线性代数第一章课后习题答案

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习题1.1

1、写出下列随机试验的样本空间.

(1)生产产品直到有4件正品为正,记录生产产品的总件数.

(2)在单位园中任取一点记录其坐标.

(3)同时掷三颗骰子,记录出现的点数之和. 解:(1)??{4,5,6,7,8?} (2)??{(x.y)x?y?1} (3)??{3,4,5,6,7,8,9,10,?,18}

2、同时掷两颗骰子,

1

22x、y分别表示第一、二

两颗骰子出现的点数,设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”,B表示“点数之差为零”,C表示“点数之积不超过20”,用样本的集合表示事件B?A,BC,B?C.

解:

B?A?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6)}

3、设某人向靶子射击3次,用Ai表示“第i次射击击中靶子”(i?1,2,3),试

B?C?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4),(5.5),(6.6),(4.6),(6.4),(5.6),(6.5)}

2

BC?{(1.1),(2.2),(3.3),(4.4)}

用语言描述下列事件.

A?A2 (1)1(A?A)A123 (2)

(3)A1A2?A1A2 解:(1)第1,2次都没有中靶

(2)第三次中靶且

第1,2中至少有一次中靶

(3)第二次中靶

4.设某人向一把子射击三次,用Ai表示“第i次射击击中靶子”(i=1,2,3),使用符号及其运算的形式表示以下事件:

(1)“至少有一次击中靶子”可表示为 ; (2)“恰有一次击中靶子”可表示为 ; (3)“至少有两次击中靶子”可表示为 ; (4)“三次全部击中靶子”可表示为 ; (5)“三次均未击中靶子”可表示为 ; (6)“只在最后一次击中靶子”可表示为 .

3

解:(1)A1?A2?A3; (2) A1A2A3?A1A2A3?A1A2A3; (3)A1A2?A1A3?A2A3; (4) A1A2A3; (5) A1A2A3

(6) A1A2A3 5.证明下列各题

(1)A?B?AB (2)A?B?(A?B)?(AB)?(B?A)

证明:(1)右边=A(??B)?A?AB=????A且??B??A?B=左边

(2)右边=(AB)?(AB)?(BA)=????A或??B??A?B 习题1.2

1.设

A、B、C

三事件,

P(A)?P(B)?P(C)?14P(AC)?P(BC)?18,P(AB)?0,求A、B、C至少有一个发生的概率.

解:?P(AB)?0?P(ABC)?0

P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

=3?14?2?118?2 2.已知p(A)?0.5 ,P(AB)?0.2 , P(B)?0.4,求 (1)P(AB)(2)P(A?B), (3)P(A?B), (4)P(AB).

解:(1)

?A?B,?AB?A?P(AB)?P(A)?0.1

(2)

?A?B,?A?B?B?P(A?B)?P(B)?0.5

3.设P(A)=0.2 P(A?B)=0.6 A.B互斥,求P(B). 解:?A,B互斥,P(A?B)?P(A)?P(B) 故P(B)?P(A?B)?P(A)?0.6?0.2?0.4

,

4

, 4.设A、B是两事件且P(A)=0.4,P(B)?0.8

(1)在什么条件下P(AB)取到最大值,最大值是多少? (2)在什么条件下P(AB)取到最小值,最小值是多少? 解:由加法公式P(AB)?P(A)?P(B)?P(A?B)=1.2?P(A?B)

(1)由于当A?B时A?B?B,P(A?B)达到最小, 即

P(A?B)?P(B)?0.8,则此时P(AB)取到最大值,最大值为0.4

(2)当P(A?B)达到最大, 即P(A?B)?P(?)?1,则此时P(AB)取到最小值,最小值为0.2 5.设

P(A)?P(B)?P(C)?1115,P(AB)?P(BC)?P(AC)?,P(A?B?C)?, 4816求P(A?B?C).

解:P(ABC)?1?P(ABC)?1?P(A?B?C)?1?151?, 1616P(A?B?C).?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC)

=3?1117?3??? 481616习题1.3

1.从一副扑克牌(52张)中任取3张(不重复)求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.

解:设事件A={3张中至少有2张花色相同} 则A={3张中花色各不相同}

3111C4C13C13C13P(A)?1?P(A)?1??0.602 3C522.50只铆钉随机地取来用在10个部件上,其中有3个铆钉强度太弱,每个部件用3只铆钉,若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上,则这个部件强度就太弱,问发生一个部件强度太弱的概率.

3

解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个,共有C50种取法,而发生“某

5

第一次取出的是次品而第二次取出的是次品的概率

11C2C11 P42?21??245C10所以第二次取出的是次品的概率为P4?P41?P42?1 56.由长期统计资料得知,某一地区在4月份下雨(记作事件A)的概率为4/15,刮风(用B表示)的概率为7/15,既刮风又下雨的概率为1/10,求P(AB)、P(BA)、

P(A?B).

解 P?AB??P?BA??P?AB?01/10??0.214 P?B?07/15P?AB?1/10??0.375 P?A?0.4/15P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?4/15?7/15?1/10?0.6337.12个乒乓球中有9个新的,3个旧的,第一次比赛取出了3个,用完后放回去,第二次比赛又取出3个,求第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

解 设Ai(i?0,1,2,3)表示第一次比赛时用了i个新球,B表示第二次取到的3个球中有2个新球的概率.

由全概率公式

1i3?iC92?iC3?iC9C3P?B???P?BAi?p?Ai?????0.455 33i?0i?0C12C12338.玻璃杯成箱出售,每箱20只,各箱次品数为0,1,2只的概率分别为0.8,0.1,0.1,一顾客欲买下一箱玻璃杯售货员随机取出一箱,顾客开箱后随机取4只进行检查,若无次品,则购买,否则退回,求 (1)顾客买下该箱玻璃杯的概率?

(2)在顾客买下的一箱中,确实没有次品的概率?

解 设Ai(i?0,1,2,)表示箱中有i件次品,B表示顾客买下该箱玻璃杯 (1)由全概率公式

11

44C19C18P?B???P?BAi?p?Ai??0.8?1?0.1?4?0.1?4?0.94

i?0C20C202(2)由贝叶斯公式

P(A0B)?P(BA0)P(A0)P(B)?0.85

9.设有两箱同类零件,第一箱内装有50件,其中10件是一等品;第二箱内装有30件,其中18件是一等品,现从两箱中任意挑出一箱,然后从该箱中依次随机地取出两个零件(取出的零件不放回),试求

(1)第一次取出的零件是一等品的概率;

(2)在第一次取出的零件是一等品的条件下,第二次取出的零件仍是一等品的概率.

解 设Ai(i?0,1,2,)表示从第i箱中取得的是一等品(取出的零件不放回),B表示从第一箱中取零件,B表示从第二箱中取零件

(1)由全概率公式

P(A1)?P(A1B)P(B)?P(A1B)P(B)?101181????0.4 502302109118171????? 5049230292(2)由全概率公式

P(A1A2)?P(A1A2B)P(B)?P(A1A2B)P(B)?因此有

P(A2A1)?P(A1A2)5109118171?(?????)?0.4856 25049230292P(A1)习题1.5

1.已知P(A)?a, P(B)?0.3, P(A?B)?0.7, (1)若事件A与B互不相容,求a; (2)若事件A与B相互独立,求a. 解(1)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?1?P(A)?P(B)?P(B)?P(AB)?1?a?0.7

12

于是a?0.3

(2)P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)即

0.7?(1?a)?0.3?(1?a)?0.3于是a?3/7

2.甲、乙两人射击,甲击中的概率为0.8,乙击中的概率为0.7,两人同时独立射击,求(1)两人都中靶的概率; (2)甲中乙不中的概率; (3)乙中甲不中的概率.

解 设A表示甲击中,B表示乙击中 (1)P(AB)?P(A)P(B)?0.8?0.7?0.59 (2)P(AB)?P(A)P(B)?0.8?0.3?0.24 (3)P(AB)?P(A)P(B)?0.2?0.7?0.14

3.甲、乙、丙三人独立的去破译一个密码,他们各自能破译该密码的概率分

111别为,和,求:(1)该密码能被他们破译的概率;(2)该密码被仅仅三人中

543的一人破译的概率.

解 设A,B,C分别表示甲、乙、丙独立的去破译出密码, (1)该密码能被他们破译的概率为

P(A?B?C)?1?P(A)P(B)P(C)?1?4323??? 5435(2)该密码被仅仅三人中的一人破译的概率为

P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)

?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)

?13241243111????????? 543543543304.某机构有一个9人组成的顾问小组,若每个顾问贡献正确意见的百分比是0.7,现在该机构对某事可行与否个别征求各位顾问意见,并按多数人意见作出决策,求作出正确决策的概率.

解 作出正确决策的概率为.

5678C90.75?0.34?C90.76?0.33?C90.77?0.32?C90.780.3?0.79?0.901

13

5.某电子元件在每一次试验中发生故障的概率为0.3,当故障发生不少于3次时,指示灯发出信号

(1)进行了5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率; (2)进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率. 解(1)进行了5次重复独立试验,指示灯发出信号的概率为

34C50.33?0.72?C50.34?0.7?0.35?0.163

(2)进行了7次重复独立试验,指示灯发出信号的概率为

121?0.77?C70.3?0.76?C70.32?0.75?0.353

6.甲乙为交战双方,甲方一架飞机要飞过乙方的一个高炮阵地,假设该处每门炮能够击落该飞机的概率均为0.4,若要保证以不低于95%的概率击落该飞机,那么该阵地至少需要配置多少门这种高炮?

解 设A表示击落该飞机(即至少有一门炮击中飞机),且需要配置n门这种高炮

P(A)?1?P(A)?1?0.6n?0.95

n?lg0.05?6 lg0.6因此若要保证以不低于95%的概率击落该飞机,那么该阵地至少需要配置6门这种高炮.

7.某射手射靶5次,各次射中的概率都是0.6,求下列各事件的概率: (1)前3次中靶,后2次脱靶;

(2)第一、三、五次中靶,第二、四次脱靶; (3)五次中恰有三次中靶; (4)五次中至少1次中靶. 解 设Ai(i?1,2,3,4,5)表示第i次中靶

(1)P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

?0.63?0.42?0.0346

(2)P(A1A2A3A4A5)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

14

?0.63?0.42?0.0346

3(3)C50.63?0.42?0.3456

(4)P(A1?A2?A3?A4?A5)?1?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5)

?1?0.45?0.9898

第一章复习题(A)

1.填空题

(1)设A?B,P(A)?0.1,P(B)?0.5,则P(AB)= ,

P(A?B)= , P(A?B)? . 答案; 1.(1)0.1 0.5 0.9

(2)设A,B是任意两个随机事件,则P[(A?B)(A?B)(A?B)(A?B)]? 答案0

(3)设A,B相互独立,P(A?B)=0.6, P(A)?0.4,则P(B)?

答案:

1 32.选择题

(1)设P?A??0.8,则下列结论正确的是 . P?B??0.7,P?AB??0.8,A.事件A与事件B相互独立, B.事件A与事件B互逆, C.B?A, D.P?A?B??P?A??P?B?. 答案:A

(2)设A,B是任意两个随机事件,且B?A,则下列结论正确的是 .

A.P(A?B)?P(A), B.P(AB)?P(A),

C. P(B|A)?P(B), D. P(B?A)?P(B)?P(A). 答案:A

(3)设A,B为两个互斥事件,且P?A??0,P?B??0,则下列结论正确的是 .

15

21122C15C15C5C32C52C4C23 ?2?2?????2222C20C14C20C14C20C1413314.某种仪器由三个部件组装而成,假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0.8,0.7与0.9已知:如果三个部件都是优质品,则组装后的仪器一定合格,如果有一个部件不是优质品,则组装后的仪器不合格率为0.2,如果有两个部件不是优质品,则仪器的不合格率为0.6,如果三个部件都不是优质品,则仪器的不合格率为0.9.

(1)求仪器的不合格率;

(2)如果已发现一台仪器不合格,问它有几个部件不是优质品的概率最大. 解:设B为“仪器不合格”

Ai为“仪器上有i(i?0,1,2,3)个部件不是优质品”

P(BA0)?0,P(BA1)?0.2,P(BA2)?0.6,P(BA3)?0.9 P(A0)?0.8?0.7?0.9?0.504

P(A1)?0.2?0.7?0.9?0.8?0.3?0.9?0.8?0.7?0.1?0.398

P(A3)?0.2?0.3?0.1?0.006

P(A2)?1?P(A0)?P(A1)?P(A3)?0.092 (1)由全概率公式,有

P(B)??P(Ai)P(BAi)

i?0n?0.504?0?0.398?0.2?0.092?0.6?0.006?0.9?0.1402

(2)由贝叶斯公式,有

P(A0B)?0 P(A1B)?P(A1)P(BA1)P(B)?796 1402552 1402P(A2B)?P(A2)P(BA2)P(B)? 21

P(A3B)?P(A3)P(BA3)P(B)?54 1402由此可知,一台不合格仪器中有一个部件不是优质品的概率最大.

第一章复习题(B)

1.填空题

(1)设事件A、B、C相互独立,且 ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?0.5,

P(A?B?C)?9,则P(A)= . 16解:

P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C) ?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) P(A)?3[P(A)]2?9 16解方程得

P(A)?13或 44由题意P(A)?0.5 故P(A)?1 41(2)设事件A,B相互独立,且A和B都不发生的概率为,A发生B不发

9生的概率与B发生A不发生的概率相等,则P(A)= .

解:根据题意设有

P(A?B)?1?P(A?B)?1 9P(AB)?P(BA)

注意到A?AB?AB,B?BA?BA

P(A)?P(AB)?P(AB),P(B)?P(BA)?P(BA) 由P(AB)?P(BA)有P(A)?P(AB)?P(B)?P(BA)

22

于是P(A)?P(B),由事件的独立性及P(A?B)?1?P(A?B)?1得91?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?P2(A)?2P(A)?11?(P(A)?1)2?9解方程得

24或(舍去) 332故P(A)?

3P(A)?

(3)设事件A、B、C,且P(A?B)?0.9,P(A?B?C)?0.97,则

P(AB?C)= . 解:

P(AB?C)?P(AB)?P(ABC)?[1?P(AB)]?[1?P(ABC)]?[1?P(A?B)]?[1?P(A?B?C)]?(1?0.9)?(1?0.970)?0.07

2.选择题

(1)设当事件A与B同时发生时C也发生,则 .

A.P(C)?P(A?B), B.P(C)?P(A)?P(B)?1, C.P(C)?P(A?B), D. P(C)?P(A)?P(B)?1. 解:已知AB?C

P(C)?P(AB)?1?P(AB)?1?P(A?B)?1?P(A)?P(B)?P(AB) ?P(A)?P(B)?1?P(AB)?P(A)?P(B)?1故选(D)

解法二:已知AB?C,P(AB)?P(C)

23

1?P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(C)于是,P(C)?P(A)?P(B)?1,选(D)

(2)设0?P(B)?1,P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B),则下列结论正确的是 .

A.P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B), B.P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B), C.P(A1?A2)?P(A1|B)?P(A2|B), D. P(B)?P(A1)P(B|A1)?P(A2)P(B|A2). 解:依题意设0?P(B)?1

P(AB)?P(AB) P(B)P((A1?A2)|B)?P(A1|B)?P(A2|B)即P(A1B?A2B)P(A1B)P(A2B)

??P(B)P(B)P(B)从而P(A1B?A2B)?P(A1B)?P(A2B) 故选B

(3)设事件A、B、C两两相互独立,则A、B、C相互独立的充要条件为 ,

A.A与BC独立. B.AB与A?C独立. C.AB与AC独立. D.A?B与A?C独立. 解:应该选择A,证明如下:

必要性:设A、B、C相互独立的事件 则有P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(BC) 故事件A与BC独立,从而必要性成立。

24

充分性:设A、B、C两两相互独立,且A与BC独立. 于是有

P(AB)?P(A)P(B)P(BC)?P(B)P(C)P(AC)?P(A)P(C)P(ABC)?P(A)P(BC)?P(A)P(B)P(C)

由定义知A、B、C相互独立,从而充分性成立。

3.设A、B独立,AB?D,AB?D,证明:P(AD)?P(A)P(D). 证明:因为AB?D,AB?D,D?A?B

AD?AB?DB

P(AD)?P(AB)?P(DB)而P(AB)?P(A)P(B)?P(A)P(DB)

P(DB)?P(A)P(DB)

?P(AD)?P(AB)?P(DB) ?P(A)P(B)?P(DB) ?P(A)P(DB)?P(A)P(DB)

?P(A)[P(DB)?P(DB)]?P(A)P(D)

于是 P(AD)?P(A)P(D)

4.从5双不同的鞋子中任取4只,求取得的4只鞋子中至少有2只配成一双的概率.

解法一 设A表示“4只鞋子中至少有2只配成一双”

A表示“4只鞋子均不成双”

4样本点的总数为P10,

A的样本点为10?8?6?4(因为第一只鞋子是从5双中选一只有10种选法,

第二只鞋子是从4双中选一只有8种选法,第三只鞋子是从3双中选一只有6种选法,第四只鞋子是从2双中选一只有4种选法)

25

P(A)?1?P(A)?1?10?8?6?413?

10?9?8?7214解法二 样本点的总数为C10,

4A的样本点为C5?24(因为从5双中任选4双,再从每双中任意取一只)

C54?2413P(A)?1?P(A)?1?? 421C105.4张卡片标着1到4,面朝下放在桌子上,一个自称有透视能力的人将用他超感觉的能力说出卡上的号码,如果他是冒充者而只是随机地猜一下,他至少猜中一个的概率p是多少?

解:A表示“至少猜中一个’

A表示“4个全部猜错” P(A)?1?P(A)?1?3?3?15? 4!86.一袋中装有N?1只黑球1只白球,每次从袋中随机地摸出一球,并换入一只黑球,这样继续下去,问第k次摸球时,摸到黑球的概率是多少?

解:设A表示“第k次摸球时,摸到黑球”

A表示第k次摸球时,摸到白球”

因为袋中只有一只白球,而每次摸到白球时换入一只黑球放入,故为了第k次摸到白球,则前k?1次一定摸到的是黑球

(N?1)k?1?1?1?故P(A)??1???NNk??k?11 Nk?11??于是所求概率为P(A)?1?P(A)?1??1???N?1 N7.设B、C分别是将一枚骰子接连掷两次先后出现的点数,求方程

x2?Bx?C?0有实根的概率p和有重根的概率q.

解:一枚骰子接连掷两次,样本点总数为36,方程组有实数根的充分必要条

B2件为B?4C即C?

42注意到

26

B B2使C?的样本点个数 4B2使C?的样本点个数 41 2 3 4 5 6 0 1 2 4 6 6 0 1 0 1 0 0 由此可见,方程x2?Bx?C?0有实根的概率p?方程x2?Bx?C?0有重根的概率为q?1 1819 368.随机地向半圆0?y?2ax?x2(a为正常数)内扔一个点,点落在半圆内任何区域内的概率与区域的面积成正比,求原点与该点的连线与x轴的夹角小于

?的概率. 4(x,y)应该落在如图的阴影部解:以D表示半圆0?y?2ax?x2,由题设,点

分G,G的面积为(在极坐标系中计算)

?S(G)??4d??02acos?0?1rdr??4?r20?2?2?2acos?0??d? ???2a2?40cos?d??a2?40??1?(1?cos2?)d?????a2

?42?1个圆的面积) 4(或G的面积等于一个等腰直角三角形的面积加上

y D G x

27

??1?2???aS(G)?42?11??? 故P(A)?12S(D)2??a29.设0?P(A)?1,0?P(B)?1,证明:A、B独立?P(A|B)?P(A|B)?1. 证明:P(A|B)?P(A|B)?1?P(A|B)?1?P(A|B)?P(AB)

?P(AB)P(AB)??P(AB)?P(B)P(AB)?P(B)P(AB) P(B)1?P(B)?P(AB)?P(B)[P(AB)?P(AB)]?P(B)P(A)?A、B独立

10.设第一只盒子中装有3只兰球,2只绿球,2只白球;第二只盒子中装有2只兰球,3只绿球,4只白球,独立地分别在两只盒子中各取一只球.

(1)求至少有一只兰球的概率; (2)球有一只兰球一只白球的概率;

(3)已知至少有一只兰球,求有一只半求一只白球的概率. 解:设Ai={从第i只盒子中取得一只白球}i?1,2

Bi={从第i只盒子中取得一只蓝球}i?1,2 由题设在不同盒子则取球是相互独立的 (1)所求的概率为

P(B1?B2)?P(B1)?P(B2)?P(B1B2) ?P(B1)?P(B2)?P(B1)P(B2)

?32325???? 79799(2)因为B1B2??,则(B1A2)(B2A1)?? 所求的概率为

P(B1A2?B2A1)?P(B1A2)?P(B2A1) ?P(B1)P(A2)?P(B2)P(A1)

?342216???? 79976328

(3)B1A2?B2A1?B1?B2 所求的概率为

P(B1A2?B2A1B1?B2)P[(B1A2?B2A1)(B1?B2)] ?P(B1?B2)?P(B1A2?B2A1)16 ?P(B1?B2)3511. 要验收一批100件的乐器,验收方案如下:自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的),如果3件中至少有一件被认为音色不纯,则这批乐器就被拒绝接收,设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为0.95,而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为0.01,如果已知这100件乐器中恰好有4件是音色不纯的,试问这批乐器被接收的概率是多少?

解:设Bi={随机地取3件乐器,其中有i件是音色不纯的}(i?0,1,2,3) A={这批乐器被接收}

P(AB0)?(0.99)3,P(AB1)?(0.99)2?0.05,P(AB2)?0.99?(0.05)2 P(AB3)?(0.05)3

213123C96C96C4C96C4C4,P(B3)?3 P(B0)?3,P(B1)?3,P(B2)?3C100C100C100C100故由全概率公式有

P(A)??P(ABi)P(Bi)?0.8629

i?0312.设一枚深水炸弹击沉一艘水艇的概率为1/3,击伤的概率为1/2,击不中的概率为1/6,并设击伤两次会导致潜水艇下沉,求施放4枚深水炸弹能击沉潜水艇的概率.

解:设A为“施放4枚深水炸弹,击沉潜水艇” B为“施放4枚深水炸弹,均未击中潜水艇” C为“施放4枚深水炸弹,恰有一枚击则潜水艇”

?1?11?1?P(B)???,P(C)?C4????

62?6???

29

431283?1?11?1? P(A)?1?P(B)?P(C)?1????C4?????2?6?1296?6?

43 30

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/ctn6.html

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