正大2012-2013学年度下学期高三数学周练5（理）教师B4版

正大学校2012-2013学年度下学期高三数学（理）周练（5）

命题：曾蓉 审题：高三数学备课组 内容：综合试卷 时间：2013 3 19

一、选择题

1．已知i是虚数单位，且复数z若z11?3?bi,z2?1?2i,z是实数，则实数b的值为 （ A ）

2A．6 B．?6 C．0 D．16

2、下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是( C )

A.①② B.②③ C.②④ D.①③

3、设m、n是不同的直线，α、β是不同的平面，有以下四个命题：

①若m⊥α，n⊥α，则m∥n； ②若???,m//?,则m??； ③若m上α，m⊥n，则n∥α； ④若n??,n??,则?//?. 其中，真命题的序号是 ( B ) A．①③ B．①④ C．②③

D．②④

4．当x?

?4

时，函数f(x)?Asin(x??)(A?0)取得最小值，则函数y?f(3?4?x)是 （ C ） A．奇函数且图像关于点(?2,0)对称 B．偶函数且图像关于点(?,0)对称

C．奇函数且图像关于直线x??2对称 D．偶函数且图像关于点(?2,0)对称

5．已知每项均大于零的数列{an}中，首项a1?1且前n项的和Sn满足

S*nS?n1?S?n1S?n2Sn?(S1nn?N,且n?2)，则a81? （ C ）

A．638 B．639 C．640

D．641

6．已知a>b，二次三项式ax2 +2x +b≥0对于一切实数x恒成立．又?x2o?R，使axo?2xo?b?0a2?b2成立，则a?b的最小值为

（ D ）

A．1 B．2 C．2 D．22

7、过抛物线y2

=4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小

值是 （ C ）

A．2 B．2 C．4 D．22 8、现有一种密码，它是由3个a，2个b，1个c和1个d组成的七位代码，则这种密码的个数是 （ D ）

A. 120 B. 240 C. 360 D. 420

9、在正方体ABCD?A1BC11D1中，E是棱CC1的中点，F是侧面BCC1B1内的动点，且A1F//平面D1AE，则A1F与平面BCC1B1所成角的正切值构成的集D（ D ）

1C合是

1

A1B1??25????25??. A．?FE?t?t?23? B．?t?t?2??5?? ????5????DCC．t2?t?23 D．t2?t?22 A B

、函数f（x）=???1?x?x2x3x4x2012x201310?2?3?4???2012?2013?? cos2x在区间[-3，3]上的零点的个数

为（ C ）

A．3 B．4

C．5

D．6

二、填空题

11、已知向量?a?(x,1),b??(2,y?2).若?a?b?,则9x?3y的最小值是 6 。

?12、已知a=4?20cos(2x??6)dx，则二项式（x2+ax）5的展开式中x的系数为 -80 ．

13、已知P为双曲线C：x2y29?16?1上的点，点M满足????OM??1，且????OM??P????M??0，则当????PM?取得最小值时的点P到双曲线C的渐近线的距离为 ——125

14、已知函数 f(x)?4x?k?2x?14x?2x?1. 若对任意的实数x1,x2,x3，不等式f(x1)?f(x2)?f(x3)恒

成立，则实数k的取值范围是 ?12?k?4 三、选做题：请在(1)，(2)两题中任选做一题作答,若多做,则按第一题计分，本题5分 15（1）．使不等式log2x?1?x成立的x的取值范围是 (0,1) ； 15（2）. 在极坐标系中，点A(2,?4)到直线?sin(???4)?22的距离是 22。 四、解答题

16、若函数f(x)?sin2ax?sinaxcosax(a?0)的图像与直线y?m(m为实常数)相切,并且从左

到右切点的横坐标依次成公差为

?2的等差数列. (Ⅰ)求函数y?f(x)的解析式;

1

(Ⅱ)若点A(x0,y0)是y?f(x)的图像的对称中心,且x0?[0,?2],求点A的坐标.

解:(Ⅰ) f(x)?12?22sin(2ax??4),……………..…….…..2分 由y?m与y?f(x)的图像相切,则m?1?21?22或m?2,…………..4分

因为切点的横坐标依次成公差为?2的等差数列,

所以T??2,即a?2,故f(x)?12?2?2sin(4x?4)……………..6分

(Ⅱ)由(1)知,令sin(4x?k??0?4)?0,?x0?4?16,k?Z.…………..8分 由0?k?4??16??2,k?Z,?k?1,k?2,………………………...11分 所以点A的坐标为(3?16,12),(7?16,12)………………………..………12分

17、已知从A地去B地有两条路可走，并且汽车走路①堵车的概率为

14；汽车走路②堵车的概率为p．若现在有两辆汽车走路①，有一辆汽车走路②，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响。

（Ⅰ）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数?的分布列和数学期望。

2解：（Ⅰ）由已知条件得 C12?14?3?3?74?(1?p)???4???p?16 即3p?1，则p?1

3 ……………5分

（Ⅱ）?

可能的取值为0，1，2，3

P(??0)?332374?4?3?8 ； P(??1)?16

； P(??2)?14?14?23?C1131111112?4?4?3?6 ；P(??3)?4?4?3?48 ?的分布列：

? 0 1 2 3 P 3711

8 16 6 48

所以E??0?3?1?7816?2?1156?3?48?6 。

18、如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD所在的平面与圆O所在的平面互相垂直．已知AB?2,EF?1． C（Ⅰ）求证：平面DAF?平面CBF；

（Ⅱ）求直线AB与平面CBF所成角的大小；

D（Ⅲ）当AD的长为何值时，平面DFC与平面FCB所成的

锐二面角的大小为60?？

.BEO

解：（I）证明：?平面ABCD?平面ABEF,CB?AB, AF平面ABCD?平面ABEF=AB， zC?CB?平面ABEF．

?AF?平面ABEF，?AF?CB， 又?AB为圆O的直径，?AF?BF， D?AF?平面CBF．

.B?AF?平面ADF，?平面DAF?平面CBF． E

HO （II）根据（Ⅰ）的证明，有AF?平面CBF，

y?FB为AB在平面CBF内的射影,

xAF因此，?ABF为直线AB与平面CBF所成的角 ?AB//EF，?四边形ABEF为等腰梯形， 过点F作FH?AB，交AB于H．

AB?2,EF?1，则AH?AB?EF2?12． 在Rt?AFB中，根据射影定理AF2?AH?AB，得AF?1．

sin?ABF?AF?1，??ABF?30?AB2．

?直线AB与平面CBF所成角的大小为30?．

（Ⅲ）设EF中点为G，以O为坐标原点，OA、OG、AD方向分别为x轴、y轴、z 轴方

向建立空间直角坐标系（如图）.设AD?t(t?0)，则点D的坐标为(1,0,t)则 C(?1,0t,,又A(1,0,0),B(?1,0,0),F(1,322,0) ????CD??(2,0,0),???FD??(12,?32,t)

设平面DCF的法向量为n????????????1?(x,y,z)，则n1?CD?0,n1?FD?0．

?2x?0,即?? 令z?3，解得x?0,y?2t ?3??2y?tz?0.?n1?(0,2t,3)

2

)???????13由（I）可知AF?平面CFB，取平面CBF的一个法向量为n2?AF?(?,,0)，依

22?题意n1 与n2的夹角为60

Tn?(2n?1)?2n?1，

∴Sn?Tn?2n?(2n?1)(2n?1)

?cos60??n1?n2n1?n2，即

613t， 解得t? ?2424t?3?1因此，当AD的长为6?时，平面与DFC平面FCB所成的锐二面角的大小为60. x2220．设点F1(?c,0)，F2(c,0)分别是椭圆C:2?y?1(a?1)的左、右焦点，P为椭圆C上任

a0意一点，且PF1?PF2最小值为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）设定点D(m,0)，已知过点F2且与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A、B两点，满足4

19、已知数列?a(4n?6)an?4n?10n?满足a1?a，an?1?2n?1（n?N?）．

．（1）判断数列??an?2??2n?1??是否为等比数列？若不是，请说明理由；若是，试求出通项an；

．（2）如果a?1时，数列?an?的前n项和为Sn，试求出Sn．

解：（1）?a(4n?6)an?4n?10(4n?6)(an?n?1?2?2n?1?2?2)2n?1，…

?an?1?22n?3?2?(an?2)2n?1．

令ban?2a?2n?2n?1，则bn?1?2bn，且b1?3．

∴当a??2时，ban?21?0，则bn?0，数列{2n?1}不是等比数列． 当a??2时，ba?21?0，则数列{n2n?1}是等比数列，且公比为2． ?b?1a?2n?b1?2n，即n2n?1?a?23?2n?1． 解得a(a?2)(2n?1)n?3?2n?1?2． （2）由（1）知，当a?1时，a1n?(2n?1)?2n??2，

Sn?3?5?2?7?22???(2n?1)?2n?1?2n．

由错位相减法，设T2n?3?5?2?7?2???(2n?1)?2n?1 ……①

则2T2nn?3?2?5?2?7?2? ……??2n?1??2……②

②-①得

?Tn?3?2?2?22????????2n?1????2n?1??2n ?3?2?2?2n??2n?1??2n??1???2n?1??2n

1?2

AD?BD，求m的取值范围．

解：（1）设P(x,y)，则有F1P?(x?c,y)，F2P?(x?c,y)

222a2PFPF?1221?2?x?y?c?a2x?1?c,x???a,a? 1?c2?0?c?1?a2?2，

所以，椭圆C的方程为x22?y2?1． （2）由(1)得F(1,0)，设l的方程为y?k(x?1)，

代入x22?y2?1，得(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0 设A(x,y4k22k21,y1),B(x22)，则x1?x2?2k2?1,x?21x2?2k2?1， ?yx?2k1?y2?k(1?x2?2)?2k2?1

设AB的中点为M，则M(2k22k2?1,?k2k2?1)， ?AD?BD，?DM?AB，即kCM?kAB??1

?4k2?2k2k2?1?2m?2k2?1k?0?(1?2m)k2?m 因为直线l不与坐标轴垂直的，所以k2?m1?2m. ?m1?2m?0?0?m?12． 21、已知函数f?x??ln?2ax?1??x33?x2?2ax?a?R? （I）若x?2为f?x?的极值点，求实数a的值；

（II）若y?f?x?在?3,???上为增函数，求实数a的取值范围； 解：（I）f??x??2a?x2?2x?2a?x?2ax2??1?4a?x??4a2?2??2ax?12ax?1

题意，3

由因为x?2为f?x?的极值点，所以f??2??0，即

2a4a?1?2a?0，解得a?0。 （II）因为函数f??x?在?3,???上为增函数，所以

f??x??x2ax2??1?4a?x??4a2?2??2ax?1?0在?3,???上恒成立。

?当a?0时，f??x??x?x?2??0在?3,???上恒成立，所以f?x?在?3,???上为增函数，故a?0 符合题意。

?当a?0时，由函数f?x?的定义域可知，必须有2ax?1?0对x?3恒成立，故只能a?0，

所以2ax2??1?4a?x??4a2?2??0在?3,???上恒成立。

令函数g?x??2ax2??1?4a?x??4a2?2?，其对称轴为x?1?1?4a，因为a?0，所以1?14a?1，要使g?x??0在3,???上恒成立，只要g?3??0即可，即g?3???4a2?6a?1?0，所以

3?134?a?3?134。因为a?0，所以0?a?3?134。 综上所述，a的取值范围为??0,3?13??4?。

?

4

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