2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2019?新课标Ⅲ）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0，1}

B．{0，1}

C．{﹣1，1}

D．{0，1，2}

2

2．（5分）（2019?新课标Ⅲ）若z（1+i）＝2i，则z＝（ ） A．﹣1﹣i

B．﹣1+i

C．1﹣i

D．1+i

3．（5分）（2019?新课标Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（ ） A．0.5

B．0.6

2

4

C．0.7

3

D．0.8

4．（5分）（2019?新课标Ⅲ）（1+2x）（1+x）的展开式中x的系数为（ ） A．12

B．16

C．20

D．24

5．（5分）（2019?新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（ ） A．16

B．8

x

C．4 D．2

6．（5分）（2019?新课标Ⅲ）已知曲线y＝ae+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（ ） A．a＝e，b＝﹣1

B．a＝e，b＝1

C．a＝e，b＝1

﹣1

D．a＝e，b＝﹣1

﹣1

7．（5分）（2019?新课标Ⅲ）函数y＝在[﹣6，6]的图象大致为（ ）

A． B．

第1页（共23页）

C． D．

8．（5分）（2019?新课标Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

9．（5分）（2019?新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，如果输入的?为0.01，则输出s的值等于（ ）

第2页（共23页）

A．2﹣ B．2﹣ C．2﹣ D．2﹣

10．（5分）（2019?新课标Ⅲ）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐

近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（ ） A．

B．

C．2

D．3

11．（5分）（2019?新课标Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）

A．f（log3）＞f（2

）＞f（2

）

B．f（log3）＞f（2

）＞f（2）

C．f（2）＞f（2

）＞f（log3）

D．f（2）＞f（2

）＞f（log3）

）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]

12．（5分）（2019?新课标Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ωx+有且仅有5个零点．下述四个结论： ①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点 ②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点 ③f（x）在（0，④ω的取值范围是[

）单调递增 ，

）

其中所有正确结论的编号是（ ） A．①④

B．②③

C．①②③

D．①③④

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2019?新课标Ⅲ）已知，为单位向量，且?＝0，若＝2﹣＜，＞＝ ．

，则cos

第3页（共23页）

14．（5分）（2019?新课标Ⅲ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝ ．

15．（5分）（2019?新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：

+

＝1的两个焦点，M为C上一

点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 ．

16．（5分）（2019?新课标Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 g．

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（2019?新课标Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计

第4页（共23页）

值为0.70．

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

18．（2019?新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．

19．（2019?新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．

＝bsinA．

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小． 20．（2019?新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝2x﹣ax+b． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由． 21．（2019?新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点；

（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

第5页（共23页）

3

2

，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条

22．（2019?新课标Ⅲ）如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（D（2，π），弧是弧

，

，

，），C（，），

所在圆的圆心分别是（1，0），（1，，曲线M3是弧

．

），（1，π），曲线M1

，曲线M2是弧

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝

，求P的极坐标．

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．（2019?新课标Ⅲ）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1． （1）求（x﹣1）+（y+1）+（z+1）的最小值；

（2）若（x﹣2）+（y﹣1）+（z﹣a）≥成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1．

2

2

2

2

2

2

第6页（共23页）

2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2019?新课标Ⅲ）已知集合A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝（ ） A．{﹣1，0，1}

B．{0，1}

C．{﹣1，1}

2

2

D．{0，1，2}

【解答】解：因为A＝{﹣1，0，1，2}，B＝{x|x≤1}＝{x|﹣1≤x≤1}， 所以A∩B＝{﹣1，0，1}， 故选：A．

2．（5分）（2019?新课标Ⅲ）若z（1+i）＝2i，则z＝（ ） A．﹣1﹣i

B．﹣1+i

C．1﹣i

D．1+i

【解答】解：由z（1+i）＝2i，得 z＝＝1+i． 故选：D．

3．（5分）（2019?新课标Ⅲ）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为（ ） A．0.5

B．0.6

C．0.7

D．0.8

【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生， 其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，

阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，

作出维恩图，得：

第7页（共23页）

∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，

则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：故选：C．

4．（5分）（2019?新课标Ⅲ）（1+2x）（1+x）的展开式中x的系数为（ ） A．12

2

2

4

3

＝0.7．

B．16

4

3

C．20 D．24

【解答】解：（1+2x）（1+x）的展开式中x的系数为： 1×故选：A．

5．（5分）（2019?新课标Ⅲ）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，则a3＝（ ） A．16

B．8

C．4

D．2

+2×

＝12．

【解答】解：设等比数列{an}的公比为q（q＞0）， 则由前4项和为15，且a5＝3a3+4a1，有

，∴

∴故选：C．

6．（5分）（2019?新课标Ⅲ）已知曲线y＝ae+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b，则（ ） A．a＝e，b＝﹣1

x

x

，

，

B．a＝e，b＝1

x

C．a＝e，b＝1

﹣1

D．a＝e，b＝﹣1

﹣1

【解答】解：y＝ae+xlnx的导数为y′＝ae+lnx+1，

第8页（共23页）

由在点（1，ae）处的切线方程为y＝2x+b， 可得ae+1+0＝2，解得a＝e，

又切点为（1，1），可得1＝2+b，即b＝﹣1， 故选：D．

7．（5分）（2019?新课标Ⅲ）函数y＝

在[﹣6，6]的图象大致为（ ）

﹣1

A． B．

C． D．

在[﹣6，6]，知

【解答】解：由y＝f（x）＝

f（﹣x）＝，

∴f（x）是[﹣6，6]上的奇函数，因此排除C 又f（4）＝故选：B．

8．（5分）（2019?新课标Ⅲ）如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ ）

，因此排除A，D．

第9页（共23页）

A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线 B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线 C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线 D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线

【解答】解：∵点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，

∴BM?平面BDE，EN?平面BDE，

∵BM是△BDE中DE边上的中线，EN是△BDE中BD边上的中线， ∴直线BM，EN是相交直线， 设DE＝a，则BD＝∴BM＝

a，EN＝

，BE＝

＝a，

＝

，

∴BM≠EN， 故选：B．

9．（5分）（2019?新课标Ⅲ）执行如图的程序框图，如果输入的?为0.01，则输出s的值等于（ ）

第10页（共23页）

A．2﹣

B．2﹣

C．2﹣

D．2﹣

【解答】解：第一次执行循环体后，s＝1，x＝，不满足退出循环的条件x＜0.01； 再次执行循环体后，s＝1+，x＝再次执行循环体后，s＝1++… 由于

＞0.01，而

++…+…

＜0.01，可得： ，x＝＝2﹣

，此时，满足退出循环的条件x＜0.01， ．

，不满足退出循环的条件x＜0.01；

，不满足退出循环的条件x＜0.01；

，x＝

当s＝1++输出s＝1++故选：C．

10．（5分）（2019?新课标Ⅲ）双曲线C：﹣＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐

近线上，O为坐标原点．若|PO|＝|PF|，则△PFO的面积为（ ） A．

B．

C．2

D．3

【解答】解：双曲线C：x，不妨P在第一象限，

﹣＝1的右焦点为F（，0），渐近线方程为：y＝

第11页（共23页）

可得tan∠POF＝，P（，）， ＝

．

所以△PFO的面积为：故选：A．

11．（5分）（2019?新课标Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）

A．f（log3）＞f（2

）＞f（2

）

B．f（log3）＞f（2

）＞f（2）

C．f（2）＞f（2

）＞f（log3）

D．f（2）＞f（2

）＞f（log3）

【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数 ∴

，

∵log34＞log33＝1，∴0

，

f（x）在（0，+∞）上单调递减， ∴故选：C．

12．（5分）（2019?新课标Ⅲ）设函数f（x）＝sin（ωx+有且仅有5个零点．下述四个结论： ①f（x）在（0，2π）有且仅有3个极大值点 ②f（x）在（0，2π）有且仅有2个极小值点 ③f（x）在（0，

）单调递增

）（ω＞0），已知f（x）在[0，2π]

＞

＞

，

第12页（共23页）

④ω的取值范围是[，）

其中所有正确结论的编号是（ ） A．①④

B．②③

∈[

C．①②③ ，2πω+

]，

D．①③④

【解答】解：当x∈[0，2π]时，ωx+

∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+∴

， ，故④正确，

因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案， 下面判断③是否正确， 当x∈（0，

）时，ωx+

∈[

，

]，

若f（x）在（0，则∵故选：D．

）单调递增， ，即ω＜3， ，故③正确．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2019?新课标Ⅲ）已知，为单位向量，且?＝0，若＝2﹣＜，＞＝ 【解答】解：∵

＝（2﹣

． ＝）＝4

2

，则cos

＝2

﹣4

﹣+5

＝9，

＝2，

∴||＝3， ∴cos＜，＞＝

＝．

故答案为：

14．（5分）（2019?新课标Ⅲ）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则

第13页（共23页）

＝ 4 ．

【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，则 由a1≠0，a2＝3a1可得，d＝2a1， ∴

＝

＝

故答案为：4．

，

15．（5分）（2019?新课标Ⅲ）设F1，F2为椭圆C：

+＝1的两个焦点，M为C上一

点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为 （3，） ．

【解答】解：设M（m，n），m，n＞0，椭圆C：e＝＝，

+＝1的a＝6，b＝2，c＝4，

由于M为C上一点且在第一象限，可得|MF1|＞|MF2|， △MF1F2为等腰三角形，可能|MF1|＝2c或|MF2|＝2c， 即有6+m＝8，即m＝3，n＝

；

6﹣m＝8，即m＝﹣3＜0，舍去． 可得M（3，故答案为：（3，

）． ）．

16．（5分）（2019?新课标Ⅲ）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度为0.9g/cm．不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为 118.8 g．

3

第14页（共23页）

【解答】解：该模型为长方体ABCD﹣A1B1C1D1，挖去四棱锥O﹣EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，

E，F，G，H，分别为所在棱的中点，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm， ∴该模型体积为：

﹣VO﹣EFGH

＝6×6×4﹣

＝144﹣12＝132（cm），

∵3D打印所用原料密度为0.9g/cm，不考虑打印损耗， ∴制作该模型所需原料的质量为：132×0.9＝118.8（g）． 故答案为：118.8．

3

3

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。

17．（2019?新课标Ⅲ）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A、B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如图直方图：

第15页（共23页）

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．

【解答】解：（1）C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”， 根据直方图得到P（C）的估计值为0.70． 则由频率分布直方图得：

，

解得乙离子残留百分比直方图中a＝0.35，b＝0.10． （2）估计甲离子残留百分比的平均值为：

＝2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05＝4.05． 乙离子残留百分比的平均值为：

＝3×0.05+4×0.1+5×0.15+6×0.35+7×0.2+8×0.15＝6.00．

18．（2019?新课标Ⅲ）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围． 【解答】解：（1）asin

＝bsinA，即为asin

＝acos＝bsinA，

＝bsinA．

可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA， ∵sinA＞0，

第16页（共23页）

∴cos＝2sincos，

若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立， ∴sin＝， 由0＜B＜π，可得B＝

；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1， 由余弦定理可得b＝

2

2

＝，

2

2

由三角形ABC为锐角三角形，可得a+a﹣a+1＞1且1+a﹣a+1＞a， 解得＜a＜2，

可得△ABC面积S＝a?sin

＝

a∈（

，

）．

19．（2019?新课标Ⅲ）图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE； （2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．

【解答】证明：（1）由已知得AD∥BE，CG∥BE，∴AD∥CG， ∴AD，CG确定一个平面， ∴A，C，G，D四点共面，

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，∴AB⊥面BCGE， ∵AB?平面ABC，∴平面ABC⊥平面BCGE． 解：（2）作EH⊥BC，垂足为H，

∵EH?平面BCGE，平面BCGE⊥平面ABC，

第17页（共23页）

∴EH⊥平面ABC，

由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC＝60°， ∴BH＝1，EH＝以H为坐标原点，

，

的方向为x轴正方向，建立如图所求的空间直角坐标系H﹣xyz，

），

则A（﹣1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，＝（1，0，

），

＝（2，﹣1，0），

设平面ACGD的法向量＝（x，y，z），

则，取x＝3，得＝（3，6，﹣），

又平面BCGE的法向量为＝（0，1，0）， ∴cos＜

＞＝

＝

，

∴二面角B﹣CG﹣A的大小为30°．

20．（2019?新课标Ⅲ）已知函数f（x）＝2x﹣ax+b． （1）讨论f（x）的单调性；

（2）是否存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1？若存在，求出a，b的所有值；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）f′（x）＝6x﹣2ax＝6x（x﹣）． 令f′（x）＝6x（x﹣）＝0，解得x＝0，或．

①a＝0时，f′（x）＝6x≥0，函数f（x）在R上单调递增．

②a＞0时，函数f（x）在（﹣∞，0），（，+∞）上单调递增，在（0，）上单调递减．

第18页（共23页）

2

2

3

2

③a＜0时，函数f（x）在（﹣∞，），（0，+∞）上单调递增，在（，0）上单调递减．

（2）由（1）可得：

①a≤0时，函数f（x）在[0，1]上单调递增．则f（0）＝b＝﹣1，f（1）＝2﹣a+b＝1，解得b＝﹣1，a＝0，满足条件．

②a＞0时，函数f（x）在[0，]上单调递减．

≥1，即a≥3时，函数f（x）在[0，1]上单调递减．则f（0）＝b＝1，f（1）＝2﹣a+b＝﹣1，解得b＝1，a＝4，满足条件．

③0＜＜1，即0＜a＜3时，函数f（x）在[0，）上单调递减，在（，1]上单调递增．则最小值f（）＝化为：﹣若：﹣若：﹣

﹣a×

+b＝﹣1，

+b＝﹣1．而f（0）＝b，f（1）＝2﹣a+b，∴最大值为b或2﹣a+b． +b＝﹣1，b＝1，解得a＝3

＞3，矛盾，舍去．

，或0，矛盾，舍去．

+b＝﹣1，2﹣a+b＝1，解得a＝±3

综上可得：存在a，b，使得f（x）在区间[0，1]的最小值为﹣1且最大值为1． a，b的所有值为：

，或

．

，D为直线y＝﹣上的动点，过D作C的两条

21．（2019?新课标Ⅲ）已知曲线C：y＝切线，切点分别为A，B． （1）证明：直线AB过定点；

（2）若以E（0，）为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积．

【解答】解：（1）证明：y＝

的导数为y′＝x，

设切点A（x1，y1），B（x2，y2），即有y1＝，y2＝

，

切线DA的方程为y﹣y1＝x1（x﹣x1），即为y＝x1x﹣

，

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切线DB的方程为y＝x2x﹣

，

联立两切线方程可得x＝（x1+x2）， 可得y＝x1x2＝﹣，即x1x2＝﹣1，

直线AB的方程为y﹣＝

（x﹣x1），

即为y﹣

＝（x1+x2）（x﹣x1），

可化为y＝（x1+x2）x+， 可得AB恒过定点（0，）；

（2）法一：设直线AB的方程为y＝kx+， 由（1）可得x1+x2＝2k，x1x2＝﹣1， AB中点H（k，k+），

由H为切点可得E到直线AB的距离即为|EH|，

2

可得＝，

解得k＝0或k＝±1，

即有直线AB的方程为y＝或y＝±x+，

由y＝可得|AB|＝2，四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD＝×2×（1+2）＝3； 由y＝±x+，可得|AB|＝

?

＝4，

此时D（±1，﹣）到直线AB的距离为＝；

E（0，）到直线AB的距离为＝，

+

）＝4

；

则四边形ADBE的面积为S△ABE+S△ABD＝×4×（法二：

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（2）由（1）得直线AB的方程为y＝tx+．

由，可得x﹣2tx﹣1＝0．

2

于是x1+x2＝2t，x1x2＝﹣1，y1+y2＝t（x1+x2）+1＝2t+1， |AB|＝

＝

×

＝2（t+1）．

2

2

设d1，d2分别为点D，E到直线AB的距离，则d1＝

2

，d2＝

．

因此，四边形ADBE的面积S＝|AB|（d1+d2）＝（t+3）设M为线段AB的中点，则M（t，t+）． 由于

，而

，

2

．

与向量（1，t）平行，所以t+（t﹣2）t＝0．解

2

得t＝0或t＝±1．

当t＝0时，S＝3；当t＝±1时，S＝4综上，四边形ADBE的面积为3或4

． ．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 22．（2019?新课标Ⅲ）如图，在极坐标系Ox中，A（2，0），B（D（2，π），弧是弧

，

，

，

），C（

，

），

所在圆的圆心分别是（1，0），（1，，曲线M3是弧

．

），（1，π），曲线M1

，曲线M2是弧

（1）分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；

（2）曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝

，求P的极坐标．

【解答】解：（1）由题设得，弧＝2sinθ，ρ＝﹣2cosθ，

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，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cosθ，ρ

则M1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，（0≤θ≤≤

），

），M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ，（

≤θ

M3的极坐标方程为ρ＝﹣2cosθ，（

≤θ≤π），

（2）设P（ρ，θ），由题设及（1）值， 若0≤θ≤若若

≤θ≤

，由2cosθ＝，由2sinθ＝

得cosθ＝得sinθ＝得cosθ＝﹣）或（

，，得θ＝，得θ＝，得θ＝）或（

，， 或

， ）或（

，

）．

，

≤θ≤π，由﹣2cosθ＝

，

综上P的极坐标为（

[选修4-5：不等式选讲]（10分）

23．（2019?新课标Ⅲ）设x，y，z∈R，且x+y+z＝1． （1）求（x﹣1）+（y+1）+（z+1）的最小值；

（2）若（x﹣2）+（y﹣1）+（z﹣a）≥成立，证明：a≤﹣3或a≥﹣1． 【解答】解：（1）x，y，z∈R，且x+y+z＝1， 由柯西不等式可得

（1+1+1）[（x﹣1）+（y+1）+（z+1）]≥（x﹣1+y+1+z+1）＝4， 可得（x﹣1）+（y+1）+（z+1）≥，

即有（x﹣1）+（y+1）+（z+1）的最小值为； （2）证明：由x+y+z＝1，柯西不等式可得

（1+1+1）[（x﹣2）+（y﹣1）+（z﹣a）]≥（x﹣2+y﹣1+z﹣a）＝（a+2）， 可得（x﹣2）+（y﹣1）+（z﹣a）≥

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

，

，

即有（x﹣2）+（y﹣1）+（z﹣a）的最小值为由题意可得

≥，

解得a≥﹣1或a≤﹣3．

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