决选择题的最好办法。

设a??1，则cos???1，sin??0。

125

3??? 所以cos （??）?cos??cos?sin??sin??2666故选A。 13．【答案】C

2【解析】如图所示，可设P （x，）x1221则S△PMN?PN?PM=?x? ?2x22yNOPMx故选C。

14．【答案】C

【解析】如图所示，由垂径定理可知AM?4。 故MO?8MP?6

所以，OP?10。 故选C。 15．【答案】B

【解析】由x2cos??y2sin??2?0变形得

OA?4MB?12P（6，m）xy2x2??1 22sin?cos?22（x?cos?）?（y?sin?）?1，圆心又在第四象限。 （?cos?，?sin?）所以cos??0，sin??0。

故为椭圆，选B。 16．【答案】D

?1?x≥0???1≤x≤1?1?x≥0????0≤x≤1?0.5≤x≤1 【解析】由已知可得??0≤sinπx≤1?13??≤x≤0≤1?cosπx≤1??22故选D。

17．【答案】D

（x）??，limf（x）?? 【解析】当limfx?1x?2故x?1，x?2为两条竖直渐近线。

x21limf（x）?lim2?lim?1 x???x???x?3x?2x???321??2xx?x2limf（x）?lim2??1 x???x???x?3x?2故y??1为2条水平渐近线。

故选D。 126

18．【答案】C

1211【解析】因为f（）?，令?t，n?

nnnt所以f （）x?2x（）t?2t 即 f由导数定义，在0处可导，

f（x）?f（）02x?0?0?lim即f（）?lim?2

x?0x?0x?0x故选C。 19．【答案】A 【解析】

?x?a?xf（）?f（）??x??）lim?f（x?a）?f（x）==a lim?a?alimf（??x???x????x???（x?a）?x故选A。

20．【答案】C

fx）（?x2lnx）?=2xlnx?x 【解析】由题意（?x）dx??xd（fx）?xf（x）??（fx）dx又?xf（ ①

（x）?（dx?xf（x）??lnxdx2??xdx 将①式代入原式?xf?2xlnx?x）?xf（x）?lnx?x2??xdx??xdx?x2lnx?x2?C

故选C。

21．【答案】B

【解析】此题如利用积分反函数将原式变形计算会很复杂。

fx）在?0，a?上单增，这里我们用数形结合，由题意（（f0）?0，（fa）?a。故可设图象如图所示。

ayf （x）f（x） 则?a0fx）?（gx）?（?dx=?0a（fx）dx??（gx）dx

0aa00a0a因为（为（的反函数，故原式=?（gx）fx）fx）dx??（gy）dy 由此式可以看出原式实质上为两个图形与x,y轴围成图形的

2a）面积，即为边长为a的正方形的面积a2即f（。

x 故选B。

22．【答案】D

【解析】设A?(?1，?2，?3，?4)

0??0?110??0?110??0?11?2?1?10??20?20??10?10???????? ???1?101??10?11??0001????????1?10?1??000?2??0000?显然，极大线性无关组?1，?2，?4或?2，?3，?4都可以，所以选D。

23．【答案】D

127

【解析】由A????，2为A的特征值。

?3?11??，??2代入即可求出答案为D。 将A??201???1?12???24．【答案】A

【解析】因为X为n维单位列向量，XT?X?1 所以G2?XXT?XXT=X?XT=G 故选A。 25．【答案】B

【解析】x3?2x?4?0的三个根显然很难解。

a，b，c是三次方程x3?2x+4=0的三个根，则(x?a)(x?b)(x?c)=0与方程x3?2x+4=0等价，即x3? (a+b+c)x2+(ab+ac+bc)x?abc=0与x3?2x+4=0等价。对应系数相等得：abc=?4，a+b+c=0。原行列式=3abc?(a3+b3+c3)=3abc?(2a?4+2b?4+2c?4)=12+3abc?2(a+b+c)=12+3?(?4) ?2?0=0，故选B。

128

2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题

（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）

1111111．11?22?33?44?55?66?77?（ ）。

248163264127153163A．308 B．308 C．308 D．308

1281632642．100个学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没有手机的共有（ ）人。

A．25 B．15 C．5 D．3 3．如图所示，小半圆的直径EF落在大半圆的直径MN上，大半

AB圆的弦AB与MN平行且与小半圆相切，弦AB=10cm，则图中阴影部MNEF2

分的面积为（ ）cm。

A．10? B．12.5? C．20? D．25?

4．方程x2?2 006x=2 007所有实数根的和等于（ ）。

A．2 006 B．4 C．0 D．?2 006 5．已知长方形的长为8，宽为4，将长方形沿一条对角线折起压平如图所示，则阴影三角形的面积等于（ ）。

4A．8 B．10

8C．12 D．14

16．复数z?的共轭复数z是（ ）。

iA．i B．–i C．1 D．–1

20cm7．一个圆柱形容器的轴截面尺寸如图所示，将一个实心铁球放入

该容器中，球的直径等于圆柱的高，现将容器注满水，然后取出该球（假10cm设原水量不受损失），则容器中水面的高度为（ ）。

1111A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm

33338．P (a，b)是第一象限内的矩形ABCD（含边界）中的一个动点，A，B，C，D的坐标

b如图所示，则的最大值与最小值依次是（ ）。 yaA(m, p)D(n, p)qqpPA．， B．， P(a, b)nmnmC(n, q)B(m, q)qqpxOC．， D．P， nmnm129

9．一个容积为10升的量杯盛满纯酒精，第一次倒出a升酒精后，用水将量杯注满并搅拌均匀，第二次仍倒出a升溶液后再用水将量杯注满并搅拌均匀，此时量杯中的酒精溶液浓度为49%，则每次的倒出量a为（ ）升。

A．2.55 B．3 C．2.45 D．4 10．如图所示，垂直于地平面竖立着一块半圆形的木板，并使太阳的光线恰与半圆的直径AB垂直，此时半圆板在地面的阴影是半个椭圆面。已知地面上阴影的面积与木板面积之比等于

3，那么光线与地平面所成的角度是（ ）。

BAA．15° B．30° C．45° D．60°

11．某型号的变速自行车主动轴有3个同轴的齿轮，齿数分别是48、36和24，后轴上有4个同轴的齿轮，齿数分别是36、24、16和12，则这种自行车共可获得（ ）种不同的变速比。

A．8 B．9 C．10 D．12

12．在平面?上给定线段AB=2，在?上的动点C，使得A，B，C恰为一个三角形的3个顶点，且线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则动点C所有可能的位置必定在某（ ）上。

A．抛物线 B．椭圆 C．双曲线 D．直线

13．桌上有中文书6本、英文书6本、俄文书3本。从中任取3本，其中恰有中文书、英文书、俄文书各1本的概率是（ ）。

41108414A． B． C． D．

9110845545514．设n为正整数，在1与n?1之间插入n个正数，使这n?2个数成等比数列，则所插入的n个正数之积等于（ ）。

A．(1?n)

n2B．(1?n)n C．(1?n)2n D．(1?n)3n

f(?1)=（ ）。 f(1)15．设二次函数f (x)=ax2?bx?c的对称轴为x=1，其图像过点（2，0），则A．3

B．2

C．?2

D．?3

1f(a?)n?（ ）16．设f (x)>0，且导数存在，则limnln。

n??f(a)A．0 B．?

0≤x≤11?x≤2C．lnf '(a) D．

f'(a) f(a)?x(x?1)2,?17．曲线y??2??(x?1)(x?2),在(0,2)区间内有（ ）。

A．2个极值点，3个拐点 130

B．2个极值点，2个拐点

C．2个极值点，1个拐点 D．3个极值点，3个拐点

r18．设正圆锥母线长为5，高为h，底面圆半径为r。在正圆锥的体积最大时，=（ ）。

h1A．B．1 C．2 D．3 2 219．设a?0，则在?0,a?上方程?x04a2?t2dt??xa14a?t22。 dt?0根的个数为（ ）

D．3

A．0 B．1 C．2

20．如图所示，曲线P=f(x)表示某工厂十

P年间的产值变化情况。设f(x)是可导函数，从图

形上可以看出该厂产值的增长速度是（ ）。

A．前两年越来越慢，后五年越来越快 B．前两年越来越快，后五年越来越慢 C．前两年越来越快，后五年越来越快

0D．前两年越来越慢，后五年越来越慢

21．如图所示，函数f(x)是以2为周期的连续周期 函数，它在?0,2?上的图形为分段直线，g(x)是线性函

P=f (t)25y10y=g(x)t（年）。 数，则?f(g(x))dx?（ ）

021y=f (x)1 22C．

3A．B．1 3D．

2

?13012x

?101??222．设A???020?，E为三阶单位矩阵.若三阶矩阵Q满足关系AQ?E?A?Q，则Q?101???的第一行的行向量是（ ）。

A．(101) B．(102) C．(201) D．(202)

23．三阶矩阵A的秩r(A)?1，?1?(?130)T，?2?(2?11)T，?3?(50k)T是方程组 。 AX?0的三个解向量，则常数k?（ ）

A．?2 B．?1

C．2

D．3

24．已知向量组?,?,?线性无关，则k?1是向量组??k?，??k?，???线性无关的 （ ）。

A．充分必要条件

C．必要条件，但非充分条件

B．充分条件，但非必要条件 D．既非充分也非必要条件

131

?200??200??，B??0y1?，若A的特征值和B的特征值对应相等，则其中25．矩阵A??001?????01x??00?1?????（ ）。

A．x?1，y?1

B．x?0，y?1

C．x??1，y?0

D．x?0，y??1

132

2006年GCT入学资格考试数学基础能力试题

参考答案与解析

1．【答案】C

111111【解析】原式=(11+22+33+44+55+66+77)?(?????)

248163264111??(11?77)?7264216363?=?308?1??308??308，故应选C。

126464641?22．【答案】D

【解析】设这100个学生中有电脑但没有手机的共有x人，既有电脑又有手机的共有y人。

?x?y?76则由已知得：?，解得：x=3，y=73。故正确答案为D。

y?15?88?3．【答案】B

【解析】设大半圆和小半圆的半径分别为R和r。

因为AB//MN，则大半圆圆心到弦AB的距离为AB与MN间的距离，又因为AB与小半

1圆相切，则这个距离为r。得到R2?r2?(AB)2?25。

211??阴影部分面积=A大半圆?A小半圆??R2??r2=(R2?r2)??25?12.5?cm2。

2222故应选B。 4．【答案】C

2??x?2006x?2007，x≥0【解析】方法一，直接求解。原方程等价于方程组?2??x?2006x?2007，x?0①②

由①得：x??1（舍去），x=2 007；由②得：x=1（舍去），x??2007。 实数根之和=2 007?（?2 007）=0，故应选C。

方法二，函数f(x)?x2?2006x?2007为偶函数，则方程f(x)?0的根关于y轴对称，且成对出现，故这些根的和为0 。

5．【答案】B

【解析】如图所示。根据图形对称性得：AE?C?E?x

133

因为BE?EC??BC??BC?8

所以BE?8?EC??8?x。在Rt△ABE中，

C'BE2=AB2?AE2，即(8?x)2=x2?42

解方程得：AE=x=3。阴影△BED的面积 A△BED= A△ABD? A△ABE?1?4?8?1?4?3?10。

22故应选B。 6．【答案】A

22AED4B8C1i2【解析】因为i??1，所以1??i。复数z?????i，故其共轭复数z?i，应选A。

ii7．【答案】D ?20?【解析】设取出球后容器中水面的高度为h，则水的体积V水????h?100?h。

?2?20?4?10?1??V容器?V球????10???8?100?。 取出球前V水????3?2?3?2?11?，得：100?h?8?100?，则h?8。 因为取球前后水的体积不变，即V水?V水33故应选D。 8．【答案】A

b【解析】的值相当于线段OP所在直线的斜率。在第一象限内此斜率随着倾斜角的增

ay大而增大。因此从右图中可以看出：

p?b?当P点与A点重合时，OP斜率最大，即???；

?a?maxm232q?b?当P点与C点重合时，OP斜率最小，即???。

?a?minn故应选A。

9．【答案】B

【解析】量杯中剩余的酒精量为10?49%=

10?a10?a??a，整理得a2?20a?51?0。

10解方各得a?3或a?17（舍去），故应选B。 10．【答案】B

A(m, p)D(n, p)p(a, b)B(m, q)OC(n, q)x1AB?r。2同理在椭圆面内作OD⊥AB交椭圆于点D，连接CD。OD是椭圆的半长轴，长度设为b，且D点是C点的投影点，则CD平行于光线，即∠ODC为光线与地平面所成的角。

【解析】过线段AB的中点O在木板半圆面内作OC⊥AB交半圆于点C，则OC=

134

因为AB⊥OC，AB⊥OD，所以∠COD为两面夹角，又木板面垂直于地面，则∠COD=90°。

11半圆面积为?r2，半椭圆的面积为?rb，因为C221?rb2B?3，则OD?b?3r。 12?rOD2AOCrr3在Rt△COD中，tan?ODC?，???ODb33r∠ODC=30°，故应选B。

11．【答案】A

484484848【解析】当主动轴的齿数为48时，变速比为?，?2，?3，?4共4种。

3632416123636336936当主动轴的齿数为36时，变速比为?1，?，?，?3，共4种。

36242164122422424324当主动轴的齿数为24时，变速比为?，?1，?，?2，共4种。

3632416212其中变速比相同的有四对，故变速比的种数为4?4?4?4=8，应选A。 12．【答案】C

【解析】因为A、B、C恰为三角形的3个顶点，所以CA?CB?AB?2。

又线段AC与BC的长是不等的两个正整数，则CA?CB是一个正整数且它的值小于2，所以CA?CB?1，AB=2，符合双曲线的定义，故动点C必在某双曲线上，即应选C。

13．【答案】C

3【解析】从桌上所有的书（共15本）中任取3本的方式有C15种，3本中每样各一本的11C11086C6C3?取法共有CCC种，则所求概率为。故应选C。 3455C1516161314．【答案】A

【解析】设这n?2个数组成的等比数列的公比为q，数列记为?an?，则an?2?a1qn?1。 其中a1?1，an?2?n?1，故1?n?qn?1。这n?2个数均为正数，则q?0。 所插入的n个正数之积S?a2a3a4?an?1?(a1q)?(a1q2)?(a1q3)?(a1qn) 即S?q?q?q?q?qn223n(1?2?3???n)(n?1)n2?q?q?nn?12?，又1?n?qn?1，

所以S?(1?n)。故应选A。 15．【答案】D

【解析】因为二次函数f(x)?ax2?bx?c的对称轴为x?1，且图象过点（2，0）。

135

?b?1?b??2a??所以得到?2a即?。

c?0?a?22?b?2?c?0??又f(?1)?a?b?c?3a，f(1)?a?b?c??a 则16．【答案】D

【解析】因为f(x)?0且导数存在。

f(?1)3a???3，故应选D。 f(1)?a111f(a?)f(a?)lnf(a?)?lnf(a)n?limxlnx?limx所以limnlnn??x???x???1f(a)f(a)x 111?f?(a?)?(?2)11xxf(a?)f?(a?)xx?f?(a)?lim?limx???x???11f(a)(?2)f(a?)xx另一种方法：令g(x)?lnf(x)，由f(x)?0且导数存在知g(x)可导。 11f(a?)f(a?)n?limxlnx=limlnf(a?t)?lnf(a) limnlnt?0n??x???tf(a)f(a)g(a?t)?g(a)?g?(a)

t?0tf?(x)f?(a)因为g?(x)??lnf(x)???，所以g?(a)?，故应选D。

f(x)f(a)?lim17．【答案】A

【解析】当0?x?1时，y??(x?1)(3x?1)，y???6x?4，则y?13x??0，y??x?23?0。

当1?x?2时，y??(x?1)(3x?5)，y???6x?8，则y?x?53?0，y??x?43?0。

15因为y?x(x?1)2和y?(x?1)2(x?2)是初等函数，所以x?，x?是原函数的极值点，

3324x?，x?是原函数的拐点。

3351当x?1时，原函数连续，yx?1?0，且?x?1时，y??(x?1)(3x?1)?0；1?x?时。

33y??(x?1)(3x?5)?0，故x?1点不是原函数的极值点。

136

又原函数的导函数在x?1处连续，即y?1?x?x?1?0，且

2?x?1时，y???6x?4?0。 34时，y???6x?8?0，则知x?1处是原函数的拐点。 32??x(x?1), 0≤x≤1综上所述，曲线y??在（0，2）区间内有2个极值点，3个拐2??(x?1)(x?2), 1?x≤2点。即应选A。

18．【答案】C

【解析】正圆锥的母线长、高和底面圆半径满足勾股定理，即r2?h2?52?25。

312121250312因为25=r?h?r?r?h≥3r4h2，所以r2h≤（当且仅当r2?h2时

22492等号成立）。

221?2503250325031r圆锥体积V??r2h≤???，Vmax??，此时r2?h2，?2，33927272h故应选C。

19．【答案】B

【解析】令?(x)??x04a2?t2dt?14a?x22?ax14a?t22dt,x?[0,a]。

0a则??(x)?4a2?x2??0。且?(0)??14a?t22dt???14a2?t2a014a?t22dt，

?(a)??a04a2?t2dt。因为?(0)和?(a)中的被积函数和4a2?t2[0,a]上

均大于0，且?(0)和?(a)的积分上限a大于积分下限0。

aa1所以?(0)???dt?0，?(a)??4a2?t2dt?0

004a2?x2又?(x)?0，即?(x)在[0,a]上严格单调递增，所以方程?(x)?0在[0,a]上只有一个根，故应选B。

20．【答案】A

【解析】该厂产值的增长速度是曲线P?f(x)的斜率f?(x)。因为f??(x)?0，即图形下凹时，f?(x)增大；f''(x)?0，即图形上凸时，f?(x)减小。观察图形的凸凹性得到答案A。

21．【答案】B

1【解析】g(x)是线性函数且过(?,0)和（0，1）两点，故g(x)?3x?1。

322711717=f(t)dt?f(t)dt?f(x)dx。 f(g(x))dx?f(3x?1)dx?13?0?03?13?1因为函数f(x)是以2为周期的连续周期函数，且f(x)在一个周期内积分的值为三角形

137

的面积。

71所以一个周期内积分为?2?1?1，区间[1，7]共包括3个周期，则?f(x)dx?3?1?3。

122171即?f(g(x))dx??f(x)dx??3?1，故应选B。

031322．【答案】C

?1 0 1??1 0 0??2 0 2??0 0 1??，E??0 1 0?，则A2??0 4 0?，A?E??0 1 0?， 【解析】A??0 2 0?????????2 0 2??1 0 0??1 0 1??0 0 1??????????1 0 2??。 A2?E??0 3 0???2 0 1????0 0 1??1 0 2????由AQ?E?A2?Q得：(A?E)Q?A2?E，即：??0 1 0?Q??0 3 0?。

?1 0 0??2 0 1?????用A?E的最后一行（1 0 0）与Q的乘积所得的结果（2 0 1）即为Q的第一行的行向量，故应选C。

23．【答案】D

【解析】因为矩阵A是三阶矩阵且秩r(A)=1。所以方程组AX=0的解只有两个独立的解向量。

?1 2 5即?1，?2，?3线性相关。由?1，?2，?3组成的行列式 3 ?1 0?0。

0 1 k?1 2 5又 3 ?1 0?15?5k?0，则k?3，故应选D。 0 1 k24．【答案】C

1 k 0【解析】向量组??k?，??kr，??r线性无关的充要条件是系数行列式0 1 k?0，

1 0 ?11 k 0即0 1 k?k2?1?0,k??1。故k?1是向量组??k?，??k?，???线性无关的必要1 0 ?1不充分条件，应选C。

25．【答案】B

138

??2 0 0【解析】矩阵B已经是对角矩阵，故其特征值为2，y和?1。|?E?A|? 0 ? ?1=0

0 ?1 ??x得到，A矩阵的特征值方程：(??2)[?(??x)?1]?0。因为A的特征值和B的特征值对应相等，所以??y和???1是方程?(??x)?1?0的两根，将根代入方程得x?0，y?1，故应选B。

139

2007年GCT入学资格考试数学基础能力试题

（25题，每题4分，满分100分，考试时间45分钟）

12?22????42?52?62?72?82?92?1021．的值是（ ）。

20?21?22?23?24?25?26?27112222A． B．? C．

51515112，3?的子集的个数为（ ）2．集合?0，，。

D．?11 51A．18 B．16 C．15 D．14

3．方程x?y?2?x?2y?0的解为（ ）。 ?x?0A．?

?y?2?x?3B．?

?y?1?x?4C．?

?y??2?x?2D．?

?y?3154．图中，大长方形被平行于边的直线分成了9个小长方形其中9位于角上的3个小长方形的面积已经标出，则角上第4个小长方形的面积等于（ ）。

12?A．22 B．20

C．18 D．11.25

5．一个直圆柱形状的量杯中放有一根长为12cm的细搅棒（搅棒直径不计），当搅棒的下端接触量杯下底时，上端最少可露出杯中边缘2cm，最多能露出4cm，则这个量杯的容积为（ ）cm3。

A．72? B．96? C．288? D．384?

6．甲乙两人沿同一路线骑车（匀速）从A区到B区，甲需用30min，乙需用40min。如果乙比甲早出发5min去B区，则甲出发后经（ ）min可以追上乙。

A．25 B．20 C．15 D．10

7．如图，∠BAF?∠FEB?∠EBC?∠ECD?90°，∠ABF?30°，∠BFE?45°，∠BCE?60°且AB?2CD，则tan∠CDE?（ ）。 BC4232 B． 388652C． D． 368．复数z?i?i2? i3? i4? i5? i6? i7，则?z?i??（ ）。

A．30°A60°D °45FE

A．1 B．2 C．3 D．2 9．有两个独立的报警器，当紧急情况发生时，它们发出信号的概率分别是0.95和0.92，则在紧急情况出现时，至少有一个报警器发出信号的概率是（ ）。

A．0.920 B．0.935 C．0.950 D．0.996 140

b2a210．两个不等的实数a与b，均满足方程x?3x?1，则?的值等于（ ）。

abA．?18 B．18 C．36 D．?36

11．48支足球队，等分为8组进行初赛，每组中的各队之间都要比赛一场，初赛中比赛的总场数为（ ）。

2

A．288

B．240 C．120 D．48

x?1mn12．当x??1或x??2时，2恒成立，则（ ）。 ??x?3x?2x?1x?2A．m??2，n?3 B．m??3，n?2 C．m?2，n??3 D．m?3，n??2 13．对任意两个实数a，b，定义两种运算：

?a,如果a≥b?b,如果a≥b和a?b?? a?b??a,如果a?bb,如果a?b??算式（5?7）?5和算式（5?7）?7分别等于（ ）。 A．5和5 B．5和7 C．7和7 D．7和5

14．△ABC中，∠A:∠B:∠C?3:2:7，如果从AB上的一点D做射线l，交AC或BC边于E点，使∠ADE?60°，且l分△ABC所成两部分图形的面积相等，那么（ ）。

A．l过C点（即E点与C重合） B．l不过C点而与AC相交 C．l不过C点而与BC相交 D．l不存在

15．在圆x2?y2?6x?8y?21?0所围区域（含边界）中，P（x，y）和Q（x，y）是使得

y分别取得最大值和最小值的点，线段PQ的长是（ ）。 x223221421A． B． C． 555x?1????16．设y?ln?tan??ln，则y'???（ ）。

22?????4A．1 B．?1 C． 216??fx）?4，则必定（ ）17．若lim（。

x?1D．423 5D．

8 216??A．f（1）?4 B．f（x）在x?1处无定义

C．在x?1的某邻域（x?1）中，f（x）?2 D．在x?1的某邻域（x?1）中，f（x）?4

1x?3（ft）dt的图形，按??xx3此排序，它们与图中所标示y，y（，y的对应关系是（ ）。 （（1x）2x）3x）A．y B．y （）,y（）,y（）（）,y（）,y（）1x2x3x1x3x2x18．下图中的三条曲线分别是：① f（x），②

x?1（）ftdt，③

141

C．y （）,y（）,y（）3x1x2xy54321O?1?2?3?4y（2x）123456y（3x）y（1x）D．y （）,y（）,y（）3x2x1xxy=y（1x）y=y（2x）y=y（3x）

19．设函数f（x）可导，且f（0）?1，f?（?lnx）?x，则f（1）?（ ）。 A．2?e?1 B．1?e?1 C．1?e?1 D．e?1

120．曲线y?x?上的点与单位圆x2?y2?1上的点之间的最yx短距离为d，则（ ）。

A．d?1 B．d?（0，1）

C．d?2 D．d? （，1 2）O1y=x +xx2+y2=11?13x?t2y=x +x?3?0（e?1）dt，x?021．若函数（在x?0点连续，fx）??x ?x?0?a，则a?（ ）。

A．?9 B．?3 C．0 D．1

?110???

22．A?是A???011?的伴随矩阵。若三阶矩阵X满足AX? A，则X的第3行的行向

?101???量是（ ）。

A．（2 1 1）

x101B．（1 2 1）

?11?C．?1?

?22??11?D．?1?

?22?23．行列式

01x11x10101x展开式中的常数项为（ ）。

A．4 B．2 C．1 D．0

142

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