抽象代数

抽象代数

1 证明任一群中，指数为2的子群一定是正规的。

证明：设G是任一群，H是G的一个指数为2的子群

知H?G，且[G:H]?2

于是H存在2个不同的左（右）陪集

又eH?He?H，故H既是左陪集又是右陪集

由[G:H]?2知?a?G使aH?eH??且Ha?He?? 故G/H?H?aH?H?Ha 故aH?Ha

?x?G且x?e有xH?aH，Hx?Ha，故xH?Hx，当x?e时eH?He?H 综上H?G

TH：群G的子群的2个左陪集要么相等要么没有公共元

2 利用拉格朗日定理（有限群G的阶被它的每个子群的阶整除）证明所有阶为p2的群（p为素数）是交换群。

证明：对任意p阶群G，它的中心Z(G)?e，则Z(G)?1

r2假设G?p为非交换群，则G?Z(G)??i?q?1pni

rp?Z(G)?2?i?q?12pni，故Z(G)能被p整除，从而Z(G)?p或p2

rZ(G)?p时，p?p??i?q?1prni，矛盾

Z(G)?p时，p22?p?2?i?q?1pni知G?Z(G)

故G是交换群

4 与群G的中心化子C(a)?{x?Gxa?ax}一样，考虑在动力系统理论中遇到的反中心

D(a)?x?Gxa?a??1x，一般来说，D(a)不是群

2?证明：(1) D(a)是一个群当且仅当a?e且D(a)?C(a) (2)集合E(a)?C(a)?D(a)总是一个群 证明： (1)必要性

当D(a)是一个群，则有e?D(a)，所以ea?ae，即a?e

?12?1两边同时左乘a2有a2xa?a2a?1x，即xa?ax，故D(a)?C(a) ?x?D(a)，xa?ax，

?1?1?y?C(a)，ya?ay，两边同时左乘一个a右乘一个a有ay?ya，故C(a)?D(a)

故C(a)?D(a) 充分性

单位元，由a2?e有ea?a?1e，即e?D(a)

逆元，?x?D(a)，则有xa?a?1x，两边同时取逆，x?1a?a?1x?1，即x?1?D(a) 封闭性，?x,y?D(a)，则有a?1xy?xay?xyaaxy?xya，从而xy?C(a)?D(a)

?1，两边同时左乘一个a右乘一个a有

综上，D(a)为一个群

(2)当D(a)??，E(a)?C(a)为一个群 当D(a)??，

单位元，e?C(a)?E(a)

逆元，?x?D(a)，xa?a?1x从而x?1a?a?1x?1，即x?1?D(a)

?y?C(a)，ya?ay，从而yaay?1?1?1?a?1y?1，两边同时左乘一个a右乘一个a有

?1?ya，则y?1?1?C(a)，从而对?u?E(a)，有u?E(a)

封闭性，x,y?C(a)，axy?xay?xya，则xy?C(a)

x,y?D(a)，axy?xa?1y?xya，则xy?C(a)

?1x?D(a)，y?C(a)，则axy?xay?xya?1，则xy?D(a)?E(a)

各种情况都说明对?x,y?E(a)都有xy?E(a) 综上，E(a)总是一个群

5 假设H和K是群G的子群，证明HK?H?K?H?K，进一步证明集合HK为子群的充要条件是HK?KH

证明：(1)设M?H?K，则M?G且M?H，所以M?H

?H:M??m，则H关于M的左陪集分解H?c1M?c2M???cmM

其中，i?j时ciM?cjM 又MK?K

?HK?c1K?c2K???cmK

假设i?j，ciK?cjK?? 那么?k1,k2?K，使得cik1?cjk2

则cjci?k2k1?M?ciM?cjM与假设矛盾 故i?j，ciK?cjK??且ciK?K ?HK?mK??H:M?K?HH?KK

?1?1即HK?H?K?H?K (2)必要性

由于H,K是G的子群，故H,K满足

HH?H，且H?1?H，KK?K,K?(HK)?1?1?K

(HK)?1?K?1H?1?KH

又HK也是子群，故HK?KH 充分性

若HK?KH，则(HK)?1?HK

HKHK?HHKK?HK

故HK为群

6 写出阶为72的所有不同构的交换群

72?2?3

32相应的72阶初等因子为?2,2,2,3,3?，?2,2,3,3?，?2,3,3?，?2,2,2,3232?，?2,22,32?，?23,32?

从而对应的不变因子为?2,6,6?，?6,12?，?3,24?，?2,2,18?，?2,36?，?72? 从而构成的阶为72的不同构群为

Z2?Z6?Z6 Z6?Z12 Z3?Z24 Z2?Z2?Z18 Z2?Z36 Z72

7 群Z12?Z72与Z18?Z48同构吗

判断两个群是否同构，只需看他们的初等因子是否相同

Z12?Z72?Z3?Z4?Z8?Z9，初等因子为?3,4,8,9?

Z18?Z48?Z2?Z9?Z3?Z16，初等因子为?2,9,3,16?

故不同构

8 假设?和?是n阶循环群aan?e的两个不可约复表示，证明

1?1,?????(a)?(a)??0,??? nk?0?n?1kk2?ij证明：令复表示?j:G?C,a??，且?kkjj?en

由于?和?是n阶循环群的两个不可约复表示

?a????k2?ijkj(a)?ekn

?a1????kk2?ilkl(a)?ekkn故

2?ijkn2?ilkn?1??(ank?0)?(a)?1n?1?enk?0en?1n?12?ik(j?l)n?enk?0??10e2?i(j?l)xdx1??2?i(j?l)?1??e?0?2?i(j?l)?j?lj?l

故原题得证

9 证明素数次扩张F?P没有真子域

证明：假设素数次F?P扩张域有真子域P 那么F?K?P 故?F:P???F:K??K:P? 这与?F:P?是素数矛盾 故假设不成立 10 求扩张Q(令x?4p,q)的本原元素，其中p和q是素数 q，则x?p?q?22p?222pq?x??p?q???2?4pq

2?x?2x(p?q)?(p?q)?4pq?x?2x(p?q)?(p?q)?0 ?本元元素的极小多项式f?x?2x(p?q)?(p?q)

42242其根?(1)?p?p?q

q ?(2)???p?p?q q

?(3)?? ?(4)11 R是有1的交换环，I是理想，则有 (1)I是素理想?R/I是整环 (2)I是极大理想?R/I是域

证明：R/I??r?Ir?R?，I?R故R/I??0?

?x,y?R，(x?I)(y?I)?xy?I?yx?I?(y?I)(x?I)，且(1?I)(y?I)?y?I，

故R/I是有单位元的交换环 (1)充分性

假设R/I中有零因子

那么存在两个非零元a?I，b?I使得(a?I)(b?I)?0 故ab?I?0 知ab?I

又I是素理想，故a?I或b?I，与a?I，b?I非零矛盾 故R/I无零因子 所以R/I是整环 必要性

令(a?I)(b?I)?0，即ab?I?0，ab?I 由于R/I是整环

知a?I?0或b?I?0，即a?I或b?I 即由ab?I可以得到a?I或b?I 所以I是素理想 (2)充分性

令N?{m?axm?I,x?R}因此N是一元多项式环 N是R的理想，且I?N 又I是极大理想 故N?R

所以1?N，1?m?ax

?1???m?ax???ax???a??x?，所以?a?可逆

故R/I是域 必要性

令N是R的理想，且I?N，则只需要证明N?R即可 由I?N知?a?N/I且?a???0? 又R/I是域

所以?x?R满足?a??x??1，因此1?ax?I?N 又N是R的理想，于是ax?N，从而1?N，N?R

12 R[x]/x2?1?C

证明：定义映射?:R[x]?C,f(x)?f(i)

则R[x]/x2?1??f(x)?x2?1??f(x)?ax?b?ax?b

x?x?1?1??1可知

22??????x?1?0，x?i

2所以R[x]/x2?1?{ai?b}

f13 v???w是模同态，v，w是群G的子模，证明

(1)kerf是v的子模 (2)Imf是w的子模 证明：

(1)?v1,v2?kerf

k1v1?k2v2?kerf?f?k1v1?k2v2??k1f(v1)?k2f(v2)?0

?v1?kerf，?g?G，则有f(gv1)?gf(v1)?g?0?0，即gv1?kerf知

Gkerf?kerf

故kerf是v的子模

(2)?w1,w2?Imf，对?v1,v2?v有w1?f(v1),w2?f(v2) 则k1w1?k2w2?k1f?v1??k2f?v2??f?k1v1?k2v2??Imf

?g?G，gw1?gf?v1??f?gv1?，从而gw1?Imf

故GImf?Imf 所以Imf是w的子模

12 R[x]/x2?1?C

证明：定义映射?:R[x]?C,f(x)?f(i)

则R[x]/x2?1??f(x)?x2?1??f(x)?ax?b?ax?b

x?x?1?1??1可知

22??????x?1?0，x?i

2所以R[x]/x2?1?{ai?b}

f13 v???w是模同态，v，w是群G的子模，证明

(1)kerf是v的子模 (2)Imf是w的子模 证明：

(1)?v1,v2?kerf

k1v1?k2v2?kerf?f?k1v1?k2v2??k1f(v1)?k2f(v2)?0

?v1?kerf，?g?G，则有f(gv1)?gf(v1)?g?0?0，即gv1?kerf知

Gkerf?kerf

故kerf是v的子模

(2)?w1,w2?Imf，对?v1,v2?v有w1?f(v1),w2?f(v2) 则k1w1?k2w2?k1f?v1??k2f?v2??f?k1v1?k2v2??Imf

?g?G，gw1?gf?v1??f?gv1?，从而gw1?Imf

故GImf?Imf 所以Imf是w的子模

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