2016新课标三维人教A版数学选修2-1 3.2 立体几何中的向量方法

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立体几何中的向量方法

第一课时 空间向量与平行、垂直关系

预习课本P102～108，思考并完成以下问题

1．平面的法向量的定义是什么？

2．设直线l 的方向向量u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α，l ⊥α的充要条件分别是什么？

[新知初探]

1．平面的法向量

(1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的向量．

(2)平面的法向量

直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量．

2．空间平行关系的向量表示

(1)线线平行

设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥m ?a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．

(2)线面平行

设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.

(3)面面平行

设平面α，β的法向量分别为u ＝(a 1，b 1，c 1)，v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β?u ∥v ?u ＝λv ?a 1

＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．

3．空间垂直关系的向量表示

(1)线线垂直

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，a 2，a 3)，直线m 的方向向量为b ＝(b 1，b 2，b 3)，则l ⊥m ?a ·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0.

(2)线面垂直

设直线l 的方向向量是a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量是u ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ⊥α?a ∥u ?a ＝λu ?a 1＝λa 2，b 1＝λb 2，c 1＝λc 2(λ∈R)．

(3)面面垂直

若平面α的法向量u ＝(a 1，b 1，c 1)，平面β的法向量v ＝(a 2，b 2，c 2)，则α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线l 的方向向量是惟一的( )

(2)若点A ，B 是平面α上的任意两点，n 是平面α的法向量，则AB ·n ＝0( )

(3)若向量n 1，n 2为平面α的法向量，则以这两个向量为方向向量的两条不重合直线一定平行( )

答案：(1)× (2)√ (3)√

2．若A (1,0，－1)，B (2,1,2)在直线l 上，则直线l 的一个方向向量是( )

A ．(2,2,6)

B ．(－1,1,3)

C ．(3,1,1)

D ．(－3,0,1)

答案：A

3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )

A ．－2

B ．2

C ．6

D ．10 答案：D

[典例] ，求平面α的一个法向量． [解] 因为A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，所以AB ＝(1，－2，－4)，AC ＝(2，

－4，－3)．设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有??? n ·AB ＝0，n ·AC ＝0，即?????

x －2y －4z ＝0，2x －4y －3z ＝0.得z ＝0，x ＝2y ，令y ＝1，则x ＝2，所以平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)．

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利用待定系数法求法向量的解题步骤

[活学活用]

四边形ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝2，AD ＝1.在如图所示的坐标系Axyz 中，分别求平面SCD 和平面SAB 的一个法向量．

解：A (0,0,0)，D (1,0,0)，C (2,2,0)，S (0,0,2)．

∵AD ⊥平面SAB ，∴AD ＝(1,0,0)是平面SAB 的一个法向量．

设平面SCD 的法向量为n ＝(1，y ，z )，

则n ·DC ＝(1，y ，z )·

(1,2,0)＝1＋2y ＝0， ∴y ＝－12

. 又n ·DS ＝(1，y ，z )·

(－1,0,2)＝－1＋2z ＝0， ∴z ＝12

. ∴n ＝?

???1，－12，12即为平面SCD 的一个法向量.

[典例] 11111DD 1的中点，求证：

(1)FC 1∥平面ADE ；

(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .

[证明] 如图所示建立空间直角坐标系D -xyz ，

则有D (0,0,0)，A (2,0,0)，C 1(0,2,2)，E (2,2,1)，F (0,0,1)，B 1(2，2,2)，

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 所以FC 1 ＝(0,2,1)，

DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．

(1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的法向量， 则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ，

即??? n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0，得?????

x 1＝0，z 1＝－2y 1， 令z 1＝2，则y 1＝－1，

所以n 1＝(0，－1,2)．

因为FC 1 ·n 1＝－2＋2＝0，所以FC 1 ⊥n 1.

又因为FC 1?平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .

(2)因为C B 11 ＝(2,0,0)，

设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量．

由n 2⊥FC 1 ，n 2⊥C B 11 ，得

????? n 2·FC 1 ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·C B 11 ＝2x 2＝0，得?????

x 2＝0，z 2＝－2y 2. 令z 2＝2，得y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)，

因为n 1＝n 2，

所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .

利用向量法证明平行问题的两种途径

(1)利用三角形法则和平面向量基本定理实现向量间的相互转化，得到向量的共线关系；

(2)通过建立空间直角坐标系，借助直线的方向向量和平面的法向量进行平行关系的证明．

[活学活用]

在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝4，AD ＝3，AA 1＝2，P ，Q ，R ，S 分别是AA 1，D 1C 1，AB ，CC 1的中点．

求证：PQ ∥RS .

证明：法一：以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴，

y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz .

则P (3,0,1)，Q (0,2,2)，R (3,2,0)，S (0,4,1)，

PQ ＝(－3,2,1)，RS ＝(－3,2,1)，

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 ∴PQ ＝RS ，∴PQ ∥RS ，即PQ ∥RS .

法二：RS ＝RC ＋CS ＝12DC －DA ＋12DD 1 ， PQ ＝PA 1 ＋A Q 1 ＝12DD 1 ＋12DC －DA ，

∴RS ＝PQ ，∴RS ∥PQ ，

即RS ∥PQ .

利用空间向量证明垂直问题

[典例] 如图，在四棱锥E -ABCD 中，AB ⊥平面BCE ，CD ⊥

平

面BCE ，AB ＝BC ＝CE ＝2CD ＝2，∠BCE ＝120°.

求证：平面ADE ⊥平面ABE .

[证明] 取BE 的中点O ，连接OC ，则OC ⊥EB ，

又AB ⊥平面BCE ，

∴以O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz .如图所示．

则由已知条件有C (1,0,0)，E (0，－3，0)，D (1,0,1)，A (0，3，

2)．

设平面ADE 的法向量为n ＝(a ，b ，c )， 则n ·EA ＝(a ，b ，c )·(0,23，2)＝23b ＋2c ＝0，

n ·DA ＝(a ，b ，c )·(－1，3，1)＝－a ＋3b ＋c ＝0.

令

b

＝1，则a ＝0，c ＝－3，

∴n ＝(0,1，－3)，

又AB ⊥平面BCE ，

∴AB ⊥OC ，

∴OC ⊥平面ABE ，

∴平面ABE 的法向量可取为m ＝(1,0,0)．

∵n ·m ＝(0,1，－3)·(1,0,0)＝0，

∴n ⊥m ，∴平面ADE ⊥平面ABE .

(1)用向量法判定线面垂直，只需直线的方向向量与平面的法向量平行或直线的方向向量与平面内两相交的直线的方向向量垂直．

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 (2)用向量法判定两个平面垂直，只需求出这两个平面的法向量，再看它们的数量积是否为0.

[活学活用]

在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为BB 1，D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC . 证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，

则A (2,0,0)，C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，E (2，2,1)，F (1,1,2)．

法一：EF ＝(－1，－1,1)，AB 1 ＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，

∴EF ·AB 1 ＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，

EF ·AC ＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，

∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ，

∴EF ⊥平面B 1AC .

法二：设平面B 1AC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．

又AB 1 ＝(0,2,2)，AC ＝(－2,2,0)，

则????? n ⊥AB 1 ，n ⊥AC ??????

n ·AB 1 ＝2y ＋2z ＝0，

n ·AC ＝－2x ＋2y ＝0， 令x ＝1，可得平面B 1AC 的一个法向量为n ＝(1,1，－1)．

又EF ＝－n ，∴EF ∥n ，∴EF ⊥平面B 1AC .

层级一 学业水平达标

1．若n ＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是

( )

A ．(0，－3,1)

B ．(2,0,1)

C ．(－2，－3,1)

D ．(－2,3，－1)

解析：选D 问题即求与n 共线的一个向量．即n ＝(2，－3，1)＝－(－2,3，－1)．

2．已知直线l 与平面α垂直，直线l 的一个方向向量为u ＝(1，－3，z )，向量v ＝(3，－2,1)与平面α平行，则z 等于( )

A ．3

B ．6

C ．－9

D ．9

解析：选C ∵l ⊥α，v 与平面α平行，

∴u ⊥v ，即u ·v ＝0，

∴1×3＋3×2＋z ×1＝0，

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 ∴z ＝－9.

3．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则平面ABC 的一个法向量是( )

A ．(1,1，－1)

B ．(1，－1,1)

C ．(－1,1,1)

D ．(－1，－1，－1)

解析：选D AB ＝(－1,1,0)，AC ＝(－1,0,1)．

设平面ABC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则有?????

－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0， 取x ＝－1，则y ＝－1，z ＝－1.

故平面ABC 的一个法向量是(－1，－1，－1)．

4．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( )

A ．AC

B ．BD

C ．A 1

D D ．A 1A

解析：选B 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.

则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D (0,0,0)，A 1(1,0,1)，C 1(0,1,1)，E ????12，12，1，

∴CE ＝????12

，－12，1， AC ＝(－1,1,0)，BD ＝(－1，－1,0)，

A D 1 ＝(－1,0，－1)，A A 1 ＝(0,0，－1)．

∵CE ·BD ＝(－1)×12＋(－1)×???

?－12＋0×1＝0，∴CE ⊥BD . 5.如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：

①A 1M ∥D 1P ；

②A 1M ∥B 1Q ；

③A 1M ∥平面DCC 1D 1；

④A 1M ∥平面D 1PQB 1.

这四个结论中正确的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选C ∵A M 1 ＝A A 1 ＋AM ＝A A 1 ＋12

AB ， D P 1 ＝D D 1 ＋DP ＝A A 1 ＋12AB ，

∴A M 1 ∥D P 1 ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确．

又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 6. 已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB ＝(2，－1，－4)，AD

＝(4,2,0)，AP ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP 是平面ABCD 的法向量；④AP ∥BD .其中正确的是_______(填序号)．

解析：由于AP ·AB ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0，AP ·AD ＝4×(－1)＋

2×2＋0×(－1)＝0，

所以①②③正确．

答案：①②③

7．在直角坐标系O -xyz 中，已知点P (2cos x ＋1,2cos 2x ＋2,0)和点Q (cos x ，－1,3)，其中x ∈[0，π]，若直线OP 与直线OQ 垂直，则x 的值为________． 解析：由OP ⊥OQ ，得OP ·OQ ＝0.

即(2cos x ＋1)·cos x ＋(2cos 2x ＋2)·(－1)＝0.

∴cos x ＝0或cos x ＝12

. ∵x ∈[0，π]，∴x ＝π2或x ＝π3

. 答案：π2或π3

8.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面是以∠ABC 为直角的等

腰三角形，AC ＝2a ，BB 1＝3a ，D 是A 1C 1的中点，点E 在棱AA 1上，要使

CE ⊥面B 1DE ，则AE ＝________.

解析：建立如图所示的空间直角坐标系，

则B 1(0,0,3a )，

C (0，2a,0)，

D 2a 2，2a 2

，3a . 设E (2a,0，z )(0≤z ≤3a )，

则CE ＝()2a ，－2a ，z ，

B E 1 ＝(2a,0，z －3a )，

B D 1 ＝????2a 2，2a 2，0.

又CE ·B D 1 ＝a 2－a 2＋0＝0，

故由题意得2a 2＋z 2－3az ＝0，解得z ＝a 或2a .

故AE ＝a 或2a .

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 答案：a 或2a

9.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD ＝DC ，E 为PC 的中点，EF ⊥BP 于点F .求证：

(1)PA ∥平面EDB ；

(2)PB ⊥平面EFD .

证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系

D -xyz ，如图，设DC ＝PD ＝1，则P (0,0,1)，A (1,0,0)，D (0,0,0)，B (1,1,0)，

E ???

?0，12，12. ∴PB ＝(1,1，－1)，DE ＝????0，12，12，EB ＝????1，12，－12，设F (x ，y ，z )，则PF ＝(x ，y ，z －1)，

EF ＝?

???x ，y －12，z －12. ∵EF ⊥PB ，

∴x ＋????y －12－???

?z －12＝0，即x ＋y －z ＝0.① 又∵PF ∥PB ，可设PF ＝λPB ，

∴x ＝λ，y ＝λ，z －1＝－λ.②

由①②可知，x ＝13，y ＝13，z ＝23

， ∴EF ＝????13

，－16，16. (1)设n 1＝(x 1，y 1，z 1)为平面EDB 的一个法向量，则有

??? n 1·DE ＝0，n 1·EB ＝0，即??? 12y 1＋12z 1＝0，x 1＋12y 1－12z 1＝0，∴?????

x 1＝z 1，y 1＝－z 1. 取z 1＝－1，则n 1＝(－1,1，－1)．

∵PA ＝(1,0，－1)，∴PA ·n 1＝0.

又∵PA ?平面EDB ，∴PA ∥平面EDB .

(2)设n 2＝(x 2，y 2，z 2)为平面EFD 的一个法向量，则有

??? n 2·EF ＝0，n 2·DE ＝0，即??? 13x 2－16y 2＋16z 2＝0，12y 2＋12z 2＝0，∴?????

x 2＝－z 2，y 2＝－z 2. 取z 2＝1，则n 2＝(－1，－1,1)．

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 ∴PB ∥n 2，∴PB ⊥平面EFD . 10．已知在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，M 分别是BC ，AE 的中点，AD ＝AA 1＝a ，AB ＝2a .试问在线段CD 1上是否存在一点N 使MN ∥平面ADD 1A 1，若存在确定N 的位置，若不存在说明理由．

解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A (a ，0,0)，B (a,2a,0)，

C (0，2a,0)，

D 1(0,0，a )，

E ????12a ，2a ，0，M ???

?34a ，a ，0， DC ＝(0,2a,0)，CD 1 ＝(0，－2a ，a )，假设CD 1上存在点N 使MN ∥平面ADD 1A 1并设CN ＝λCD 1＝(0，－2aλ，aλ)(0<λ<1)．

则DN ＝DC ＋CN ＝(0,2a,0)＋(0，－2aλ，aλ) ＝(0,2a (1－λ)，aλ)，

MN ＝DN －DM ＝????－34a ，a －2aλ，aλ. 又DC 是平面ADD 1A 1的一个法向量．

∴MN ⊥DC ，则2a (a －2aλ)＝0，λ＝12

. 又MN ?平面ADD 1A 1.

故存在N 为CD 1的中点使MN ∥平面ADD 1A 1.

层级二 应试能力达标

1．已知a ＝????1，2，52，b ＝???

?32，x ，y 分别是直线l 1，l 2的一个方向向量．若l 1∥l 2，则( )

A ．x ＝3，y ＝152

B ．x ＝32，y ＝154

C ．x ＝3，y ＝15

D ．x ＝3，y ＝154 解析：选D ∵l 1∥l 2，∴321＝x 2＝y 52

，∴x ＝3，y ＝154

，故选D. 2.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为1的正方体，给出下列结论：

①平面ABB 1A 1的一个法向量为(0,1,0)；

②平面B 1CD 的一个法向量为(1,1,1)；

③平面B 1CD 1的一个法向量为(1,1,1)；

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 ④平面ABC 1D 1的一个法向量为(0,1,1)．

其中正确结论的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

解析：选B ∵AD ＝(0,1,0)，AB ⊥AD ，AA 1⊥AD ，又AB ∩AA 1＝A ，∴AD ⊥平面

ABB 1A 1，∴①正确；

∵CD ＝(－1,0,0)，而(1,1,1)·CD ＝－1≠0，∴(1,1,1)不是平面B 1CD 的法向量，∴②不正确；

∵B C 1 ＝(0,1，－1)，CD 1 ＝(－1,0,1)，(1,1,1)·B C 1 ＝0，(1,1,1)·CD 1 ＝0，B 1C ∩CD 1＝C ，∴(1,1,1)是平面B 1CD 1的一个法向量，∴③正确；

∵BC 1 ＝(0,1,1)，而BC 1 ·(0,1,1)＝2≠0，∴(0,1,1)不是平面ABC 1D 1的法向量，即④不正确．因此正确结论的个数为2，选B.

3．若平面α，β的一个法向量分别为m ＝????－16，13，－1，n ＝???

?12，－1，3，则( ) A ．α∥β

B ．α⊥β

C ．α与β相交但不垂直

D ．α∥β或α与β重合

解析：选D ∵n ＝－3m ，∴m ∥n ，∴α∥β或α与β重合．

4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M ，N 分别为A 1B ，AC

的中点，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )

A ．相交

B ．平行

C ．垂直

D ．不能确定

解析：选B 建系如图，设正方体的棱长为2，则A (2,2,2)，A 1(2,2,0)，

C (0,0,2)，B (2,0,2)，

∴M (2,1,1)，N (1,1,2)， ∴MN ＝(－1,0,1)．

又平面BB 1C 1C 的一个法向量为n ＝(0,1,0)，

∵－1×0＋0×1＋1×0＝0，

∴MN ⊥n ，

∴MN ∥平面BB 1C 1C .故选B.

5．若直线l 的一个方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的一个法向量为u ＝(－2,0，－4)，

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 则直线l 与平面α的位置关系为________．

解析：∵u ＝－2a ，∴a ∥u ，∴l ⊥α.

答案：l ⊥α

6．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且

BP ⊥平面ABC ，则BP ＝________.

解析：∵AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0，∴3＋5－2z ＝0，

∴z ＝4.

∵BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，

∴??? BP ·AB ＝0，BP ·BC ＝0，即???

?? x －1＋5y ＋6＝0，3x －3＋y －12＝0，解得??? x ＝407，

y ＝－157，

故BP ＝????337，－157，－3.

答案：????337，－157，－3

7.如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点．求证：平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.

证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图，

由题意，知D (0,0,0)，A (22，0,0)，C (0,22，0)，B 1(22，22，4)，

E (22，2，0)，

F (2，22，0)，

则B E 1

＝(0，－2，－4)，

EF ＝(－2，2，0)．

设平面B 1EF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )．

则n ·B E 1 ＝－2y －4z ＝0，n ·EF ＝－2x ＋2y ＝0，

得x ＝y ，z ＝－2

4y ，令y ＝1，得n ＝????1，1，－2

4.

又平面BDD 1B 1的一个法向量为AC ＝(－

22，22，0)，

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 而n ·AC ＝1×(－22)＋1×22＋???

?－24×0＝0， 即n ⊥AC ，∴平面B 1EF ⊥平面BDD 1B 1.

8.如图，在三棱锥P -ABC 中，三条侧棱PA ，PB ，PC 两两垂直，且

PA ＝PB ＝PC ＝3，G 是△PAB 的重心，E ，F 分别为BC ，PB 上的点，且BE ∶EC ＝PF ∶FB ＝1∶2.

(1)求证：平面GEF ⊥平面PBC ；

(2)求证：EG 与直线PG 和BC 都垂直．

证明：(1)如图，以三棱锥的顶点P 为原点，以PA ，PB ，PC 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系P -xyz .

则A (3,0,0)，B (0,3,0)，C (0,0,3)，E (0,2,1)，F (0,1,0)，G (1,1,0)，P (0，0,0)．

于是EF ＝(0，－1，－1)，EG ＝(1，－1，－1)．

设平面GEF 的法向量是n ＝(x ，y ，z )，

则??? n ⊥EF ，n ⊥EG ，即?????

y ＋z ＝0，x －y －z ＝0，可取n ＝(0,1，－1)． 显然PA ＝(3,0,0)是平面PBC 的一个法向量．

又n ·

PA ＝0， ∴n ⊥PA ，

即平面PBC 的法向量与平面GEF 的法向量垂直，

∴平面GEF ⊥平面PBC .

(2)由(1)，知EG ＝(1，－1，－1)，

PG ＝(1,1,0)，BC ＝(0，－3,3)，

∴EG ·PG ＝0，EG ·BC ＝0，

∴EG ⊥PG ，EG ⊥BC ，

∴EG 与直线PG 和BC 都垂直．

第二课时 空间向量与空间角、距离

预习课本P109～110，

思考并完成以下问题

1．如何利用空间向量求两异面直线所成的角，直线与平面所成的角及二面角？

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9

2．如何利用空间向量求点到平面的距离？

[新知初探]

1．空间角及向量求法

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等( )

(2)直线l 与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l 与平面α所成的角( )

(3)二面角α-l -β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，则θ＝ n 1，n 2 ( ) 答案：(1)× (2)× (3)×

2．已知向量m ，n 分别是直线l 和平面α的方向向量、法向量，若cos m ，n ＝－12

，则直线l 与平面α所成的角为( ) A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150° 答案：A

3．已知两平面的法向量分别为m ＝(0,1,0)，n ＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 为( )

A ．45°

B ．135°

C ．45°或135°

D ．90°

答案：C

求两异面直线所成的角

[典例] 如图，在三棱锥V -ABC 中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，

顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且AC ＝BC ＝2，∠

VDC ＝π3

，求异面直线AC 与VD 所成角的余弦值． [解] AC ＝BC ＝2，D 是AB 的中点，所以

C (0,0,0)，A (2,0,0)，B (0,2,0)，

D (1,1,0)．

在Rt △VCD 中，CD ＝2，∠VDC ＝π3，故V (0,0，6)． 所以AC ＝(－2,0,0)，VD ＝(1,1，－6)．

所以cos 〈AC ，VD 〉＝AC ·VD |AC ||VD |＝－22·

22＝－24. 所以异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为

24

.

利用空间向量求两条异面直线所成的角，可以避免复杂的几何作图和论证过程，

只需通过相应的向量运算即可，但应注意：用向量法求两条异面直线所成的角是通过两条直线的方

向向量的夹角来求解的，而两条异面直线所成角θ的取值范围是0，π2

，两向量的夹角α的取值范围是[0，π]，所以cos θ＝|cos α|.

[活学活用]

如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，面ABCD 与面D 1C 1CD

垂直，且∠D 1DC ＝π3，DC ＝DD 1＝2，DA ＝3，∠ADC ＝π2

，求异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值．

解：建立如图所示的空间直角坐标系，则A (3，0,0)，D 1(0,1，

3)，C (0,2,0)，D (0,0,0)． 由AA 1 ＝DD 1 得A 1(3，1，3)．

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 ∴A C 1 ＝(－3，1，－3)．

D A 1 ＝(3，－1，－3)．

∴cos 〈A C 1 ，D A 1 〉＝A C 1 ·D A 1 |A C 1 |·|D A 1 |

＝(－3，1，－3)·(3，－1，－3)7·7＝－1

7. ∴异面直线A 1C 与AD 1所成角的余弦值为17

.

[典例] BAD ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝AB ＝2BC ，M ，N 分别为PC ，PB 的中点．

(1)求证：PB ⊥DM ；

(2)求BD 与平面 ADMN 所成的角．

[解] 如图，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，

设BC ＝1，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (2,0,0)，D (0,2,0)，C (2,1,0)，M ???

?1，12，1. (1)证明：PB ·

DM ＝ (2,0，－2)·?

???1，－32，1＝0， ∴PB ⊥DM ，即PB ⊥DM .

(2)∵PB ·AD ＝(2,0，－2)·(0,2,0)＝0，

∴PB ⊥AD .

又∵PB ⊥DM ，∴PB ⊥平面ADMN .

即PB 为平面ADMN 的一个法向量．

因此〈PB ，DB 〉的余角即是BD 与平面ADMN 所成的角．

∵cos 〈PB ，DB 〉＝PB ·DB |PB |·|DB |＝422×22＝12

， ∴〈PB ，DB 〉＝π3，∴BD 与平面ADMN 所成的角为π6

.

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9

求直线与平面的夹角的方法与步骤 思路一：找直线在平面内的射影，充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角(或夹角的某一三角函数值)． 思路二：用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量．利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤：

(1)建立空间直角坐标系；

(2)求直线的方向向量AB ；

(3)求平面的法向量n ；

(4)计算：设线面角为θ，则sin θ＝|n ·AB ||n |·|AB |

. [活学活用]

如图所示，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1 中，E 是棱DD 1的中点．

求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值．

解：设正方体的棱长为1.如图所示，以AB ，AD ，AA 1 为单位

正交基底建立空间直角坐标系O -xyz .

依题意，得B (1,0,0)，E 0,1，12

，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE ＝????－1，1，12，AD ＝(0,1,0)．

在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD 是平面ABB 1A 1的一

个法向量．设直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角为θ，

则sin θ＝|BE ·AD ||BE |·|AD |＝132

×1＝23

. 故直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23

. 求二面角

[典例] 如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的所有棱长都相等，AC ∩BD ＝

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 O ，A 1C 1∩B 1D 1＝O 1，四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形．

(1)证明：O 1O ⊥底面ABCD .

(2)若∠CBA ＝60°，求二面角C 1-OB 1-D 的余弦值．

[解] (1)证明：因为四边形ACC 1A 1和四边形BDD 1B 1均为矩形，所以CC 1⊥AC ，DD 1⊥BD ，

又CC 1∥DD 1∥OO 1，所以OO 1⊥AC ，OO 1⊥BD ，

因为AC ∩BD ＝O ，所以O 1O ⊥底面ABCD .

(2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD 为菱形，AC ⊥BD .又O 1O ⊥底面ABCD ，所以OB ，OC ，OO 1两两垂直．如图，以O 为原点，OB ，OC ，OO 1所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系．

设棱长为2，因为∠CBA ＝60°，所以OB ＝3，OC ＝1，

所以O (0,0,0)，B 1(3，0,2)，C 1(0,1,2)，

平面BDD 1B 1的一个法向量为n ＝(0,1,0)，

设平面OC 1B 1的法向量为m ＝(x ，y ，z )，

则由m ⊥OB 1 ，m ⊥OC 1 ，所以???

3x ＋2z ＝0，y ＋2z ＝0

取z ＝－3，则x ＝2，y ＝23，

所以m ＝(2,23，－3)，

所以cos m ，n ＝m·n |m ||n |＝2319

＝25719. 由图形可知二面角C 1-OB 1-D 的大小为锐角，

所以二面角C 1-OB 1-D 的余弦值为

25719. [一题多变]

1．[变设问]本例条件不变，求二面角B -A 1C -D 的余弦值． 解：建立如图所示的空间直角坐标系．设棱长为2，则A 1(0，－1,2)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D ()－3，0，0. 所以BC ＝()－3，1，0，A C 1 ＝(0,2，

－2)，CD ＝(－3，－1,0)． 设平面A 1BC 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，

则????? n 1·A C 1 ＝0，n 1·BC ＝0，即???

2y 1－2z 1＝0，－3x 1＋y 1＝0， 取x 1＝3，则y 1＝z 1＝3，

故n 1＝(3，3,3)．

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 设平面A 1CD 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，

则????? n 2·A C 1 ＝0，n 2·A C 1 ＝0，即???

2y 2－2z 2＝0，－3x 2－y 2＝0， 取x 2＝3，则y 2＝z 2＝－3，

故n 2＝(3，－3，－3)．

所以cos n 1，n 2 ＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1521＝－57

. 由图形可知二面角B -A 1C -D 的大小为钝角，

所以二面角B -A 1C -D 的余弦值为－57

. 2．[变条件、变设问]本例四棱柱中，∠CBA ＝60°改为∠CBA ＝90°，设E ，F 分别是棱BC ，CD 的中点，求平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值．

解：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示，设此棱柱的棱

长为1，则A (0,0,0)，B 1(1,0,1)，

E ???

?1，12，0，D 1(0,1,1)， F ????12，1，0，AE ＝????1，12，0，AB 1 ＝(1,0,1)，AF ＝????12，1，0，AD 1

＝(0,1,1)．

设平面AB 1E 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，

则?????

n 1·AB 1 ＝0，

n 1·AE

＝0，即????? x 1＋z 1＝0，x 1＋12y 1＝0， 令y 1＝2，则x 1＝－1，z 1＝1， 所以n 1＝(－1,2,1)．

设平面AD 1F 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)．

则????? n 2·AD 1 ＝0，

n 2·AF ＝0，即?????

y 2＋z 2＝0，12x 2＋y 2＝0. 令x 2＝2，则y 2＝－1，z 2＝1.

所以n 2＝(2，－1,1)．

所以平面AB 1E 与平面AD 1F 所成锐二面角的余弦值为|n 1·n 2||n 1||n 2|＝36×6＝12

.

向量法求二面角(或其某个三角函数值)的四个步骤

(1)建立适当的坐标系，写出相应点的坐标；

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9 (2)求出两个半平面的法向量n 1，n 2；

(3)设二面角的平面角为θ，则|cos θ|＝|cos n 1，n 2 |；

(4)根据图形判断θ为钝角还是锐角，从而求出θ(或其三角函数值)． 用空间向量求距离

[典例] 四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DA ＝2，F ，E 分别为AD ，PC 的中点．

(1)求证：DE ∥平面PFB ；

(2)求点E 到平面PFB 的距离．

[解] (1)证明：以D 为原点， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则P (0,0,2)，F (1,0,0)，B (2,2,0)，E (0,1,1)．

FP ＝(－1,0,2)，FB ＝(1,2,0)，DE ＝(0,1,1)，

∴DE ＝12FP ＋12

FB ， ∴DE ∥平面PFB .

又∵DE ?平面PFB ，

∴DE ∥平面PFB .

(2)∵DE ∥平面PFB ，

∴点E 到平面PFB 的距离等于点D 到平面PFB 的距离． 设平面PFB 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，

则??? n ·FB ＝0，n ·FP ＝0??????

x ＋2y ＝0，－x ＋2z ＝0， 令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1.

∴n ＝(2，－1,1)，又∵FD ＝(－1,0,0)，

∴点D 到平面PFB 的距离

d ＝|FD ·n |

|n |＝26＝63

. ∴点E 到平面PFB 的距离为

63

.

求点到平面的距离的四步骤

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dd9b939768dc5022aaea998fcc22bcd126ff42d9

[活学活用]

在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1B 1，CD 的中点，求点B 到平面AEC 1F 的距离．

解：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (1,0,0)，

F ????0，12，0，E ????1，12，1，B (1,1,0)．∴AE ＝????0，12，1，AF ＝－

1，12

，0. 设平面AEC 1F 的法向量为n ＝(1，λ，μ)，

则n ·AE ＝0，n ·AF ＝0.

∴???

12λ＋μ＝0，－1＋12λ＝0，∴?????

λ＝2，μ＝－1， ∴n ＝(1,2，－1)．

又∵AB ＝(0,1,0)，

∴点B 到平面AEC 1F 的距离d ＝|AB ·n |

|n |＝26＝63

. 层级一 学业水平达标

1．已知平面α的一个法向量为n ＝(－2，－2,1)，点A (－1,3,0)在平面α内，则点P (－2,1,4)到平面α的距离为( )

A ．10

B ．3 C.83 D.103

解析：选D 点P 到平面α的距离d ＝|PA ·n ||n |＝|－2－4－4|4＋4＋1＝10

3

. 2．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA

1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cv0e.html