高二第二学期期末考试数学试卷含答案(共5套)

高二下学期期末考试试卷

数学试题

第I卷（共60分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置）

1.已知复数(为虚数单位)，则=

A. 3

B. 2

C.

D.

2.已知命题，则为

A. B.

C. D.

3.运行下列程序，若输入的的值分别为，则输出的的值为

A. B. C. D.

4.某家具厂的原材料费支出与销售量（单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出与的线性回归方程为，则为

x 2 4 5 6 8

y 25 35 60 55 75

A. 5

B. 10

C. 12

D. 20

5.设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A. 若，且，则

B. 若，则

C. 若，，则

D. 若，且，则

6.已知函数，则函数的大致图象是

A. B. C. D.

7.“”是“函数在内存在零点”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

8.若曲线与曲线在它们的公共点处具有公共切线，则实数的值为

A. B. C. D.

9.某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则

A. B. C. D.

10.若函数在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为

A. B. C. D.

11.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为

A. B. C. D.

12.已知函数有唯一零点，则a=

A. B. C. D.

第Ⅱ卷（共90分）

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.二项式的展开式中含项的系数为____

14.命题:，使得成立；命题，不等式恒成立.若命题为真，则实数的取值范围为___________.

15.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．

16.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为，，若，则的最小值为__________．

三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）已知函数

（1）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；

（2）若函数有三个不同零点，求的取值范围.

18.（12分）世界那么大，我想去看看，处在具有时尚文化代表的大学生们旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见大学生旅游是一个巨大的市场.为了解大学生每年旅游消费支出（单位：百元）的情况，相关部门随机抽取了某大学的1000名学生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表： 组别 [)0,20 [)20,40 [)40,60 [)60,80 [)80,100 频数

2 250 450 290 8

（Ⅰ）求所得样本的中位数（精确到百元）；

（Ⅱ）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出X 服从正态分布()251,15

N ，若该所大学共有学生65000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在8100元以上；

（Ⅲ）已知样本数据中旅游费用支出在[]80,100范围内的8名学生中有5名女生， 3名男生，现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为Y ，求Y 的分布列与数学期望.

附：若()2,X N ?σ~，则()0.6826P X μσμσ-<<+=，

(22)0.9544P X μσμσ-<<+=， (33)0.9973P X μσμσ-<<+=.

19.（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形， 2AB AD =， 3BD AD =，且PD ⊥底面ABCD .

（1）证明：平面PBD ⊥平面PBC ；

（2）若Q 为PC 的中点，且1AP BQ ?=u u u v u u u v ，求二面角Q BD C --的大小.

20.（12分）已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求的取值范围.

21.（12分）已知函数.

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）若函数的图象与轴有且仅有一个交点，求实数的值；

（3）在（2）的条件下，对任意的，均有成立，求正实数的取值范围.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.

22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分）

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为.

（1）求直线与曲线的直角坐标方程；

（2）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()212f x x x =++-的最小值为m .

（1）求实数m 的值；

（2）若,,a b c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证: 222

3b c a a b c ++≥.

高二期末考试

数学试题答案

1.D

2.C

3.B

4.B

5.C

6.A

7.A

8.A

9.B 10.C 11.C 12.A 13.

14. 15. 16..

17.(1)因为

所以函数的单调减区间为

又

由

，

，

18.（Ⅰ）设样本的中位数为x ，则()4022504500.510001000100020

x -++?=， 解得51x ≈，所得样本中位数为5100.

（Ⅱ）51μ=， 15σ=， 281μσ+=，

旅游费用支出在8100元以上的概率为()2P x μσ≥+

1(22)2P x μσμσ--<<+= 10.95440.02282

-==， 0.0228650001482?=，

估计有1482位同学旅游费用支出在8100元以上.

（Ⅲ）Y 的可能取值为0， 1， 2， 3，

()35385028C P Y C ===， ()12353815128

C C P Y C ===， ()21353815256C C P Y C ===， ()33381328

C P Y C ===， ∴Y 的分布列为

012828EY =?+? 2356568

+?+?=. 19.（1）证明：∵222AD BD AB +=，∴AD BD ⊥，

∴//AD BC ，∴BC BD ⊥.

又∵PD ⊥底面ABCD ，∴PD BC ⊥.

∵PD BD

D ?=，∴BC ⊥平面PBD .

而BC ?

平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PBD .

（2）解：由（1）知， BC ⊥平面PBD ，

分别以DA

， DB ， DP 为x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示，设BD =，

则1AD =，令PD t =，则()1,0,0A ，

()B ， ()

C -， ()0,0,P t ， 122t Q ??- ? ???，

∴()1,0,AP t =-u u u v ， 1,22t BQ ?

?=- ? ???

u u u v . ∴2112

t AP BQ +?==u u u v u u u v ，∴1t =. 故11,222DQ ??=- ? ???u u u v ， 11,222BQ ??=-- ? ???

u u u v . 设平面QBD 的法向量为(),,n x y z =v ，

则

{

n DQ

n BQ

?=

?=

u u u v

v

u u u v

v，即

131

22

{

131

2

2

x y z

x

y z

-++

=

-

-+

=

，

令

1

x=

，得(

)

1,0,1

n=

v

.

易知平面BDC的一个法向量为()

0,0,1

m=

v

，则

2

cos,

2

21

m n==

?

v v

，

∴二面角Q BD C

--的大小为

4

π

.

20.解：(1)

(2)

21.（1）时，，，

，，

所以切线方程为，即.

（2）令，

令，

易知在上为正，递增；在上为负，递减，

，又∵时，；时，，

所以结合图象可得.

（3）因为，所以，

令，

由或.

（i）当时，（舍去），所以，

有时，；时，恒成立，得，所以；

（ii）当时，，

则时，；时，，时，，

所以，则，

综上所述，.

22（1）；

（2）考虑直线方程，则其参数方程为（为参数）， 代入曲线方程有：， 则有.

23.（1）因为函数()212f x x x =++-，

所以当1x <-时， ()()()()21233,f x x x x =-+--=-∈+∞；当12x -≤<时， ()()()[)21243,6f x x x x =+--=+∈；

当2x ≥时， ()()()[)21236,f x x x x =++-=∈+∞，综上， ()f x 的最小值3m =.

（2）据(1)求解知3m =，所以3a b c m ++==，又因为0,0,0a b c >>>，所以 ()2

2

2222

2222?··b c a b c a b c a a b c a b c a b c a b c a b c a b c ??????∴+++++=+++++≥ ? ? ???????， 即()2

2

2

2b c a a b c a b c a b c +++++≥++，当且仅当1a b c ===时，取“=”

所以222b c a a b c a b c ++≥++，即222

3b c a a b c ++≥.

高二第二学期期末考试试卷

数学试题

第I 卷（共60分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 请将其编号选出，并涂在机读卡上的相应位置）

1.已知复数i i z +=

12(为虚数单位)，则= A. 3

B. 2

C.

D. 2.已知命题

，则为 A.

B. C. D.

3.运行下列程序，若输入的q p ,的值分别为36,65，则输出的q p -的值为

A. B. C. D.

4.某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用

最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为b x y

?8?+=，则b ?为 x

2 4 5 6 8 y 25

35 60 55 75 A. 5 B. 10 C. 12

D. 20 5.设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是

A. 若

，且，则 B. 若，则 C. 若

，，则 D. 若，且，则 6.已知函数，则函数的大致图象是

A. B. C. D.

7.“22≥m ”是“函数224)(2+-=mx x x f 在R 内存在零点”的

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件 8.若曲线2ax y =与曲线x y ln =在它们的公共点处具有公共切线，则实数的值为

A. e 21

B. 21

C. e

D. e

1 9．已知函数()22sin cos 2sin f x x x x =-，给出下列四个结论：

① 函数()f x 的最小正周期是π；② 函数()f x 在区间5[

,]88ππ上是减函数； ③ 函数()f x 的图像关于点(-,0)8π

对称；

④ 函数()f x 的图像可由函数2sin 2y x =

的图像向右平移8π个单位，再向下平移1个单位得到. 其中正确结论的个数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4 10.若函数

在上有最大值无最小值，则实数的取值范围为 A. 43->a B. 35-<a C.4335-<<-a D. 4

335-≤≤-a 11.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为

，此时四面体ABCD 外接球表面积为

A. B. C. D.

12. 设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈， 有()()0f x f x --=，且[)0,x ∈+∞时，()2f x x '>.若(2)()44f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为

A. [)-,1∞

B. [)1,+∞

C. (]-2∞，

D. [)2,+∞

第Ⅱ卷（共90分）

二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13．已知向量()()(),2,2,1,3,a x b c x ===r r r ，若//a b r r ，则||b c +=r r .

14.命题:，使得成立；命题，不等式恒成立.若命

题为真，则实数的取值范围为___________.

15．若33sin()25

απ-=，则cos2α的值是 16.已知椭圆与双曲线具有相同的焦点，，且在第一象限交于点，设椭圆和双曲线的离心率分别为

，，若，则的最小

值为__________． 三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.（12分）已知函数

（Ⅰ）若)(x f 在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；

（2）若函数)(x f 有三个不同零点，求a 的取值范围.

18.（12分）“微信运动”是手机APP 推出的多款健康运动软件中的一款，大学生M 的微信好友中有400位好友参与了 “微信运动”．他随机抽取了40位参与“微信运动”的微信好友（女20人，男20人）在某天的走路步数，经统计，其中女性好友走路的步数情况可分为五个类别：A 、02000:步，（说明：“02000:”表示大于或等于0，小于2000，以下同理），B 、20005000:步，C 、50008000:步，D 、800010000:步，E 、1000012000:步，且A 、B 、C 三种类别的人数比例为1∶4∶3，将统计结果绘制如图所示的柱形图；男性好友走路的步数数据绘制如图所示的频率分布直方图． E C O B A

类别 人数

D 1 ． ．

．

．

． ． ．

． 3 0.200 12 6 O 4 2 步数（千步） 频率/组距 0.075 10 8 0.150 0.025 0.050

（Ⅰ）若以大学生M 抽取的微信好友在该天行走步数的频率分布，作为参与“微信运动”的所有微信好友每天走路步数的概率分布，试估计大学生M 的参与“微信运动”的400位微信好友中，每天走路步数在20008000:的人数；

（Ⅱ）若在大学生M 该天抽取的步数在800010000:的微信好友中，按男女比例分层抽取6人进行身体状况调查，然后再从这6位微信好友中随机抽取2人进行采访，求其中至少有一位女性微信好友被采访的概率．

19.（12分）如图，平面CD AB ⊥平面D F A E ，其中CD AB 为矩形，D F A E 为直角梯形，F//D A E ，F F A ⊥E ，F 22D 2EF A ==E =．

（Ⅰ）求证：平面D BF ⊥平面BCD A ；

（Ⅱ）若三棱锥B ADF -体积为13，求BD 与面BAF 所成角的正弦值．

20.（12分）已知椭圆经过点，一个焦点的坐标为.

（Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线

与椭圆交于两点，为坐标原点，若，求的取值范围.

21.（12分）已知函数()ln ()f x x ax b =-+.

（Ⅰ）当0a b +=时，()0f x ≤恒成立，求a 的值；

（Ⅱ）若()0f x ≤恒成立，求a b +的最小值.

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.

22.（选修4-4：坐标系与参数方程）（10分） 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为

. （Ⅰ）求直线与曲线的直角坐标方程； （Ⅱ）设点，直线与曲线交于不同的两点，求的值.

23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数()212f x x x =++-的最小值为m .

（Ⅰ）求实数m 的值； （Ⅱ）若,,a b c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证: 222

3b c a a b c ++≥.

高二期末考试

数学试题答案

一．选择题

1.D

2.C

3.B

4.B

5.C

6.A

7.A

8.A

9.B 10.C 11.C 12.A

二．填空题 13.25

14. 15.257- 16.. 三．解答题 17.(1)因为

所以函数的单调减区间为

又

由

，

，

18．解：（Ⅰ）所抽取的40人中，该天行走20008000:步的人数：男12人，

女14人……2分， 400位参与“微信运动”的微信好友中，每天行走20008000:步的人数

约为：2640026040

?=人……4分； （Ⅱ）该天抽取的步数在800010000:的人数：男6人，女3人，共9人，

再按男女比例分层抽取6人，则其中男4人，女2人. ……6分

列出6选2的所有情况15种……8分，至少1个女性有9种……10分 ，

设“其中至少有一位女性微信好友被采访”为事件A，

则所求概率

93

()

155

P A== (12)

分

19：（Ⅰ）证明：作,

DH AF H

⊥于

F F

A⊥E

Q，F22D2

EF

A==E=．

145

HF DH HDF

∴==∴∠=?，

2145

AF AH ADH

=∴=∴∠=?

Q．

90,

ADF DF AD

∴∠=?⊥

即：

F

BCD ADE

A⊥

Q面面，AD为两个面的交线

FD ABCD

∴⊥面．

BFD ABCD

∴⊥

面面……………………6分

（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面ADEF，A B⊥AD，

所以AB⊥平面ADEF，

111

||1||

333

B ADF ADF

V S AB AB

-?

=??=??=

所以|AB|=1, 3

BD

∴=

连接BH，易知DBH

∠为线BD与面BAF所成的角，……………………10分

在直角△BDH中，3,1

BD DH

==

3

sin

3

3

DBH

∴∠==

所以BD与面BAF所成角的正弦值为

3

3

．……………………12分

20.解：(1)

(2)

A

D

C

E

H

21.21. 解：（1）由0a b +=，得b a =-，则()ln f x x ax a =-+. ∴1()(0)f x a x x

'=->. ① 若0a ≤，则()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上递增.

又(1)0f =，∴.当1x >时，()(1)f x f >不符合题意.

② 若0a >，则当10x a <<

时，()0f x '>，()f x 递增；当1x a >时，()0f x '<，()f x 递减. ∴当0x >时，max 1()()1ln f x f a a a

==--. 欲使()0f x ≤恒成立，则需max ()1ln 0f x a a =--≤

记()1ln g a a a =--，则1()1(0)g a a a

'=->. ∴当 01a <<时，()0g a '<，()g a 递减；当 1a >时，()0g a '>，()g a 递增. ∴当0a >时，()(1)0g a g ≥=

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