《热学习题思考题解题指导》第二章第1,2节

第二章 分子动理论的平衡态理论

§2.1 基本概念和基本要求

（一）了解分子动理论的主要特点。

（二）掌握概率的基本性质和求平均值和基本方法。 知道什么是概率分布函数。

（三）麦克斯韦速率分布

（1）初步了解验证麦克斯韦速率分布的分子射线束实验。

（2）掌握麦克斯韦速率分布函数， 知道它的物理意义， 知道它的分布曲线是如何的， 知道它的分布曲线是如何分别随了温度或者气体分子质量而改变的。

（3）熟练掌握平均速率、方均根速率、最概然速率这3个公式。 （四）麦克斯韦速度分布 （1）理解速度空间概念。

※（2）知道麦克斯韦速度分布是任一分子处在速度空间中任一体积为

dvxdvydvz 的小立方体中的概率。

（3）掌握麦克斯韦速度分布。

※（4）知道如何利用麦克斯韦速度分布导出麦克斯韦速率分布。 * （5）了解相对于最概然速率的麦克斯韦速度分布和速率分布。 ※（五）了解气体分子碰壁数及其应用。 （六）外力场中自由粒子的分布 玻耳兹曼分布 （1）掌握等温大气压强公式。

※（2）了解旋转体中悬浮粒子径向分布及其应用。 ※（3）了解玻耳兹曼分布。 （七）能量均分定理

（1）理解自由度与自由度数。

（2）掌握能量均分定理， 知道对于常见的双原子分子一般都有3个平

34 第二章 分子动理论的平衡态理论 动自由度、2个转动自由度。

※（3）知道能量均分定理的局限性。

§2.2 解题指导和习题解答

2. 2. 1 在图中列出某量x的值的四种不同的概率分布函数的图线。试对于每一种图线求出常数A的值，使在此值下该函数成为归一化函数。然后计算 x 和 x的平均值，在图（a）情形下还应该求出 x 平均值。

2

〖解〗： （a）按照归一化条件，概率分布曲线下面的面积为 1。则

[?a?(?a)]?A?1,A?1/2a 所以概率分布函数为：

?1/2af(x)???0x??a?a

??x?a? xdx?0?a?x?ax??a;12a??axf(x)dx???a?a

xdx?2x2???axf(x)dx?0212a??aa2?a3x????axf(x)dx??a0xf(x)dx?a/2

（b）归一化条件：

(2a?0)?A?aA?1/2a概率分布函数为：

0?x?2ax?0;??x?2a?

?1/2af(x)???0

§2.2 解题指导和习题解答 35

x?

x2?2a0xf(x)dx?2a212a?2a0xdx?2a212a?x22a0243a?a

??0xf(x)dx?12a?0xdx?2 （c）归一化条件为

(1/2)??a?(?a)??A?1A?1/a

概率分布函数为：

?(x?a)/a2f(x)??2??(x?a)/ax?

?a?x?0??0?x?a?

???a?axf(x)dx?0

?ax2??axf(x)dx?a/622

22

2．2．2 量x的概率分布函数具有形式 f(x)?Aexp(?ax)?4π?x,式中 A 和 a 是常数，试写出x的值出现在 7.999 9到8.000 1 范围内的概率 P 的近似表示式。

〖解〗： 归一化，

?????f(x)dx?1

在上述积分中考虑到 f ( x) 是偶函数，所以有

?????f(x)dx?2???0f(x)dx?8π?A?πa?3/2/4?1

A?(a/π)3/2/2

可以知道处于7.999 9 ~ 8.000 1 范围内概率为

P?A?e?64a?4π?64??x

3/2?0.5?(a/π)?4π?64?exp(?64a)?0.0002

3

2. 3. 1 求0C,0.101MPa-1-10下 1.0cm的 氮气中速率在

500m?s 到 501m?s 之间的分子数。

36 第二章 分子动理论的平衡态理论 〖分析〗： 这是一个在麦克斯韦速率分布中求某一速率区间内分子数的问题, 应该用相对于最概然速率的麦克斯韦速率分布, 即使用误差函数来求解。 但是注意到, 500m?s 到 501m?s 之间仅仅差 1m?s，它要比 500m?s 小得多。可以认为在 500m?s 到 501m?s 范围内麦克斯韦速率分布是不变的。它的概率等于在横坐标为 500m?s 到

501m?s 之间的麦克斯韦速率分布曲线线段下面的面积（ 这个梯形可以

-1-1-1-1-1-1-1-1看作矩形 ）。

〖解〗： 设 0C,0.101MPa下，1.0cmN, 利用洛施密特常量 n0?2.7?102503中的理想气体分子数为

19m?3 可以得到

25N?1.0?10?6?2.7?10?2.7?10

2利用麦克斯韦速率分布可以得到速率在 v~v?dv 之间的分子数为

现在其中的 v?500m?s,dv?1m?s, 氮气温度 T?273K，而氮分

-1-1Nf(v)dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?vdv （1）

子质量 m?28?1.67?10-1?27kg。将它们代入（1）式即得到在 500m?s16-1到 501m?s 之间的分子数为 ?N?4.96?10

。

2. 3. 2 求速率在区间 vp~1.01vp 内的气体分子数占总分子数的比率。

〖分析〗： 利用 vp?把麦克斯韦速率分布表示为

dNu/N?(4/π)?exp(?u)?udu （1）

222kT/m 的公式, 并且令 u?v/vp, 则可以

由于 vp 和 0.01 vp 的差异比 vp 小得多，和上题的分析类似，可以认为（1）式中的 du = 0.01，u = 1 。

〖答〗： 0.83 % 。

2. 3. 3 请说明麦克斯韦分布中，在方均根速率附近某一小的速率区间

dv 内的分子数随气体温度的升高而减少。

〖解〗： 麦克斯韦速率分布为：

f(v)dv?4π?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?vdv

2方均根速率为 vrsm?

3kT/m

§2.2 解题指导和习题解答 37

在方均根速率附近某一小的速率区间 dv 内的分子数为：

N?f(vrms)?dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp[?m(3kT/m)/2kT]?(3kT/m)dv它和 m/kT 成正比，所以它随气体温度的升高而减少。

2. 3. 4 根据麦克斯韦速率分布律，求速率倒数的平均值 (1/v)。 〖解〗： 按照利用概率分布函数求平均值的公式

(1/v)???0(1/v)?f(v)?dv

?0??4π?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?vdv

?(4/π)?(1/v)

2. 3. 5 (1) 某气体在平衡温度 T2 时的最概然速率与它在平衡温度

T1 时的方均根速率相等，求 (T1/T2)。 (2) 已知这种气体的压强为 p；

密度为 ?，试导出其方均根速率的表达式。

〖答〗：（1）3/2；（2）(3p/?)

2. 3. 6 试将麦克斯韦速率分布化为按平动动能的分布，并求出最概然动能。它是否等于 mv2p1/2。

/2? 为什么？

〖分析〗： 对于理想气体来说, 麦克斯韦速率分布和按照平动动能 ? 的分布是完全等价的。也就是说，F(?)d??f(v)dv, 所以只要将 f(v)dv 中的 v 以平动动能 ? 来表示，就得到按平动动能的分布。

〖解〗： 麦克斯韦速率分布为

?mf(v)dv?4π???2πkT????3/2

?mv2?exp???2kT?2?vdv ?2因为 ??mv/2, d??mvdv。将它们代入上式, 可以得到:

F(?)d??2π(kT)?3/2??1/2exp(??kT)d?

要求出最概然动能只要对上式两边取导数，并且命令它等于零

38 第二章 分子动理论的平衡态理论 ?dF(?)/d?????2πp?0

?(kT)?3/2?1?p?p1?1/2??exp(?)??p?exp(?)?(?)??0kTkTkT??2?p ??得到最概然动能

?p?kT/2

但是由最概然速率所表示的动能

mv22p/2?m?(2kT/m)?(1/2)?kT这说明最概然动能与 mvp/2 不相等。

前面讲到麦克斯韦速率分布和按平动动能的分布是完全等价的, 为什么最概然动能和由最概然速率所表示的动能不相等?

实际上，其差异不是来自物理上, 而是来自数学上。 既然 F(?)d??f(v)dv

而 d??dv, 则函数形式 f(?)?f(v)。 它们的导数的函数形式也不相等, 所以 ?p?mvp/2。

2. 3, 7 已知温度为 T 的混合理想气体由分子质量为 m1 的 ?1 摩尔分子及由分子质量为 m2 的 ?2 摩尔分子所组成。试求：(1) 它们的速率分布；(2) 平均速率。

〖分析〗： 速率分布是指其速率在 v~v?dv 范围内的所有分子和总分子数之比。 我们以前讨论的是纯气体, 其速率分布是和这种气体的分子质量有关的。 现在是混合理想气体, 其速率分布不仅和这几种气体分子的质量有关, 并且和每种气体的物质的量（即mol 数）所占百分比有关。

〖解〗：（1）设组成混合理想气体的两种气体的分子数分别为 N1,N2。（或者说它们的物质的量分别为 ?1,?2）。对于分子质量为 m1 的 ?1 摩尔分子，它们的速率在 v~v?dv 的总分子数为 dN1(v), 这些分子在整个气体分子中所占有的概率为：

f1(v)dv?dN1(v)/(N1?N2)f1(v)dv?[?1/(?1??2)]?4π?(m1/2π?kT)3/22 ?exp(?m1v/2kT)?vdv22

§2.2 解题指导和习题解答 39

同理对于分子质量为 m2 的 ?2 摩尔分子，它们的速率在 v~v?dv 的总分子数为 dN2(v)，这些分子在整个气体分子中所占有的概率为：

f2(v)dv?[?2/(?1??2)]?4π?(m2/2π?kT)3/2?exp(?m2v/2kT)?vdv22所有其速率在 v ~ v +d v 的两种不同质量的分子占有的概率为

f(v)dv?[?1/(?1??2)]?4π?(m1/2π?kT)3/2?exp(?m1v/2kT)?vdv2222

?[?2/(?1??2)]?4π?(m2/2π?kT)3/2?exp(?m2v/2kT)?vdv

这就是混合理想气体的速率分布。 （2）显然, 其平均速率

v???0f1(v)vdv???0f2(v)vdv

2?[?1/(?1??2)]?8kT/πm1?[?/(?1??2)]?8kT/πm2

2. 3. 8 证明在麦克斯韦速率分布中，速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量的速率之间的分子数与 一速率小区间内的分子数也与

〖解〗： 最概然速率 vp?的分子数为

dNv~v?dv?Nf(v)dvT 成反比。处于平均速率附近某

T 成反比。

2kT/m，又其速率在 v~v?dv 范围内

3/2?4πN?(m/2π?kT)?exp(?mv2/2kT)?vdv2

速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量的速率之间的分子数为

dNvp~vp?dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp(?2kT/2kT)?(2kT/m)dv1/2

?(4N/e)?(m/2πkT)dv

所以速率在最概然速率到与最概然速率相差某一小量的速率之间的分子数与

T 成反比。

40 第二章 分子动理论的平衡态理论 处于平均速率附近某速率小区间的分子数

dNv~v?dv?4πN?(m/2π?kT)3/2?exp[?(m/2kT)?(8kT/m)]?(8kT/m)dv?(8N/π)?exp(?4/π)?2m/π?kTdv

它也与

2. 4. 1 因为固体的原子和气体分子之间有作用力，所以在真空系统中的固体表面上会形成厚度为一个分子直径的那样一个单分子层，设这层分子仍可十分自由地在固体表面上滑动，这些分子十分近似地形成 2维理想气体。如果这些分子是单原子分子，吸附层的温度为 T，试给出表示分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内的概率 f (v) d v 表达式。

〖解〗： 我们知道, 通常的麦克斯韦速度分布是 3 维的

f(vx)dvx?f(vy)dvy?f(vz)dvz （1） 其中速度在x,y,z的3个分量上的分布函数都具有如下形式：

f(vi)dvi?(m/2π?kT)1/2T 成反比。

?exp(?mvi/2kT)dvi

2 (i?x,y,z) （2）

显然，只能在XY平面上运动的2维理想气体的麦克斯韦速度分布应该是

f(vx)dvx?f(vy)dvy?(m/2π?kT)1/21/2?exp(?mv2x/2kT)dvx

?(m/2π?kT)?exp(?mv2y/2kT)dvy （3）

这就是 2 维理想气体的麦克斯韦速度分布公式。（3）式也可以写为 f(vx)?f(vy)?dvxdvy?f(vx,vy)dvxdvy （4） 其中 dvxdvy 实际上就是在2维速度空间中位置在 vx~vx?dvx，

vy~vy?dvy 范围内的正方形这一微分元的面积，而

f(vx,vy)dvxdvy?f(vx)dvx?f(vy)dvy

是气体分子的代表点在这一微分元上的分布概率。设在 2 维速度空间中位置在 vx~vx?dvx，vy~vy?dvy 范围内的这一微分元上的分子代表点

§2.2 解题指导和习题解答

x41

数为 dNv,vy。显然它被除以微分元的面积 dvxdvy，就是在 2维速度空

间中的分子代表点的数密度 D(vx,vy)，所以

D(vx,vy)?dNvx,vy/dvxdvy?Nf(vx,vy)

1/222?N(m/2π?kT)?exp[?m(vx?vy)/2kT] （5）

下面我们从速度分布导出速率分布。我们知道2 维理想气体的麦克斯韦速率分布表示了分子处在 2 维速度空间中, 半径为 v~v?dv 的圆 环内的概率 dNv/N。dNv 是在半径为 v~v?dv 的圆环内的分子代表点数。它等于圆环面积乘上分子代表点的数密度 D(vx,vy)。利用（5）式可以得到

dNv?D(vx,vy)?2π?vdv

2?N?(m/2π?kT)?exp(?mv/2kT)?2πvdv?N?(m/kT)?exp(?mv2/2kT)vdv

所以分子处于速率为 v 到 v+d v 范围内的概率 f (v) d v 的表达式为

dNv2?f(v)dv?(m/kT)?exp(?mv/2kT)vdv （7）

N它就是2 维理想气体的麦克斯韦速率分布。

2. 4. 2 分子质量为 m 的气体在温度 T 下处于平衡。若以 vx,vy,vz及 v 分别表示分子速度的 x、y、z 三个分量及其速率，试求下述平均值：

22（1）vx；（2）vx；（3）vxv；（4）vxvy；（5）(vx?bvy)。

22〖分析〗： 在求上述统计平均值时要用到概率的基本性质, 即互相排斥事件概率相加法则和相互统计独立的事件概率相乘法则。 另外, 因为麦克斯韦速度分布函数是个偶函数, 所以在积分时要区分被积函数是偶函数还是奇函数。对于偶函数，因为积分范围 ??~?? 是对称区间, 所以应该分区间积分。

〖解〗： （1）麦克斯韦的速度的 x、y、z 三个分量分布可以表示为. f(vi)?(m/2π?kT)vx?1/2?exp(?mvi/2kT) (i?x,y,z)

2????vxf(vx)dvx

42 第二章 分子动理论的平衡态理论 ?????(m/2π?kT)1/2?exp(?mv2x/2kT)vxdvx

??0??(m/2π?kT)?1/2?exp(?mv2x/2kT)?vxdvx2x???0(m/2π?kT)1/2?exp(?mv/2kT)?vxdvx?0

vx?2???vxf(vx)dvx2

1/2

（3）由于vx 和 v 相互独立, 利用概率相乘法则, 并且考虑到 vx 的平

2

?2??0(m/2π?kT)?exp(?mv2x/2kT)?vxdvx?kT/m2均值等于零, 则有

vxv2?vx?v2?0

（4）同样 vx, vy 相互独立, 和“（3）”类似

vxvy?vx?vy?022

（5）利用概率相加法则

(vx?bvy)2?vx?2bvxvy?bvy?vx?2bvx?vy?bvy?kT/m?0?bkT/m?(kT/m)(1?b)22222222

2. 4. 3 证明：相对于 vp 的麦克斯韦速率分布函数 (2.35) 式。

dNu/N?f(v)dv?4/π?exp(?u)udu22

〖解〗： 最概然速率为（2k T / m）1/2 , 则

f(v)dv?4π?(m/2π?kT)3/2?exp(?mv2/2kT)?vdv2 可以变换为

f(v)dv?4/2222

π?exp(?v/vp)?(v/vp)?d(v/vp)

令v/vp?u,，上式可以化为

§2.2 解题指导和习题解答 43

dNu/N?f(v)dv?4/π?exp(?u)udu22

2. 4. 4 设气体分子的总数为 N ，试证明速度的 x 分量大于某一给定值 vx 的分子数为

?N(vx??)?(N/2)[1?erf(ux)]〖解〗： 已经知道速度的 x 分量分布为

f(vx)dvx?(m/2π?kT)vx1/2

其中ux?vx/vp

2x?exp(?mv/2kT)dvx

速度的x分量在（0?vx）范围内的分子数为 ?N(0?vx)?

?0Nf(vx)dvx 命令 v/vp?u,π?N(0?vx)?N/?x02可以得到 exp(?x)dx?(N/2)?erf(,x)速度的x 分量在 0~? 之间的分子数为 N/2, 所以 ?N(vx??)?N/2??N(0?vx)?(N/2)[1?erf(ux)]

2. 4. 5 求麦克斯韦速度分布中速度分量 vx 大于 2vp 的分子数占总

分子数的比率。

〖提示〗： 利用2. 4. 4题证明的结果，现在 erf(ux)?erf(2)?0.9953。 〖答〗： 0.00235。

2. 4. 6 若气体分子的总数为 N，求速率大于某一给定值 v 的分子数。设（1）v?vp；（2）v?2vp。

〖提示〗： 利用相对于 vp 的麦克斯韦速率分布, 在 0 ~ v 范围内的分子数为

?N(0?v)?Nerf(u)?(2/速率大于 v的分子数为：N??N(0?v)。 〖答〗：（1）0.573 N；（2）0.046 N。.

2. 5. 1 一容积为1 升的容器，盛有温度为300 K，压强为30?104?π)?u?exp(?u)2?

Pa

44 第二章 分子动理论的平衡态理论 -3

的氩气，氩的摩尔质量为0.040 kg。若器壁上有一面积为1.0×10㎝

2

的小孔，氩气将通过小孔从容器内逸出，经过多长时间容器里的原子数减少为原有原子数的 1/e？

〖分析〗： 这是一个泻流问题, 可以应用气体分子碰壁数 ? 来解。应该注意, 容器内的分子数 (或者说容器内的分子数密度) 是随时间而减少的, 所以 ? 是个变量。或者说相等时间内流出去的分子数是不相等的，应该建立微分方程。考虑在 t 到 t?dt 时间内, 容器内的分子数由于泻流从 N变化为 N?dN, 其中 dN 就是在 dt 时间内泻流流出去的分子数, 列出

dN 和 dt 之间的关系, 这就是解本题所需要的微分方程。经过分离变量,

积分, 就可以得到所需要的结果。

〖解〗： 在 dt 时间内在面积为 A 的小孔中流出的分子数为

-dN?nvAdt/4

其中 n 为气体分子数密度。考虑到气体的流出使得分子数减少, 所以在上式中加一负号。 现在在上式两边都除以容器体积 V, 并且在 0到 t 之间进行积分

?t0?(v?A/4V)dt??n2n1(1/n)dn

现在要求容器中的原子数最后减少到 1 / e , 即

n2?n1/e,?(v?A/4V)t?ln(n2/n1)ln(n2/n1)??1t?4VA?v?4VA?π?M8RTm?VA?2π?MRT m

?100s

即：经过100 s容器内原子数减为原来的 1/e。.

2. 5. 2 一容器被一隔板分成两部分，其中气体的压强分别为 p1,p2。 两部分气体的温度均为 T，摩尔质量均为 Mm。试证明：如果隔板上有一

面积为 A 的小孔，则每秒通过小孔的气体质量为

dmdt?Mm2πRT(p1?p2)A

§2.2 解题指导和习题解答 45

〖分析〗： 容器被隔板分成两部分以后, 隔板左右两边的气体都可以通过小孔从一边流向另一边, 和上一题一样利用气体分子碰壁数来解。

〖解〗： 利用平均速率公式可以把气体分子碰壁数公式变换为

??p/2π?mkT

现在分别用下标 1，2 分别表示隔板左、右气体的各个物理量。在 dt时间内通过单位面积小孔, 隔板左边净增加的分子数为

???p1?p2?(1/2π?mkT)

在 dt 内通过小孔的气体质量为

?m?m????A??tdmdt?m2π?kT?p1?p2?A?Mm p1?p2?A

2π?RT

2. 5. 3 处于低温下的真空容器器壁可吸附气体分子，这叫做“低温泵”，它是提高真空度的一种简便方法。考虑一半径为 0.1m的球形容器，器壁上有一面积为 1cm的区域被冷却到液氮温度 ( 77 K )，其余部分及整个

2容器均保持 300 K。初始时刻容器中的水蒸气压强为 1.33Pa，设每个水分子碰到这一小区域上均能被吸附或被凝结在上面，试问要使容器的压强减小为 1.33?10?4Pa，需多少时间 ?

〖解〗： 设 t 时刻分子数密度为 n(t)，则 dt 时间内碰在 ?A 面积上的分子数为

dn(t)??n(t)4Vv?Adt

v4V利用 p = nkT 公式, 它可以化为

dp(t)p(t)?dn(t)dt???Adt

?AVRT2π?M经过积分, 可以得到

p(t)?p0exp(?v4V?A?t)?p0exp(??t)

46 第二章 分子动理论的平衡态理论 p(t)p0?exp(??AVRT2πM?t)?1.33?10?4Pa1.33Pa

t?4Vln10?A2πMRT?2.60s

2．5．4 有人曾用泻流法测量石墨的蒸汽压。他们测得在2 603 K的温度下有 0.648?10?3kg 的碳在 3.5 h 内通过 3.25 mm

2

的小孔。假定

碳的蒸汽分子是单原子的，试估计石墨在2 603 K 时的蒸汽压强。

〖分析〗： 即使在2 603 K的温度下, 碳的蒸汽压强并不大, 可以认为它是理想气体。p?nkT 和气体分子碰壁数公式都适用。另外, 因为在温度一定的情况下, 饱和蒸汽压强是不变的, 所以可以利用透过小孔泻流的分子数来确定石墨的蒸汽压强。

〖答〗： 5.3?10

2. 5. 5 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于它们在地球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 若使氢分子和氧分子的 vrms 等于月球表面上的逃逸速率，各需多高的温度? 已经知道月球的半径为地球半径的0.27倍, 月球的重力加速度为地球的0.165倍。

〖分析〗： 在离地球中心距离为 R的高层大气中，必有某些气体分子的速率大于从该处脱离地球引力而逃逸的最小速率 vmin （ 它称为逃逸速率 ）, 这些分子向上运动时, 只要不和其它分子碰撞, 就可以逃逸出大气层。其逃逸速率满足

在忽略重力加速度随高度的变化的情况下, 可以用地球表面的数据替代, 则

vmin,E?2GME?2Pa。

GMEm/R?mv2min,E/2/RE?2REgE

（1）

其中 gE 是地球重力加速度，ME 是地球质量, RE 是地球半径。 同样，

在月球表面上也有逃逸速率 vmin,M。和（1）式类似, 有如下表达式

§2.2 解题指导和习题解答 47

vmin,M?2GMM/RM?2RMgM

（2）

其中下标M 表示月球的各物理量。

〖答〗： 氢分子和氧分子的 vrms 分别等于地球表面上的逃逸速率时的氢气和氧气的温度分别为

TH,E?1.0?1045氢分子和氧分子的 vrms氧气温度分别为

.

分别等于它们在月球表面上的逃逸速率时的氢气和

K, TO,E?1.6?10KTH,M?4.6?102K ， TO,M?7.4?103K

2

2. 5. 6 气体的温度 T?273 K，压强 p?1.01?10??1.24?10?3Pa，密度

kg?m?3。 试求：(1) 气体的摩尔质量，并确定它是什么气

体；（2）气体分子的方均根速率。

〖提示〗： 把理想气体方程变换为求密度的公式, 从而确定气体的摩尔质量。

〖答〗：（1）28?10

2. 5. 7 当液体与其饱和蒸汽共存时，气化率与凝结率相等。设所有碰到液面上的蒸汽分子都能凝结为液体，并假定当把液面上的蒸汽迅速抽去时，液体的气化率与存在饱和蒸汽时的气化率相同。已知水银在 0-2-10?3kg, N2 或者 CO；； （2）4.94?102m?s。

-1C 时的饱

和蒸汽压为 0.0246N?m，气化热为 336kJ?kg，问每秒通过每平方厘米液面有多少克水银向真空中气化。

〖答〗： 6.7?10

2. 5. 8 一带有小孔 ( 小孔面积为 A ) 的固定隔板把容器分为体积均为 V的两部分。开始时，左方装有温度为 T0、压强为 p0 的单原子分子理想气体，右方为真空。由于孔很小，因而虽然板两边分子数随时间变化，但仍可假定任一时刻近似是平衡态。又整个容器被温度为 T0 的热源包围。试求：（1）在 t 到 t + d t 时间内从左方穿过小孔到达右方的分子；（2）左方压强的具体表达式 ( 它是时间的函数 )；（3）最后达到平衡时气体与热源一共交换了多少热量?

?9kg。

48 第二章 分子动理论的平衡态理论 [解]：（1）左方和右方容器都有分子穿过小孔到达对方容器。设 t 时刻左方和右方容器中的分子数密度分别为 n1(t),n2(t)。由于左方、右方容器体积相等，并且开始时刻右方容器压强为零，所以

n1(t)?n2(t)?n0 (其中 n0?p0/kT) （1） 按照气体分子碰壁数公式, 在 t 到 t + d t 时间内，从左方穿过小孔到达右方的分子数为

dN1??n1vAdt/4?n2vAdt/4 （2）

（2）利用（1）、（2）两式可以得到

dn1??(A/4V)?v(2n1?n0)dt

分离变量积分，并且利用 p?nkT 公式。得到左方压强的具体表达式为

p1(t)?(p0/2)?1?exp??vAt/2V?

（3）由于左、右方容器温度始终为 T0, 系统和外面的温度始终相等, 所以最后达到平衡的过程中气体与热源没有热量交换。

2. 5. 9 容器中某一器壁面是由有很多能穿透分子的小孔的膜构成。容器内的气体可穿过小孔逸出到容器外面的、始终维持高真空的大容器中。若容器内充满温度为室温、压强为 p0 的氦气，则一小时后容器内压强将降为已知容器内装的是压强为 p0 的氦气与氖气所组成的混合理想气体，p/2。

且氦气与氖气的百分比相等，试问经一小时后氦气、氖气的分子数密度之比

nHe/nNe 是多少? 试以氦气与氖气的摩尔质量之比 MHe/MNe 表示之。

试问为什么要先用纯氦气测一下容器中压强降低一半所需的时间?

〖分析〗： 由于平均速率和分子质量的平方根成反比, 所以混合理想气体穿过小孔泻流到容器外面的真空中时, 质量小的分子穿过小孔的概率大, 利用这一性质可以用来分离氦、氖气体。

〖解〗： 设原纯氦气的分子数密度为n，则氦、氖混合前后其各自分子数密分别为 n/2,n1 和 n/2,n2。 对纯氦气利用气体分子碰壁数公式，可以有

?(n?vHe/4)A?dt?V?dn

n?t00(vHe/4V)Adt???2(1/n)dnn

§2.2 解题指导和习题解答 49

（1）

其中 t0?1小时。 实际上，利用（1）式就可以确定 A/V（ 应该注意到,

AvHe?t0/4V?ln2膜中所有小孔的总面积 A 是不能直接测定出的 ）。

下面分别求出氦气、氖气的数密度随时间的变化关系。对于混合理想气体中的氦气有

t?vHe4V0?A?dt???n11nn/2dnAvHet

4V??lnn1n/2?lnn2n1

?A?vHe?t?n1??exp?? ? （2）

24V??

n利用（1）式, 并且令 t0 = 1小时, 则可以知道, 经一小时后氦气分子数密度

n1?(n/2)?exp??ln2??n/4 （3） 同理，对于氖气有：

n2?A?vNe?t??exp???24V?? （4） n

经一小时后氖气的分子数密度为

n2??vNe?nn?exp???ln2???222?vHe?vNevHe （5）

)?(1?M/M)由此可求得

nHenNe?n1n2?n/4(n/2)?2?vNe/vHe?(1?vHevNe?2?2HeNe

先用纯氦气测出氦气在容器中压强降为一半的时间，目的是通过比较可以消去 A/V 这一无法确定的系数。

2. 5. 10 试证分子束中的气体分子的平均速率及方均根速率分别为

v束?9πkT8m;v束?24kTm

50 第二章 分子动理论的平衡态理论 〖分析〗： 由于分子束是借助容器中气体透过小孔泻流出来的分子去穿过准直狭缝而制得。泻流分子与容器内气体分子的不同在于，前者是动态的，它的平均速度（注意是平均速度而不是平均速率）不为零，因而有宏观迁移；而后者是静态的，其平均速度为零。反映在速率分布上，后者是麦克斯韦速率分布，其概率分布函数正比于 vexp(?mv22/2kT)；而前者是动态的, 速

率大的分子逸出小孔的概率大些, 所以概率分布函数正比于

vexp(?mv32/2kT) [ 请注意：这里是 v,而不是3v ]。所以分子束

2的速率分布函数可以写为

F(v)dv?Av3exp(?mv2/2kT)dv其中A 为归一化系数. 通过归一化可以求得

A?m2

/2(kT)

2这说明分子束的速率分布为

F(v)dv?[m2/2(kT)]?vexp(?mv232/2kT)dv

〖解〗： 利用分子束的速率分布可求得分子束的平均速率及速率的平方平均值分别为:

v束????0[m?02/2(kT)]?v?vexp(?mv2223232/2kT)dv?29πkT/8mv束2?[m/2(kT)]v?vexp(?mv/2kT)dv?4kT/m

方均根速率为

v束?24kT/m

2. 5. 11 从一容器壁的狭缝射出一分子束，（1）试求该分子束中分子的最概然速率 vp 和最概然能量 ?p。 （2）求得的 vp 和 ?p 与容器内的

vp 和 ?p 是否相同，为什么? （3）?p 是否等于 (mv2p/2)，为什么？ /2kT)dv

〖解〗：（1）由上题的分子束的速率分布函数

F(v)dv?[m2/2(kT)]?vexp(?mv232可以得到分子束中分子的最概然速率 vp：

§2.2 解题指导和习题解答 51

ddv?[m2/2(kT)]?vexp(?mv232/2kT)?v?vp?0

vp?3kT/m

把分子束的速率分布函数化为分子束按照能量分布的函数：

F(?)d??[1/2(kT)]?exp(??/kT)d(mv/4)

?[1/2(kT)]?exp(??/kT)d??[2?/2(kT)]exp(?2222422?kT

)d?

dF(?)?d[[2?/2(kT)]exp(??/kT)?0

得到最概然能量

?p?kT

（2）我们看到, 求得的分子束的 vp1 和 ?p1 与容器内气体分子的

vp2 和 ?p2 不同。容器内气体是处于静态的，而分子束中的气体分子是处

于动态的，所以容器内气体速率分布不同于分子束中分子的速率分布。

（3）我们也看到

vp1?3kT/m?2kT/m?vp2 ,

?p1?kT?kT/2??p2 ,

也是因为分子束中的气体分子是处于动态的，而容器内气体是处于静态的。

2. 5. 12 暴露在分子质量为 m、分子数密度为 n、温度为 T 的理想气体中干净的固体表面以某一速率吸收气体分子 (其单位为分子数／秒·米2 )。若固体对撞击到表面上的, 其速度法向分量小于 vr 的分子的吸收概率为零，而对大于 vr 的分子的吸收概率为1 , 试求吸收速率的表达式。

〖解〗：若以固体表面的法向定为 x 方向, 按照题义, 所有速度分量

vy,vz 为任意, 而法向分量 vx 大于 vr 的分子撞击到表面上都能够被吸

收, 但是其速度法向分量小于 vr 的分子的吸收概率为零。我们从气体分子碰壁数公式的推导过程中就可以知道其总的吸收概率为：

???vrF(vx)dvx??vrnf(vx)vxdvx

52 第二章 分子动理论的平衡态理论 ???vr?mn???2πkT1????1/2?mvx2?exp???2kT???vdv ?xx??n?m ???2?2πkT?2?2kT??????exp?m????mv2???2kT??? ??vr ?n

kT2πm?exp(?mv2r2kT)

2 ． 6 ． 1 试证若认为地球的大气是等温的 , 则把所有大气分子压缩为一层环绕地球表面的、压强为一个大气压的均匀气体球壳，这层球壳厚度就是大气标高。

〖分析〗： 在离地高为 z~z?dz 的范围内的球壳体积为

dV(z)?4π(RE?z)dz （1）

2[ 说明：这是因为地球大气标高只有 8 km, 它比地球半径 RE 要小得多, 所以那一层球壳相对于地球来讲相当于一层“纸”。而“纸”的体积就等于球面面积再乘以“纸”的高度。]

当然, 我们也可以如下更清楚地求出：

dV(z)??4343π[(z?dz?RE)?(z?RE)]2233π[3(z?RE)?dz?3(z?RE)?dz?dz]3

忽略dz 的二次方和三次方项, 同样有

〖解〗： 若设在海平面处的气体分子数密度 为n (0) , 在球壳体积

dV(z)?4π(z?RE)dz2dV( z ) 范围内的分子数

dN(z)?dV(z)?n(z)?4π(z?RE)dz?n(0)?exp(?M2mgz/RT)

令 RT/Mmg?H 称为大气标高, 设在海平面处的气体分子数密度为

N?n(0)??04π(z2?2zRE?RE)?exp(?M2mgz/RT)dz

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