2015年秋高三上期第一次月考理科试题

2015年秋高三上期第一次月考 数 学 试 题 卷（理科）

数学试题共4页，共24个小题。满分150分。考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求

的.

1．已知集合A?{1,3,4,6,7,8},B?{1,2,4,5,6}，则集合A?B有（ ）个子集 A.3 B.4 C.7 D.8

?2x?2(x?2)2、已知：f(x)?? 则f(f(5))等于( )

?log2(x?1)(x?2)A. －1

B. 1

C. －2

D. 2

ln(x2?x?2)3．函数f(x)?的定义域是（ ）

x?xA.(??,?1) B.(2,??) C.(??,?1)?(2,??) D.(0,2)

4、下列函数中，即是偶函数又在（0，+∞）上单调递增的函数是（ ）

A. y?2x3

B. y?x?1

C. y??x2?4 D. y?2?x

5、设a?log54，b?(log53)2，c?log45 则( )

A. a?c?b

B. b?c?a C. a?b?c

D. b?a?c

6．已知条件p:1?1，则使得条件p成立的一个充分不必要条件是（ ） x A.x?1 B.x?0 C.x?0或x?1 D.x?0或x?1

7．若x,y?R且x2?y2?3x，则x?y2的取值范围是（ ）

A.[?1,0] B.[0,3] C.[?1,3] D.[?1,??)

8．已知关于x的方程x2?2mx?m?3?0的两个实数根x1,x2满足x1?(?1,0)，x2?(3,??)，则实数m的取值范围是（ ）

62262A.(,3) B.(,3) C.(,) D.(??,)

53353?ax,x?1?9．若函数f(x)??在实数集R上单调递增，且f(a2?5)?f(6a)?0，则实a?(4?)x?2,x?12?数a的取值范围是（ ）

A.[2,3] B.[4,5] C.(1,5] D.[4,8)

1

10、函数y?f(x)的最小正周期为2，且f(?x)?f(x)．当x?[0,1]时f(x)??x?1，那么在区间

1x[?3,4]上，函数G(x)?f(x)?()的零点个数是（ ）

2A. 5 B. 6 C. 7

D. 8

11．将y?f(x)的图象先右移1个单位,再下移2个单位，然后再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变）后所得的图象与y?log2x的图象关于直线x?1对称,则f(x)?（ ） A.log2(?8x) B.log2(?8x?8) C.log2(?2x?4) D.log2(?2x?6)

??x2?2x,x?012、已知函数f(x)??，若f(x)?ax，则a的取值范围是（ ）

?ln(x?1),x＞0120? （B）???，1? （C）??2，1? （D）??2，0? （A）???，

二、填空题.(共4小题，每小题5分，共20分)

13.已知幂函数f(x)?(m2?m?1)xm?m?3在x?0处有定义，则实数m＝ ； 14. 设a,b?R，且3a?6b?4，则

11?? ； ab215．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x?0时,f(x)?1?x2，则不等式f(x)?0的解集是 ；

16.函数f(x)?xx?bx?c,给出四个命题：

①当c?0时， y?f(x)是奇函数；

②当b?0,c?0时方程f(x)?0只有一个实数根； ③y?f(x)的图象关于点(0,c)对称； ④方程f(x)?0至多有两个实数根.

上述命题中，所有正确命题的序号是________.

2

三、解答题.(共6小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．)

17、（本小题满分12分） 已知：全集U?R，函数f(x)?1?lg(3?x)的定义域为集合A，集合B?xx2?a?0 x?2??（1）求CUA；

（2）若A?B?A,求实数a的范围.

18、（本小题满分12分）

已知函数f(x)?ax2?lnx.

（1）当a?2时，求曲线y?f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程； （2）当a?0时，求函数f(x)的极值．

9．（本小题满分12分）

已知条件p:函数f(x)?log(10?a2)x在(0,??)上单调递增；条件q:存在m?[?1,2]使得不等式

a2?2a?5?m2?5成立．如果“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．

20．（本小题满分12分） 已知函数f(x)?loga2?x,(a?0,a?1)． 2?x（1）当a?3时，求函数f(x)在x?[?1,1]上的最大值和最小值；

（2）求函数f(x)的定义域，并求函数g(x)??ax2?(2x?4)af(x)?4的值域（用a表示）．

21、(本小题满分12分)

设函数f(x)?x?c (c?R) xe（1）求f(x)的单调区间、最大值；

（2）讨论关于x的方程lnx?f(x)的根的个数．

3

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，若多答，按所答的首题进行评分.

（22）（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D.

（Ⅰ）证明：DB?DC；

（Ⅱ）设圆的半径为1，BC?3，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径.

（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

?x?4?5cost 已知曲线C1的参数方程式?（t为参数），以坐标原点为极点，以坐标原点为极点，xy?5?5sint?轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为??2sin?.

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（??0,0???2π）

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数f(x)?2x?1?2x?a，g(x)?x?3. （Ⅰ）当a??2时，求不等式f(x)?g(x)的解集； （Ⅱ）设a??1，且当x?[?a1,)时，f(x)?g(x)，求a的取值范围. 22

4

2015年高三上期第一次月考

数 学 试 题 参 考 答 案（理科）

一、选择题． 二、填空题. 题号 答案 三、解答题. 17、解：(1)∵?13 14 15 16 ?x?2?0

?3?x?0 ∴-2

∴CuA????，?2???3，??? ??????5分 （2）当a?0时，B??满足A?B?A ??????8分 当a?0时，B?(?a，a) ∵A?B?A ∴B?A

???a??2 ∴? ??????11分

??a?3 ∴0?a?4

综上所述：实数a的范围是a?4 ????12分

18、解：函数f(x)的定义域为(0,??) ????1分

2 （1）当a?2时 f(x)＝2x?lnx

f?(x)?4x?1 ????????3分 x ∴f(1)?2，f?(1)?3

1,f(1)） ∴曲线y?f(x)在点A（处的切线方程为y?2?3(x?1)

即3x?y?1?0 ????????6分

2ax2?1,x?0 ????7分 （2）f?(x)?x

5

①当a?0时，f?(x)?0，函数f(x)为(0,??)上的减函数，∴f(x)无极值 ??9分

②当a?0时，由f?(x)?0解得x?1 2a又当x?(0，1)时，f?(x)?0 2a 当x?(1,??)时，f?(x)?0 ????11分 2a1111处取得极小值，且极小值为f()??ln2a 2a2a22 ∴f(x)在x? 综上，当a?0时，f(x)无极值

当a?0时，f(x)在x?111处取得极小值?ln2a，无极大值 ?12分

222a19、

解：p真?10?a2?1?a2?9?a?(?3,3)

q真?a2?2a?5??m?5?2max,m?[?1,2]?a2?2a?5?3?a?[?2,4]

“p且q”为真命题?p为真且q为真?a?(?3,3)?[?2,4]?a?[?2,3)．

20． 解：（1）令u?2?x41??1，显然u在x?[?1,1]上单调递减，故u?[,3]， 2?xx?23故y?log3u?[?1,1]，即当x?[?1,1]时，f(x)max?1，（在u?3即x??1时取得）

f(x)min??1，（在u?（2）由

1即x?1时取得） 32?x?0?f(x)的定义域为(?2,2)，由题易得：g(x)??ax2?2x,x?(?2,2)， 2?x1因为a?0,a?1，故g(x)的开口向下，且对称轴x??0，于是：

a11111? 当?(0,2)即a?(,1)?(1,??)时，g(x)的值域为（(g(?2),g()]?(?4(a?1),]；

a2aa112? 当?2即a?(0,]时，g(x)的值域为（(g(?2),g(2))?(?4(a?1),4(1?a))

a2

6

21、解：（1）f?(x)?1?x ??????1分 xe 由f?(x)?0得x?1

当x?1时，f?(x)?0，f(x)单调递增； 当x?1时，f?(x)?0，f(x)单调递减；

∴函数f(x)的单调递增区间是(??,1)；单调递减区间是(1,??) ????3分 ∴f(x)的最大值为f(1)?1?c ????4分 e?x （2）令g(x)?lnx?f(x)＝lnx?x?e?c,x?(0,??) ????5分

①当x?(1,??)时，g(x)?lnx?x?e?x?c ∴g?(x)?∵e?x11?e?x?x?e?x??e?x?(x?1) xx?0，x?1?0 ∴g?(x)?0

∴g(x)在(1,??)上单调递增 ??????7分

②当x?(0,1)时，lnx?0，g(x)??lnx?x?e g?(x)?? ∵??x?c

1?e?x?(x?1) x1??1，e?x?0，x?1?0 x ∴g?(x)?0 ∴g(x)在（0,1）上单调递减 综合①②可知，当x?(0,??)时，g(x)?g(1)??e?1?1?c ????9分

当g(1)?0即c??e时，g(x)没有零点，故关于方程lnx?f(x)的根的个数为0 当g(1)?0即c??e时，g(x)只有一个零点，故关于方程lnx?f(x)的根的个数为1 ????????11分 当g(1)?0即c??e时，当x?(1,??)时 由（1）知g(x)?lnx?xe?x?1?11?c?lnx?(?c)?lnx?1?c

e1?c 要使g(x)?0，只需lnx?1?c?0即x?(e,??)

7

当x?(0,1)时， 由(1)知g(x)??lnx?xe?x1?c??lnx?(?c)??lnx?1?c

e 要使g(x)?0，只需?lnx?1?c?0即x?(0,e?1?c) 所以c??e时，g(x)有两个零点 ??????13分 综上所述ks5u

当c??e时，关于x的方程lnx?f(x)根的个数为0 当c??e时，关于x的方程lnx?f(x)根的个数为1

当c??e时，关于x的方程lnx?f(x)根的个数为2 ????14分

?1?1?1?1

8

9

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