线性代数1-5章习题

线 性 代 数 习 题 集

皖西学院金数学院编制

第一章 行 列 式

一、判断题

1．行列式如果有两列元素对应成比例，则行列式等于零. ( 1 )

2132102. 124??121.( 2 )

0123421343. 121??34.( 1) 04242a1a2a3b2b1b34. b1b2b3?a2a1a3.( 1 ) c1c2c3c2c1c3?a1?a2?a3?a1?a2?a35. ?b1?b2?b3?b1b2b3.( 1 ) ?c1?c2?c3c1c2c36. n阶行列式Dn中元素aij的代数余子式Aij为n?1阶行列式. ( 1 )

3121437. 245?328.( 2 )

836256a11a12a13a11a12a138. a21a22a23 r1?2r2 2a21?a112a22?a122a23?a13 ( 2 ) a31a32a33a31a32a339．如果齐次线性方程组有非零解，则它的系数行列式必等于零. ( 1 )

10. 如果方程个数与未知数个数相等，且系数行列式不为零，则方程组一定有解. (1 ) 二、选择题

1．若a1ra25a32a4sa53是5阶行列式中带正号的一项，则r,s的值为（ B ）． A.r?1,s?1 B.r?1,s?4

C.r?4,s?1 D.r?4,s?4

2.下列排列是偶排列的是（ C）

A. 4312 B. 51432 C. 45312 D. 654321

2?103.若行列式1x?2?0， 则x=( C ).

3?12A.–2 B. 2 C. -1 D. 1

0a004.行列式

bc0000de的值等于（B ）. 000fA. abcdef B. ?abdf C. abdf D. cdf

0a05.设abc≠0，则三阶行列式b0c的值是（ C ）.

0d0A．a B．-b C．0 D．abc 6.设行列式

a1b1c11?c1a2b=1，

a12a=2，则

a1bD ）.

2c2a2b2?c=（ 2A．-3 B．-1 C．1 D．3

?7.设非齐次线性方程组?ax1?2x2?3x3?8?2ax1?2x2?3x3?10有唯一解，则a,b必须满足（ ??x1?x2?bx3?5A.a?0,b?0 B.a?23,b?0 C.a?2333,b?2 D.a?0,b?22158. 1?12??152521.

02323?03?202是按（ B ）展开的A．第2列 B．第2行 C．第1列 D．第1行

a11a12?a1n???????9.设D?ai1ai2?ain则下式中（ B ）是正确的.

???????an1an2?annA.ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin?0 B.a1iA1j?a2iA2j???aniAnj?0 C.ai1A1i?ai2A2i???ainAni?D D.D?a1iA1j?a2iA2j???aniAnj

D ）.

34910. 571的a23的代数余子式A23的值为（ C ）.

214A. 3 B. -3 C. 5 D. -5 三、填空题

1． 排列36715284的逆序数是____13____.

2． 四阶行列式中的一项a14a32a23a41应取的符号是____正___. 3.若

k112?0, 则k=_1/2__________. 1114.行列式234中a32元素的代数余子式A32=____-2________.

49161115.314=_____5_____. 89500100001010010006.行列式=__-1____.

07.行列式0040030020010=______24____. 008.非零元素只有n?1行的n阶行列式的值等于_____0_____.

a19. b1c1a2b2c2a3c1b3?8,则?2b1c3a1c2?2b2a2c3?2b3?____16______. a310. n阶行列式Dn中元素aij的代数余子式Aij与余子式Mij之间的关系是Aij?____

(?1)i?jMij______，

Dn按第

j列展开的公式是

Dn?____a1jA1j?a2jA2j???anjAnj______.

第二章 矩 阵

一、判断题

1.若A是2?3矩阵，B是3?2矩阵，则AB是2?2矩阵. ( 1 ) 2.若AB?O,且A?O,则B?O.( 2 )

?10??12??12??10?3. ??X???的解X??25??34?. ( 2 )

3425????????4.若A是n阶对称矩阵，则A也是n阶对称矩阵. ( 1 ) 5. n阶矩阵A为零矩阵的充分必要条件是

2?1A?0. ( 2 )

6. 若A,B为同阶可逆矩阵，则(kA)?1?kA?1. ( 2 )

?420??420?????7. ?6912??6?232?. ( 2 )

?1?10??1?10?????8. n阶矩阵A为逆矩阵的充分必要条件是

A?0. ( 1 )

9.设A,B为同阶方阵，则 A?B?A?B. ( 2 )

?A?1?AO?10.设 A,B为n阶可逆矩阵，则 ????OB???O二、选择题

?1O? .( 1 ) ?1?B?1. 若A,B为n阶矩阵，则下式中（ D ）是正确的.

A.(A?B)(A?B)?A2?B2 B.A(B?C)?O,且A?O，必有B=C. B.(A+B)2?A2+2AB+B2 D.AB?AB

2.若As?n,Bn?l，则下列运算有意义的是（ A ）.

A.BTAT B.BA C.A+B D.A+BT

3.若Am?n,Bs?t，做乘积AB则必须满足（ C ）.

A.m=t B.m=s C.n=s D.n=t

4.矩阵A????1?1?*?的伴随矩阵A?（ D ）

?11?1??1?1???11???1?1??1???????A．?B． C．D．?1?1????1??? ?111?1?1?? ?? ????5.设2阶矩阵A???ab?*?，则A?（ A ）

?cd?b??d?c??? D．??ba?? ?a?????d?b???dc???d????A．? B． C．??ca??b?a??c??????33?6. 矩阵???10??的逆矩阵是（ C ）

???0?0?1??0?3??1A．??33?? B．??13?? C．??????31???1??? D．?1

3? ?1???10?

???

-1?37?7. 设2阶方阵A可逆，且A=??1?2?，则A=（ B ）.

???27??27??2?7??37?A．??1?3? B．?13? C．??13? D．?12?

????????8. n阶矩阵A行列式为A. kA,则kA的行列式为（ B）.

A B. knA C. kA D. -kA

9. 设A,B为n阶矩阵满足AB=A,且A可逆，则有（C ）.

A.A=B=E B.A=E B.B=E D.A,B互为逆矩阵

10.设A是任意阶矩阵，则（ C ）是对称阵.

A.(A+AT)T B.A+AT C.AAT D.ATAAT

三、填空题

?320??120??100???????1.设矩阵A?210，B?021，则A?2B? _____252________ ???????001??013??027????????3?32??102???2.设A=?01?，B=则AB =___,0????010???14??1???26??10?________. 42???1??1?T

??3.设矩阵A=?，B=?2??3??，则AB=______7______. ?????1?1????4.?2?(1，2，3)=______ 2??3??3???

23??46?____. 69???2?11??5.?=___?n?1?11????2nn?12n?1?_______. n?1?2??25???______________. ?13???210???　　0?16.??＝________ ????1?14???40???54?7.设2阶矩阵A=??20???23??，则A*A=_____

???66??66?________. ?8.设矩阵A=??12??34??，则行列式|A2|=_____4_____. 9.设A=??ab?1?d??cd??，且det(A)=ad-bc≠0，则A-1

?=____ ad?bc???c?110. 设 A,B为n阶可逆矩阵，则 ??OA?? _____ ?O?BO????A?1

?b?a??______ . B?1?O?.__________. ?

第三章 矩阵的初等变换与线性方程组

一、选择题

1．设n元齐次线性方程组AX?0的系数矩阵的秩为r，则AX?0有非零解的充分必要条

件是（ B ）

(A) r?n (B) r?n

(C) r?n (D) r?n

2．设A是m?n矩阵，则线性方程组AX?b有无穷解的充要条件是（ D ）

(A) r(A)?m (B) r(A)?n (C) r(Ab)?r(A)?m (D) r(Ab)?r(A)?n

3．设A是m?n矩阵，非齐次线性方程组AX?b的导出组为AX?0，若m?n，则（ C ）

(A) AX?b必有无穷多解 (B) AX?b必有唯一解 (C) AX?0必有非零解 (D) AX?0必有唯一解

4．已知?1,?2是非齐次线性方程组AX?b的两个不同的解，?1,?2是导出组AX?0的基

础解系，k1,k2为任意常数，则AX?b的通解是（ B） (A) k1?1?k2(?1??2)??1??222???2???2 (C) k1?1?k2(?1??2)?1 (D) k1?1?k2(?1??2)?1

225．设A为m?n矩阵，则下列结论正确的是（D ）

(A) 若AX?0仅有零解 ，则AX?b有唯一解 (B) 若AX?0有非零解 ，则AX?b有无穷多解 (C) 若AX?b有无穷多解 ，则AX?0仅有零解 (D) 若AX?b有无穷多解 ，则AX?0有非零解

(B) k1?1?k2(?1??2)??1??2

?x1?x2?x3?1?6．线性方程组?x1?2x2?3x3?0 （ C ）

?4x?7x?10x?123?1(A) 无解 (B) 有唯一解 (C) 有无穷多解 (D) 其导出组只有零解 二、判断题

1．若?,?是线性方程组Ax?b的两个解向量， 则???是方程组Ax?0的解。 1 2．设向量?1,?2是n元线性方程组Ax?b的解向量，那么?1??2也是这个方程组的一个解向量。 1

3．若?是AX?0的解,若?是AX?b(b?0)的解，则???是AX?b的解。 1

1323

4．n元线性方程组Ax?b(b?0)当R(A)?n时有无穷多解。 2

5．设A是n阶方阵,若方程组AX?b满足R(A)?R(A,b),则AX?b有唯一解。 2 6．对于线性方程组Ax?b (这里A为n阶方阵), 如果该方程组有解，则必有

R(A)?n2

7．设A,B都是n阶方阵,若R(A)?k,(1?k?n),R(B)?n?k,则必有R(A?B)?n 8．若线性方程组AX?b有解,则A的秩一定为零。2 9．设A是n阶方阵,则R(A?E)?R(A?E)?n。1

10．设矩阵A的秩为r(r?1)，则A中必有一个r?1级子式不为零。1 11．设A为n元线性方程组AX?b，则秩(A)?n时有无穷组解。2 12．若AX?AY，且A?O，则X?Y。2

13．对于具相同系数矩阵的非齐次方程组(I)：Ax?b 及 (II)：Ax?d, 成立以下结论： 若方程组(I)有解，则方程组(II)必然也有解。2

?x1?2x2?3x3?x4?1?14．方程组 ?3x1?x2?5x3?3x4?2 中，方程个数少于未知量个数，因而方程组有无限

?2x?x?2x?2x?334?12多解。2

15．若?1,?2是AX?b(b?0)的解，则?1??2也是AX?b的解。2

三、填空题

?123???1．矩阵A??23?5?的秩为_____2_____。

?471????22．??1?5??4X??=?23????2?6?X?, 则 =____?1???0?23??______。 8?3．设A是n阶方阵，且秩(A)?r?n，则齐次线性方程组Ax?0的基础解系中含 .n?r 个解向量。

?10?1???4．矩阵A???112?的秩为 2 。

?110???

5．方程组??2x1?3x2?3x3?2x4?0 的解空间的维数为 2 。

?7x1?2x2?x3?3x4?06．设?1,?2是n(n?3)元齐次线性方程组Ax?0的基础解系，则秩(A)= n?2 。 7．矩阵Am?n的秩为r，则AX?0的基础解系一定由___n?r_____个线性无关的解向量构成。

???10??x1??0???????8．若方程组?11?1x2?0有非零解，则 ??0 或 ?? 。 3 ????????0?2?????x3????0???x1?2x2?6x3?0?9．已知方程组 ?x1??x2?3x3?0 有无穷多解，则必有?? -1 。

?2x?x?3x?03?1210．设A是n阶方阵,若线性方程组AX?0有非零解,则必有A? 0 。

?102???11．设A是4?3矩阵,R(A)?2,又B??020?,则R(AB)? 2 。

?103???12．齐次线性方程x1?x2???xn?0的解空间为___n-1______维线性空间。

13．设A是n阶方阵,R?A??n?2,则线性方程组AX?0的基础解系所含向量的个数是

2 。

214．设n阶方阵A满足A?A,E为n阶单位阵,则R(A)?R(A?E)?

n 。

15．非齐次线性方程组

AX?b有解的充分必要条件是

R(A)?R(A,b) 。

第四章 向量组的线性相关性

一、选择题

1．下列说法正确的是（ D ）

（A）若有不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s 线性无关

（B）若有不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性无关

（C）若?1,?2,?,?s线性相关，则其中每个向量均可由其余向量线性表示 （D）任何n?1个n维向量必线性相关 2．设A为n阶方阵，且A?0，则（ D）。

（A）A中两行（列）对应元素成比例 （B）A中任意一行为其他行的线性组合 （C）A中至少有一行元素全为零

（D）A中必有一行为其他行的线性组合

3．设A为n阶方阵，r(A)?r?n，则在A的n个行向量中（ A ）。 （A）必有r个行向量线性无关

（B）任意r个行向量线性无关

（C）任意r个行向量都构成极大线性无关组

（D）任意一个行向量都能被其他r个行向量线性表示 4．n阶方阵A可逆的充分必要条件是（ B ）

（A）r(A)?r?n （B）A的列秩为n （C）A的每一个行向量都是非零向量 （D）A的伴随矩阵存在 5．n维向量组?1,?2,??,?s线性无关的充分条件是( B )

（A）?1,?2,?,?s都不是零向量

（B）?1,?2,?,?s中任一向量均不能由其它向量线性表示 （C）?1,?2,?,?s中任意两个向量都不成比例

（D）?1,?2,?,?s中有一个部分组线性无关

6．n维向量组?1,?2,??,?s(s?2)线性相关的充要条件是( D )

（A）?1,?2,?,?s中至少有一个零向量 （B）?1,?2,?,?s中至少有两个向量成比例 （C）?1,?2,?,?s中任意两个向量不成比例

（D）?1,?2,?,?s中至少有一向量可由其它向量线性表示

7．n维向量组?1,?2,??,?s(3?s?n)线性无关的充要条件是( C )

（A）存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0 （B）?1,?2,?,?s中任意两个向量都线性无关

（C）?1,?2,?,?s中任意一个向量,都不能被其余向量线性表示 （D）?1,?2,?,?s中任一部分组线性无关

8．设?1,?2,??,?s均为n维向量,那么下列结论正确的是( B )

（A）若k1?1?k2?2???ks?s?0，则?1,?2,?,?s线性相关

（B）若对于任意一组不全为零的数k1,k2,?,ks,都有k1?1?k2?2???ks?s?0,则

?1,?2,?,?s线性无关

（C）若?1,?2,?,?s线性相关,则对任意不全为零的数k1,k2,?,ks,都

k1?1?k2?2???ks?s?0

（D）若0?1?0?2???0?s?0,则?1,?2,?,?s线性无关 9． 已知向量组?1,?2,?3,?4线性无关，则向量组（ C ）

（A）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 （B）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关 （C）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关

（D）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1线性无关

10．若向量?可被向量组?1,?2,?,?s线性表示，则（ C ）

（A）存在一组不全为零的数k1,k2,?,ks，使得??k1?1?k2?2???ks?s （B）存在一组全为零的数k1,k2,?,ks，使得??k1?1?k2?2???ks?s （C）存在一组数k1,k2,?,ks，使得??k1?1?k2?2???ks?s （D）对?的表达式唯一 二、填空题

1．?1?(1,3,5)T, ?2?(1,1,3)T, ?3?(1,a,6)T线性相关 ,则a的值为____4______。

2．若向量 (2,3,?1,0,1)T与 (?4,?6,2,a,?2)T线性相关，则a的取值为 0 。

3．设向量组?1?(1,2,3)T，?2?(2,1,3)T，?3?(?1,1,0)T,则向量组?1,?2,?3的秩是 2 。

4．已知向量组??(1,aa,2T)?,?2T(b1,b,?)?,2T，,则当c(c1,)常数a,b,c满足

___?b?a??c?a??c?b??0或者a,b,c互不相等_____时该向量组线性无关。 5．设向量组I：?1,?,?r 的秩为p， 向量组II：?1,?,?s 秩为q， 且向量组I 能由向量组II线性表出，则p与q的大小关系是___p?q ______________。

6．设?1,?2,?3,?4线性无关，且?1??1??2,?2??2??3,?3??3??4,?4??4??1， 则向量组?1,?2,?3,?4的秩为______3 。

?1?120???7．A??2?35?1?，则齐次线性方程组Ax?0的任一基础解系所含向量个数为

?01?11??? 2 。

8．设向量组 I:?1,?,?s线性无关，而?1,?2 都能由I 线性表出，则秩(?1,?,?s,?1,?2 ) = S 。 9．当a? 0,?111T11T11T 时,向量组?1?(a,?,),?2?(?,a,?),?3?(?,?,a)线2222222性相关。

10．已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组,则各个最大线性无关组所含向量的个数必定 相等 。

11．设向量组?1,?2,?3线性相关,则向量组?1??2,?2??3,?3??1线性 相关 。

12．设A是n阶方阵,R?A??n?2,则线性方程组AX?0的基础解系所含向量的个数是

2 。

313．向量???1,1,0?,???0,1,1?,???1,1,1?是R的一组基，则向量???3,4,3?在该

TTTT基下的坐标为 ?1,1,2? 。

14．设向量 (1,5,?1)T与向量(?2,m,2)T线性相关, 则m?______-10 。

15．设?1?(1,1,0)T，?2?(0,1,1)T，?3?(1,1,1)T 是R的一组基，则??(3,1,?1)在该基下的坐标为 ?2,?2,1?。 三、判断题

1．3维向量组?1,?2,?3,?4必线性相关。1

2．如果向量组?1,?2,?,?s线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。2 3．若向量组a1,a2,?,ar线性相关，则组中任一向量都可由其余向量线性表示。2 4．向量组?1,?2,?,?m中任意两个向量都线性无关，则向量组线性无关。2 5．若?,?是线性方程组Ax?b的两个解向量， 则???是方程组Ax?0的解。1 6．向 量 组( I ):?1?(1,2)T,?2?(2,?3)T 与向量组( II ):?1?(1,?1)T,?2?(2,1)T等价。1

7．设向量组I：?k1,?k2,?,?ks 是向量组II：?1,?2,?,?p的部分组，如果向量组I线性相关，则向量组II也线性相关。1

8．设向量组I：?k1,?k2,?,?ks是向量组II：?1,?2,?,?p的部分组，如果向量组I线性无关，则向量组II也线性无关。2

9．如果向量组?1,?,?s,?1,?2 线性无关，则向量组 ?1,?,?s 也线性无关。1 10．如果向量组?1,?2,?,?m 线性无关，则该向量组的任何部分组必线性无关。1 11．设向量组?1,?2,?3线性无关,于是向量组?1??2,?2??3,?3??1也线性无关。1 12．设n维向量组?1,?2,?,?s线性相关,于是?,?1,?2,?,?s也线性相关,其中?为一n维

3

T

向量。1

13．若向量组?1,?2,?,?n线性相关,则?1一定可由?2,?,?n线性表示。2 14．设向量组(Ⅰ)与向量组(Ⅱ)可互相线性表示,则秩(Ⅰ)= 秩(Ⅱ)。1 15．设向量组?1,?2,?,?s线性相关,则该向量组中一定含有零向量。2

16．若?是AX?0的解,若?是AX?b(b?0)的解，则???是AX?b的解。1 17．包含零向量的向量组是线性相关的。1

18．若?1,?2是AX?b(b?0)的解，则?1??2也是AX?b的解。2

第五章 相似矩阵及二次型

一、判断题

1.线性无关的向量组必是正交向量组.( 2 )

2.正交矩阵的列向量组和行向量组都是单位正交向量组.( 1 ) 3.正交矩阵一定是可逆矩阵.( 1 )

4.若n阶矩阵A与B相似,则A与B不一定等价.( 2)

5.若n阶矩阵A有n不同的特征值，则A相似于对角矩阵.( 1 ) 6.实对称矩阵一定可以相似对角化.( 1 ) 7. 相似矩阵的行列式必相同.( 1 )

8.若n阶矩阵A和B相似，则它们一定有相同的特征值.(1 )

9．n阶实对称矩阵A的属于两个不同特征值的两个特征向量一定正交.( 1 ) 10. 若A是正定矩阵，则A的特征值全为正.( 1 ) 二、单项选择题

?001???1. 设A??010?,则A的特征值是( A ).

?100???(A) -1,1,1 (B) 0,1,1 (C) -1,1,2 (D) 1,1,2

2. 若x1,x2分别是方阵A的两个不同的特征值对应的特征向量,则k1x1?k2x2也是A的特征向量的充分条件是( D ).

(A) k1?0且k2?0 (B) k1?0且k2?0 (C) k1k2?0 (D) k1?0且k2?0 3. 若n阶方阵A,B的特征值相同,则( B ).

(A) A?B (B) |A|?|B| (C) A与B相似 (D) A与B合同 4. 设A为n阶可逆矩阵, ?是A的特征值,则A的特征根之一是(B ). (A) ??1|A|n (B) ??1|A| (C) ?|A| (D) ?|A|n 5. 矩阵A的属于不同特征值的特征向量（ B）.

(A)线性相关 (B)线性无关 (C)两两相交 (D)其和仍是特征向量 6. |A|?|B|是n阶矩阵A与B相似的( C ).

(A)充要条件 (B)充分而非必要条件 (C)必要而非充分条件 (D)既不充分也不必要条件 7. 若n阶方阵A与某对角阵相似,则( C).

(A) r(A)?n (B) A有n个不同的特征值 (C) A有n个线性无关的特征向量 (D) A必为对称阵 8.n阶对称矩阵A正定的充分必要条件是（ D ）.

(A) A?0 (B)存在阶阵C，使A?CTC (C)负惯性指数为零 (D)各阶顺序主子式为正 9．设A为n阶方阵，则下列结论正确的是（C ）. (A)A必与一对角阵合同

(B)若A的所有顺序主子式为正，则A正定 (C)若A与正定阵B合同，则A正定

(D) 若A与一对角阵相似，则A必与一对角阵合同 10．设A为正定矩阵，则下列结论不正确的是（ C ）. (A)A可逆 (B)A正定

(C)A的所有元素为正 (D)任给X?(x1,x2,?,xn)T?0,均有XTAX?0 二、填空题

1. n阶零矩阵的全部特征值为___0____.

2. 若A?A，则A的全部特征值为_ O或-1______.

23. 设三阶矩阵A的特征值分别为-1,0,2,则行列式A?A?E? 7 . *

?124. 特征值全为1的正交阵必是 单位阵 阵. 5. 若A???2231??12?,B????，A与B相似，则x? -17 ，y= -12 .

yx34????26.二次型f(x1,x2,x3,)?x1x2?2x2x3?x3的秩为 3 .

2227.若f(x1,x2,x3)?2x1?x2?x3?2x1x2?tx2x3正定，则

t的取值范围是

?2?t?2 .

?110???8.设A??1a0?是正定矩阵，则a满足条件 a?1 .

?00a2???9．二次型f(x1,x2)?x1x2的负惯性指数是___1_______. 10．二次型(x11,x2)???1

3??x1?2?的矩阵为 ?1???x??2??22?2? . ?

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