拓扑空间中集合的导集

拓扑空间中集合的导集

题目：拓扑空间中集合的导集

摘要：如果在一个拓扑空间中给定一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各不相同，因此可以对它们进行分类处理。本文介绍了拓扑空间中集合的导集。 正文：

1、拓扑空间的定义：

设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件： （1）X， ∈T；（2）若A，B∈T，则A∩B∈T；（3）若 ∈T，则 ，则称T是X的一个拓扑。

如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间或称集合X是一个相对于拓扑T的拓扑空间，或当拓扑T早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，则称集合X是一个拓扑空间。 2、导集的定义

设X是一个拓扑空间，AX．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．

即:(牢记)

3、 离散空间中集合的凝聚点和导集．

设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得

，以上论证说明，集合A没有任何一个凝

聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝． 4、平庸空间中集合的凝聚点和导集．

设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论：

第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即 d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．） 第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠，点x只有惟一的一个邻域X，这时

，所以

；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对

于的惟一邻域X有：d（A）=X-A．

第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X． 定理：设X是一个拓扑空间，AX．则 （l）d（）=；

（2）AB蕴涵d（A）d（B）；

所以

（3）d（A∪B）＝d（A）∪d（B）；

（4）d（d（A））A∪d（A）．

定义 设X是一个拓扑空间，AX．如果A的每一个凝聚点都属于

A，即d（A）A，则称A是拓扑空间X中的一个闭集．

例如，离散空间中的任何一个子集都是闭集，而平庸空间中的任何一个非空的真子集都不是闭集．

定理 设X是一个拓扑空间，AX．则A是一个闭集，当且仅当A的补集是一个开集．

定理 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集构成的族．则： （1）X，∈F

（2）如果A，B∈F，则AUB∈F （从而如果 （3）如果≠

)

在此定理的第（3）条中，我们特别要求≠的原因在于当 =时所涉及的交运算没有定义．

总结：（1）有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开集．其余情形不一定．

（2）有限个闭集的并是闭集，任意个闭集的交是闭集．其

余情形不一定．

定义 设X是一个拓扑空间,AX,集合A与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记作或

容易看出,

(注意:与x∈d(A)的区别)

定理 拓扑空间X的子集A是闭集的充要条件是A=

证明:定理成立是因为:集合A为闭集当且仅当d(A)A而这又当且仅当A=A∪d(A)

定理 设X是一个拓扑空间,则对于任意A,B∈X,有：

定理 拓扑空间X的任何一个子集A的闭包都是闭集．． 定理 设X是一个拓扑空间，F是由空间X中所有的闭某构成的族，则对于X的每一个子集A，有

即集合A的闭包等于包含A的所有闭集之交．

由定理可见，X是一个包含着A的闭集，它又包含于任何一个包含A的闭集之中，在这种意义下我们说：一个集合的闭包乃是包含着这个集合的最小的闭集．

在度量空间中，集合的凝聚点，导集和闭包都可以通过度量来刻画．

定义 设（X，ρ)一个度量空间．X中的点x到X的非空子集A的距离ρ（x，A）定义为

ρ（x，A）＝inf{ρ（x，y）|y∈A}

根据下确界的性质以及邻域的定义易见：ρ（x，A）＝0当且仅当对于任意实数ε＞0，存在y∈A使得ρ（x，y）＜ε，换言之即

是：对于任意B（x，ε）有B（x，ε)∩A≠，而这又等价于：对于x的任何一个邻域U有U∩A≠，应用以上讨论立即得到．

定理 设A是度量空间（X，ρ）中的一个非空子集．则 （1）x∈d（A）当且仅当ρ（x，A-{x}）=0； （2）x∈当且仅当ρ（x，A）＝0．

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