最终数学学院-变式教学在高一数学教学中的应用-陈雪

分类号： 学校代码： 10165 密 级： 学 号：201020017

教育硕士专业学位论文

变式教学在高一数学教学中的应用

作者姓名：

陈雪

学科教学（数学） 专业方向：

吴华教授 导师姓名：

2012年06月

学位论文独创性声明

本人承诺：所呈交的学位论文是本人在导师指导下所取得的研究成果。论文中除特别加以标注和致谢的地方外，不包含他人和其他机构已经撰写或发表过的研究成果，其他同志的研究成果对本人的启示和所提供的帮助，均已在论文中做了明确的声明并表示谢意。

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签名日期： 年 月 日

辽宁师范大学硕士学位论文

摘要

我国一直都很重视“双基”教育，这与我国教师在教学上进行变式教学有很大的关系。变式教学是保证学生成绩最有效的方法之一，同时可以培养学生的创新精神，大大提升学生的认知能力。但是由于现在教学参考的逐步完善，很多教师并没有在变式教学上作过多的研究，进而在课堂教学上没有将变式教学的功效发挥到最大，更多的只是解题训练。还有很多教师没有真正深入理解变式教学理论，造成“题海战术”变成达到理想成绩的唯一手段，这不得不说是我国教育上的一大误区。

近年来，我国进行了新的课程改革，素质教育这一理念更是得到了大力提倡，那么在教育教学上就必须改变以往的应试思想，变式教学的深入探究就显得尤为重要了。通过对国内外变式教学概况的研究，结合自己的实习教学经验，分析了一些教学案例，对变式教学在高中数学教学上的引用做了进一步的探究。

本文先将提出问题，阐述数学变式在教学中的目的及意义，概述国内外对数学变式教学的研究，进而提出本文的创新之处。进一步明确变式教学、数学变式和数学变式教学的概念，对数学变式教学的相关理论进行概述。对概念性和过程性两种数学变式从教学含义、教学原则及策略进行阐述，并有针对的进行教学案例分析，希望能对一线教师在教学上提供一些参考。最后从中探究到数学变式教学在实际教学中需要注意的几个问题，对数学变式教学在我国的发展进行反思和展望。

关键词：变式教学；教学；高中数学

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变式教学在高一数学教学中的应用

The Application of Mathematics Variation in the teaching of Grade One of

High School

Abstract

It is acknowledged that basic knowledge and skills have been paid much attention to in China, which has close relationship with the application of variation pedagogy in mathematics by teachers.Variation pedagogy is one of the most effective methods of improving learning results, and at the same time it can cultivate students’ innovation and their cognitive abilities. Although the teaching reference is developing gradually at present, the research of variation is relatively less. Therefore the significances of variation pedagogy may not take effect completely in classroom with the training of solving problems. Many teachers are not able to understand variation pedagogy deeply as a result of the sea tactical exercises becoming the only measure to improve learning results, which is the misunderstanding of Chinese education.

In recent years, a new curriculum has reformed in our country and quality oriented education has been advocated strongly. It is important for teachers to change their previous thought of exam oriented and research variation pedagogy deeply. Based on research status at home and abroad and the practical teaching experience, the author analyzes some teaching cases and explores the quote of variation pedagogy in mathematic in senior high school.

This paper raises questions firstly, and then elaborates the purposes and significances of variation in mathematics, illustrates the research achievement at home and abroad, as well as the innovative points. Moreover, the author puts forward the concepts of variant teaching, mathematics variation and mathematics variation teaching, expounding the related theories of mathematics variation teaching. Also the conceptual and procedural mathematics variation are explained on notional, principle and strategical aspects with the analysis of teaching case studies, in hope of supplying some references for teachers. Lastly, this paper makes a thorough inquiry of several problems that need to be paid attention to in actual teaching, and some reflections and prospects from mathematics variation.

Keywords: variant teaching; teaching; mathematics in senior high school

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目 录

摘要 ...................................................................... I Abstract ................................................................. II 1 绪论 .................................................................... 1

1．1问题的提出 ............................................................................................................... 1 1．2研究的意义与目的 ................................................................................................... 1 1．3研究的方法 ............................................................................................................... 2 1．4本文的主要内容 ....................................................................................................... 2 1．5本文的创新之处 ....................................................................................................... 2 2 文献综述 ................................................................ 3

2.1国外对数学变式教学的研究概况 ............................................................................. 3 2.2国内对数学变式教学的研究概况 ............................................................................. 3 3 数学变式教学相关理论概述 ................................................ 5

3．1数学变式教学 ........................................................................................................... 5

3．1．1变式的定义 ................................................ 5 3．1．2数学变式、数学变式教学的含义 .............................. 5 3．2数学变式教学理论基础 ........................................................................................... 5

3．2．1 变异理论 .................................................. 5 3．2．2脚手架理论 ................................................ 5 3．2．3建构主义学习理论 .......................................... 6 3．2．4有意义学习理论 ............................................ 6

4 概念性变式教学 ......................................................... 7

4．1概念性变式教学的含义 ........................................................................................... 7 4．2概念性变式的教学原则及策略 ............................................................................... 8 4．3高一数学概念性变式的教学实例 ........................................................................... 9 5 过程性变式教学 ........................................................ 13

5．1过程性变式教学的含义 ......................................................................................... 13 5．2过程性变式的教学原则及策略 ............................................................................. 13 5．3 高一数学过程性变式的教学实例 ....................................................................... 14 6 数学变式在高中应用的问卷调查分析 ...................................... 16

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变式教学在高一数学教学中的应用

6.1高中数学教师对变式教学的认知 ........................................................................... 16 6.2高一学生对数学变式感知 ....................................................................................... 17 7 高一数学变式教学案例分析 ............................................... 20

7.1案例1——对数函数 ................................................................................................ 20 7.2案例2——空间中的平行直线 ................................................................................ 25 8 数学变式教学的再认识 .................................................. 31

8．1教学反思 ................................................................................................................. 31 8．2数学变式教学展望 ................................................................................................. 31 参考文献 ................................................................. 32 附录A 高中数学教师关于变式的问卷调查 .................................. 33 附录B 高中学生关于数学变式感知的问卷调查 .............................. 36 致 谢 ................................................................... 39

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1 绪论

1.1问题的提出

在具有中国特色的教育模式下，我国的学生一方面在国际数学教育中较为突出，在奥林匹克竞赛中更是连续摘金夺银，这充分说明我国基础教育的显著成功；但从我国学生进入高等教育以后的发展来看，远不如西方学生优秀，很难在学术或是工作中有所创新。在很多调查研究中发现，中国教育的大环境是不利于学习和思考的，在课堂上很多都是老师占据主导地位，学生被动接受，呈现出了我们不愿意看到的“机械式训练”和“题海战术”。这种矛盾的现象就是教育界所说的“中国数学教育悖论”，产生这种矛盾的原因有很多，比如我国这种大班教学，受到儒家思想的严重影响，还有数学课堂的讲解法之类的，而产生这种现象的主要原因之一，就是由我国教师自觉不自觉的进行变式教学导致的。

我们怎样看待中国数学教育中的这种“悖论”呢？针对这个悖论的分析与探究，已成为国际比较教育及心理学研究的一个热点

[1][2][3]

。上海市顾泠沅小组历经14年的教改

实验，在进行大量研究和分析中发现：第一，中国教师相比较美国教师，更加关注对概念及原理的多角度的理解，操作过程会相应忽视些；第二，我国数学教育具有它独特的教学模式和培养模式；第三，我国的数学教学课堂都是经过精心设计的，会呈现出中国特色的教育理论[4]。

我国刚刚进行教育改革，新课标的理念，更注重学生在课堂上的主导地位，教师充当合作者的角色，而这使得把变式教学理论作进一步的深入研究和完善就显得尤为重要了。把我国教师的无意识教学模式变成是深思熟虑的数学变式教学，从而克服其教学上的不足与局限，减轻学生一味“题海战术”的负担，进而有效地提高数学课堂效率。

1．2研究的意义与目的

虽说我国很早就开始运用变式教学，但往往大部分教师在数学课堂上都没有进行有意识的精心设计，使得他们没有认清数学变式教学在教学上的强大功效。还有，很多教师把变式教学仅仅等同于“一题多变”等，把变式教学理解为变式训练，才有了“题海战术”这一低效率教学模式，造成我国大部分学生只会做题不会思考，更不会创新的尴尬局面。

本文会阐明变式教学，数学变式教学含义及相关理论，为现在的高中数学教师梳理下新课标下数学变式教学的真正含义及相关理论，并且会对一些教学案例进行分析，总

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变式教学在高一数学教学中的应用

结几种数学变式教学的教学原则，希望对高中一线数学教师在教学策略上提供一些参考。

1．3研究的方法

1．文献综述法：查找相关内容的国内外文献，对其中的内容进行总结。 2．案例分析法：运用数学变式教学的相关理论，结合实习的实际经验，分析了高一数学的两个案例。

3．调查问卷法：在实习学校大洼高中，向学校的所有数学教师和高一的500多的同学分发问卷，收回后进行分析。

1．4本文的主要内容

通过对国内外变式教学的概况研究，可以看出数学变式教学，满足了彻底贯彻新课改的教学理念，可以提高数学课堂的教学效率，真正意义上对学生进行“减负”，同时也可以有意识的培养学生的创新能力，进一步实现素质教育。

本文致力于变式教学在高中数学中的应用进一步的探究，将三种变式教学的案例进行分析，从而总结高中数学变式教学原则。本文共分八章，前三章为绪论，变式教学及数学变式教学的相关理论，国内外对数学变式教学的概况分析。第四五章分别从概念性、过程性两种变式在高中数学中的实例进行深层次的分析与总结，六七章则根据调查问卷进而探究了两个教学案例，最后对整篇论文进行总结和对高中数学变式教学提出自己的展望。

本文先将提出问题，阐述数学变式在教学中的目的及意义，概述国内外对数学变式教学的研究，进而提出本文的创新之处。进一步明确数学变式教学的相关概念，对数学变式教学的相关理论进行概述。对概念性、过程性两种数学变式从教学含义、教学原则及策略进行阐述，并有针对的进行教学案例分析，希望能对一线教师在教学上提供一些参考。

1．5本文的创新之处

（1）阐明了数学变式教学概念的界定和实质，并总结相关理论。

（2）分析现在高中数学变式教学实施中的一些误区，从两种变式教学的案例中总结高中数学进行变式教学的原则。

（3）从实际出发，结合新课改和中国特色教学，探究数学变式教学实施策略，为高中一线教师在教学上提供理论参考。

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2 文献综述

2.1国外对数学变式教学的研究概况

自从我国的教育中出现了“悖论”，国内国外很多的教育学者都致力研究中国的教育模式，希望能给这个悖论一个合理的解释，并希望在此基础上能给数学教育带来新的更有效的教育理念及理论基础。

瑞士著名学者马登首先提出了变异（变式）教学这一教学理论。首先马登对学习这一概念就提出了新的认识。他认为，学习就是将注意力同时聚焦在对象主要的特征上，通过比较变异与不变的方面辨别出对象的本质特征。也就是说，老师给学生构造一个合理适当的变异空间（学习空间）是极其重要的。他在香港大学工作的时候，就通过变异理论解释了我国数学课堂教学之中的合理成分，为之后的很多学者的研究提供了理论基础，也给数学教学很多启示[5]。

最早提出“脚手架”一词的是美国著名教育学家、心理学家布鲁纳，他将建筑业的术语赋予它新的含义，学生可以拼接他人提供辅助物完成原本自己无法独立完成的任务。维果斯基将脚手架理论这一教学策略和工具作了进一步的深化，提出了“最近发展区”理论，而脚手架理论是基于最近发展区理论之上的[6]。他认为,学生在学习上会出现两种水平的发展。一种是借用已有水平进而晋升到更成熟的发展水平，另一种是在还不能独立独立进行问题解决的情况下,能借助老师的指导或已有知识达到解决问题的水平。而恰恰就是这两种水平之间的差异,决定了高中生之间心理发展的最近发展区的不同[7]。

脚手架理论在数学教学上满足了使学生真正意义上成为课堂上的主导地。教师应该利用变式设置教学铺垫，针对不同的教学内容和不同层次的学生，提供适度的脚手架，降低难度，减轻认知负担，是学生有效地完成课堂任务。这个“脚手架理论”在欧美的教学上风靡半个多世纪，对我国数学教学上的影响也是颇大的。

2.2国内对数学变式教学的研究概况

变式教学很早就有意无意的应用在我国的教学中了，上海教育科学院顾泠沅最早在《学会教学》中对数学变式教学进行深入研究。他还带领青浦小组结合理论和实践，梳

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变式教学在高一数学教学中的应用

理了我国传统数学教学中的“概念变式”相关理论，同时也明确“概念性变式”和“过程性变式”这两种行之有效的教学方式，将“概念性变式”这一静态的局限动态化。

在2003年鲍建生（苏州大学），黄荣金（香港大学），易凌峰（上海教学科学院），顾泠沅（上海教学科学院）四位博士以连载的方式，在《数学教学》上发表了《变式教学研究》一文，此篇文章的核心是数学变式教学经验和实验，多角度解读“数学变式教学”，提出了一些理论反思[4]。

2004年华东师范大学博士生聂必凯发表了《数学变式教学的探索性研究》一文中，先对问卷调查进行探究，总结了现在教师对变式教学的思考与应用，并从基本图形、导入情景、教学示例、数学活动、外部表征这五个课题进行变式研究，探讨了研究数学教育中的变式教学的原因，着重分析了过程性变式[8]。

刘长春，张文娣在《中学数学变式教学与能力研究》中，“变式教学及其内容、理论指导、教学原则”，“数学变式的基本方法”，“变式教学的基本模式”等对进行了较为全面的论述[9]

张子卫在《谈利用数学变式题活动思维》中指出，应该有意识的引导学习者从问题的题干、相关知识、结论的变化，基本图形的有效处理等探索变式问题，进一步深化学习者的认识和理解，抓住本质，使其数学思维更加的活跃[10]。

这里提一下南京大学郑毓信教授《变式教学理论的必要发展》一文，他认为概念的形成本身就是一个动态的过程，从多个角度去理解一个概念也是概念形成的重要过程。所以，作为“变式理论”的研究，更应重视所有变式的共性，而不是过分强点其中的区别。他还指出，在数学变式教学这一理念上，或许应该转换思路，透视变化中的本质。

国内在数学变式的基本方法和应用上的研究作了很大的关注，但事实上，变式教学对学生数学认知成绩还没有达到一个理想的高度，这当然是很多因素导致的。本课题研究将针对高中学生，通过案例分析，总结数学变式教学在高中教学上的教学原则，进而希望能有助于提高对高中学生数学认知。

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3 数学变式教学相关理论概述

3．1数学变式教学

3．1．1变式的定义

很多教育心理学和数学教育心理学中也对变式一词给了不同的定义，不过究其本质是是没有太多区别的[11]。

所谓变式，是通过变更对象的无关属性的表现形式，是变更人们观察事物的角度和方法，以突出对象的关键属性[12]。变式中主要抓住的是“不变”，它的意义在于可以将概念发展转化为过程的内化、凝聚、具体化三个阶段。 3．1．2数学变式、数学变式教学的含义

数学在表面上看充斥着大量的“变”，从这些“变”中发现本质的“不变”一直是数学领域中的重要研究方向。把变式的思想运用到教学当中，帮助学生认清学习对象的本质，很好的提升学生的认知能力，也就是说要在教学中应用变式。它有很多种表现形式，但最终希望达到的是学生能够做到举一反三，灵活掌握学习对象，并有一定的创新思想[13]。

那么数学变式的含义简单的说就是在原命题的本质内容不变的情况下，对非本质的属性进行的变化 [9]。通俗的说，数学教学中运用数学变式就是数学变式教学。

3．2数学变式教学理论基础

3．2．1 变异理论

变异理论（马登理论）是由瑞士教学家 F.Marton 首先提出的教学理论，他利用“现象图数学”提出了鉴别和差异这两个核心概念。并且对学习一词阐明了自己的看法，他认为学习就是鉴别，而鉴别依赖于对差异的认识，在教学中更应该关注联系中所包含的变异的性质，才能更适应当今社会中存在的变异性[14]。

运用变异理论，教师可以在课堂上有效地拓宽学生学习空间的变异维度，在现在高中数学教学内容多，难度大，任务中的现实情况下，可以有效地提高数学课堂效果。

3．2．2脚手架理论

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变式教学在高一数学教学中的应用

在论述脚手架理论之前，先要明确最近发展区理论。这个理论强调教学过程的实质，就是教师把学生从已达发展水平过渡到潜在发展水平的过程。那么如何实现这一理论的预计目的呢？脚手架理论正解决了这一问题。

其实，脚手架理论与过程性变式没有太多的区别，只是后者更多关注数学学习过程。一般说来，学生不能利用原来的认知结构来同化新知识，不一定是原来的认知结构没有用来同化新知识的固着点，可能是学生没有发现新知识和已有知识的内在联系[15]。老师需要在数学教学中进行变式教学，也就是作认知铺垫，使学生很轻松的接受新概念，并能独立梳理原有知识与新知识之间的内在联系，学生会对内容把握的更灵活。

3．2．3建构主义学习理论

皮亚杰的认知发展论中指出，学习要有准备的。需要学生具有相对应的逻辑思维的时候，学生才能学习到抽象的东西。建构主义学习观认为[16]：数学学习是学习者主动的构建活动，而并非是被动的接受过程，因此我们就不能奢望仅仅利用“传授”就能让学生获得真正的知识，与此相反，我们必须肯定学习过程的创造(再创造)性质以及学生的创造性才能。

教师在数学教学中，需要通过变式教学，根据新课改的教材理念，精心创设有利于学生独立探究的教学情境，培养学生独立思考的能力，在变式中发现概念的本质，进而使学生有创新意识。 3．2．4有意义学习理论

“有意义的学习” 就是说，学习者必须具有有意义学习的心向，新学习的内容和学习者原有的认知结构之间具有潜在联系[17]。我们很容易知道，学生如果有学习动机是一定会促进他本身的学习的，而一旦学生认识到他们所学知识的用处也会诱发他们的学习动机。因此，在数学教学中，教师可以运用 “一法多用”等手段，给学生以新鲜感，调动学生的学习兴趣，使之更主动参与到教学中，这样会大大提升数学课堂效率。

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4 概念性变式教学

4．1 概念性变式教学的含义

学生数学学习的核心就是概念的学习，这都需要变式教学进行形成或是同化，才让学生更容易将原有的认知结构与新的认知结构联系起来[18]。高中数学中很多概念都很抽象，这会使得很多学生只是将概念熟背了下来，根本没有理解概念的内涵和外延，导致做题时发生错误。利用变式进行教学便可以让学生对概念掌握的更精准更灵活。概念性变式教学就是让学生多角度多层次的理解概念，明确概念的内涵及外延，究其本质，灵活应用。

???概念变式?概念的标准变式???概念的非标准变式??概念性变式?

??概念之间的逻辑关系??非概念变式??学生常见错误??概念的反例变式???概念变式，也可以说是“非本质属性变式”。这里还包含概念的标准变式和非标准变式两种，它们在教学中的作用是不同的，这里所说的标准与非标准很多时候也是相对而言的。例如（表4.1）

表4.1 标准和非标准变式

示例 奇偶函数的定义式 奇函数：f(?x)??f(x) 偶函数：f(?x)?f(x) 奇函数：?f(?x)?f(x) f(?x)??1(f(x)?0)f(x) 偶函数：f(?x)?f(x)?0 f(?x)?1(f(x)?0)f(x)直线表达的定义式 标准变式 y?kx?b y?y0?k(x?x.0)y?y1y1?y2?x?x1x1?x2 非 标 准 变 式 f(?x)?f(x)?0((x0,y0)为已知点) ((x1,y1),(x2,y2)为横坐标不 相同的两个点) xy??1ab(a,b分别为x轴y轴上的 截距，且a?0,b?0） ax?by?c?0作用 (a,b不同时为0） 揭示概念本质，完善学生的思维活动。 - 7 -

变式教学在高一数学教学中的应用

非概念变式，即“本质属性变式”。例如（表4.2）

表4.2 概念性和非概念性

示例 概念 概念变式 非概念变式 非概念变式 反例变式 形如 对 数 函 数 y?log2xy?log1x3y?log29xy?log3x2 y?logax 叫做对数函数。 y?log0.5xy?logax其中a?0且a?1 y?log5(?x)y?2logax(a?0且a?1)y?log1xy?log?3xy?log1xy?log?3x 作用 可以帮助学生明确概念的本质特征和概念的外延。

4．2 概念性变式的教学原则及策略

数学概念变式包括很多种变式，而学习概念要达到对概念的内化、凝聚、具体化三个阶段。高中数学概念相对会抽象难懂，这就需要教师进行数学概念变式教学，让学生摆脱一味的被动灌输，进行有意义学习，多角度多层次理解概念。

进行概念性教学的基本策略如下：

第一，教师要尽可能的应用较为直观的变式。高中数学概念基本都比较抽象，学生很难与之前已经掌握的认知建立内在的联系，这就需要变式教学。就拿高中数学空间立体几何中的二面角这一概念为例，这个概念在教学上存在极大的难点，一是空间几何对大部分学生来说就比较抽象，在直观二维上很难描绘，即使描绘出的图像学生也很难建立其立体想象。其次，二面角这一概念的本身就描述的很抽象。针对这个难点，教师在教授这个内容的时候，往往要结束变式建立概念。比如，上课的时候，老师可以就以下这些简单，具体的实例，让学生理解二面角这一概念。

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直观材料 图形变式

这里还要指出，教师在进行概念性变式教学的时候，一定要因课而异，掌握变式的度，否则为了变式而变式，效果会适得其反。

第二，教师要通过非标准变式让学生明确概念的本质。往往学生刚刚接触新的概念时，基本对概念的认识都停留在概念的表征上，稍对概念的非本质的东西做些变式，学生就弄不清楚了。这就需要教师运用非标准变式，充分给学生展示概念的其他形式，多方面的明确概念，消除学生在认知上的过于死板，培养学生创新意识。

第三，教师要通过非概念变式让学生明确概念的外延。在学习概念的时候，学生也常常会犯一些错误，究其原因就是他们没有弄清楚概念的外延。所以教师在教学中，可以进行反例变式，让学生清晰外延，划清与相近概念的界线。

棱台的概念变式 棱台的非概念变式

4．3 高一数学概念性变式的教学实例

实例一：对数运算中的换底公式的变式教学案例

在学习对数运算中的换底公式时，先要复习对数和指数之间的转换，还有关于指数，对数已经学习过的运算公式，进而引入到换底公式及公式变式。

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变式教学在高一数学教学中的应用

教学过程： （一）课前复习

如果老师给你们一个对数式，同学们能把它转化成指数式吗？比如logab?N怎么转化成指数形式？ 学生们会答道b?aN

那么下个问题是如果将指数式变成对数式呢？如ab?N （二）新课引入

问题提出：已知lg2?0.3010,lg3?0.4771，求log23=?（让学生思考）

进而引出这节课我们要继续学习对数运算的最后一个公式换底公式。

logab?logcb。 logca思考：让学生们以利用学过指数对数的知识，推导这个公式。

学生会得到：设logab?N,则b?aN,然后对等式两边同时取以c为底的对数，得到

logcb?logcaN,?logcb?Nlogca，?N?进行变式：变式1 logab?1 logbalogcblogcb，最后就有logab?。 logcalogca 变式2 logab?logba?1 变式3 logambn?n (a,b?0且a,b?1,m,n?0) m思考：这些变式都应该怎样进行推导呢？

学生:应用换底公式，可以把logab都换成以b为底的对数，即logab?=

1，同理logab?logba?1…… logbalogbb logba（三）新知引用

变式练习：（1）我们已经对换底公式有了多角度的掌握了，那么这节课最开始的问题是不是就可以得到解决了。①lg2?0.3010,lg3?0.4771,求log23= ②若log1227?a，试用a表示log616

（2）求下列各式的值 ①、log49?log32 ②log48?log39

③(log2125?log425?log85)?(log52?log254?log1258)

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实例二：函数的奇偶性定义

在学习时，学生并不能真正理解这一概念，就需要进行变式练习，让学生体会，进一步强化对函数奇偶性的理解。 （一）新课引入

变式：判断函数的奇偶性

（1）f(x)?x4 偶函数 （2）f(x)?x4(x?(?1,1]) 非奇非偶 （3）f(x)?x3,(x?[?3,3]) 奇函数 （4）f(x)?x3(x??2) 非奇非偶 （5）f(x)?x?1 奇函数 x（6）f(x)?x2?9?9?x2 非奇非偶

?2,（7）f(x)????2,x?(1,??) 奇函数

x?(??,?1)（8）f(x)?x2?x4 偶函数 （9）f(x)?0,(x?[?1,1])既奇又偶

这样的变式，可以让学生了解函数从奇偶性可以分的类型，同时可以让学生摸索出判断函数奇偶性的方法，通过变式使得学生深一步的认识函数的这个性质。

案例三：函数的单调性定义(人教B版高一必修第一册44页)

函数的单调性定义：一般地，设函数y?f(x)的定义域为A，区间M?A.如果取区间M中的任意两个值x1,x2，该变量?x?x2?x1?0，

则当?y?f(x2)?f(x1)?0时，就称函数y?f(x)在区间M上是增函数，当

?y?f(x2)?f(x1)?0时，就称函数y?f(x)在区间M上是减函数.

一般地，设函数y?f(x)的定义域为A，区间M?A.如果取区间M中的任意两个值x1,x2

变式1 若x1?x2，则f(x1)?f(x2)?0?增函数； 若x1?x2，则f(x1)?f(x2)?0?减函数 . 变式2 (x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0?增函数；

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变式教学在高一数学教学中的应用

(x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0?减函数. 变式3

f(x1)?f(x2)?0x1?x2(x1?x2)?增函数

f(x1)?f(x2)?0x1?x2灵活些。

(x1?x2)?减函数

这些函数单调性的变式可以让学生灵活掌握这个性质的本质，并在应用中可以更加

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5 过程性变式教学

5．1 过程性变式教学的含义

在数学教学中，有时候静态的数学概念变式很难反映动态的教学活动，这就使得过程性变式教学尤为重要[19]。过程性变式注重对学生内在的递进过程，过程性变式可以使学生形成概念和命题之间的层级关系或在问题解决中获得多种方法[20]。

往往这种教学模式会从概念形成过程方面，数学问题解决的教学上，建构特定经验系统方面三方面的效果更为突出。利用变式对问题进行划归，是中学数学教师在教学中常常用到的，极其有效的教学变式，同时有助于培养学生主动思考的意识[17]。这就需要过程性变式为新旧知识之间做适当的铺垫，层层推进，使学生一步步地解决问题。一般都包括以下三种变式的拓展：

（1） “一题多变”，这里说的“变”包括原问题的条件，结论和一般化的引申上改变，也包括解题过程中的铺垫，通过这种一个问题上的多种变化，可以拓展学生的创造性思维。

（2） “一题多解”，这种变式可以让学生对各种方法掌握的更灵活，在遇到新的问题时，更容易独立思考解决[21]。

(3) “一法多用”，这种变式可以让学生多角度的体会到这种方法，使其在解决类似问题时，更加灵活。

5．2 过程性变式的教学原则及策略

（1）概念形成过程方面

在概念形式的过程中运用过程性变式，往往会有经过操作阶段，过程阶段，对象阶段，深化阶段。

操作阶段，就是需要教师引导学生在设计的教学情境中独立观察，操作。 过程阶段，就是设计一些教学变式，使学生对概念进行有层次的推进。 对象阶段，学生把头脑中形成的数学概念形式化地表达出来。

深化阶段，在这个阶段的时候，教师应该再次运用概念性变式，使学生对概念理解的更深入。

（2）数学问题解决

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变式教学在高一数学教学中的应用

第一，让学生清楚问题。第二，要通过对问题情景和蕴含的信息的分析，让学生对问题作出表征。第三，在弄清楚问题的基础上，运用已经掌握的知识和经验改变问题的原始状态，在原始状态与目标状态之间进行过程性变式。第四，进行反思，考察方法是否适宜，是否接近最终目标，如果有偏差就进行调整。

在进行教学的时候，要因题而异，也要有针对性的进行变式，设计适合学生的变式，为学生做适当的铺垫，给学生建立“脚手架”，也就是“潜在距离”。 （3）建构特定经验系统方面

要建构特定的经验，一般教师都会通过一题多变，一题多解，一法多用等方式对学生进行某种经验的培训，这样会丰富学生的解题经验，掌握更多的解题方法。

5.3 高一数学过程性变式的教学实例

实例 ：考查知识点：函数的对称中心

原题：函数y=lg(x+x2+1)的图象关于原点对称。

x)+f(x)=lg(-x+(-x)2+1)+lg(x+x2+1) 解：该函数定义域为R，且f(-=lg(-x+x2+1)(x+x2+1)=lg1=0

∴f(-x)=-f(x)，∴该函数图像关于原点对称

变题1：

x+1)=-f(x+1)则y=f(x)的图象的关于(1,0)对称 已知函数y=f(x)满足f(-x+1)=-f(x+1)∴y=f(x+1)为奇函数 解：?f(- ∴y=f(x+1)的图象关于(0,0)对称，故y=f(x)的图象关于(1,0)对称。 变题2：

x)=2则函数y=f(x)的图象关于(0,1)对称 已知函数y=f(x)满足f(x)+f(-x)=2得，∴f(-x)-1=-[f(x)-1]，y=f(x)－1为奇函数 解：由f(x)+f(-∴y=f(x)－1的图象关于(0,0)对称，∴y=f(x)的图象关于(0,1)对称

变题3：

已知函数y=f(x)满足f(x)+f(2+x)=2则y?f(x)的图象关于(1,1)对称

1，则-x=1-t，?f(x)+f(2+x)=2∴f(1+t)+f(1-t)=2，∴f(x)满 解：令x=t-∴y=f(x+1)-x)=2，x+1)-1=-[f(x+1)-1]，1的图象关足f(1+x)+f(1-即f(-- 14 -

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于原点（0，0）对称，故y=f(x)的图象关于（1，1）对称。结论：若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(c-x)=b，则y=f(x)的图象关于(变题4：

4x121000)?f()?....?f()已知f(x)=x求证：(1)f(x)+f(1-求f(x)=1 （2）

4+2100110011001a?cb,)对称。 22的值。

x4x41-4x2x)?x?1-???1，得证。- （1）证明：f(x)?f(1-4?24x?24x?24x?2（2）解：?1)?f(1000f(x)?f(1-x)?1，故f(10011001)?1

9992f(1001)?f(1001)?1，??，

∴

12f(1000)?f(1000)???f(10001001)=500

用几何的观点研究代数问题，可以加强学生数形结合思想的养成，使学生在数和形的理解把握好一个联系的尺度，能够由数想到形的意义，由形想到数的结构，从而达到快速解决这类问题的目的。事实上，有许多解析几何最值问题和代数中许多最值问题都可以用类似的方法解决，这对学生数学思维能力的培养，有着很积极的作用。

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变式教学在高一数学教学中的应用

6 数学变式在高中应用的问卷调查分析

我设计了两个问卷调查，一个是针对高中数学教师对变式教学认识的问卷（附录A），另一个是针对高一学生对数学变式感知的问卷(附录B)，旨在了解现在高中教师对变式教学的理解与运用，和高一学生对数学变式的感知。我在盘锦市大洼高级中学进行了半年的数学教育实习，向这所学校的数学教师一共发出32份问卷，收回32份，学生512份，收回510份。期间也向其中的一些数学教师进行的简单的访谈。

6.1高中数学教师对变式教学的认知

在进行数学变式前，这所学校的高中数学教师中，有62.5%的进行了并不是非常充分的准备（B），15.6%就是无意识行为（C）,6.3%根本不准备（D），只有15.6%才能进行非常精心的变式教学的准备。（以下选项都在文中进行了说明，题目都选自附录A）

表7.1.1描述高中数学教师在课前准备变式教学情况的人数分布 第4题 n=32 A 5 B 20 C 5 D 2

图7.1.1描述高中数学教师在课前准备变式教学情况的人数的百分比

70605040302010015.615.66.3ABCD人数62.5

从中我们可以看出，文献中记载的早期我国数学变式教学的进行大多是无意识的，而现在的状况还是有所好转的，一线数学教师的变式教学已近是有意识设计的了，说明数学教师已经认识到变式在教书中的重要作用，只不过精心去准备的还是少数。 在数学变式教学的课堂上，教师对变式设置有6.25%的认为变式的设置应该只为达到预期教学目标（A），9.4%的认为只为能够尽可能的让大部分学生接受即可（B），6.25%

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的认为是否使学生对概念的理解有深层次的认识是考虑的重点(C)，3.1%的教师认为只需考虑是否能够让学生对知识点更清晰(D)，其中高达75%的教师认为以上都是我们都需要考虑的因素(E)。还有一些教师在F中做了一些补充。

表7.1.2描述高中数学教师在课堂中变式教学的设置情况的人数分布

第8题(2) n=32 A 2 B 3 C 2 D 1 E 24 图7.1.2描述高中数学教师在课堂中变式教学的设置情况的人数百分比

8070605040302010075人数6.25A9.4B6.25C3.1DE

这说明大部分教师在进行变式设置的时候，考虑到了教学目标，还有就是学生的接受能力，更有针对的进行适当的教学，为学生掌握数学逻辑知识做好了铺垫。 以此可以发现，很多高中数学教师对变式教学的理论认识还是有些模糊，大多都是“一题多变”的理解，设计过的变式教学也没有太精心的准备，更是把变式教学单一的认为是一种手段或是一种思想而已，没有全面的去看。但总体上还是朝向好的趋势。与教师的交谈中，感觉到教师对实际教学中存在的困难显得很无奈。他们会认为，只能尽可能的在高中数学时间紧任务重的实习情况下，遵从新的教学大纲进行变式教学，但是避免不了学生参差不齐的数学基础，使得教学过程中不得不甩掉很多学生，再加上教学环境总是不能达到最好的状态。

6.2高一学生对数学变式感知

在学生的问卷中，设置了几个与教师问卷进行对比的问题。就教师设置的数学变式，学生的感受是62.75%认为很好，让自己学习起来理解的很透彻（A）；同时也有28.82%的同学认为，不太接受，很多时候根本没有理解（C）；2.35%的认为还是有点少，不能

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变式教学在高一数学教学中的应用

充分体现概念的本质（B）；6.08%的认为(D) 完全觉得没有必要，浪费时间。（以下选项都在文中进行了说明，题目都选自附录B）

表7.2.1描述高中学生对变式教学设置感知情况的人数分布

第3题（2） n=510 A 320 B 12 C 147 D 31 图7.2.1描述高中学生对变式教学设置感知情况的人数百分比

70605040302010062.7528.826.08CD人数2.35AB

从中可以看出，高中的学生对于变式的设置，大部分还是可以接受的，不过还是有部分学生跟不上。不过这也属于较为正常的结果，毕竟学生的基础还是有差异的。

在第5题设置了两道数学题，让学生进行解答，其中（3）中看出10.98%的学生不能将对数型函数方程转化为一元二次方程（A）；53.14%的学生不能将一元二次方程根的问题与二次函数相结合(B)； 20.59%的学生根本不会（C）；15.3%的学生认为这道题没有任何困难(D)。

从这里我们可以看出，对于一元二次的三个关系学生掌握的还是不太好，诚然确实这个部分是个难点，但毕竟一元二次函数和方程学生在初中的时候是已经学习过的，这也说明高中教师在这个需要加强设计。

表7.2.2描述高中学生对一道数学问题解答情况的人数分布

第5题（3） n=520 A 56 B 271

C 105 D 78

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图7.2.2描述高中学生对一道数学问题解答情况的人数百分比

6050403020100ABCD10.9820.5915.3人数53.14

总体看这些教师的问卷，不难看的出，教师在进行变式教学的时候，经验占据很大的原因，大部分教师还是能够根据最新的教学大纲，有效地设置数学变式进行教学，尽可能的让学生多角度多层次的认识本质，有利于提高学生的学习效率，尽可能的避免的题海战术。而且从学生的问卷中，也不难进一步体现数学变式教学的优势，深受学生的喜欢，扫除了学生对高中数学的恐惧。

所以我想针对高中教师的数学变式教学的问题，帮他们梳理下变式教学的理论，变式教学原则和需要注意的问题。进而探究了两个教学案例，希望能给在教学上提供一些参考。

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变式教学在高一数学教学中的应用

7 高一数学变式教学案例分析

7.1案例1——对数函数

下面以人教B版高一必修第一册对数函数第一课时为例，进行案例分析。 教学目标

1、知识与技能：经历分析指数与对数的关系，探究指对函数的图像关系，让学生理解

对数函数概念。掌握对数函数的图象及性质，并能应用其性质解决问题。

2、数学思考：经历变式、总结对数函数图像及性质等教学活动过程，发展学生合理推

理和演绎推理能力，发展学生自主学习、综合归纳、数形结合的能力。

3、解决问题目标：形成利用对数函数性质及图像解决对数函数比较大小，值域等问题

的一些基本策略。

4、情感态度与价值观：在数学活动中引导学生由指数函数的性质，启发学生从知识之

间的内在联系着手，抓住指数与对数的关系，从而培养学生的观察能力，使学生逐步养成严谨的作风，独立思考的精神。

教学重点：对数函数的概念、图象和性质； 教学难点：对数函数的性质灵活应用； 教学过程： (一)课前回顾

教师：同学们先回顾下，我要是给你一个指数，同学们能把其转化为对数形式吗？

1练习： 8?2 ， ()?2?4

21学生： log82?，log14??2

3213教师：我们再一起回顾下指数函数定义是什么？

学生：一般地，函数y?ax（a?0且a?1）的函数叫做指数函数，其中x为自变量，定义域为R.

教师：那么，我们一起来回顾下指数函数图像及性质。（运用PPT）

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（二）导入新课

a>1 0

y y x 0 定义域:

. 1 R

1 0 . x 值域: ( 0 , +∞ )

( 0 , 1 ),即当 x = 0 时,y =1 过点

在R上是增函数 当 x<0时, 0

当 x>0时,y>1

在R上是减函数 当 x<0时,y>1 当 x>0时, 0

教师：请同学们回想一下我们在学习指数函数的时候，引用的细胞分裂的问题，在细胞分裂过程中，细胞个数y是分裂次数x的指数函数是什么。 学生：y?2x

教师：很好，我们知道x的值就能求出y的值，这样就建立了一个细胞个数y和分裂次数x之间的函数关系式.

提问：①现在我们把问题反过来去思考，已知细胞的个数y，如何求分裂次数x呢？ 学生：x?log2y

教师：那么每输入一个y值，是否一定都唯一的得到x的值呢？

学生：应该是唯一的，因为之前的指数形式y?2x中，每给一个x都有唯一的一个y与

之对应。

教师：这样就能确保对数式中的唯一性了吗？

学生经过讨论得出：还要强调指数函数是单调函数，这样就可以保证对数式中的唯一性了。

【同样模式提问之前遇到过的放射性物质的问题，让学生感受到对数函数的底数不一定要大于1，明确对数函数也是根据底数分为两类】 （三）新授课

教师：我们一起来看下，x?log2y，x?log0.84y对于y 在R?内的每一个确定的值，在R内都有确定唯一的x与之对应. 那么x就是y的函数，我们就把这种新的函数叫

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变式教学在高一数学教学中的应用

做对数函数。当然，通常我们用x表示自变量，用y表示函数值，哪位同学可以归纳下对数函数的概念呢？

学生：形如y?logax的函数就是对数函数。 教师：有同学想进行补充的吗？ 学生没有思考方向

教师：指数形式装换到对数的时候，大家会发现什么是没有变化的吗？ 学生：底数。

教师：很好，那么对数函数对底数的限制跟指数的限制有关系吗？ 学生：形如y?logax(a?0且a?1,x?0)的函数叫做对数函数

教师：那么，同学们思考下，对数函数的定义域，值域分别是什么呢？你是怎样思考的呢？

学生：应该是定义域是(0,??)，值域是R。通过指数与对数的转换，类比出来定义域、值域。

教学变式练习：判断下列哪个是对数函数

(1)y?log2x(2)y?log1x3是是

(3)y?log29x(4)y?log3x2(5)y?log5(?x)(6)y?2logax(a?0且a?1)(7)y?log1x(8)y?log?3x不是不是不是不是不是不是

教学活动：同学们，通过刚才指数函数的x、y和对数函数的x、y的对应关系的研究，尝试着思考、运用描点法画出y?log2x，y?log1x的图像。（提示学生画出指数函数

2?1?y?2x，y???图像，对调x、y的位置，我会演示图8.1.1和图8.1.2）

?2?x

图8.1.1

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图8.1.2

教师：问题1：从图形中，同学们能认识到对数函数的值域是什么？问题2：同学们分析下对数函数的单调性问题。问题3：对数函数y?logax（a?0,a?1,）是否具有奇偶性，你是如何辨别的？问题4：对数函数y?logax（a?0,a?1,），当a?1时，x取何值，y?0，x取何值，y?0,当0?a?1呢？上述问题的答案又会是怎样的呢？让学生观察图像，积极思考，进而总结对数函数的图像特征和性质，必须让学生做到理解。进而完善下面教师建构的表格

a?1 y0?a?1 y(1,0) 0 x 0 (1,0) x 1、图象的位置： 在y轴的右侧； 2、图象过定点：（1，0） 3、图象向上无限延伸，向下无限接近y轴. 4、随着x增大，图象是上升的 3、图象向下无限延伸，向上无限接近y轴. 4、随着x增大，图象是下降的 5、x?1时，函数图像在x轴上方； 5、x?1时，函数图像在x轴下方； 0?x?1时，函数图像在x轴下方； 当0?x?1时，函数图像在x轴上方 定义域 值 域 单调性 奇偶性 单调递增 (0,??) R 单调递减 非奇非偶

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变式教学在高一数学教学中的应用

（四）练习巩固

例题1 求下列函数的定义域（a?0且a?1） （1）y?logax2； （2）y?loga(4?x)

学生：（1）为了使函数有意义，所以x2>0,也就是x?0所以函数y?logax2的定义域是?x|x?0?，或记为???,0???0,???

（2）为了使函数有意义，所以4?x?0,也就是x?4,所以函数y?loga?4?x?的定义域是???,4?

变式练习：求下列函数的定义域 （1）y?log5(1?x) ?（2）y?(??,1)

1log2x?(0,1)?(1,??)

例2、（1）比较log23与log23.5的大小

（2）已知log0.7(2m)?log0.7(m?1)，求m 的取值范围。 解：（1）考察函数y?log2x，它在区间(0,??)上是增函数

因为3<3.5，所以log23?log23.5

（2）考察函数y?log0.7x，它在区间(0,??)上是减函数.因为

log0.7(2m)?log0.7(m?1)，所以2m?m?1?0

?2m?m?1 由??m?1?0得m?1

变式练习：比较m，n的大小

（1）log0.2m?log0.2n （2）logam?logan小结：

?m?n

(a?1) ?m?n

【先由学生讨论小结，比较两个同底对数值的大小时需要注意的事项，教师加以补充】

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?1、关注底数a?比较两个同底对数值的大小的方法:?2、比较真数大小

?3、根据单调性判断?（五）知识延伸

思考：对数函数随底数a的变化，图象如何变化？图像有规律吗？

【在几何画板中进行演示】

让学生讨论其中的规律。规律：在x轴上方图象自左向右底数越来越大。 注意：a在1处的分界。 （六）归纳总结本节课

教学活动：让学生们自己总结本节课。教师在黑板上突出重点。

1．对数函数的定义 2. 对数函数的图像及性质

（七）教学反思

学生刚刚学习过指数和对数，高一的学生虽能感受到指数和对数之间的联系，但不能掌握透彻。再加上，学生本身对函数理解的就不是很到位，所以在学习这节课的内容上是有一定难度的。如何突破这个难点呢，我认为通过理解指数和对数的关系，进而能掌握对数函数图象是本节课的重中之重。

在创设教学情境的时候，尤其在引入对数函数概念之前，必须先带学生们复习下指数和对数形式的转换，指数函数的概念，有利于学生掌握理解对数函数的定义，尤其是对数函数的对自变量x的限制。在研究对数函数图象的时候，也是利用学生原有的知识基础，通过对数函数与指数函数自变量与因变量之间的关系，掌握对数函数图像，这样也方便学生记忆。

y 2 y ? log 2 x

1 1 41 2 0 1 2 3 4 -1 x log y ?3 x x y?log1x3

-2 y ? log 1 x

27.2案例2——空间中的平行直线

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变式教学在高一数学教学中的应用

下面以人教B版高一数学必修第二册第一章立体几何初步1.2.2空间中的平行关系第一课时为例，进行案例分析。 教学目标

1、知识与技能：经历平面中的平行直线的传递性，类比出空间平行直线的传递性，让

学生理解平行直线的基本性质4，并能灵活应用，进而了解空间四边形的概念对数函数的图象和性质。

2、数学思考：经历探究、变式、总结及应用空间平行直线的基本性质4等教学活动过

程，发展了学生合理推理及演绎推理能力，发展学生自主探究、综合归纳、符号语言和图形语言相结合的能力。

3、解决问题目标：形成一定的空间想象力，利用空间平行直线基本性质解决空间直线

平行问题。

4、情感态度与价值观：在数学探究中引导学生由平面直线平行为思考的出发点，启发

学生从事物之间的内部联系入手，抓住平面与空间中直线平行的关系，从而培养学生的几何推理能力，培养学生逐步形成严谨的作风。

教学重点：空间中的平行关系基本性质4及应用； 教学难点：空间中图形平移的性质； 教学过程： （一）课前回顾

教师：初中我们其实就已经学习过平行直线，那么谁能回答下平行线的定义呢？学生：

在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。

教师：非常好，那么我们把定义中的同一个平面去掉，也就是我们可以说不相交的两条

直线就是平行线吗？

学生在回答中还是会少了异面直线这种情况的，这里要强调。 学生：还有异面直线的情况。

教师：不错。所以我们在说平行直线定义的时候，一定要说在同一个平面里。那么平行

的直线一定共面吗？这是我们上节课学过的，回顾下。 学生：平行直线一定共面。

教师：那么初中我们学过的平行直线的基本性质有哪些呢

学生：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行。在同一平面内，如果两条直线

都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

探究1：那么现在大家思考下，这些性质拿到空间中，是否还成立吗？

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探究2：把一张矩形的纸对折几次，打开后观察折痕，这些折痕之间存在什么关系？

图 8.2.1

（二）新授课

基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。即，如果直线a//b,b//c，那么a//c.（通常称为空间平行线的传递性）（图8.2.2） 教师举一些生活实例。

探究3：刚才的折纸中，两个角是否相等？同学们可以从平移的角度来理解这个结论吗？（图8.2.2）

图8.2.2 图8.2.3

教师：我们把它变成数学语言

已知：如图，?BAC和?B'A'C'的边AB//A'B'，且射线AB与A'B'同向，射线AC与A'C'同向。求：?BAC=?B'A'C'

证明：对于?BAC和?B'A'C'在同一个平面内，容易证明。如果两个角不在同一个平面内.分别在?BAC的两边和?B'A'C'两边上截取线段AD，AE和A'D'，A'E'使AD=A'D'，AE=A'E'.

?AD//A'D'

?AA'D'D是平行四边形. ?AA'//DD' 同理可得AA'//EE'

A

E A’E’1 1 C’1 D’B’ C D

B ?DD'//EE'

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变式教学在高一数学教学中的应用

?DD'E'E是平行四边形

?DE?D'E'

??ADE??A'D'E'

??BAC=?B'A'C'

定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等。

探究4：如果把等角定理中的方向相同这个条件去掉，那么这两个角的关系又如何呢？ 推论1 若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，且方向都相反，则这两个角相等。

推论2 若一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，且一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，则这两个角互补。

原角 推论1 推论2

通过这样的变式，让学生对等角定理多方位的理解，抓住本质，有利于学生掌握和灵活应用这个定理。

变式练习：若?BOC??B'O'C'且OA//O'A',OA与O'A'的方向相同，则正确的是（ D） A. OB//O'B'且方向相同 B. OB//O'B'

C. OB//O'B'不平行 D. OB//O'B'不一定平行

教师：进行下一部分知识。中学的时候我们就学习过四边形的概念，不过是在平面中的，现在我们要研究空间四边形，先掌握下空间四边形的相关概念。顺次连结不共面的四点A、B、C、D所构成的图形叫做空间四边形。(图8.2.4)

图8.2.4

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教师：以后我们再提起四边形的时候，大家不能只想平面内的四边形，空间四边形也是四边形，尤其在一些判断正误的问题上，一定要考虑全面。还要注意空间四边形的画法，同学们在下面练习一下，注意与四面体画法的区分。

例1已知，如图，空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形. 教师：同学生在下面思考证明一下。 学生：证明：在?ABD中，

?E,H分别是AB,AD的中点，

1BD 21 同理，FG//BD,FG?BD

2 ?EH//BD,EH? ?EH//FG,EF?FG ?四边形EFGH是平行四边形.

变式探究1：例题1中加一个条件，AC?BD,则四边形EFGH是什么图形呢？

变式探究2已知:四边形ABCD是空间四边形, E、H分别是边AB、AD的中点, F,G分别是边CB,CD上的点,且求证:四边形EFGH是梯形

(三)课后探究

2.如图，可以理解为类似角的平移，图形平移有哪些性质？图形平移后与原图形是否全等？对应角的大小和对应两点间距离是否保持不变？ （四）课堂小结

①空间中平行直线的基本性质4（空间平行线的传递性） ②等角定理

③空间四边形及相关概念。 （五）教学反思

空间中的平行关系第一课时在空间中的平行关系中是较为重要的一课。学生刚刚建立空间思维，还会经常性的考虑不全面。一说到平行往往只能想到平面中的平行，但

A A1 E D E1 CFCG2?? CBCD3CD11BC B - 29 -

变式教学在高一数学教学中的应用

好在这节课的平行直线不论是平面中的还是空间中的一些性质都是一样的，况且学生理解起来不存在太大问题。不过本节课的等角定理学生掌握的不太透彻，主要是学生总是忽视“分别对应平行，且方向相同”。本节课的空间四边形这个概念也很重要，不过这并不是一个难点。

在创设教学情境的时候，先从初中平面直线平行入手，在学生已经掌握的知识水平上，提出一些问题，让学生自主探究。可以借助一些多媒体、教具或是生活中的实物，有利于学生构建空间思维，也培养了学生数形结合的思想。

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8 数学变式教学的再认识

8．1 教学反思

变式教学一直都是数学教学的主要形式，尤其是数学学科，任务重，时间紧，难度大，在这样的情况下，就更突出了变式教学的优势。教师通过不同适当的变式，为学生搭建“脚手架”，在这过程中，让学生独立思考数学“变”的大环境中“不变”，有利于培养学生的创新意识，更能抓住数学的本质东西，起到举一反三的效果，帮助学生脱离“题海战术”的苦海与教师教学上的无奈。从老师的角度去看，第一，变式教学可以充分调动学生的自主学习，有利于培养学生的创新能力。第二，可以转换教学形式，可以让学生充分体现数学中的数形结合和化归思想。第三，变式教学对教师把握教材，研究理论，设计课堂的要求也提高了。从学生的角度去看，数学变式教学有利于培养学生的抽象思维和发散思维，加深了学生对数学内容的理解，并能对其灵活应用，减轻学生负担。其实，很多教师能看到变式教学在教学上的巨大效果，但为什么实际教学中没有达到预想的效果呢，“灌输”的思想和“题海”的现象在高中仍然是极其普遍的想象呢？变式教学固然是极其有效地教学，但运用变式也要注意一些问题。

变式教学并不是一个万能的教学形式，这就不得不说到变式教学在我国教学上的局限。很多教师会用单一的角度去看数学变式教学，把变式练习等同于变式教学。学生与学生之间本身就存在着很大的认知差距，要针对不同的数学内容设计教学，使数学变式一直处于学生的“最近发展区”。在设计的时候，还要掌握变式教学的“度”和连贯性，如果就是一味的突出变式，反而会让学生感觉很乱，抓不住学习上的主要内容，而是在死记那些变式，这样就是曲解了变式教学的真正作用。

8.2 数学变式教学展望

在之后的教学中，一线的高中数学教师能够真正去理解变式教学，对变式教学的相关理论进行学习，并能够精心设计每节课的变式，构建“脚手架”，让学生不会觉得高中数学很抽象。还有，现在的教育技术越来越先进，将它运用在变式教学上，可以更全面的让学生感知数学概念。用多媒体进行变式教学，图像、动画等多维度展示给学生数学概念，性质形成的过程，可以让课堂效果更好。数学变式教学是中国特色主义教学，我们深深的相信，它的明天一定会更加美好。

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变式教学在高一数学教学中的应用

参考文献

[1]顾泠沅．寻找中间地带[M]．上海：上海教育出版社，2003：225

[2]Leung．F.K.S. Insearch of an East Asian identify in mathematics education [J].Educational

Studies in Mathematics,2001(47).:14

[3]Watking D，Bain J．The Chinese learner：Culture psychological and contextual

Influences[M]．Hong Kong：CERC&ACER，1996：119

[4]鲍建生，黄荣金等．变式教学的研究[J]．数学教学．2003(2)：8．10 [5]郑毓信．中国学习者的悖论[J]．数学教育学报，2001，10（1）：6–10． [6]鲍建生等．变式教学研究再续[J]．数学教学．2003(3)：9．11

[7]Vygotsky. Mind in Society : The Development of Higher Psychological Processes . Harward Univer2sity Press , 1978.

[8]聂必凯.数学变式教学的探索性研究：（博士学文论文）.授学位地：华东师范大学，2004. [9]刘长春，张文娣．中学数学变式教学与能力研究[M]．济南：山东教育出版社，2001 [10]张子卫．谈利用数学变式题活动思维[J]．四川职业技术学院学报，2002，(4) [11]丁殿坤，边平勇.变式在高等数学中的应用.高等函授学报，2010. [12]吴宪芳，郭熙汉．中学数学教育概论[M]，湖北：湖北教育出版社，2005. [13]顾明远等．教育大辞典(简编本)[M]．上海教育出版社，1999，273 [14]范良火等．华人如何学数学[M]．江苏：江苏教育出版社2005． [15]魏志平．支架式教学方法[J]．数学通讯,2003(19)．

[16]郑毓信等．认知科学、建构主义与数学教育[M]．上海：上海教育出版社．1988：86 [17]陆书环，傅海伦．数学教学论[M]．北京：科学出版社2004．

[18]李士锜．数学教育心理学[M]．上海华东师范大学出版社，200l：109-1lO

[19]顾泠沅，杨玉东．过程性变式与数学课例研究[J].《上海中学数学》2007(1．2)：4

[20]郑毓信．国际教育视角下的中国数学教育一关于中国数学教育的再认识[J]．中学数学教学参考，

2003(1-2合期)：2

[21]刘长春，张文娣.中学数学变式教学与能力培养[M]．济南：山东教育出版社，2001．67-68．

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辽宁师范大学硕士学位论文

附录A 高中数学教师关于变式的问卷调查

尊敬的老师：

您好！我是辽宁师范大学数学学院10级教育硕士，我现在着手学位论文的撰写，论文的内容跟高中数学变式教学有关。结合我论文课题的需要，以下是关于高中数学教师对变式教学的认知情况的调查问卷表．我迫切地希望得到您的支持，请您如实回答所有问题．非常感谢您的合作！

姓名：_____________ 性别：______ 学校：____________________ 年龄：______ 学历：_____________ 从教年限：___________ 1、您认为变式在数学教学中的作用是：（ ）

A 很重要 B 可有可无 C 完全没用 D 说不清楚 2、您在数学课堂上运用变式进行教学的情况：（ ） A 经常 B 偶尔 C 几乎不 D 没用过 3、您认为数学变式教学是一种：（ ）（可多选） A 教学模式 B 教学思想 C 教学手段 D教学现象 4、您在每次进行变式教学的之前会：（ ）

A 非常精心的准备 B 稍作准备 C 无意识的 D根本不用 5、您认为数学中的变式在教学中主要体现是：（ ）

A 一题多解 B 一题多变 C 一法多用 D教法上的变式 E其他______ 6、您认为在数学课堂上使用变式的效果：（ ） A 及其好 B一般 C 不太好 D根本没有效果 7、您一般会在哪个教学环节中使用变式：（ ）（可多选） A课前复习 B新课引入 C探究新课 D课堂巩固 E 本课练习

8、某位老师在教授函数的单调性这一节时，函数单调性定义运用了以下变式 (a) 变式1 若x1?x2，则f(x1)?f(x2)?0?增函数； 若x1?x2，则f(x1)?f(x2)?0?减函数 .

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变式教学在高一数学教学中的应用

(b) 变式2 (x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0?增函数； (x1?x2)[f(x1)?f(x2)]?0?减函数. (c) 变式3

f(x1)?f(x2)?0x1?x2(x1?x2)?增函数

f(x1)?f(x2)?0x1?x2(x1?x2)?减函数

（1）您会觉得这些变式的设置：（ ）

A 太多，不适宜本节课 B 刚好，让学生能多层次理解 C 有点少，还需要添加 D 太少，不足以突出定义的本质 （2）您在做概念变式教学的时候，判断适度的标准是：（ ）

A 是否能达到预期的教学目标 B是否能够尽可能的让大部分学生接受 C是否使学生对概念的理解有深层次的认识 D是否能够让学生对知识点更清晰 E 以上都是考虑的因素 F其他_________________________ 9、在教授一元二次函数这节时，你会进行了（ ） （1）A 添加三个一元二次关系这个知识点。

B 不太会专门拿出来进行分析讲解。

C 根本没有必要讲授除了一元二次函数之外的知识联系，会让学生很困惑。 D 遇到再说。

（2）学生在遇到类似如下：若不等式(a?2)x2?2(a?2)x?4?0对一切x?R恒成立，则

a的取值范围_______的问题，会遇到的困难是：（ ） A 总是只讨论a?2的情况 B 根本不会 C 与一元二次函数的联系与转化掌握的不好 D 不会遇到困难 10、在您教授圆台的时候，会进行怎样的讲授过程：（ ）

A 是由以直角梯形中垂直 B 是把圆锥由平行于底面 于底边的腰旋转而成的几何体。 的平面截得所得的几何体。

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