高三数学回归课本复习材料：数列

数列回归课本复习材料1

一.基本公式

1.数列的同项公式与前n项的和的关系

n?1?s1,( 数列{an}的前n项的和为sn?a1?a2?an???sn?sn?1,n?22.等差数列的通项公式

?an).

an?a1?(n?1)d?dn?a1?d(n?N*)；

其前n项和公式为

n(a1?an)n(n?1)?na1?d 22d1?n2?(a1?d)n. 22ann?1*3.等比数列的通项公式an?a1q?1?q(n?N)；

qsn?其前n项的和公式为

?a1(1?qn)?a1?anq,q?1,q?1??sn??1?q或sn??1?q.

?na,q?1?na,q?1?1?14.等比差数列

?an?:an?1?qan?d,a1?b(q?0)的通项公式为

?b?(n?1)d,q?1?an??bqn?(d?b)qn?1?d；

,q?1?q?1?其前n项和公式为

?nb?n(n?1)d,(q?1)?sn??. d1?qnd(b?)?n,(q?1)?1?qq?11?q?二、基本概念

1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 2.等差数列的有关概念：

（1）等差数列的判断方法：定义法an?1?an?d(d为常数）或an?1?an?an?an?1(n?2)。 （2）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A?a?b。 23.等差数列的性质：

（1）当公差d?0时，等差数列的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?a1?d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；

n(n?1)d 2dd?n2?(a1?)n是关于n的二次函数常数项0. 22（2）若公差d?0，则为递增等差数列，若公差d?0，则为递减等差数列，若公差d?0，则为常数列。 （3）当m?n?p?q时,则有am?an?ap?aq，

前n和Sn?na1?用心 爱心 专心

特别地，当m?n?2p时，则有am?an?2ap (4) 若{an}、是等差数列，

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也成等差数列

（5）在等差数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶－S奇?nd；项数为奇数2n?1时，

S奇?S偶?a中，S2n?1?(2n?1)?a中

（这里a中即an）；S奇:S偶?(k?1):k。

（6）若等差数列{an}、{bn}的前n和分别为An、Bn，且

Ana(2n?1)anA2n?1?f(n)，则n?? Bnbn(2n?1)bnB2n?1?f(2n?1).

(7)“首正”的递减等差数列中，前n项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等差数列中，前n项

an?0??an?0?确定出前多少项为非负和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组?（或非正）；?或?????an?1?0???an?1?0?法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性

n?N*。

(8)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究an?bm. 4.等比数列的有关概念：

（1）等比数列的判断方法：定义法an?1an?q(q为常数），其中q?0,an?0或an?1?an(n?2)。

anan?1（2）等比数列的前n和 特别提醒：等比数列前n项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n项和时，首先要判断公比q是否为1，再由q的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q是否为1时，要对q分q?1和q?1两种情形讨论求解。

（3）等比中项：若a,A,b成等比数列，那么A叫做a与b的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个?ab。 5.等比数列的性质：

2（1）当m?n?p?q时，则有aman?apaq，特别地，当m?n?2p时，则有aman?ap.

(2) 若{an}是等比数列，且公比q??1，则数列Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…也是等比数列。 当q??1，且n为偶数时，数列

Sn,S2n?Sn,S3n?S2n ，…是常数数列0，它不是等比数列. (3)若a1?0,q?1，则{an}为递增数列； 若a1?0,q?1, 则{an}为递减数列；

若a1?0,0?q?1 ，则{an}为递减数列； 若a1?0,0?q?1, 则{an}为递增数列； 若q?0，则{an}为摆动数列； 若q?1，则{an}为常数列.

?a1na1(4)当q?1时，Sn?q??aqn?b，这里a?b?0，但a?0,b?0，这是等比数列前n项和公

1?q1?q式特征，据此判断数列{an}是否为等比数列。

(5) 在等比数列{an}中，当项数为偶数2n时，S偶?qS奇；项数为奇数2n?1时，S奇?a1?qS偶.

(7)数列{an}既成等差数列又成等比数列，那么数列{an}是非零常数数列，故常数数列{an}仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。 6.数列的通项的求法：

用心 爱心 专心

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。 ⑵已知Sn（即a1?a2?S,(n?1)?an?f(n)）求an，用作差法：an?S1?S,(n?2)。

nn?1?f(1),(n?1)??f(n)⑶已知a1a2。 an?f(n)求an，用作商法：an??,(n?2)??f(n?1)⑷若an?1?an?f(n)求an用累加法：an?(an?an?1)?(an?1?an?2)??(a2?a1)?a1(n?2)。

aaaa⑸已知n?1?f(n)求an，用累乘法：an?n?n?1??2?a1(n?2)。

anan?1an?2a1⑹已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。

特别地，（1）形如an?kan?1?b、an?kan?1?bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an。

an?1的递推数列 kan?1?b都可以用倒数法求通项。

注意：（1）用an?Sn?Sn?1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n?2，当n?1（2）形如an?时，a1?S1）；

（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an?Sn?Sn?1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解。

7.数列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差数列求和公式；②等比数列求和公式，特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；③常用公式：1?2?3??n?1n(n?1)，

2（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和.

（3）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n和公式的推导方法）.

（4）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

（5）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：

1?1?1； n(n?1)nn?11②?1(1?1)； n(n?k)knn?k11111?(?)， ③2?2kk?12k?1k?11111111???2???； kk?1(k?1)kk(k?1)kk?1k1111?[?] ； ④

n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)22?1?⑤2(n?1?n)? n?n?1nn?n?1①

?2(n?n?1).（6）通项转换法：先对通项进行变形，发现其内在特征，再运用分组求和法求和。

用心 爱心 专心

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