《运筹学》 - 期末考试 - 试卷A - 答案

一、判断题（共计10分，每小题1分，对的打√，错的打X）

1. 无孤立点的图一定是连通图。

2. 对于线性规划的原问题和其对偶问题，若其中一个有最优解， 另一个也一定有最优解。

3. 如果一个线性规划问题有可行解，那么它必有最优解。 4．对偶问题的对偶问题一定是原问题。

5．用单纯形法求解标准形式（求最小值）的线性规划问题时，与

?j?0对应的变量都可以被选作换入变量。

6．若线性规划的原问题有无穷多个最优解时，其对偶问题也有无穷 多个最优解。

7. 度为0的点称为悬挂点。

8. 表上作业法实质上就是求解运输问题的单纯形法。 9. 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。 10. 任何线性规划问题都存在且有唯一的对偶问题。 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ 二、建立下面问题的线性规划模型（8分）

某农场有100公顷土地及15000元资金可用于发展生产。农场劳动力情况为秋冬季3500人日；春夏季4000人日。如劳动力本身用不了时可外出打工，春秋季收入为25元 / 人日，秋冬季收入为20元 / 人日。该农场种植三种作物：大豆、玉米、小麦，并饲养奶牛和鸡。种作物时不需要专门投资，而饲养每头奶牛需投资800元，每只鸡投资3元。养奶牛时每头需拨出1.5公顷土地种饲料，并占用人工秋冬季为100人日，春夏季为50人日，年净收入900元 / 每头奶牛。养鸡时不占用土地，需人工为每只鸡秋冬季0.6人日，春夏季为0.3人日，年净收入2元 / 每只鸡。农场现有鸡舍允许最多养1500只鸡，牛栏允许最多养200头。三种作物每年需要的人工及收入情况如下表所示：

大豆 玉米 秋冬季需人日数 春夏季需人日数 年净收入（元/公顷）

试决定该农场的经营方案，使年净收入为最大。

三、已知下表为求解某目标函数为极大化线性规划问题的最终单纯形表，表中式（共8分） x1x3x1x4,x5麦子 10 40 4600 20 50 3000 35 75 4100 为松弛变量，问题的约束为 ? 形

x2 x3 x4 x5 5/2 5/2 0 1 0 1/2 －1/2 －４ 1 0 0 1/2 －1/6 －４ ０ 1/3 －２ cj?zj (1)写出原线性规划问题；（4分）

(2)写出原问题的对偶问题；（3分）

(3)直接由上表写出对偶问题的最优解。（1分） 四、用单纯形法解下列线性规划问题（16分）

maxZ?2x1?x2?x3 s. t. 3 x1 + x2 + x3 ? 60 x 1- x 2 +2 x 3 ? 10 x 1+ x 2- x 3 ? 20 x 1, x 2 , x 3 ?0

五、求解下面运输问题。 （18分）

某公司从三个产地A1、A2、A3 将物品运往四个销地B1、B2、B3、B4，各产地的产量、各销地的销量和各产地运往各销地每件物品的运费如表所示： 问：应如何调运，可使得总运输费最小?

销 地 产 地 A1A2B B B B 产 量 25 25 50 100 10 8 9 15 5 2 3 20 6 7 4 30 7 6 8 35 A3销 量 六、灵敏度分析（共8分）

线性规划max z = 10x1 + 6x2 + 4x3

s.t. x1 + x2 + x3 ? 100 10x1 +4 x2 + 5 x3 ? 600 2x1 +2 x2 + 6 x3 ? 300 x1 , x2 , x3 ? 0 的最优单纯形表如下： 6 10 0 x2 x1 x6 ?j 200/3 100/3 100 0 1 0 0 5/6 1/6 4 –8/3 1 0 0 0 5/3 -2/3 -2 -10/3 – 1/6 1/6 0 – 2/3 0 0 1 0 (1)C1在何范围内变化，最优计划不变？(4分) (2)b1在什么范围内变化，最优基不变？(4分)

七、试建立一个动态规划模型。（共8分）

某工厂购进100台机器，准备生产 p1 , p2 两种产品。若生产产品 p1 ，每台机器每年可收入45万元，损坏率为65%；若生产产品 p2 ，每台机器 每年可收入35万元，损坏率为35%；估计三年后将有新 的机器出现，旧的机器将全部淘汰。试问每年应如何安排生产，使在三年内收入最多？

八、求解对策问题。（共10分）

某种子商店希望订购一批种子。据已往经验，种子的销售量可能为500，1000，1500或2000公斤。假定每公斤种子的订购价为6元，销售价为9元，剩余种子的处理价为每公斤3元。 要求：

（1）建立损益矩阵；（3分）

（2）用悲观法决定该商店应订购的种子数。（2分）

（3）建立后悔矩阵，并用后悔值法决定商店应订购的种子数。（5分）

九、求下列网络计划图的各时间参数并找出关键问题和关键路径。（8分） 1 工序 代号 1-2 1-3 1-4 2-4 2-5 3-4 3-6 4-5 4-6 4-7 5-7 6-7 8 2 5 3 5 3 9 4 7 6 7 7 2 4 3 8 3 工序 时间 8 7 6 3 5 2 3 3 7 4 9 8 最早开 工时间 最早完 工时间 6 最晚开 工时间 最晚完 工时间 机动 时间

十、用标号法求V1 到 V6 的最短路。（6分） V2 4 3 6 V1 6 5 6 V3 4 V4 8 3 4 V5 V6

运筹学样卷（一）答案

一、判断题。共计10分，每小题1分 ① X ② √ ③ X ④ √ ⑤ √ ⑥ √ ⑦ X ⑧ √ ⑨ X 10 √ 二、建线性规划模型。共计8分（酌情扣分）

解：用x1,x2,x3分别表示大豆、玉米、麦子的种植公顷数；x4,x5分别表示奶牛和鸡的饲养数；x6,x7分别表示秋冬季和春夏季的劳动力（人日）数，则有

maxZ?3000x1?4100x2?4600x3?900x4?20x5?20x6?25x7

?100(土地限制?x1?x2?x3?1.5x4?400x4?3x5?15000(资金限制??20x1?35x2?10x3?100x4?0.6x5?x6?3500(劳动力限制?(劳动力限制?50x1?175x2?40x3?50x4?0.3x5?x7?4000?x4?200(牛栏限制?x5?1500(鸡舍限制???xj?0(j?1,2,?,7)

三、对偶问题。共计8分 解：（１）原线性规划问题：maxz?6x1?2x2?10x3

))))))

x2?2x2?5???3x1?x2?x3?10?x,x?02 ?1 ；……4分

（２）原问题的对偶规划问题为：

minw?5y1?10y2

3y2?6???y1?y2??2??2y1?y2?10? ?y1,y2?0 ； ……3分

?Y?(4,2)T。……1分 （３）对偶规划问题的最优解为：

四、单纯形表求解线性规划。共计16分 解：引入松弛变量x4、 x5、 x6，标准化得，

maxZ?2x1?x2?x3

s. t. 3 x1 + x2 + x3+ x4 = 60 x 1- x 2 +2 x 3 + x5 = 10 x 1+ x 2- x 3 + x6 = 0

x 1, x 2 , x 3， x4、 x5、 x6，≥0……………3分 建初始单纯形表，进行迭代运算： ……………………… …9分

CB 0 0 0 ?1 0 2 0 ?2 0 2 -1 ?3 Xb x4 x5 x6 b’ 60 10 20 0 2 x1 3 [1] 1 2* 0 1 0 0 0 1 0 0 -1 x2 1 -1 1 -1 4 -1 [2] 1* 0 0 1 0 1 x3 1 2 -1 1 -5 2 -3 -3 1 0.5 -1.5 -1.5 0 x4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 x5 0 1 0 0 -3 1 -1 -2 -1 0.5 -0.5 -1.5 0 x6 0 0 1 0 0 0 1 0 -2 0.5 0.5 -0.5 θ 20 10* 20 7.5 --- 5* x4 x1 x6 30 10 10 20 x4 x1 x2 10 15 5 25 由最优单纯形表可知，原线性规划的最优解为： ( 15 , 5 , 0 )T …2分

最优值为： z*=25。………2分

五、求解运输问题。共计18分 解：

（1）最小元素法：（也可以用其他方法，酌情给分） 设xij为由Ai运往Bj的运量（i=1,2,3; j=1,2,3,4）, 列表如下：

销 地 产 量 B1 B2 B3 B4 产 地 1 2 3 销 量 20 25 5 25 25 15 30 5 50 15 20 30 35 100 ……………3分 所以，基本的初始可行解为：x14 =25； x22=20 ； x24 =5 ；

X31 =15； x33 =30； x34=5

其余的xij=0。 …………3分

（2）求最优调运方案：

1会求检验数，检验解的最优性：?11=2；?12=2；?13=3；

?21=1；?23=5；?32= - 1…………3分

2会求调整量进行调整：=5 …………2分

销 地 产 量 B1 B2 B3 B4 产 地 1 2 15 25 10 25 25

3 销 量 15 15 5 20 30 30 35 50 100 …3分

3再次检验 …………2分

4能够写出正确结论

解为：x14=25 ； x22 =15 ； x24 =10 x31 =15， x32 =5 x33=30

其余的xij=0。 ……1分

最少运费为： 535 ………1分。

六、灵敏度分析。共计8分 （1）（4分） ??8/3?2/3???10/3?max?, ???c1?min??1/61/6?2/3????

?4??c1?5,6?10?4?c1??c1?10?5?15

（2）（4分） ?200/3????100/3?100?max??,??b?min, ????15/3?2/3?2????

?40??b1?10

七、建动态规划模型。共计8分

解：(1)设阶段变量k表示年度，因此，阶段总数n=3。

(2)状态变量sk表示第k年度初拥有的完好机床台数， 同时也是第 k–1 年度末时的完好机床数量。

(3)决策变量uk，表示第k年度中分配于生产产品 p1 的机器台数。于是sk– uk便为该年度中分配于生产产品 p1的机器台数．

（4） 状态转移方程为

sk?1?0.35uk?0.65(sk?uk)（5）允许决策集合,在第 k 段为 U(s)?{u0?u?s}kkkkk（6）目标函数。设gk(sk,uk)为第k年度的产量，则

gk(sk,uk) = 45uk + 35(sk–uk) ,

因此，目标函数为 3 R?gk(sk,uk) k?i?k（7）条件最优目标函数递推方程。

fk(sk)?max(uk(sk))u?U

令fk(sk)表示由第k年的状态sk出发，采取最优分配方案到第3年度结束这段时间的产品产量，根据最优化

原理有以下递推关系： {[45 uk?35(sk?uk)]?fk?1[0.35uk?0.65(sk?uk)]}（8）.边界条件为

f3?1(s3?1)?0

八、解决对策问题。共10分

（1）益损矩阵如下表所示：……3分

销 售 S1 S2 S3 S4 订 购 500 1000 1500 2000 kkA1 500 A2 1000 A3 1500 1500 0 －1500 1500 3000 1500 1500 3000 4500 1500 3000 4500 A4 2000 －3000 0 3000 6000 （2）悲观法：A1 ，订购500公斤。……2分 （3）后悔矩阵如下表所示：……3分

S1 S2 S3 S4 A1 A2 A3 0 1500 3000 1500 0 1500 3000 1500 0 4500 3000 1500 最大后悔值 4500 3000 3000 A4 4500 3000 1500 0 4500 按后悔值法商店应取决策为A2或A3 ，即订购1000公斤或1500公斤。……2分 九、求网络计划图的各时间参数。（8分） 14 8 14 0 5 8 2 5 8 9 3 3 11 0 26 0 0 4 6 1 4 7 26 0 7 11 7 2 8 3 3 6 7 9 18 0 工序 工序 最早开 最早完 最晚开 最晚完 18机动 代号 时间 工时间 工时间 工时间 工时间 时间 1-2 1-3 1-4 2-4 2-5 3-4 3-6 4-5 4-6 4-7 5-7 6-7 8 7 6 3 5 2 3 3 7 4 9 8 0 0 0 8 8 7 7 11 11 11 14 18 8 7 6 11 13 9 10 14 18 15 23 26 0 2 5 8 9 9 15 11 11 22 17 18 8 9 11 11 14 11 18 14 18 26 26 26 0 2 6 0 1 2 8 0 0 11 3 0

关键问题是：①→②；2→④；④→⑤；④→6；6→⑦ 关键线路是： 1

评分标准：①能正确给各顶点标号并填表......................4分

②正确写出关键问题.............. 2分

③正确画出关键线路............. ２分

2 4 1 6 7

十、用标号法求v1 到 v6 的最短路。（6分）

(4,v1)

V2 6 4 7

(0,0) V1 2 8

3

最短路为：v1,v2,v3,v4,v5,v6 长度为：12 V3 (6,v2) 7 （8,v1） 正确标号：4分；正确写出结论：2分

(9,v3) V4 (10,v2) 5 1 V6 (12,v5) 2 (14,v4) V5 (10,v4) (11,v2) (13,v3)

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