高中数学教案《由递推公式求通项公式》

课题：由递推公式求通项公式

教材分析：由课本的等差、等比通项公式的推导过程，总结出其他递推公式如何求通项公式。 教学目的：

思想教育：培养学生在求解通项问题上掌握在社会上为人处事，解决问题的能力；

知识传授：数列的递推公式向通项公式转化的基本方法； 能力培养：培养学生的逻辑推理能力，分析问题、解决问题的能力，利用课本所学知识举一反三；

情感培养：促进师生间的交流与合作，培养学生与他人的交往能力及团结协作能力。

教学重点：数列的递推公式，通项公式及求通项公式； 教学难点：如何分析递推公式，进而求出通项公式； 教学方法：启发式教学 课 型：拓展延伸课 课 时：1节课 教学步骤：

一、 复习回顾：

师：回忆什么是递推公式？什么是通项公式？ （学生讨论、交流，总结回忆课本上的定义） 师：见教材P113面，看到递推公式定义

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递推公式：如果已知数列｛an｝的第1项（或前几项）且任一项

an与它的前一项an?1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，

那么这个公式叫做数列的递推公式。

师：见教材P110面，看到通项公式的定义

通项公式：数学｛an｝的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式。

师：数列的递推公式与通项公式之间各有什么行特点？ 递推公式反应的是数列项与项之间的函数关系。

通项公式反应的是数列项与项数之间的函数关系。它更能直观地反映数列的特征，帮我们一般多用通项公式表示数列，也经常把递推公式转化为通项公式来研究数列，所以由递推公式求数列的通项公式就尤为显得重要。

师：现在回忆等差数列及等比数列的通项公式的求法？

求等差数列通项公式，我们可以这样来求：由等差数列定义可知

an?an?1?d

an?1?an?2?d ……… a2?a1?d 累加起

来

即得：an?a1?(n?1)d 即：an?a1?(n?1)d 从而求出通项公式。

求等比数列通项公式，我们也可以采用类似的方法，由等比数列定义可知

anaa?q n?1?q ……… 2?q 累乘起来 an?1an?2a1

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即得 通项公式。

an?qn?1 即：an?a1qn?1 从而求出a1本节课我们以等差、等比数列的通项公式的求法作为基础来解决已知相邻两项的递推公式，如何来求这个数列的通项公式。

二、 示例解惑

师：等差、等比数列的定义实质上给出的就是一个已知相邻两项的递推公式，那么由求它们的通项公式的方法可知，解决这类问题有两种方法：一是累加，二是累乘。那么由递推公式求通项公式中很多问题都是采用累加或累乘的方法来解决。

我们不妨可以将常见的递推公式分为差型递推公式，商型递推公式及差商可变型递推公式。

差型递推公式形如：an?an?1?f(n)； 商型递推公式形如：

an?g(n) an?1显然以上两类递推公式求通项公式应分别使用累加或累乘的方法来求通项公式。

例1：（1）已知数列a1＝1，an?an?1?n求它的通项公式； （2）已知数列a1＝1，an?n?1an?1求它的通项公式； n（学生观察思考，对比差、商型递推公式，由学生自己总结出解决问题的办法，提问学生回答，教师代为书写，来规范解题格式）

解：（1） 由题意可得：an?an?1?n

an?1?an?2?n?1

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an?2?an?3?n?2 ……

a2?a1?2

?n 由a1?1

n(n?1) 2累加起来得：an?a1?2?3? an?1?2?3?（2） 由题意可得：

?n?ann?1 ?an?1nan?1n?2 ?an?2n?1 ……

累乘起来得：

a21? a12an1? 又因为 a1?1 a1n1n即 an?

小结：在由递推公式下求通项公式，若出现形如：an?an?1?f(n)的形式用累加，若出现形如

an?g(n)的形式用累乘。 an?1an?1，求通项公式。 n?12an?1?111??2n?1 anan?1变式训练：已知a1?1，an?解析：由题意可知 两边取倒数

11??2n?2 an?1an?2 ……

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11??2 a2a1累加起来得 即

11??2?22?ana1?2n?1?2n?2

11 ?2n?1 即 an?n2?1an师：在实际解题中，我们会碰到不是单纯的差、商型递推公式，形如：an?can?1?d（c、d为非零常数，c?1）的差商可变型递推公式，那我们该怎样解决呢？

例2、已知a1?3，an?2nan?1?2n?1，求通项公式。

（学生思考，积极回答的同时，教师注意引导，不断的提醒学生采用累加或累乘的思想，对递推公式进行变形，可以多提问几个学生，只要求把自己想到的讲出来，最后教师作总结，再要求一个学生讲，教师书写。）

解：由题意可得：an?1?2nan?1?2n?2n(an?1?1)

即：

an?1?1?2n?1 an?2?1……

a2?1?22 累乘起来即得： a1?1an?1?(a1?1)22nn?1n(n?1)22?2?1

21?2????????n?2n(n?1)2

即： an?2小结：如果碰到的是差商可变型递推公式，我们应把握这一原则，就是把递推关系想办法转化为可以累加或累乘的形式，再来求通项公式。

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变式训练：已知数列an?3an?1?3n?1 其中a1?5，求通项公式。

n解法一：因为 an?3an?1?3 ?1 所以 3an?1?32an?2?3(3n?1?1) 32an?2?33an?3?32(3n?2?1) 33an?3?34an?4?33(3n?3?1) …… 累加起来得：

nn1an?3n?1a1?(?3?1)??3?(32?2?1n)?3?(3?3n?31?)?3(?n3 21)3(3an?3n?1a1?(3n?1)?3(3n?1?1)?32(3n?2?1)?33(3n?3?1)?11?(n?)?3n?

22?3n?2(32?1)

解法二：因为 an?3an?1?3n?1

112211an?an?1?2?2?1 所以 nn?1331an? 令 bn?n2 即： bn?bn?1?1

3 an??3(an?1?)?3n

则可以累加得：bn?b1?n?1 而 b1?故bn?n? 即： an?(n?)?3n? 三、课堂练习

1、已知 a1?2，an?an?1?2n，求其通项公式。

121212a1?12?3 32解析： an?an?1?2n an?1?an?2?2(n?1) ……

a2?a1?2?2 累加起来得： an?a1?2[n?(n?1)?

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2]? 即： an?n(n?1)

2、已知 a1?1，an?nan?1?n?1，求通项公式。 解：由题意可得： an?1?n(an?1?1 ) 即：

an?1?n an?1?1an?1?1?n?1 an?2?1 ……

a2?1?2 累乘起来得： a1?1?2

an?1?n?(n?1)?a1?1 即 an?2?n!?1

nan?1 求an。 n?1aa解析：由题意可得 n?n?n?1

nn?1aa 即 n?1?n?n?1

n?1naa n?2?n?1?n?2

n?2n?13、已知 a1?1，an?n2? …… a1?an?1?2?3?na1a2??1 累加起来 12n(n?1)?n(??1)

2ann(n?1)2?n?n22n?n2?n3?a1?? 即 an? n222四、 课堂总结：通过以上的例子，我们可以清醒的认识到，对于已知相邻两项的递推公式求通项公式，我们可以用累加、累乘的方法或者可变为累加、累乘的方法来进行解决，从而求出

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