球面几何 选修3-3 球测试题

球测试题

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1．下列命题①多面体的面数最少为4；②正多面体只有5种；③凸多面体是简单多面体；④

一个几何体的表面，经过连续变形为球面的多面体就叫简单多面体。其中正确的个数为（ ）

A．1

B．2

32π，则此球的表面积是 3C．3 C．

16π 3D．4 D．

64π 32．球的体积是

（ ）

A． 12π B． 16π

3．下列四个命题中，其中错误的个数是 （ ）

①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个大圆；

②经过球直径的三等分点，作垂直于该直径的两个平面，则这两个平面把球面分成三部分的面积相等；

③球的面积是它大圆面积的四倍；

④球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上，以这两点为端点的劣弧的长． A． 0

B． 1

C． 2

D． 3

4．球面上有3点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1经过这3点的小圆的周长6，

为4? ，那么这个球的半径为

A．43

B． 23

C． 2 C．

16π 3 D． D．

64π 3（ ）

3

（ ）

5．球的体积是

32π，则此球的表面积是 3A． 12π B． 16π

6．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）

A．3π

B．4π

C．33?

D．6π

7．64个直径都为a的球，记它们的体积之和为V甲 ，表面积之和为S甲 ；一个直径为a的球，4记其体积为V乙，表面积为S乙 ，则 A． V甲>V乙且S甲>S乙

（ ）

B． V甲

C． V甲=V乙且S甲>S乙 D． V甲=V乙且S甲=S乙

8．设地球的半径为R，在纬度为?的纬线圈上有A,B两地，若这两地的纬线圈上的弧长为

?Rcos?，则A,B两地之间的球面距离为

A．?R

B．?Rsin?

C．?R

D．R??（ ）

?2??

9．一根细金属丝下端挂着一个半径为1cm的金属球，将它浸没底面半径为2cm的圆柱形容

器内的水中，现将金属丝向上提升，当金属球被拉出水面时，容器内的水面下降了（ ）

A． 43cm

3B． 16cm

1C． 3cm D． 43cm

10．地球半径为R, 北纬45°圈上A,B两点分别在东径130°和西径140°, 并且北纬45°圈小圆

的圆心为O′, 则在四面体O-ABO′中，直角三角形有

A．0个

B．2个

C． 3个

D．4个

（ ）

11．定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里．在北纬45°圈上有甲、乙两地，

甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为 （ ）

A．5400海里 C．4800海里

B．2700海里 D．3600海里

12．甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方

体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为

A．1∶2∶3

B．1∶2∶3 D．1∶22∶33

（ ）

C．1∶34∶39

二、填空题：本大题满分16分，每小题4分，各题只要求直接写出结果． 13．两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是 ．

14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个

平面截球的截面面积为 . 15．如图，一个底面半径为R的圆柱形量杯中装有

适量的水．若放入一个半径为r的实心铁球，水 面高度恰好升高r，则

R? ． r16．湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，

冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm的空穴， 则该球的半径为 ． 三、解答题：本大题满分74分．

17．(12分)在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将

一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示)．

18．（12分） 把四个半径为R的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上

层小球最高处离桌面的距离．

19．（12分）A、B、C是球O表面上三点，AB=6㎝，∠ACB= 30°，点O到△

ABC所在截面的距离为5㎝，求球O的表面积．

20．（12分）如果球、正方体与等边圆柱（底面直径与母线相等）的体积相等，求它们的表

面积S球，S正方体，S圆柱的大小关系．

21．（12分）球O的半径为R,A﹑B﹑C在球面上，A与B,A与C的球面距离都为?R，B2与C的球面距离为?R，求球O在二面角B-OA-C内的部分的体积． 3 22．（14分）同底的两个正三棱锥内接于半径为R的球，它们的侧面与底面所成的角分别为

?1,?2.求：

（1） 侧面积的比；

（2） 体积的比； （3） 角?1 ??2的最大值．

参考答案 一、选择题：

1．D 2．B 3．C 4．B 5．B 6．A 7．C 8．D 9．D 10．C 11．D 12． B

1解：据多面体的概念选D．

6解：已该正四面体的六条棱为面对角线的正方体的棱长为1，这里的正四面体与正方体的外接球相同，故

其外接球的直径为3，其表面积为33?．选A．

24?a1?13?a1?27解： V=64????????a, S=64?4??????4?a．

甲甲3?42?6?42?

V乙=

4?1?13??a????a, 3?2?6S甲>S乙．选C．

3?1?24?=?a????a. S乙?2?2∴V=V乙,

甲8．解：设球心为O，纬度为

，则∠O′AO=?,∴O′A=OAcos∠O′AO=Rcos?,设?的纬线圈的圆心为O′

A,B两地间的径度差的弧度数为

?，则

的一条直径的两端点，∴∠AOB=??2?, ?Rcos?=?Rcos?, ∴?=?, 即A,B两地是⊙O′∴A,B两地之间的球面距离为R???2??． 答案：D．

．答案：D． ?13???22?h，h?1349．解：球的体积等于水下降的体积即3?二、填空题

13．

32 14．32? 15．

2

2

2

2

2

23 16．13cm． 32

16．解： 设球的半径为R，依题意知截面圆的半径r＝12,球心与截面的距离为d＝R-8，由截面性质得：

r+d＝R,即12+(R-8)＝R． 得R＝13 ∴该球半径为13cm．

三、解答题

17． 解：由题意知，光线与地面成60°角(2 分)，设球的阴影部分面积为S，垂直于光线的大圆面积为

S′（6分），则Scos30°＝S′（9分）,并且S′＝9π，所以S＝6

3π(米2)…… 12分

18 ． (2+

263)R

解： 将四个球心两两连结（2分），构成一个棱长为2R的正四面体O1?O2O3O4.（4分）

3223设底面正三角形O2O3O4的中心为H, 则O2H?2R???R,（8分）

233

O1H??2R?2?23?26????R??R.（10分）

3?3?2

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