拉普拉斯变换及反变换标准版

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2.表 A-2 常用函数的拉氏变换和 z 变换表 序 号 拉氏变换 E(s) 1 时间函数 e(t) δ (t) T (t ) (t nT )n 0

Z 变换 E(z) 1z z 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 e Ts1 s

1(t )

z z 1

1 s21 s3

tt2 2

Tz ( z 1) 2T 2 z ( z 1) 2( z 1) 3

1 s n 11 s a

tn n!

lim

( 1) n n z ( ) n a 0 n! a z e aTz z e aT

e at te at

1 (s a) 2a s( s a)

Tze aT ( z e aT ) 2(1 e aT ) z ( z 1)( z e aT )

1 e

at

b a ( s a )( s b)

e at e bt

z z aT z e z e bTz sin T z 2 z cos T 12

s 2 2

sin t

s s 22

cos t

z ( z cos T ) z 2 z cos T 12

( s a) 2 2

e at sin t e at cos tat / T

ze aT sin T z 2 2 ze aT cos T e 2 aTz 2 ze aT cos T z 2 2 ze aT cos T e 2 aTz z a

s a (s a) 2 21 s (1 / T ) ln a

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3． 用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。设F(s)是s的有理真分式

B(s)bmsm bm 1sm 1 b1s b0

F(s) （n m）

A(s)ansn an 1sn 1 a1s a0

式中系数a0,a1,...,an 1,an，b0,b1, bm 1,bm都是实常数；m,n是正整数。按代数定理可将F(s)展开为部分分式。分以下两种情况讨论。 ① A(s) 0无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。

n

cicncc1c2

F(s) i （F-1）

s s1s s2s sis sni 1s si

式中，s1,s2, ,sn是特征方程A(s)＝0的根。ci为待定常数，称为F(s)在si处的留数，可按下式计算： 或

ci lim(s si)F(s) （F-2）

s si

ci

B(s)

（F-3）

A (s)s s

i

式中，A (s)为A(s)对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数

n nci st

f(t) L F(s) L ＝ cie (F-4)

i 1s si i 1

1

1

i

②

A(s) 0有重根

设A(s) 0有r重根s1，F(s)可写为

F s

B(s)

r

(s s1)(s sr 1) (s sn)

=

cicncrcr 1c1cr 1

(s s1)r(s s1)r 1(s s1)s sr 1s sis sn

式中，s1为F(s)的r重根，sr 1，…, sn为F(s)的n-r个单根；

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其中，cr 1，…, cn仍按式(F-2)或(F-3)计算，cr，cr 1，…, c1则按下式计算：

cr lim(s s1)rF(s)

s s1

cr 1 lim

s s1

d

[(s s1)rF(s)] ds

cr j

1d(j)

lim(j)(s s1)rF(s) (F-5) j!s s1ds

1d(r 1)

c1 lim(r 1)(s s1)rF(s)

(r 1)!s s1ds

原函数f(t)为 f(t) L

1

F(s)

crcicn cr 1c1cr 1

L 1 rr 1

(s s1)s sr 1s sis sn (s s1) (s s1)

n

cr 1r 2 cr str 1

t t c2t c1 e ciest

(r 2)!i r 1 (r 1)!

1

i

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（F-6）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ctoj.html