理论力学平面力系

第二章 平面力系

一、是非题

1．一个力在任意轴上投影的大小一定小于或等于该力的模，而沿该轴的分力的大小则可能大于该力的模。 （ ）

2．力矩与力偶矩的单位相同，常用的单位为牛·米，千牛·米等。 （ ） 3．只要两个力大小相等、方向相反，该两力就组成一力偶。 （ ） 4．同一个平面内的两个力偶，只要它们的力偶矩相等，这两个力偶就一定等效。（ ） 5．只要平面力偶的力偶矩保持不变，可将力偶的力和臂作相应的改变，而不影响其对刚体的效应。 （ ）

6．作用在刚体上的一个力，可以从原来的作用位置平行移动到该刚体内任意指定点，但必须附加一个力偶，附加力偶的矩等于原力对指定点的矩。 （ ）

7．某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化中心的位置无关。 （ ）

8．平面任意力系，只要主矢R≠0，最后必可简化为一合力。 （ ） 9．平面力系向某点简化之主矢为零，主矩不为零。则此力系可合成为一个合力偶，且此力系向任一点简化之主矩与简化中心的位置无关。 （ ）

10．若平面力系对一点的主矩为零，则此力系不可能合成为一个合力。 （ ） 11．当平面力系的主矢为零时，其主矩一定与简化中心的位置无关。 （ ） 12．在平面任意力系中，若其力多边形自行闭合，则力系平衡。 （ ） 二、选择题

1．将大小为100N的力F沿x、y方向分解，若F在x轴上的投影为86.6N，而沿x方向的分力的大小为115.47N，则F在y轴上的投影为 。 ① 0； ② 50N； ③ 70.7N； ④ 86.6N； ⑤ 100N。 2．已知力F的大小为F=100N，若将F沿图示x、y方向分解，则x向分力的大小为 N，y向分力的大小为 N。

① 86.6； ② 70.0； ③ 136.6； ④ 25.9； ⑤ 96.6；

3．已知杆AB长2m，C是其中点。分别受图示四个力系作用，则 和 是等效力系。

① 图（a）所示的力系；

② 图（b）所示的力系； ③ 图（c）所示的力系； ④ 图（d）所示的力系。

4．某平面任意力系向O点简化，得到如图所示的一个力R?和一个力偶矩为Mo的力偶，则该力系的最后合成结果为 。

① 作用在O点的一个合力； ② 合力偶；

③ 作用在O点左边某点的一个合力； ④ 作用在O点右边某点的一个合力。 5．图示三铰刚架受力F作用，则A支座反力的大小为 ，B支座反力的大小为 。

① F/2；

② F/2； ③ F； ④ 2F； ⑤ 2F。

6．图示结构受力P作用，杆重不计，则A支座力的大小为 。

① P/2；

②

约束

3P/3；

③ P； ④ O。

7．曲杆重不计，其上作用一力偶矩为M的力偶，则图（a）中B点的反力比图（b）中的反力 。

① 大； ② 小 ； ③ 相同。

8．平面系统受力偶矩为M=10KN.m的力偶作用。当力偶M作用于AC杆时，A支座反力的大小为 ，B支座反力的大小为 ；当力偶M作用于BC杆

时，A支座反力的大小为 ，B支座反力的大小为 。

① 4KN； ② 5KN； ③ 8KN； ④ 10KN。

9．汇交于O点的平面汇交力系，其平衡方程式可表示为二力矩形式。即

?mA(Fi)?0,?mB(Fi)?0，但必须 。

① A、B两点中有一点与O点重合； ② 点O不在A、B两点的连线上； ③ 点O应在A、B两点的连线上；

④ 不存在二力矩形式，?X=0，?Y=0是唯一的。 10．图示两个作用在三角板上的平面汇交力系（图（a）汇交于三角形板中心，图（b）汇交于三角形板底边中点）。如果各力大小均不等于零，则 图（a）所示力系 ， 图（b）所示力系 。

① 可能平衡； ② 一定不平衡； ③ 一定平衡； ④ 不能确定。

三、填空题

1．两直角刚杆ABC、DEF在F处铰接，并支承如图。若各杆重不计，则当垂直BC边的力P从B点移动到C点的过程中，A处约束力的作用线与AB方向的夹角从 度变化到 度。

2．图示结构受矩为M=10KN.m的力偶作用。若a=1m，各杆自重不计。则固定铰支座D的反力的大小为 ，方向 。

3．杆AB、BC、CD用铰B、C连结并支承如图，受矩为M=10KN.m的力偶作用，不计各杆自重，则支座D处反力的大小为 ，方向 。

4．图示结构不计各杆重量，受力偶矩为m的力偶作用，则E支座反力的大小为 ，方向在图中表示。

5．两不计重量的簿板支承如图，并受力偶矩为m的力偶作用。试画出支座A、F的约束力方向（包括方位与指向）。

6．不计重量的直角杆CDA和T字形杆DBE在D处铰结并支承如图。若系统受力P作用，则B支座反力的大小为 ,方向 。

7．已知平面平行力系的五个力分别为F1=10（N），F2=4（N），F3=8（N），F4=8（N），F5=10（N），则该力系简化的最后结果为 。

8．某平面力系向O点简化，得图示主矢R?=20KN，主矩Mo=10KN.m。图中长度单位为m，则向点A（3、2）简

化得 ，向点B（-4，0）简化得 （计算出大小，并在图中画出该量）。

9．图示正方形ABCD，边长为a（cm），在刚体A、B、C三点上分别作用了三个力：F1、F2、F3，而F1=F2=F3=F（N）。则该力系简化的最后结果为 并用图表示。

10．已知一平面力系，对A、B点的力矩为?mA（Fi）=?mB（Fi）=20KN.m，且?Xi??52KN，则该力系的最后简化结果为 （在图中画

出该力系的最后简化结果）。

11．已知平面汇交力系的汇交点为A，且满足方程?mB =0（B为力系平面内的另一点），若此力系不平衡，则可简化为 。已知平面平行力系，诸力与y轴不垂直，且满足方程?Y=0，若此力系不平衡，则可简化为 。

四、计算题

1．图示平面力系，已知：F1=F2=F3=F4=F，M=Fa，a为三角形边长，若以A为简化中心，试求合成的最后结果，并在图中画出。

2．在图示平面力系中，已知：F1=10N，F2=40N，F3=40N，M=30N·m。试求其合力，并画在图上（图中长度单位为米）。

3．图示平面力系，已知：P=200N，M=300N·m，欲使力系的合力R通过O点，试求作用在D点的水平力T为多大。

4．图示力系中力F1=100KN，F2=200KN，F3=300KN，方向分别沿边长为30cm的等边三角形的每一边作用。试求此三力的合力大小，方向和作用线的位置。

5．在图示多跨梁中，各梁自重不计，已知：q、P、M、L。试求：图（a）中支座A、B、C的反力，图（2）中支座A、B的反力。

6．结构如图，C处为铰链，自重不计。已知：P=100KN，q=20KN/m，M=50KN·m。试求A、B两支座的反力。

7．图示平面结构，自重不计，C处为光滑铰链。已知：P1=100KN，P2=50KN，θ=60°，q=50KN/m，L=4m。试求固定端A的反力。

8．图示曲柄摇杆机构，在摇杆的B端作用一水平阻力R，已知：OC=r，AB=L，各部分自重及摩擦均忽略不计，欲使机构在图示位置（OC水平）保持平衡，试求在曲柄OC上所施加的力偶的力偶矩M，并求支座O、A的约束力。

9．平面刚架自重不计，受力、尺寸如图。试求A、B、C、D处的约束力。

10．图示结构，自重不计，C处为铰接。L1=1m，L2=1.5m。已知：M=100KN·m，q=100 KN/m。试求A、B支座反力。

11．支架由直杆AD与直角曲杆BE及定滑轮D组成，已知：AC=CD=AB=1m，R=0.3m，Q=100N，A、B、C处均用铰连接。绳、杆、滑轮自重均不计。试求支座A，B的反力。

12．图示平面结构，C处为铰链联结，各杆自重不计。已知：半径为R，q=2kN/cm，Q=10kN。试求A、C处的反力。

13．图示结构，由杆AB、DE、BD组成，各杆自重不计，D、C、B均为锵链连接，A端为固定端约束。已知q（N/m），M=qa2（N·m），P?2Nqa()，尺寸如图。

试求固定端A的约束反力及BD杆所受的力。

14．图示结构由不计杆重的AB、AC、DE三杆组成，在A点和D点铰接。已知：P、QL0。试求B、C二处反力（要求只列三个方程）。

15．图示平面机构，各构件自重均不计。已知：OA=20cm，O1D=15cm，?=30°，弹簧常数k=100N/cm。机构平衡于图示位置时，弹簧拉伸变形?=2cm，M1=200N·m，试求使系统维持平衡的M2。

16．图示结构，自重不计。已知：P=2kN， Q= kN，M=2kN·m。试求固定铰支座B的反力。

若

17．构架受力如图，各杆重不计，销钉E固结在DH杆上，与BC槽杆为光滑接触。已知：AD=DC=BE=EC=20cm，M=200N·m。试求A、B、C处的约束反力。

18．重为P的重物按图示方式挂在三角架上，各杆和轮的自重不计，尺寸如图，试求支座A、B的约束反力及AB杆内力。

19．图示来而结构由杆AB及弯杆DB组成，P=10N，M=20N·m，L=r=1m，各杆及轮自重不计，求固定支座A及滚动支座D的约束反力及杆BD的B端所受的力。

20．构架如图所示。重物Q=100N，悬持在绳端。已知：滑轮半径R=10cm，L1=30cm，L2=40cm，不计各杆及滑轮，绳的重量。试求A、E支座反力及AB杆在铰链D处所受的力。

第二章 平面力系参考答案：

一、是非题

1、对 2、对 3、错 4、对 5、对 6、对 7、对 8、对 9、对 10、错 11、对 12、错

二、选择题

1、① 2、③② 3、③④ 4、③ 5、②② 6、② 7、② 8、④④②② 9、② 10、①②

三、填空题

1、0°；90°； 2、10KN；方向水平向右； 3、10KN；方向水平向左； 4、2m/a；方向沿HE向； 5、略 6、2P；方向向上； 7、力偶，力偶矩m=－40（N·cm），顺时针方向。 8、A：主矢为20KN，主矩为50KN·m，顺钟向 B：主矢为20KN，主矩为90KN·m，逆钟向

9、一合力R=F2，作用在B点右边，距B点水平距离a（cm） 10、为一合力R，R=10KN，合力作线与AB平行，d=2m 11、通过B点的一个合力；简化为一个力偶。

四、计算题

1、解：将力系向A点简化Rx?=Fcos60°+Fsin30°－F=0 Ry?=Fsin60°－Fcos30°+F=F R=Ry?=F

对A点的主矩MA=Fa+M－Fh=1.133Fa 合力大小和方向R=R? 合力作用点O到A点距离 d=MA/R?=1.133Fa/F=1.133a

2．解：将力系向O点简化

RX=F2－F1=30N RV=－F3=－40N ∴R=50N

主矩：Mo=（F1+F2+F3）·3+M=300N·m 合力的作用线至O点的矩离 d=Mo/R=6m

合力的方向：cos（R，i）=0.6，cos（R，i）=－0.8 （R，i）=－53°08’ （R，i）=143°08’

3．解：将力系向O点简化，若合力R过O点，则Mo=0

Mo=3P/5×2+4P/5×2－Q×2－M－T×1.5 =14P/5－2Q－M－1.5T=0

∴T=（14/5×200－2×100－300）/1.5=40（N） ∴T应该为40N。

4．解：力系向A点简化。

主矢ΣX=F3－F1cos60°+F2cos30°=150KN ΣY=F1cos30°+F2cos30°=503KN R’=173.2KN Cos（R，i）=150/173.2=0.866，α=30° 主矩MA=F3·30·sin60°=453KN·m AO=d=MA/R?=0.45m

5.解：（一）1.取CD，Q1=Lq

ΣmD（F）=0 LRc－Rc=（2M+qL2）/2L 2. 取整体， Q=2Lq ΣmA（F）=0

3LRc+LRB－2LQ－2LP－M=0

RB=4Lq+2P+（M/L）－（6M+3qL2/2L） =（5qL2+4PL－4M）/2L

ΣY=0 YA+RB+RC－P－Q=0 YA=P+Q－（2M+qL2/2L） －（5qL2+4PL－4M/2L） =（M－qL2－LP）/L ΣX=0 XA=0 （二）1.取CB， Q1=Lq

mc（F）=0 LRB－M－RB=（2M+qL2）/（2L） 2.取整体， Q=2Lq ΣX=0 XA=0

ΣY=0 YA－Q+RB=0 YA=（3qL2－2M）/（2L）

ΣmA（F）=0 MA+2LRB－M－LQ=0 MA=M+2qL2－（2M+qL2）=qL2－M 6．解：先取BC杆，

Σmc=0， 3YB－1.5P=0， YB=50KN 再取整体

ΣX=0， XA+XB=0 ΣY=0， YA+YB－P－2q=0

1LQ1?M?0 21LQ1?0 2

ΣmA=0， 5YB－3XB－3.5P－

1q·22+M=0 2解得：XA=30KN， YA=90KN XB=－30KN

7．解：取BC为研究对象，Q=q×4=200KN

Σmc（F）=0 －Q×2+RB×4×cos45°=0 RB=141.42KN 取整体为研究对象 ΣmA（F）=0

mA+P2×4+P1×cos60°×4－Q×6+RB×cos45°×8 +RB×sin45°×4=0 （1） ΣX=0， XA－P1×cos60°－RB×cos45°=0 （2） ΣY=0，

－Q+YA－P2－P1×sin60°+RB×cos45°=0 （3） 由（1）式得 MA=－400KN·2 （与设向相反） 由（2）式得 XA=150KN 由（3）式得 YA=236.6KN

8．解：一）取OC Σmo（F）=0

Nsin45°·r－M=0，N=M/（r sin45°） 取AB ΣmA（F）=0

112RL RL/r M=

2412LR/r 二）取OC ΣX=0 Xo－Ncos45°=0，Xo=412LR/r ΣY=0 Yo+Nsin45°=0，Yo=－4RLsin45°－N?2rsin45°=0，N?=取AB ΣX=0 XA+N’cos45°－R=0， XA=（1－

142L/r）R

ΣY=0 YA－N’sin45°=0，YA=

9.解：取AC

142RL/r

ΣX=0 4q1－Xc=0

Σmc=0 －NA·4+q1·4·2=0 ΣY=0 NA－Yc=0 解得Xc=4KN； Yc=2KN；NA=2KN

取BCD ΣmB（F）=0

ND×6－q2×18－X?c×4=0 Xc?=Xc Xc?=Yc ΣX=0 Xc?－XB=0

ΣY=0 ND+Y?c－q2×6+YB=0 ND=52/6=8.7KN XB=X?c=4KN

10．解：取整体为研究对象，L=5m

Q=qL=500KN，sin?=3/5，cos?=4/5，?mA（F）=0 YB·（2+2+1.5）-M-

1Q·5=0 （1） 2?X=0, -XA-XB+Q·sin?=0 （2） ?Y=0, -YA+YB-Q·cos?=0 （3） 取BDC为研究对象

?mc（F）=0 -M+YB·1.5-XB·3=0 （4） 由（1）式得，YB=245.55kN YB代入（3）式得 YA=154.55kN YB代入（4）式得 XB=89.39kN XB代入（2）式得 XA=210.61kN

11．解：对ACD

?mc（F）=0 T·R-T（R+CD）-YA·AC=0 ∵AC=CD T=Q YA=-Q=-100（N） 对整体

?mB（F）=0 XA·AB-Q·（AC+CD+R）=0

XA=230N

?X=0 XB=230N

?Y=0 YA+YB-Q=0 YB=200N

12．解：取CBA为研究对象，

?mA（F）=0

-S·cos45°·2R-S·sin45°·R+2RQ+2R2q=0 ∴S=122.57kN

?X=0 -S·cos45°+XA=0 ∴XA=2（Q+Rq）/3=88.76kN

?Y=0 YA-Q-2Rq+S·cos45°=0 YA=（Q+4Rq）/3=163.33kN

13．解：一）整体

?X=0 XA-qa-Pcos45°=0 XA=2qa（N） ?Y=0 YA-Psin45°=0 YA=qa（N） ?mA（F）=0 MA-M+qa· MA=-

1a+P·asin45°=0 212

qa（N·m） 2 二）DCE

?mc（F）=0 SDBsin45°a+qa· SDB=1qa(N)

214．解：取AB杆为研究对象

?mA（F）=0 NB·2L·cos45°-Q·Lcos45°=0 NB= 取整体为研究对象 ?mE（F）=0

-Xc·L+P·2L+Q（3L-L·cos45°） -NB（3L-2L·cos45°）=0

Xc=2P+3Q-Q·cos45°-3NB+2NB·cos45°=2P+ ?mD（F）=0

-Yc·L+PL+Q（2L-L·cos45°） -NB（2L-2L·cos45°）=0

Yc=P+2Q-Q·cos45°-Q+Q·cos45°=P+Q 15．解：取OA，

?mo=0

XA=1000N 取AB杆，F=200

?X=0 S·sin30°+200-1000=0 S=1600N 取O1D杆 ?mO1=0

O1D·S·cos30°-M2=0 M2=207.85（N·m）

16．解：一）取CE ?m（=0 M+Yc·2=0， EF）

-0.2XA+M1=0

1a-pcos45°·a =0 21Q 21·3Q 2Yc=-1kN-

?Y=0 YE+YC=0，YE=1Kn ?X=XE=0

二）取ABDE ?mA（F）=0

YB·4-Q·4-YE·6-P·4=0，YB=6.5kN 三）取BDE ?mD（F）=0

YB·2+XB·4-Q·2-Y?E·4=0，XB=-0.75kN

17．解：取整体为研究对象，

?mA（F）=0

-M+YB×0.4·cos45°×2=0 （1） ∴ YB=500/2N

?Y=0 YA+YB=0 （2） YA=-YB=-500/2N

?X=0 XA+XB=0 （3） XA=-XB ∴XA= -500/2N 取DH杆为研究对象，

?mI （F）=0 -M+NE×0.2=0 NE=1000N 取BC杆为研究对象， ?mc（F）=0

YB·0.4·cos45°+XB·0.4·cos45°-NE·0.2=0 XB=2502N

?X=0 XC+XB-NE·cos45°=0 XC=2502N

?Y=0 YC+YB-NE·sin45°=0

18．解：对整体?mB=0，L·XA-P（3L+r）=0

XA=P（3+r/L） ?Y=0，YA=P

?X=0，NB=XA= P（3+r/L） 对AC ?mc=0，

－（SAB+YA）·2L－T’（L+r）+XA·L=0，SAB=0

19．解：取整体?mA（F）=0

ND·AD－M－P（4+2+1）L=0，ND=18 ?X=0，XA+NDsinα=0

?Y=0，YA+NDcosα=0 tgβ=3/2，tgα=3/4 取DE ?mc（F）=0

SBD·cosβ·3L+ND sinα·3L－PL－M=0， SBD=－1.44N

20．解：取整体?mA=(F)=0，

XEL2-Q（3L1+R）=0，XE=250N ?X=0，XA=XE=250N ?Y=0，YA=Q=100N 取ECGD ?mD=(F)=0，

XEL2-TR-SAC·4/5·2L1=0，SAC=189.5N ?X=0，XD+Q-XE+SAC·3/5=0，XD=37.5N ?Y=0，YD=-SAC·4/5=-150N

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