热学电磁学习题答案

热学习题答案 第一章 温度

1、设一定容气体温度计是按摄氏温标刻度的，它在冰点和汽化点时，其中气体的压强分别为 和 。 （1）当气体的压强为

时，待测温度是多少？

），气体的压强是多少？

（2）当温度计在沸腾的硫中时（硫的沸点为 解：解法一 设P与t为线性关系： 由题给条件可知：当

当

时得：

由此而得（1）

（2）

时

解法二 若设t与P为线性关系 利用第六题公式可得：

时有

由此可得：（1） （2）

时

时

1

，

的气体，当把气体加热到

时，

2、 一立方容器，每边长20cm其中贮有 容器每个壁所受到的压力为多大？ 解：对一定质量的理想气体其状态方程为

因 ，

而

故

3、一氧气瓶的容积是 ，其中氧气的压强是 ，规定瓶内氧气压强降到 时就得充气，以免混入其他气体而需洗瓶，今有一玻璃室，每天需用 氧气 ，问一瓶氧气能用几天。

解：先作两点假设，（1）氧气可视为理想气体，（2）在使用氧气过程中温度不变。则：

由 可有

每天用掉的氧气质量为

瓶中剩余氧气的质量为

天

4、 求氧气在压强为 解：已知氧的密度

，温度为

时的密度。

2

5、一打气筒，每打一次可将原来压强为 空气压缩到容器内。设容器的容积为 温度为 ，压强为 。

，温度为 ，体积 的

，问需要打几次气，才能使容器内的空气

解：打气后压强为： ，题上未说原来容器中的气体情况，可设原来容器中没有空气，设所需打气次数为 ，则

得：

次

6、按重量计，空气是由 的氮， 的氧，约 的氩组成的（其余成分很少，可以忽略），计算空气的平均分子量及在标准状态下的密度。 解：设总质量为M的空气中，氧、氮、氩的质量分别为 分别为

。

。氧、氮、氩的分子量

空气的摩尔数

则空气的平均摩尔质量为

即空气的平均分子量为28.9。空气在标准状态下的密度

3

7、 把 的氮气压入一容积为 的容器，容器中原来已充满同温同压的氧气。试求混合气体的压强和各种气体的分压强，假定容器中的温度保持不变。

解：根据道尔顿分压定律可知 又由状态方程

且温度、质量M不变。

第二章 气体分子运动论的基本概念

1、 目前可获得的极限真空度为10-13mmHg的数量级，问在此真空度下每立方厘米内有多少空气分子，设空气的温度为 27℃。

解： 由P=n K T可知

10?10?13?1.33?1029–3

n =P/KT= =3.21×10(m ) ?231.38?10?(27?273)注：1mmHg=1.33×102N/m2

2、一容器内有氧气，其压强P=1.0atm,温度为t=27℃，求

(1) 单位体积内的分子数： (2) 氧气的密度； (3) 氧分子的质量； (4) 分子间的平均距离； (5) 分子的平均平动能。 解：(1) ∵P=nKT

P1.0?1.013?10525-3

??2.45?10∴n=mKT1.38?10?23?300

(2) ??

P?RT?1?32?1.30g/l

0.082?3004

1.3?103?23(3)m氧=?g ?5.3?1025n2.45?10?(4) 设分子间的平均距离为d，并将分子看成是半径为d/2的球，每个分子的体积为v0。 V0=?()3?∴d?343d2?6d3

66?7cm ??4.28?1019n???2.44?10(5)分子的平均平动能?为：

? ?33KT?1.38?10?16?(273?27)?6.21?10?14（尔格） 223、质量为50.0g，温度为18.0℃的氦气装在容积为10.0L的封闭容器内，容器以v=200m/s的速率作匀速直线运动。若容器突然静止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡后氦气的温度和压强将各增大多少？

解：由于容器以速率v作定向运动时，每一个分子都具有定向运动，其动能等于

1mv2，当容器停止运动时，分子定向运动的动能将转化为分子热运动的能量，每2313个分子的平均热运动能 ：KT?mv2?KT1

222mv2?v2T2?T1??3K3R ∴△T= ?344?10?4?10??6.42K3?8.31 因为容器内氦气的体积一定，所以

P2PP?P?P1 ?1?2?T2T1T2?T1?T故△P=

PM1V?RT?T，又由P11 ?T1MRT1/V

得：P1?∴△P=

?MR?T0.05?0.082?6.42?1（atm ） ??6.58?10?3?V4?10?10 5

＝

3、氧分子的有效直径为3.6×

代入数据得： ＝ m，求其碰撞频率，

（s）

已知：（1）氧气的温度为300K，压强为1.0atm；（2）氧气的温度为300K，压强为1.0× atm

解：由 ＝ 得 ＝ ＝

＝6.3×

（

）

代入数据得：

4、某种气体分子在

（

时的平均自由程为

）

。

（1）已知分子的有效直径为 （2）求分子在

，求气体的压强。

的路程上与其它分子的碰撞次数。

解：（1）由 得：

（2）分子走

代入数据得：

路程碰撞次数

（次）

第五章 热力学第一定律

1、0.020Kg的氦气温度由 升为 ，若在升温过程中：（1）体积保持不变；（2）压强保持不变；（3）不与外界交换热量，试分别求出气体内能的改变，吸收的热量，外界对气体所作的功，设氦气可看作理想气体，且

，

11

解：理想气体内能是温度的单值函数，一过程中气体温度的改变相同，所以内能的改变也相同，为：

热量和功因过程而异，分别求之如下：

（1）等容过程：V=常量 A＝0，由热力学第一定律， （2）等压过程：

由热力学第一定律，

，负号表示气体对外作功，

（3）绝热过程Q＝0，由热力学第一定律

2、分别通过下列过程把标准状态下的0.014Kg氮气压缩为原体积的一半；（1）等温过程；（2）绝热过程；（3）等压过程，试分别求出在这些过程中气体内能的改变，传递的热量和外界对气体所作的功，设氮气可看作理想气体，且 解：把上述三过程分别表示在P-V图上， （1）等温过程

理想气体内能是温度的单值函数，过程中温度不变，故

，

由热一、

（2）绝热过程：

负号表示系统向外界放热

由 或

得

12

由热力学第一定律 另外，也可以由 先求得A

（3）等压过程，有

及

或

所以

而 ＝

＝

＝

由热力学第一定律，也可以由

求之

另外，由计算结果可见，等压压缩过程，外界作功，系统放热，内能减少，数量关系为，系统放的热等于其内能的减少和外界作的功。 3、 在标准状态下的

氧气，经过一绝热过程对外作功

，

。求终态压强、体积和

温度。设氧气为理想气体，且 解：绝热

由热力学第一定律

13

4、 图5-21有一除底部外都是绝热的气筒，被一位置固定的导热板隔成相等的两部分A和B，其中各盛有一摩尔的理想气体氮。今将80cal 的热量缓慢地同底部供给气体，设活塞上的压强始终保持为1.00atm,求A部和B部温度的改变以及各吸收的热量(导热板的热容量可以忽略)。若将位置固定的导热板换成可以自由滑动的绝热隔板,重复上述讨论。解：(1)导热板位置固定经底部向气体缓慢传热时，A部气体进行的是准静态等容过程，B部进行的是准表态等压过程。由于隔板导热，A、B两部气体温度始终相等，因而

A B P

=

=6.7K

=139.2J

（2）绝热隔板可自由滑动B部在1大气压下整体向上滑动，体积保持不变且绝热，所以温度始终不变。

A部气体在此大气压下吸热膨胀

14

5、证明卡诺循环的效率为??1?T2，其中T2和T1分别为低温和高温热源的温度。 T11 解：由题意，1到2过程是等温膨胀，在这个过程 中，有高温热源吸热为Q1??RT1lnV2。 V12到3的过程为绝热过程，没有热量交换，但对外做功 。 3到4的为等温压缩过程，气体向 低温热源放热为 Q2??RT2ln4到1为绝热过程，没有热量交换，外界对气体做功。 有以上分析可知，整个循环过程对外做功为

A?Q1?Q2??RT1所以，效率为VV2??RT23V1V42 4 V3 。 V43 ??A?Q1T1lnVV2?T2ln3V1V4VT1ln2V1

又由题意，2到3，4到1为两个绝热过程，根据绝热方程有：

15

4、何为热力学系统的平衡态，何为准静态过程？

答：系统与外界无能量交换，内部也无能量转换的情况下，宏观性质不随时间变化的状态为平衡态。热力学过程进行得无限缓慢，可视为无数个平衡态连续而成的过程为准静态过程。准静态过程可由状态参量写出过程方程。

5、何谓循环过程？写出能量转换情况及效率、制冷系数的定义？

答：系统由某一状态出发，经过一系列状态变化又回到原状态，这一系列的状态变化过程既构成了循环过程；循环过程内能变化为零?E?0；净功等于净热Q = W;效率制冷系数

e?Q吸W??W?Q吸；

。

6、热力学第二定律的两种表述

答：不可能从单一热源取热度为功而不产生其它影响，这就是开尔文说法；热量不能从低温传到高温而不产生其它影响，这是克劳修斯说法。 7、证明热力学第二定律两种典型表述的等效性有何意义？

答：典型表述等效性的证明，再推广，可得结论：热力学过程进行方向的各种表述都存在内在联系，由一种可推出其它任意一种表述。所以一种典型表述就可以作为描述热力学过程进行方向的第二定律了。 8、热力学第二定律的统计意义。

答：一个不受外界影响的“孤立系统”，其内部发生的过程，总是由几率小的状态向几率大的状态进行，由包含微观状态数目少的宏观状态向包含微观状态数目多的宏观状态进行。

9、简述卡诺定理

答：（1）工作在相同的高温热源和相同的低温热源间的一切可逆热机效率相等

（2）工作在相同的高温热源和相同的低温热源间的一切不可逆热机效率比可逆热机效率小

41

10、自由度的定义

答：确定物体在空间位置所需要的独立坐标的个数叫自由度。 11、速率分布函数f(v)的物理意义

答：物理意义：在速率v附近，在单位速率间隔内分子数占总分子数的比率，即12、写出库仑定律，给出真空介电常数?0的值。

?1q1q2?F?er2?122?24??0r答：,真空中表达式?0=8.85?10CNm（也叫真空电容率）

f(v)?dNNdv

13、计算电场强度常用的三种方法是什么？

答：(1)由点电荷（或电荷元）场强叠加计算点电荷组或带电体的场强；(2)由高斯定理计算有对称性的电场强度；(3)由电势梯度计算电场强度。 静电平衡时，导体上的电场强度，电势和电荷的分布各如何

E???； 答：E：导体内场强处处为0，导体表面场强垂直导体表面，数值

U?：导体为等势体，导体表面为等势面；q：电荷分布于导体表面，曲率大处面密度

?大，空腔导体内表面与腔内有无电荷有关，无电荷时内表面也无电荷。

14、 极化强度的定义式及物理意义。 答：定义式：

?????pi?V 表示介质极化的方向和极化的程度。

?D15、写出电位移矢量与电场强度一般关系和对于各向同性介质的简化形式。

???????D??E?PP???ED???E0e0 r0答： 对各向同性介质 （?r?1??e）

16、写出静电场能量密度表达式。

1??1We?D?EWe??r?0E222答： 对各向同性介质

17、写出毕—萨定律和运动电荷磁感应强度公式。

???????0Idl?e?qv?er0rB? dB? 4?r24?r2

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18、写出磁场对运动电荷、对电流元的作用力，和对载流线圈作用力矩的公式，并说明确定方向的方法。

???????????答：FL?qv?B dFA?Idl?B M?m?B (m?IS)

方向都是由右手螺旋定则确定。 19、试由FL?qv?B推出dFA?Idl?B 答：电流元内有电荷数dN?nsdl

???????? 所以 dFA?dNFL?nsdlqv?B?nqvsdl?B?Idl?B （I?qnsv）

??????20、何为霍尔效应？其系数由谁决定？

答：非绝缘材料片放在磁场中，有电流通过材料片时，就会在垂直IB决定平面方向上产

生电势差，vH?RH浓度）。

21、介质中磁感应强度可以写为B?B0?B? ，试指出B0,B?各是什么？对于抗磁质，顺磁质，铁磁质三者方向如何？

????答：B0表示外加磁场的磁感应强度; B表示磁化的介质产生的附加磁感应强度；抗磁质B?

?IB称为霍尔效应（d为片的厚度）。RH?1nq（n为材料中载流子的d?????与B0反向，顺磁质、铁磁质B?与B0同向。 22、写出介质磁化强度的定义式，并用文字表述清楚。

???m答：M??V??? ，用单位体积内的分子磁矩的矢量和定义磁化强度，用来表示介质磁化

的方向和程度。

23、写出稳恒磁场环路定理的一般式。并指出式中H是什么？写出H和B的一般关系式。

???????B?答：?H?dl??I0，H是磁场强度矢量，H和B的一般关系式H??M

????024、何为电源？写出闭合回路中电动势的定义式。

答：提供非静电力做功的装置，其他形式能转化为电能的装置。

回路电动势ε??Ek?dl

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??25、写出法拉第电磁感应定律的表达式，并用文字表述清楚。 答：????? 在电磁感应中，回路中产生电动势的值等于回路内总磁通量对时间变化率；?t“—”号表示?方向。

26、试指出动生电动势、感生电动势的非静电力。写出动生电动势的计算公式，自感、互感是哪种电动势。

答：动生电动势非静电力EK?v?B（洛仑兹力）；感生电动势的非静电力是感生电场力；

???自感互感均为感生电动势。动生电动势ε??v?B?dl

L???27、感生电场，位移电流的概念是谁提出的，这两个概念的提出有什么重要意义（直接 意义和更深刻的认识）。

答：是麦克斯韦提出；它的直接意义修正了环路定理，建立了普遍电磁场理论的基本方程组；更深刻的认识到变化的磁场能激发电场，变化的电场激发磁场，预示电磁波的存在。

28、写出磁场能量密度表达式。

12答：对各向同性介质wm?Bμμ

0r229、写出麦克斯韦方程组的积分形式。

??答：?D?ds??q0

????B??E?dl?-???t?ds

?????D?H?dl?（j?)?ds ???c?t?? ??B?ds?0

30、什么是全电流？

答：传导电流和位移电流之和叫全电流

44

?E弧ΑΒ??????E?E1?E2?E弧AB?????j?i4??0R4??0R

????ij??4??0R?E1??????E?E1?E2?E弧ΑΒ?0?????ij??4??0R?????E2??ij??4??0R???E弧ΑΒ?i4??0R

3、无限长带电圆柱面的面电荷密度由下式表示：???0cos?,，式中?为过z轴和任意母线的平面与x轴的夹角，试求圆柱轴线上的场强 解：设该圆柱的横截面半径为R，无限长直带电线在空间一点产生的场强E=

?，得出带电圆柱面上宽度为2??0rdL??Rd??的无限长带电线在轴线一点产生的场强为：

?????0cos?Rd?R?R2?R?02?R?0?cos???sin????0cos?ij?d??2??0 ?2??cos?0??sin???E???cos?ij?d??02??0????0i2?0?dE??4、一对无限长的共轴直圆筒，半径分别为R1和R2，筒面上都均匀带电，沿轴线单位长度的电量分别为?1和?2。（1）求名区域内的场强分布；（2）若?1= -?2,则场强的分布情况又如何？画出E-x曲线

解：如图（a）所示，将空间分成1，2，3三区域

（1）

1区域内（r

?2区域（R1

21

??qE???ds?s?0?hE?2?r?h?

?0??1?E2?r2??0r??方向一致 当?1>0时，E2的方向与r?方向相反 当?1<0时，E2的方向与r?3区域（r＞R2）:

??1??2? E3?r2??0r?方向一致 当?1??2>0时，E3的方向与r???方向相反 当?1??2<0时，E3的方向与r（2）

??若?1???2时，则E1，E2不变

???1??2=0 ?E3?0

E-r曲线如图：

5、在一半径为a，电荷密度为?的均匀带电球体中，挖去一半径为c的球形空腔。空腔中心O1相对于带电球体中心O的位置矢径用b表示。试证明空腔内的电场是匀强电场，即E=?b/3?0

解：求空腔内任一点P的场强挖去体密度为?的小球，相当于不挖，而在同一位置处，放一体密度为-?的小球产生的场强的叠加；佃别以O，O`为中心，过P点作球面S1和S2为高斯面，则

??14?32r1 ?S1EdS?E14?r1???dv??03?0???E1?r1

3?0 22

???同理得：E2??r2 3?0??????P点场强E?E1?E2??r1?r2??b

3?03?0

6、半径为R的无限长直圆柱体均匀带电，体密度为?，试求场强分布，并画出E-r曲线 解：分别过圆柱体内外一点P0，P作如图（a）所示的高斯面，由高斯定理可得：

r?R时，

????r2l???E内dS?2?rlE内??0?E内??0r2?0；

r?R时，

???0R2??R2l???E外dS?2?rlE外??0?E外?2?0r

场强的方向均为径向

E-r曲线如图（b）

7、电荷Q均匀分布在半径为R球体内，试求球内外的电势

证明：利用高斯定理求得球内外任一点的场强

E内?QrQ (2分);E?外4??0R34??0r2离球心r处（ r

U???Rr?????E内dL??E外dL?R22R?r???3Q4??0R3??Rrrdr?dr4??0?Rrr2?2QQ8??0RQ4??0RQ8??0R3?3R?r2?

证毕r?R处U???r1Qdr?4??0r24??0rQ8、如图所示，半径为R1和R2的两个同心球面均匀带电，电量分别为Q1和Q2。（1）试

23

求区域1，2，3中的电势；（2）讨论Q1=-Q2和Q2=-Q1R2/R1两种情况下各区域中的电势，并画出U-r曲线 解：（1）利用高斯定理求出：

?? E1?0?r?R1?;E2???Q1?Q2??R1?r?R2?;E3???r?R2? rr4??0r24??0r2Q1? 电位分布： U3??rE3dL??r U2? U1??R?2??Q1?Q2Q1?Q2dr??r?R2? 24??0r4??0rQ14??0r?Q24??0R2

??R2???R1?E3dL??E2dL??E3dL?R1r1?Q1Q2?????r?R1? 4??0?R1R2?当Q2=-Q1时：U3=0；U2?当Q2=-

Q1?11?Q1?11??;U????1?? 4??0?rR2?4??0?R1R2??11????;U1?0 ?rR1?Q?R?R?R2QQ1时：U3??121;U2?14??0R1r4??0R1在此两种情况下的U-r曲线如图

9、半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，电荷体密度为?。以轴线为电位参考点，求其电位分布

解：用高斯定理求出场强的分布：

??R2??r?;E内?? E外?rr2?0r2?0以轴线为电位参考点得

U内??0r??0?r?r2E内dr??dr???r?R?r2?4?00

2R?R?R2?R2?R2R?R2?R?U外????dr???ln?2ln?1??r?R??r2?r4?04?02?0r4?0?r?010、一电荷面密度为?，的“无限大”平面，在距平面a米远处的一点场强大小的一半是

由平面 上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的，试求该圆半径的大小

24

解：电荷面密度为?的无限大均匀带电平面在任意点场强大小为E??2?

0图中O点为圆心，取半径为r?r?dr的环形面积，其电量为dq??2?rdr

它在距离平面为a的一点处产生的场强dE??ardr2?0a2?r?322?

则半径为R的圆面积内的电荷在该点的场强为

E??a2?0?Rrdr0?a2?r322?????a1???2?0?a2?R2?

由题意,令E??4?0,得到R?3a11、一带电细线弯成半径为R的半圆形，电荷线密度为???0sin?，式中?0为一常数，?为半径R与X轴所成的夹角，如图所示，试求环心O处的电场强度 解：在?处取电荷元，其电量为dq=?dl=?0Rsin?d? 它在O点产生的场强为dE??0sin?d?dq ?24??0R4??0R 在X、Y轴上的二个分量dEx??dEcos??1分?,dEy??dEsin? 对名分量分别求和

??0Ex??sin?cos?d??04??0R?0??? Ey??0?0sin2?d???0

4??0R8?0R??????E?Exi?Eyj??0j8?0R第二章 静电场中导体和电介质

1、三块平行导体板A、B、C，面积都是200cm2,A、B相距4.0mm，A、C相距2.0mm，B、C两板接地，如图所示。如果使A板带正电3.0?10?7C，忽略边缘效应，问B板和C板上的感应电荷各是多少？

解：根据静电平衡时，导体中的场强为零，又由B、C接地：

25

?(?3??4)S?Q(由A板的总电量得)??2???3?? ? ?5??2??4???5 x?d?x由A板的电位得?????????????00?06?1Q?d?x?Q?d?x?QxQx;?3?;?4?;?5?? 解以上方程组得出：SdSdSdSd

B板上感应电荷:?2??Q?d?x?3.0?10?7?2.0?10?3QB??2S??????1.0?10?7?库??3d6.0?10 C板上感应电荷:

Qx3.0?10?7?4.0?10?3?7?库?QC??5S??????2.0?10?3d6.0?102、一内半径为a外半径为b的金属球壳，带有电量Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q，设无限远处为电势零点，试求1）球壳内外表面上的电荷（2）球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势（3）球心O点处的总电势

解：（1）由静电感应，金属球壳的内表面上有感应电荷-q，外表面上带电荷q+Q （2）不论球壳内表面上的感应电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电 势为U?q??dq4??0a??q4??0a

（3）球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势和代数和

U0?U?q?U?q?UQ?q?q4??0r?q4??0a?Q?qq?111?Q???? ??4??0b4??0?rab?4??0b3、点电荷q 放在导体球壳的中心，球壳的内外半径分别为R1和R2。求空间的场强分布，并画E-r和U-r曲线

解：（a）场强分布：得用高斯定理可求得： r?R1:E??q4??0r2???;R1?r?R2:E?0;r?R2:E?rq4??0r2? r （b）电位分布：设距球心为r处的电位U：

26

???r?R2:U??Edl?rq4??0r4??0R2??? r?R1;U??EdlrR1?r?R2;U?q

2???R1q4??0rrdr??2?q4??0rR2drq?111?????4??0?rR1R2? E-r,U-r曲线如图

4、两个极薄的同心球壳，内外球壳半径分别为a,b，内球壳带电Q1，试问（1）外球壳带多大电量，才能使内球壳电势为零？（2）距球心为r处的电势是多少？ 解：（1）设外球壳B所带电量为Q2 UA?bQ1?Q2Q1Q1?Q2Q1??dr??a4??r24??0b4??0b4??00b?11?????0?Q2??Q1

a?ba?Q1?Q2Q1?b?? （2）当r?b 时，U??1?? 4??0r4??0r?a? 当a?r?b时,U?Q1?Q2Q?11?Q?11??1????1???;当r?a时,U?0 4??0b4??0?rb?4??0?ra?5、有一半径为R的接地金属球，距球心d=2R处有一点电荷q(q>0)，试求球上的感应电荷q`（设金属球远离地面及其他物体）

解：?金属球在静电平衡情况下是一个等位体，与地等电位，即U=0。球心处的电位也为零，根据迭加原理知，球心上电位等于点电荷q及球面上电荷在O点的电位的代数和：

电荷q在球心处的电位： Uq?q8??0R

球面上的电荷在球心产生的电位：设球面上某面元的电荷面密度为?； UR????

?q?dS1 ??dS????4??R4??R4??R00027

由迭加原理得:U?Uq?UR?q8??0R?q?4??0R?0?q???q 2讨论:q`的大小与q到球心的距离有关,当q很靠近球面时,即q到球心的距离约为R时,球面对点电荷q所在处而言,可视为无限大平面,因而有q`=q

6、一导体球壳的内外半径分别为a 和b,带有电荷Q>0，腔内距球心O为r处有一点电荷q。试求球心O处的电势

解：用高斯定理可证得：金属腔内表面Sx所带电量为-q，金属腔外表面所带电量为Q+q， ?球心O的电位：U0?Uq?U?q?Uq?Q??q4??0rq4??0r??q4??0a?q4??0aq4??0r????Sa?adS?bdS ????4??0aS4??0bb

?????adS?Sa?dS???4??bb0Sbq?Q?qq?111?Q??????4??0b4??0?rab?4??0b

7、如图所示，同轴传输线的内导体是半径为R1的金属直圆柱，外

导体是内半径为R2的同轴金属圆筒。内外导体的电势分别为U1和U2，试求离轴为r(R1

解：设外圆柱表面沿轴线单位长度上所带电量为?，P点是两圆柱体间距离轴线为 r的任意一点，其场强

R2E=

?2??0r

，内外柱体的电位差：

U1?U2??R12??0?U1?U2?R??dr?ln2;??（1）

R2??0r2??0R1ln2R1内圆柱体与P点的电位差：U1?Up??Rr1??rdr?ln（2） 2??0r2??0R1lnrR1?rln?U1?(U1?U2)由（1）、（2）两式可得：Up?U1?

R22??0R1lnR1

28

8、如图所示，平行板电容器两极板的面积都是S，相距为d，其间有一厚度为t的金属板，略去边缘效应。（1）求电容C（2）金属板离极板的远近对电容有无影响？（3）设没有金属板时电容器的电容为C0?600?F，两极板间的电势差为10v。当放厚度t=d/4的金属板时，求电容及两极板间的电势差。

解：（1）AC间的电容等于AB间电容与BC间电容的串联，设BC间距离为x ?CAB??0SdAB??0Sd?t?x;CBC??S0dBC??S0x;C?CAB?CBC?S0 ?CAB?CBCd?t（2）因为C=（3）?C0??0S与x无关，所以金属板的位置对C无影响 d?t;C?4QCU3?C0?800(?F)?U??00?10??7.5(v) d3CC4d?4?0Sd??0S9、在介电常数为?的无限大各向同性均匀介质中，有一半径为R的导体球，带电量为Q，求电场能量

解：由高斯定理可得：导体球内E1=0（r

222?121??Q?QQ2dr则电场能量为W=???dW?????EdV???R? 2?4?rdr?2??(8??)(8??R)R(4??r)r22??vv??10、在介电常数为?的无限大各向同性均匀电介质中，有一半径为R的孤立导体球，若对它不断充电使其带电量达到Q，试通过充电过程中外力作功，证明带电导体球的静电能

Q2量为W=

8??R证：设导体球上某时刻已带有电量q，如果将一微小电量dq从无穷远处移到球上，则外力克服静电斥力需作功

dA???Edqdr?????RRqdqdrqdq? 24??R4??rq导体球从电量为零充到Q时，外力作总功为A=?0qdq4??R2Q?8??R

8??R2Q上述名力的功是外界能量转换为静电能量的量度，故导体球的静电能量为W=

29

11、空气中有一半径为R的孤立导体球，令无限远处电势为零，试计算：（1）该导体的电容；（2）球上所带电荷为Q时储存的静电能；（3）若空气的击穿场为Eg，导体球上能储存的最大电荷值

解：（1）设导体球上带电荷Q，则导体球的电势为U=Q4??R；按孤立导体电容的定义

0C=Q/U= 4??0R

（2）导体球上的电荷为Q时，储存的静电能W=Q2/（2C）=Q2/8??0R （3）导体球上能储存Q时，必须空气中最大场强E=Q/4??0R2?Eg 因此，球上能储存的最大电荷值QM?4??0R2Eg

12、两个同心金属球壳，内球壳半径为R1,外球壳半径为R2，中间是空气，构成一个球形空气电容器。设内外球壳上分别带有电荷+Q和-Q。求：（1）电容器的电容；（2）电容器储存的能量。

解：（1）已知内球壳上带正电荷Q，则两球壳中的场强大小为E=两球壳电势差U12=?RR21Q4??0r2

??4??0R1R2Q?11?Q?R2?R1???E?dr????；电容C=Q/U 12?4??RR4??0?RR?R2?R1?2?012?12Q2Q?R2?R1?（2）电场能量W=? 2C8??0R1R213、如图所示，平行板电容器两极板相距d，面积为S，电势差为U，中间放有一层厚为t的电介质，相对电容率为，略去边缘效应，求：（1）电介质中的E，D和P；（2）极板上的电量；（3）极板和电介质间隙中的场强；（4）电容器的电容。 解：设空气中的场强为E0，U?E0x?Et?E0?d?x?t??E0?d?t??Et

? 由高斯定理可知，在两板间D处处相等

E0?D?0;E?D?0?r

30

D?t??U??d?t??t??d?t???0?0?r?0??r?U?0U?0?rDU?D??;E??;

t?rd?(1??r)t?0?r?rd?(1??r)td?t?DD?rP??0??r?1?E?U?0(?r?1)?rd?(1??r)t（2）如图所示，作一柱形高斯面，由高斯定理可得：?0?D?Q??0S?DS?（3）极板和介质间隙中的场强：E0?D?U?0?rS

?rd?(1??r)t?0?0?rSU?rQ（4）C=?

U?rd?(1??r)t?rd?(1??r)t14、平行板电容器两极板相距d，面积为S，用电源给其充电，当电压为U0时，拆去电源，然后将介质板插入（其厚度为t，相对介电常数为εr），求此情况下：（1）极板上的电量Q（2）介质中的E、D（3）两极板间的电位差U及电容C 解：（1）极板上所带电量：Q?U0C0???U0?0SQU?；（2）用高斯定理求得：D??0??00 dSd 介质中的D与空气中的D相等，?介质中的场强：E?中的场强

E0?D0D?0?r?Q?0?rS?U0；（3）空气?rd?0?U0UUU?U?E0?d?t??Et?0?d?t??0t?0??d??1??r?t??dd?rd?rd?r?0?rSQ?C??U?rd??1??r?t

15、如图所示，半径为R1的导体球带电是q，在它外面同心地罩一金属球壳，其内外壁的半径分别为R2与R3，已知R2=2R1，R3=3R1，今在距球心为d=4R1处放一电量为Q的点电荷，并将球壳接地，试问：（1）球壳带的总电量是多大？（2）如用导线将壳内导体球与壳相连，球壳带电量是多少？ 解：点电荷Q在球心O点的电位：UQ?Q4??0d

S1，S2， S3三个面上的电荷对球心O点的电位贡献：

31

US1????S1?1dS?2dSqq?;US??????4??0R24??0R2（由高斯定理得S2现丰的总电量为-q） 4??0R14??0R12S2US???3S2?3dSQ??;根据电位迭加原理,球心O点的电位:

4??0R34??0R3所以球壳

R21?QQ??qq?qq?11?U0?UQ?US1?US2?US3????又?U?dr?????0?R14??0r24??0?4??0?dR3R2R?R?1R2?1?QQ??qq?q?11?3??????解得:Q??Q????4??0?dR3R2R?4??0?R1R2?43带的总电量为:?Q?q

4?(2)内外球用导线相连时,仍用电位迭加原理计算球心O点的电位:

Q4??0d????S2?dSQQ?3?0;即??0;解之得:Q???Q 4??0R24??0d4??0R34第四章 恒定电流的磁场

1、如图一半径为R的带电塑料圆盘，其中有一半径为r 的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为??，其余部分带负电荷，面电荷密度为??，当圆盘以角速度?旋转时，测得圆盘中心O点的磁感应强度为零，问R与r满足什么关系？

解：带电圆盘的转动，可看作无数的电流圆环的磁场在O点的叠加，某一半径为

di??2??d????的圆环的磁场为dB??0di2?而

?0???d?2??1?0??d? 2?2??????d??dB?正电部分产生的磁感应强度为

B???r?0??20d???0??2r；负电部分产生的磁感应强度为B???R?0??2rd???0??2(R?r)令

B??B??R?2r

2、在一无限长的半圆形的金属薄片中，沿轴向流有电流，在垂直电流方向单位长 度的电流为i?ksin?，其中k为常数，?如图所示，求半圆筒轴线上的磁感应强度。 解：设轴线上任意点的磁感应强度为B，半圆筒半径为R，先将半圆面分成许多平行轴

线的宽度为dl的无限长直导线，其中流过的电流为

32

dI?idl?ksin??dl?ksin?Rd?；

??0dI它在轴线上产生的磁感应强度为dB?方向如图。；由对称性可知：dB在轴向的分量为

2?R?0，在y轴的分量叠加中相互抵消，可以只需考虑dB在x轴的分量dBx

?0dI?0ksin2?dBx?dBsin??sin??d?积分:2?R2? ?2??ksin???k1?cos2??k??sin2???0kB??dBx??0d??0?d??0???402?2?022??24??0?B的方向沿x轴正方向。

3、半径为R的圆盘，带有正电荷，其电荷面密度??kr，k为常数，r为圆盘上一点到 圆心的距离，圆盘放在一均匀磁场B中，其法线方向与B垂直。当圆盘以角速度?绕过圆心O点，且垂直于圆盘平面的轴作逆时针旋转时，求圆盘所受磁力矩的大小和方向 解：r?r?dr环上电荷dq??2?rdr，环以?角速度旋转之电流

dI??r?dr；磁矩大小为

224（相应于环上的磁力dPm??rdI??r(kr)?rdr;dM?BdPm??k?rBdr??矩）

M??dM???k?Br4dr?2分???k?BR0R5（圆盘所受总磁力矩）M方向?B向上 5??4、一半径为R的绝缘球面均匀紧密地绕有细导线，相邻线圈可视为互相平行，以单层盖住半个球面，共有N匝，设导线中通有电流I，试求球心处的磁感应强度。 解：设单位弧长上电流线圈匝数为n，则n?N2N。沿弧长取dl，则?2?R?R4dl内的总电流为dI=Indl，每一个小圆带相当于一个电流环，已知电流环在其轴线上任一点产生的磁感应强度公式为：B圆?为轴线上一点到圆的距离，

r为圆环的半径。由图（a）所示，r?Rsin?,dl?Rd?,dl宽的圆环上电流为nIdl。

33

?02Ir222?a?r?3。式中a

2半径为r，宽为dl的圆环在球心O点产生的磁感应强度为

dB环,dB环??0r2nIdl2R3??0nIsin2?d?2;B??2dB环?（表示相垂）

0???0nI2??02sin2?d????0nI?2?4??0NI4R

5、如图所示，载流无限长直导线旁有一长方形线圈，长为l，宽为b-a，线圈和导线共面。当（1）无限长直线通有恒定电流I；（2）无限长直导线通有交变电流i?Isin?t，分别求出通过矩形线圈的磁通量。

??I0解：已知无限长载流直导线的磁场公式，B?。B的方向垂直纸面向里，

2?r将矩形面积分成与CF平行的矩形小条且取其法线向时为正，则

??bb?Ildrd??B?dS?BdS?Bldr,???d???0aa2?r

?Ilbdr?0Ilb?0??ln2?ar2?a6、二平行无限长的载流直导线与一矩形圈共面，如图所示，已知a=b=c=10cm，l=10米,I=100A， 求通过线圈的磁通量。 解：取框架平面法线方向背离读者

?0Il?Ila?b?Ilb?cdr?0ln同理?2?0lna2?r2?a2?c

?72?Ila?b4??10?10?10???1??2?2?0ln?ln2?2.77?10?4?韦伯?2?a?d?1?B1ldr,?1??a?b7、如图所示，一半径为R的无限长半圆柱导体面，沿轴向电流为I，均匀分布在半圆柱面上，轴线处有一长直导线，电流也为I。但与柱面上的电流反面，试求导线单位长度所受的力。

解：（1）建立坐标第OXY，首先求半圆柱面导体在O点产生的磁感应强度，如截面图所示，半圆柱面横截面上单位长度的电流为i?地元段dl=dl1=dl2,则

?0dI?0idl??dB1?dB2???;dB1,dB2和X轴夹角相等（如图）所示，由对称性

2?R2?R

34

I，取对称?R分析，By=0,故B只有X方向分量

?0iRd??0icos?d???0i?2?0i?0I 2dBx?cos?,B??dBx?2???sin????02?R2???2R???0?I?I2L??0I2L?00由安培力公式得F?BIL?2?I?L?2,F?2j即力为斥力 ?R?R?R?????F?0I2?导线单位长度力f??2j

L?R(2)二相互平行放置的无限长直导线通反向电流时,相互作用力为斥,只有将直导线放在坐标原点的左

侧才能使位于原点的载流导线受到方向指向y轴的作用力,二直导线相互距离d 可通过下式计算:

?0I2?0I2?R即另一导线应放在y???R处

??d?22?R2?d28、一块半导体样品的体积为a?b?c，如附近图所示，沿x方向有有电流I，在z轴方向加有均匀磁场B，这时实验得出的数据为a=0.10cm,b=1.0cm,c=1.0cm,I=1.0mA,B=0.30T.片两侧的电势差UAA`=6.55mV。（1）问此半导体是正电荷导电（P型）还是负电荷导电（N型）？（2）求载流子浓度 解：（1）n型 （2）

IB1.0?10?3?3000?10?4n?;??10?6cm3?19?3?2 qUAA?a1.6?10?6.55?10?0.10?10?2.9?1014cm39、一载流直导线长为L，电流强度是I，求这直导线旁与导线相距为R的任意一点处的磁感应强度

解:如附图,与载流导线相距为R的P点,直导线上各电流元在P点,产生的dB方向都垂直指向纸内,板总磁感应强度B的数值是各dB的代数和

35

??

Idlsin??L?rcos???????rcos?,R?rsin??????rsin?A1A1r2

??2Isin?d??0IRd??L??rcos?,dL?2?B?0???cos?1?cos?2?sin?4??1R4?RB??dB?A2?04??A2请注意,?1是P点向电流流入端边线与直导线之夹角.而?2是P点向电流流出端边线与直导线延线的夹角

第五章 恒定磁场与磁介质

1、一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2，外半径为R3的同轴导体圆筒组成，中间充满磁导率?的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图。传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的，求同轴线内外的磁感强度大小B的的分布。

解：由安培环路定理：?H?dl??I， 0

2?rH?I?2I?2?r2?R2?2??R32?R2?I2?r?I； 2?r22??r2?R2r2?R2I?uI?,H?1?,B??H?1? ??2?22?2?r?R32?R22?rR?R32???r>R3区域：H=0，B=0

2、有一圆柱形无限长导体，其磁导率为u，半径为R，今有电流I沿轴线方向均匀分布，求：（1）导体内任一点的B；（2）导体外任一点B；（3）通过长为L的圆柱体的纵截面的一半的磁感应通量

解:在导体内过距轴线为r的任一点P(见附图)作一个与轴垂直,圆心在轴线上,半径为r的圆周做为积分路径,此圆周与磁力线重合,而且沿圆

??周H是常数??H?dl?2?rH;根据安培环路定理:

???H?dl??I,因导体内

电流均匀

分布,电流密度是j?

I,在半径为r截面中, 2?R36

?0?IrIr?r??r?2B???H? I??r?j?I?2?rH?I,H?????0?222?RRR2?R????22(2)在导线外一点以过点这一点而圆心在轴线上的圆周做为积分路线,同样是:

???0?I1H?dl?2?rH?IH?,B?,现在r>R,故； I?I???2?r2?r??R??ILR??IL(3)???B?dS??0BLdr?02?0rdr?0

4?2?R3、一同轴线由很长的两个同轴的圆筒构成，内筒半径为1.0mm，外筒半径为7.0mm,有100A的电流由外筒流去内筒流回，两筒的厚度可忽略。两筒之间的介质无磁性（?=1）求：（1）介质中的磁能密度Wm分布；（2）单位长度（1米）同轴线所储藏的磁能Wm

?0i?0i2B2解: (1)根据安培环路定理,两导体之间B?; ?Wm??22

2?r2?08?r(2)对于由半径r 和r+dr长为l 的圆柱壳状,体元d??2?rLdr,其中磁能为:

?0i2?0i2Ldr?0i2Lbdr?0i2LbdWm?Wm?d??22?2?rLdr??,Wm??dWm??ln ?a4?r4?r4?a8?ra和b是同轴线内筒外半径及内外筒内半径,单位长度同轴线所储磁能:

?72?0i2b?4??10N/m??100A?7.0WmWm??ln?ln?1.9?10?3j L4?a4?1.020第七章 电磁感应和暂态过程

?1、如图，有一弯成?角的金属架COD放在磁场中，磁感应强度B的方向垂直于金属架

COD所在平面，一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与MN垂直，设t=0时， x=0，求下列两种情形, 框架内的感应电动势?1；（1）磁场分布均匀，且B不随时间改变；（2）非均匀的时变磁场B?Kxcos?t。 解：(1)由法拉第电磁感应定律：

1d?11???Bxy,y?tg?x,x?vt??i??d????Btg?x2???Btg?2xdx/dt??Btg?v2dt2dt?22????在导体MN内?i方向由M向N。

37

（2）寻于非均匀时变磁场B?kxcos?t取回路绕行的正向为O?N?M?O则

d??BdS?B?d?,???tg?;d??B?tg?d??K?2cos?t?tg?d?, x1???d???K?2cos?t?tg?d??Kx3cos?ttg?,03d?13?1??i???Kx?sin?ttg??Kx2vcos?ttg??Kv3tg???t3sin?t?t2cos?t?dt3?3??i>0，则?i方向与所设绕行正向一致，?i<0，则?i方向与所设绕行

正向相反

2、长直导线通以电流I，有一与之共面的直角三角形线圈ABC，已知AC边长为b，且与长直导线平行，BC边长为a，若线圈以垂直于导线方向的速度v向右平移，当B点与长直导线的距离为d时，求线圈ABC内的感应电动势的大小和感应电动势的方向。 解：建立坐标系，长直导线为Y轴，BC边为X轴，原点在长直导线上，则斜边的方程为

y?bxa?bra式中r是t时刻B点与长直导线的距离，三角形中磁通量

???0Ia?ry?0Ia?r?bbr??0I?bra?r?d??0Ib?a?ra?drdx??dx?b?ln;????ln???????，当r=d时，??rr2?x2?2??ar?dt2?a?ra?r?dt?aax?????????0Ib?a?da???ln?v方向：ACBA（顺时针）

2?a?da?d?3、有一很长的长方的U形导轨，与水平面成?角，裸导线ab可在导轨上无磨擦地下滑，

?导轨位于磁感应强度B垂直向上的均匀 磁场中，如图所示，设导线ab的质量为m，电阻

为R，长度为l，导轨的电阻略去不计，abcd形成电路， t=0时，v=0；试求：导线ab下滑的速度v与时间t的函数关系

解：ab导线在磁场中运动产生的感应电动势?i?Blvcos?abcd回路中流过的电流

Ii??i/R?Blvcos?/R，ab载流导线在磁场中受到的安培力沿导轨方

向上的分力为：F?IiBlcos??

Blvcos?Blcos?，由牛顿第二定律： R38

Blvcos?dvmgsin??Blcos??m,dt?Rdtdt?dvtB2l2vcos2?dv，令A?gsin?,c?则 222mRBlvcos?gsin??mRA?cvv利用t?0,v?0有

?dt??00dv1vd?A?cv?1A?cvAmgRsin????,t??ln?v??1?ect??221?ect? ?2A?cvc0A?cvcAcBlcos?

4、如图，水平面内有两条相距l的平行长直光滑裸导线MN，M`N`，其两端分别与电阻

?R1，R2相连；匀强磁场B垂直于图面向里；裸导线ab垂直搭在平行导线上，并在外力作

用下以速率v平行导线MN向右作匀速度运动，裸导线MN，M`N`与ab的电阻均不计，（1）求电阻R1和R2中的电流I1和I2，并说明其方向。（2）设外力提供的功率不能超过值P0，求导线ab的最大速率。

解：（1）导线ab中的动生电动势??Blv，不计导线电阻时，a、b两点间

电势差Ua?Ub???Blv故

；I2?(Ua?Ub)/R2?vI1?(Ua?Ub)/R1?Blv/R1，由M流向M`，Bl/R2由N流向N` （2）外力提供的功率 等于两电阻上消耗的焦耳热功率

2P?R1I12?R2I2?B2l2v2?R1?R2?/R1R2故B2l2v2?R1?R2?/R1R2?P0，最大速率vm?1R1R2P0

BlR1?R25、如图所示，真空中一矩形线圈宽和长分别为2a和b，通有电流I2，可绕其中心对称轴OO`转动，与轴平行且相距为d+a外有一固定不动的长直电流I1，开始时矩形线圈与长直电流在同一平面内，求：（1）在图示位置时，I1产生的磁场通过线圈平面的磁通量；（2）线圈与直线电流间的互感系数；（3）保持I2不变，使线圈绕OO`轴转过900要做多少功？

a?a?d?I?Ibd?2a 01解：（1）按题意是指图示位置时的?，???dbdx?01ln2?x2?d（2）M?

??0bd?2a（3）A?I2????0I1I2blnd?2a ?lnI12?d2?d39

6、一内轴电缆，芯线是半径为R1的空心导线，外面套以同轴的半径为R2的圆筒形金属网，

芯线与网之间的绝缘材料的相对磁导率为?r，试求单位长度电缆上的自感L。 解：B????R2?0?rI,R1?r?R2长为l的一段，R1、R2之间矩形面积上的磁通为： 2?rR1?0?rI??IR??0?rR2 l?dr?0rlln2单位长度自感为：L0??lnIL2?rR12?r2?rR17、有一电感L为10享，电阻R为100欧的线圈，接在100伏无内阻电源上，线圈与电源接通后0.1秒时，试求：（1）线圈磁能的增加率；（2）电阴R上消耗焦耳热的功率；（3）电源输出的功率。 解: (1)由i????1?e?R?R?iLi?di??R1?,?eL 由W?Li2对t求一阶导数 ?dtL2?100100RRR22??0.1???0.1i???i??i??i??dWdi??R?100?Li?L?eL??1?eL???1?eL?eL???1?e10?e10?23?W?dtdtLR?100??R??????(2)PR?i2R????R?(3)P??i?2100RR22??0.1??i??i?????10010LL??1?e??40?W??1?e?R??1?e??R100??????R?iL100??0.1??1002?10??1?e??63?W???2分??100???222

?2??1?eR? 简答

1、何为统计规律？ 温度的微观本质。

答：大量偶然事件在总体上反映出来的规律为统计规律。温度反映了分子热运动的剧烈程度。

2、试述能量均分定理。

答：温度为Ｔ的平衡态气体，每个分子的每一个自由度平均都占有1/2kT的能量。 3、麦克斯韦速率分布中的ｖ，答：

v2，

vp公式。

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