系统的能控性、能观测性、稳定性分析之令狐文艳创作

令狐文艳创作

实验报告

令狐文艳

课程线性系统理论基础实验日期年月日

专业班级姓名学号同组人

实验名称系统的能控性、能观测性、稳定性分析及实现评分

批阅教师签字

一、实验目的

加深理解能观测性、能控性、稳定性、最小实现等观念。掌握如何使用MATLAB进行以下分析和实现。

1、系统的能观测性、能控性分析；

2、系统的稳定性分析；

3、系统的最小实现。

二、实验内容

（1）能控性、能观测性及系统实现

（a）了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf,

令狐文艳创作

令狐文艳创作

令狐文艳创作 minreal ；

（b ）已知连续系统的传递函数模型，

182710)(23++++=s s s a

s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性；

（c ）已知系统矩阵为

??????????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性；

（d ）求系统1827101

)(23++++=s s s s s G 的最小实现。

（2）稳定性

（a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

)20)(1()

2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 （b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为)22)(6)(5()

3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极

令狐文艳创作

点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。

（c）Bode 图法判断系统稳定性

已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为

用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。

（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。

三、实验环境

1、计算机120台；

2、MATLAB6.X软件1套。

四、实验原理（或程序框图）及步骤

1、系统能控性、能观性分析

设系统的状态空间表达式如（1-1）所示。

系统的能控性、能观测性分析是多变量系统设计的基础，包括能控性、能观测性的定义和判别。

系统状态能控性定义的核心是：对于线性连续定常系统（1-1）,若存在一个分段连续的输入函数u(t)，在有限的时间（t1-t0）内，能把任一给定的初态x(t0)转移至预期的终端x(t1)，则称此状态是能控的。若系统所有的状态都是能控的，则称该系统是状态完全能控的。

令狐文艳创作

令狐文艳创作

令狐文艳创作 能控性判别分为状态能控性判别和输出能控性判别。

状态能控性分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能控性判别时不用计算，应用公式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能控性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

输出能控性判别式为：

[]p B CA CAB CB Rank RankQ n cy ==-1

（2-1）

状态能控性判别式为：

[]n B A AB B Rank RankQ n c ==-1

（2-2）

系统状态能观测性的定义：对于线性连续定常系统（2-1）,如果对t 0时刻存在t a ，t 0<t a <∞，根据[t 0,t a ]上的y(t)的测量值，能够唯一地确定系统在t 0时刻的任意初始状态x 0，则称系统在t 0时刻是状态完全能观测的，或简称系统在[t 0,t a ]区间上能观测。

状态能观测性也分为一般判别和直接判别法，后者是针对系统的系数阵A 是对角标准形或约当标准形的系统，状态能观性判别时不用计算，应用公

令狐文艳创作

令狐文艳创作 式直接判断，是一种直接简易法；前者状态能观测性分为一般判别是应用最广泛的一种判别法。

状态能观测性判别式为：

[]n CA CA C Rank RankQ T n o ==-1 （2-3）

系统的传递函数阵和状态空间表达式之间的有(1-2)式所示关系。已知系统的传递函数阵表述，求其满足(1-2)式所示关系的状态空间表达式，称为实现。实现的方式不唯一，实现也不唯一。其中，当状态矩阵A 具有最小阶次的实现称为最小实现，此时实现具有最简形式。

五、程序源代码

1.(a)了解以下命令的功能；自选对象模型，进行运算，并写出结果。

gram, ctrb, obsv, lyap, ctrbf, obsvf,

minreal ；

gram:求解用状态空间表示的系统的可控或客观Gramian 矩阵

num=[6 -0.6 -0.12];

den=[1 -1 0.25 0.25 -0.125];

H=tf(num,den,'Ts',0.1)

令狐文艳创作

Lc=gram(ss(H),'c')

H = 6 z^2 - 0.6 z - 0.12

-------------------------------------

z^4 - z^3 + 0.25 z^2 + 0.25 z - 0.125 Sample time: 0.1 seconds

Discrete-time transfer function.

Lc =10.7651 7.8769 3.6759 -0.0000

7.8769 10.7651 7.8769 1.8379

3.6759 7.8769 10.7651 3.9385

-0.0000 1.8379 3.9385 2.6913 Ctrb：计算矩阵可控性

A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5]

B=[6 9;4 6;4 4;8 4];

Tc=ctrb(A,B);

rank(Tc)

A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000

0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000

0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000

令狐文艳创作

令狐文艳创作

1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000

ans =

3

Obsv:计算可观察性矩阵

A=[-2.2 -0.7 1.5 -1;0.2 -6.3 6 -1.5;0.6 -0.9 -2 -0.5;1.4 -0.1 -1 -3.5]

B=[6 9;4 6;4 4;8 4];

C=[1 2 3 4];

Qo=obsv(A,C);

Ro=rank(Qo)

A =-2.2000 -0.7000 1.5000 -1.0000

0.2000 -6.3000 6.0000 -1.5000

0.6000 -0.9000 -2.0000 -0.5000

1.4000 -0.1000 -1.0000 -3.5000

Ro =

4

Lyap:解lyapunov方程

A=[0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6];

B=[1 2 3;4 5 6;7 8 0];

令狐文艳创作

令狐文艳创作

X=lyap(A,B)

X =

-3.2833 -3.9000 -0.1167

-5.5000 -8.6500 -0.4000

0.2833 -0.0000 -0.0333 Ctrbf:对线性系统进行能控性分解

A=[0 0 -6;1 0 -11;0 1 -6];

B=[3;1;0];

C=[0 0 1];

[Abar,Bbar,Cbar,T,K]=ctrbf(A,B,C) Abar =

-3.0000 0.0000 -0.0000

9.4868 -3.3000 0.9539

8.6189 -3.1344 0.3000

Bbar =

-0.0000

-0.0000

3.1623

Cbar =-0.9435 0.3315 0

令狐文艳创作

令狐文艳创作

T =-0.1048 0.3145 -0.9435 -0.2983 0.8950 0.3315 0.9487 0.3162 0 K =

1 1 0

Obsvf:对线性系统进行能观性分解A=[-2 1;1 -2];

B=[1;0];

C=[1 -1];

[AO,BO,CO,T,K]=obsvf(A,B,C) AO =-1.0000 0

0.0000 -3.0000

BO =0.7071

0.7071

CO =0 1.4142

T = 0.7071 0.7071

0.7071 -0.7071

K =

1 0

令狐文艳创作

令狐文艳创作

Minreal最小实现

num=[1 1];

den=[1 5 20];

sys=tf(num,den)

[A B C D]=tf2ss(num,den)

sys=ss(A,B,C,D);

sysr=minreal(sys)

sys =

s + 1

--------------

s^2 + 5 s + 20

Continuous-time transfer function.

A = -5 -20

1 0

B =

1

C =

1 1

令狐文艳创作

令狐文艳创作

令狐文艳创作 D =

sysr =

a = x1 x2

x1 -5 -20

x2 1 0

b = u1

x1 1

x2 0

c = x1 x2

y1 1 1

d = u1

y1 0

Continuous-time state-space model. （b ）已知连续系统的传递函数模型，182710)(23++++=s s s a

s s G ，当a 分别取-1，0，1时，判别系统的能控性与能观测性； a=-1

num=[1,-1];

令狐文艳创作den=[1,10,27,18];

[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)

n=length(a)

Qc=ctrb(a,b)

nc=rank(Qc)

if n==nc,disp('系统可控'), else disp('系统不可控'),end Qo=obsv(a,c)

no=rank(Qo)

if n==no,disp('系统可观'), else disp('系统不可观'),end a=0

num=[1,0];

den=[1,10,27,18];

[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)

n=length(a)

Qc=ctrb(a,b)

nc=rank(Qc)

if n==nc,disp('系统可控'),

令狐文艳创作

令狐文艳创作else disp('系统不可控'),end Qo=obsv(a,c)

no=rank(Qo)

if n==no,disp('系统可观'), else disp('系统不可观'),end a=1

num=[1,1];

den=[1,10,27,18];

[a,b,c,d]=tf2ss(num,den)

n=length(a)

Qc=ctrb(a,b)

nc=rank(Qc)

if n==nc,disp('系统可控'), else disp('系统不可控'),end Qo=obsv(a,c)

no=rank(Qo)

if n==no,disp('系统可观'), else disp('系统不可观'),end

令狐文艳创作

令狐文艳创作

令狐文艳创作 矩阵为

??????????--=2101013333.06667.10666.6A ，??????????=110B ，[]201=C ，判别系统的能控性与能观测性； a=[6.666 -10.6667 -0.3333;1 0 1;0 1 2]; b=[0;1;1];

c=[1 0 2];

d=0;

n=length(a)

Qc=ctrb(a,b)

nc=rank(Qc)

if n==nc,disp('系统可控'),

else disp('系统不可控'),end

Qo=obsv(a,c)

no=rank(Qo)

if n==no,disp('系统可观'),

else disp('系统不可观'),end

（d ）求系统

1827101)(23++++=s s s s s G 的最小实现。 num=[1 1];

令狐文艳创作den=[1 10 27 18];

G=tf(num,den);

Gs=ss(G);

Gm=minreal(Gs);

Am=Gm.a

Bm=Gm.b

Cm=Gm.c

Dm=Gm.d

1 state removed.

Am =

3.5391 -12.1540

5.1323 -12.5391

Bm =

0.0606

-0.2425

Cm =

0.2500 0.0625

Dm =

令狐文艳创作

令狐文艳创作

令狐文艳创作 （2）稳定性

（a ）代数法稳定性判据 已知单位反馈系统的开环传递函数为：

)20)(1()

2(100)(+++=s s s s s G ，试对系统闭环判别其稳定性 num=[0 0 100 200];

den=[1 21 20 0];

[z,p,k]=tf2zp(num,den)

z =

-2

p =

-20

-1

k =

100

（b ）根轨迹法判断系统稳定性 已知一个单位负反馈系统开环传递函数为)22)(6)(5()

3()(2+++++=s s s s s s k s G ，试在系统的闭环根轨迹图上选择一点，求出该点的增益及其系统的闭环极

令狐文艳创作

点位置，并判断在该点系统闭环的稳定性。

n1=[1,3];

d1=conv([1,0],conv([1,5],conv([1,6],[1,2,2] )));

s1=tf(n1,d1);

rlocus(s1);

[k,poles]=rlocfind(s1)

（c）Bode 图法判断系统稳定性

已知两个单位负反馈系统的开环传递函数分别为

用Bode 图法判断系统闭环的稳定性。

G1(s)

num=2.7;

den=[1,5,4,0];

w=logspace(-1,2,47);

[mag,pha]=bode(num,den,w);

magdB=20*log10(mag);

subplot(211);

semilogx(w,magdB);

令狐文艳创作

令狐文艳创作grid on;

title('Bode Diagram');

xlabel('Frequency(rad/sec)'); ylabel('Gain dB');

subplot(212);

semilogx(w,pha);

grid on;

xlabel('Frequency(rad/sec)'); ylabel('phase deg')

G2(s)

num=2.7;

den=[1,5,-4,0];

w=logspace(-1,2,47);

[mag,pha]=bode(num,den,w); magdB=20*log10(mag);

subplot(211);

semilogx(w,magdB);

grid on;

title('Bode Diagram');

令狐文艳创作

令狐文艳创作

xlabel('Frequency(rad/sec)');

ylabel('Gain dB');

subplot(212);

semilogx(w,pha);

grid on;

xlabel('Frequency(rad/sec)');

ylabel('phase deg')

（d）判断下列系统是否状态渐近稳定、是否BIBO 稳定。

A=[0 1 0;0 0 1;250 0 -5];

B=[0;0;10];

C=[-25 5 0];

D=0;

[z,p,k]=ss2zp(A,B,C,D)

六、实验数据、结果分析

（b）a=-1

a =

-10 -27 -18

1 0 0

令狐文艳创作

令狐文艳创作

0 1 0

b =

1

c =

0 1 -1

d =

n =

3

Qc =

1 -10 73

0 1 -10

0 0 1

nc =

3

系统可控

Qo =

令狐文艳创作

令狐文艳创作

0 1 -1

1 -1 0

-11 -27 -18

no =

3

系统可观

a=0

a =

-10 -27 -18

1 0 0

0 1 0

b =

1

c =

0 1 0

d =

令狐文艳创作

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cv8e.html