概率论与数理统计讲义第四章几类重要的分布

第四章 几类重要的分布

【授课对象】理工类本科二年级 【授课时数】8学时

【授课方法】课堂讲授与提问相结合

【基本要求】1、了解Bernoulli概型，熟练掌握二项分布、Poisson分布；

2、熟练掌握均匀分布、正态分布和指数分布及其性质； 3、熟记二项分布、泊松分布、均匀分布的数学期望和方差； 4、知道二维正态分布与均匀分布。

【本章重点】熟练掌握Bernoulli概型、二项分布、Poisson分布、均匀分布、正态分布和

指数分布及其性质

【本章难点】对离散型与连续型随机变量的分布的理解 【授课内容及学时分配】

§4.0 前 言

在第二章中我们曾经研究了随机变量的分布，具体的研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、

Poisson分布、正态分布是概率论中三大重要的分布，因此，在本章中，我们重点研究二项分布、Poisson分布和正态分布，并在此基础上研究其它一些连续型分布。

§4.1 二项分布

二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。

一、泊努利分布[Bernoulli distribution] (两点分布、0-1分布)

1．泊努利试验

在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A是否发生。例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。在这一类随机试验中，只有两个基本事件A与A，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。

为方便起见，在一次试验中，把出现A称为“成功”，出现A称为“失败” 通常记P?A??p, PA?1?p?q。 2．泊努利分布

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??定义：在一次试验中，设P(A)?p，P(A)?q?1?p，若以?记事件A发生的次数，则?0?~??q?1??，称?服从参数为p(0?p?1)的Bernoulli分布或两点分布，记为：?~B(1,p)。 ?p?二、二项分布[Binomial distribution]

把一重Bernoulli试验?独立地重复地进行n次得到n重Bernoulli试验。 【注】：重复是指每次试验中成功的概率不变；独立是指n次试验独立进行。

定义：在n重Bernoulli试验中，设P(A)?p,P(A)?q?1?p若以?记事件A发生的次数，则?为一随机变量，且其可能取值为0,1,2,?,n，其对应的概率由二项分布给出：

kkP???k??Cnp(1?p)n?k，k?0,1,2,3,?,n，则称?服从参数为n,p(0?p?1)的二项分

布，记为?~B(n,p)。

若记b(k,n,p)?P{??k}，显然满足：

(1) 非负性: b(k,n,p)?0

kk(2) 规范性:?b(k,n,p)??Cnp(1?p)n?k?[p?(1?p)]n?1

k?0k?0nn二项分布描绘的是n重Bernoulli试验中成功出现的次数。若记?为成功出现的次数，则?的可能取值为k?0,1,2,3,?,n，其相应的概率为：

kkP???k?=Cnp(1?p)n?k?b?k,n,p?

事实上：若记

\Bk?\n重B试验中成功恰好出现k次\，Ai?\第i次试验出现成功Ai?\第i次试验出现失败\ i?1,2,3,?,n，则：

kBk?A1A2...AkAk?1?An?...?A1A2?An?k?1An?k?1?An，其共有Cn个项，且两两互不相容。

由试验的独立性可知：

P{A1A2...AkAk?1...An}?P(A1)P(A2)?P(Ak)P(Ak?1)?P(An)?pk(1?p)n?k

k.pk(1?p)n?k ?P?Bk??Cn例1：若在M件产品中有N件废品，现进行有放回的n次抽样检查，问共取得k件废品的概率有多少？

解：由于是有放回的抽样，因此，这是n重的Bernoulli试验。记A为“各次试验中出现

2

NM，设?为n次抽样检查中所抽到的废品数，则?~B(n,)，因MNNkNk()(1?)n?k。 此，所求概率为：P???k??CnMM废品”这一事件，则P?A??三、二项分布的数学期望与方差

kk设?~B?n,p?，P???k??Cnp(1?p)n?k ，k?0,1,2?n

由数学期望的定义：

n?n?1?!pk?1?(1?p)n?k n!kn?kE???kP{??k}??k??p?(1?p)?np?k!?n?k?!!?n?k?!k?0k?0k?1?k?1?nn（令k?1?l） =np?l?0n?1?n?1?!l!?n?1?l?!p(1?p)ln?1?l?np?Cn?1pl(1?p)n?1?l?np[p?(1?p)]n?1?np

l?on?1l即：E??np

由方差的定义：D??E(?2)?(E?)2

E(?)??kCpq22knkk?0n?1nn?k??kk?1nn!pkqn?k （令k?1?l）

?k?1?!?n?k?!?n?1?!?n?1lln?1?ln?1lln?1?l?ln?1?l=np??l?1?=np??lCn?1pqpq??Cn?1pq? ??l!n?1?l!l?0l?0?l?0?=np?n?1?p?(p?q)n?1=np?n?n?1?p2

?D??np?n?n?1?p2?(np)2?np?1?p??npq

??五、二项分布的Poisson逼近

Th：在n重Bernoulli试验中，记pn为事件A在一次试验中出现的概率，它与试验总数n有关（一组试验），若limnPn??>0, 则对?的正整数k?0，有limb?k;n,Pn??n???kk!n??e??

Proof:令?n?npn，则lim?n??,且pn?n???nn 则

n?k?????k?nk?()??1?n?b?k;n,Pn??b?k;n,n??Cnnn?n???n?kkn!??n????=?nn???1???n?k?!?k!???n?

3

n(n?1)?(n?k?1)??n???n?=?????1??k!n??n??1??k?1???n?=??1????1????1??k!?n??n??n?

kn?k

1k????e(n??) k!?kn?n?k?§4.2 泊松分布[Poisson distribution]

一、定义：称?服从参数为???0?的Poisson分布，若

p???k???kk!e?? k?0,1,2,.. .记为：?~p?k;??或?(k,?)，p?k;???显然：

?kk!e?? k?0,1,2,.. .p???k??0

?p???k???k!ek?0k?0???k???e???k!?e?e??1

?k?0??k为计算方便课后给出了Poisson分布表，见p278附表1

【说明】历史上Poisson分布是作为二项分布的近似于1837年由法国数学家泊松引入的，若把B?试验中成功概率p值很小的事件叫做稀有事件，则由上面TH当n充分大时，n重B?试验中稀有事件发生的次数近似服从Poisson分布。这时，参数?的整数部分 [?]恰好是稀有事件发生的最可能次数，在实际中常用Poisson分布来作为大量重复独立试验中稀有事件发生的概率分布情况的数学模型，诸如不幸事件，意外事故、故障，非常见病，自然灾害等，都是稀有事件。

许多随机现象都服从Poisson分布。一是社会生活对服务的要求：如电话交换机中来到的呼叫次数；公共车站来到的乘客数都近似服从Poisson分布。另一领域是物理学。放射性分裂落到某区域的质电点；热电子的放射等都服从Poisson分布。

例2：设儿童在注射乙肝疫苗产生不良反映的概率为0.001，试确定2000个儿童中有3个以及多于两个儿童产生不良反应的概率？

解：设?表示产生不良反应的儿童个数，则?~B(n,p)，由于假设“不良反应”是稀有事

?k??0e，其中??np?200?件，所以?可假定服从P(k;?)?k!4

0.?001，从而可得

2k?2P{??3}|?0.180，P{??2}??e?0.323。

k?3k!?二、Poisson分布的数学期望和方差 设?~p?k,??，即p???k??E???kpk??kk?0k?02?2?kk!?k?1e??,k?0,1,2,...

????kk!?e????e????k?1?!??e?e???k?1????

??E(?)??kpk??kk?0k?0e?k?1?!??k?1?????k??e?k??e????l?1?l!??k?1!k?1?l?0?k?1? （令k?1?l）

??????l??l?=?e??l???

?l?0l!l?0l!???=?e???e??e?=????1?

所以：D??E(?2)?(E?)2??2????2??

??例3：保险事业是最早使用概率论的部门之一，保险公司为了估计其利润，需要计算各种概率。 保险公司现在为社会提供一项人寿保险，据已有的资料显示：人群中与这项保险业务有关的死亡概率为0.0020，今有2500人参加这项保险，每个参保的人员在每年1月1日交付120元保险金，而在死亡时家属可从公司领20000元保险金。试问：(1)保险公司亏本的概率是多少?

(2) 保险公司赢利不少于10万元、20万元的概率是多少?

解：每年1月1日，保险公司的收入30万元=120?2500，若一年中死亡x人,则保险公司这一年应付出20000x元，因此“公司亏本”意味着20000x>300000 即x>15人，这样“公司亏本”这一事件等价于“一年中多于15人死亡”的事件，从而转而求“一年中多于15人死亡”的概率，若把“参加保险的一个人在一年中是否死亡”看作一次随机试验，则问题可用n?2500，p?0.002的Bernoulli试验来近似，设?为一年中这些参保人员里死亡的人数，

,0.002) 则?~B(2500由上定理，??np?2500?0.002?5，经查Poisson分布表，可得：

5k(1) P{亏本}=P{??15}=?e=0.000070

k?16k!??5(2)赢利不少于100000元，则意味着 300000-20000x?100000?x?10；

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