高等代数教案

高 等 代 数

一、章节、

教 案

秦文钊

）授课计划 第 页

（目

授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 第二章 §1引言 授课 时数 通过本节的学习，使学生了解行列式的背景 要求学生熟练掌握二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式，二、三级行列式的对角线计算法则 二、三元线性方程组的计算公式 启发式 讲练相结合 作业与 无 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 解方程是代数中的一个基本的问题，特别是在中学所学代数中，解方程占有重要地位.这一章和下一章主要讨论一般的多元一次方程组，即线性方程组. 一、对于二元线性方程组 ?a11x1?a12x2?b1, ?ax?ax?b,2222?211小结 当a11a22?a12a21?0时，此方程组有唯一解，即 x1?b1a22?a12b2a11a22?a12a21,x2?a11b2?a12b1. a11a22?a12a21我们称a11a22?a12a21为二级行列式，用符号表示为 a11a22?a12a21?a11a21a12a22. 于是上述解可以用二级行列式叙述为： 当二级行列式 a11a21a12a22?0 时，该方程组有唯一解，即 b1x1?a12,x2?a11b1b2a22a11a12a21a22a21b2. a11a12a21a22二、对于三元线性方程组有相仿的结论.设有三元线性方程组 ?a11x1?a12x2?a13x3?b1,??a21x1?a22x2?a23x3?b2, ?ax?ax?ax?b.3223333?311称代数式a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31为三级行列式，用符号表示为： 二、课时教学内容

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教 学 内 容 a11a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31?a21a31a12a22a32a13a23. a33小结 当三级行列式 a11d?a21a31a12a22a32a13a23?0 a33时，上述三元线性方程组有唯一解，解为 x1?dd1d,x2?2,x3?3, ddd其中 b1d1?b2b3a12a22a32a13a11b1b2b3a13a11a12a22a32b1b2 . b3a23,d2?a21a33a31a23,d3?a21a33a31三、n元线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 ????????????????an1x1?an2x2???annxn?bn是否也有类似的结论呢？为此，首先给出错误！未定义书签。级行列式的定义并讨论它的性质，最后来解决这一问题，这是本章的主要内容. 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §2排列 授课 时数 通过本节的学习，使学生掌握有关排列的相关知识 要求学生掌握有关排列的基本概念、并能熟练掌握排列逆序数的计算与奇偶性的确定。 有关排列的基本概念、排列的奇偶性。 排列逆序数的计算与奇偶性的确定 讲授法 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 一、排列的定义 定义1 由1,2,?,n组成的一个有序数组称为一个n级排列. 小结 n级排列的总数是n!. 显然12?n也是一个n级排列，这个排列具有自然顺序，就是按递增的顺序排起来的；其它的排列或多或少地破坏自然顺序. 定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序，一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数. 排列j1j2?jn的逆序数记为 ?(j1j2?jn) 例：排列53214的逆序数7 定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。 应该指出，我们同样可以考虑由任意n个不同的自然数所组成的排列，一般也称为n级排列。对这样一般的n级排列，同样可以定义上面这些概念。 二、排列的奇偶性 把一个排列中某两个数的位置互换，而其余的数不动，就得到另一个排列.这样一个变换称为一个对换。显然，如果连续施行再次相同的对换，那么排列就还原了。由此得知，一个对换把全部n级排列两两配对，使每两个配成对的n级排列在这个对换下互变。 定理1 对换改变排列的奇偶性. 这就是说，经过一次对换，奇排列变成偶排列，偶排列变成奇排列. 推论 在全部n级排列排列中，奇、偶排列的个数相等，各有n!/2个. 定理2 任意一个n级排列与排列12?n都可以经过一系列对换互变，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性. 结论：任意两个排列都可以经过一系列对换互变. 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §3 n级行列式 授课 时数 使学生掌握行列式的定义 要求学生真正的理解行列式的定义以及行与列地位的对称 一般行列式的定义、行与列的地位是对称的 行列式的定义 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 一、n级行列式的概念 在给出n级行列式的定义之前，先来看一下二级和三级行列式的定义。我们有 小结 a11a21a11a21a31a12a22a12a22a32?a11a22?a12a21 (1) a13a23?a11a22a33?a12a23a31?a13a21a32?a11a23a32?a12a21a33?a13a22a31(2) a33从二级和三级行列式的定义中可以看出，它们都是一些乘积的代数和，而每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列的元素构成的，并且展开式恰恰就是由所有这种可能的乘积组成.另一方面，每一项乘积都带有符号.这符号是按什么原则决定的呢？在三级行列式的展开式(2)中，项的一般形式可以写成 a1j1a2j2a3j3 (3) 其中j1j2j3是1，2，3的一个排列.可以看出，当j1j2j3是偶排列时.对应的项在(2)中带有正号，当j1j2j3是奇排列时带有负号. 定义4 n级行列式 a11a21?an1a12?a1na22?a2n (4) ??an2?ann等于所有取自不同行不同列的n个元素的乘积 a1j1a2j2?anjn (5) 的代数和，这里j1j2?jn是1,2,?,n的一个排列，每一项(5)都按下面规则带有符号；当j1j2?jn是偶排列时，(5)带有正号，当j1j2?jn是奇排列时，(5)带有负号.这一定义可写成 二、课时教学内容

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教 学 内 容 a11a21?an1a12a22??a1n?a2n??j1j2?jn小结 ?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn (6) an2?ann这里j1j2?jn?表示对所有n级排列求和. 定义表明，为了计算n级行列式，首先作所有可能由位于不同行不同列元素构成的乘积.把构成这些乘积的元素按行指标排成自然顺序，然后由列指标所成的排列的奇偶性来决定这一项的符号. 由定义看出，n级行列式是由n!项组成的. 例1 计算行列式 0004例2 计算上三角形行列式 a110?0a110?0a12a22?0a12a22?00030020010. 00?a1n?a2n. (7) ??ann?a1n?a2n?a11a22?ann. (8) ??ann这个行列式就等于主对角线（从左上角到右下角这条对角线）上元素的乘积.特别主对角线以外的元素全为零的行列式称为对角形行列式.对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积. 容易看出，当行列式的元素全是数域中的数时，它的值也是数域中的一个数. 二、课时教学内容

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教 学 内 容 二、行列式的性质 在行列式的定义中，为了决定每一项的正负号，把元素按行指标排起来.事实上，数的乘法是交换的，因而这些元素的次序是可以任意写的，一般地，n级行列式中的项可以写成 ai1j1ai2j2?ainjn, （11） 其中i1i2?in,j1j2?jn是两个n级排列.利用排列的性质，不难证明，(11)的符号等于 小结 (?1)?(i1i2?in)??(j1j2?jn) (12) 按(12)来决定行列式中每一项的符号的好处在于，行指标与列指标的地位是对称的，因而为了决定每一项的符号，同样可以把每一项按列指标排起来，于是定义又可以写成 a11a21?an1a12a22??a1n?a2n??(?1)?(i1i2?in)ai11ai22?ainn. (15) ?i1i2?inan2?ann由此即得行列式的下列性质： 性质1 行列互换，行列式不变.即 a11a21?an1a12a22??a1na11a21a22?a2n?an1?an2. (16) ??ann?a2na?12??a1nan2?ann性质1表明，在行列式中行与列的地位是对称的，因之凡是有关行的性质，对列也同样成立. 例如由(8)即得下三角形的行列式 a11a21?an10a22???00?a11a22?ann ?an2?ann一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §4 n级行列式的性质 授课 时数 通过本节学习，使学生能熟练掌握行列式性质的应用 要求学生能熟练掌握行列式性质及其应用 行列式的性质及其应用 行列式性质的应用 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 行列式的计算是一个重要的问题，也是一个很复杂的问题.因此有必要进一步讨论行列式的性质.利用这些性质来简化行列式的计算. 在行列式的定义中，虽然每一项是n个元素的乘积，但是由于这n个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中n个元素(譬如小结 ai1,ai2,?,ain)来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素.因之，n级行列式的n!项可以分成n组，第一组的项都含有ai1，第二组的项都含有ai2等等.再分别把i行的元素提出来，就有 a11a12a22??a1n?a2n??ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin(1) a21?an1an2?ann其中Aij代表那些含有aij的项在提出公因子aij之后的代数和(至于Aij究竟是哪一些项的和暂且不管，到§6 再来讨论).从以上讨论可以知道，Aij中不再含有第i行的元素，也就是Ai1,Ai2,?,Ain全与行列式中第i行的元素无关.由此即得. 性质2 a11a12??an1??an2??a1n??anna11??an1a12??a1n?ain?annkai1kai2?kain?kai1ai2??an2? 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘行列式的一行相当于用这个数乘此行列式. 令k?0，就有如果行列式中一行为零，那么行列式为零. 二、课时教学内容

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教 学 内 容 性质3 小结 a11a12?a1na11?b1?an1a12?b2?a1n??bn??anna11?c1?an1a12??c2??an2?a1n?cn?ann. ???b1?c1b2?c2?bn?cn??an1?an2??ann?an2?这就是说，如果某一行是两组数的和，那么这个行列式就等于两个行列式的和，而这两个行列式除这一行以外全与原来行列式的对应的行一样. 性质3显然可以推广到某一行为多组数的和的情形. 性质4 如果行列式中有两行相同，那么行列式为零.所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等. 性质5 如果行列式中两行成比例，那么行列式为零. 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变. 性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号. 例1 计算n级行列式 ab?例2 计算行列式 ba?b?bb?ba?b ??b?ad?bbbb?253213503201298. 由于上(下)三角形行列式容易计算，因此计算行列式的一个基本方法是利用行列式的性质，把行列式化成上(下)三角形行列式进行计算. 例3 一个n级行列式，假设它的元素满足 aij??aji,i,j?1,2,?,n , (4) 证明，当n为奇数时，此行列式为零. 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §5行列式的计算 授课 时数 通过本节学习，使学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应用 通过本节学习，要求学生能熟练掌握矩阵的初等变换在行列式的计算中的应用 矩阵的初等变换、行列式计算 行列式的计算 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 在§3我们看到，一个上三角形行列式 a110?0a12a22?0?a1n?a2n ??ann小结 就等于它主对角线上元素的乘积 a11a22?ann 这个计算是很简单的.下面我们想办法把任意的n级行列式化为上三角形行列式来计算. 定义5 由sn个数排成的s行(横的) n列(纵的)的表 ?a11??a21????a?s1a12a22?as2?a1n???a2n?????asn?? (1) 称为一个s?n矩阵. 数aij,i?1,2,?,s,j?1,2,?,n,称为矩阵(1)的元素，i称为元素aij的行指标，j称为列指标.当一个矩阵的元素全是某一数域P中的数时，它就称为这一数域P上的矩阵. n?n矩阵也称为n级方阵.一个n级方阵 ?a11??aA??21???a?n1a12a22?an2?a1n???a2n? ????ann??定义一个n级行列式 a11a21?an1a12?a1na22?a2n ??an2?ann称为矩阵A的行列式，记作|A|. 二、课时教学内容

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教 学 内 容 定义6 所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列三种变换： 1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行； 2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中任意一个数； 3) 互换矩阵中两行的位置. 一般说来，一个矩阵经过初等行变换后，就变成了另一个矩阵.当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，我们写成 A?B 小结 若一个矩阵的任一行从第一个元素起至该行的第一个非零元素所在的下方全为零，则称这样的矩阵为阶梯形矩阵. 可以证明，任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯形矩阵. 现在回过来讨论行列式的计算问题.一个n级行列式可看成是由一个n级方阵A决定的，对于矩阵可以作初等行变换，而行列式的性质2，6，7正是说明了方阵的初等行变换对于行列式的值的影响.每个方阵A总可以经过一系列的初等行变换变成阶梯形方阵J.由行列式性质2，6，7，对方阵每作一次初等行变换，相应地，行列式或者不变，或者差一非零的倍数，也就是 |A|?k|J|,k?0 显然，阶梯形方阵的行列式都是上三角形的，因此是容易计算的. 例 计算 ?25?131?9137 3?15?528?7?10不难算出，用这个方法计算一个n级的数字行列式只需要做n3?2n?3次乘法和除法.特别当n比较大的时候，这个方法的优越性就 3 二、课时教学内容

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教 学 内 容 更加明显了.同时还应该看到，这个方法完全是机械的，因而可以用电子计算机按这个方法来进行行列式的计算. 对于矩阵同样可以定义初等列变换，即 1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列； 2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中任意一个数； 3) 互换矩阵中两列的位置. 为了计算行列式，也可以对矩阵进行初等列变换.有时候，同时用初等行变换和列变换，行列式的计算可以更简单些. 矩阵的初等行变换与初等列变换统称为初等变换. 小结 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §6行列式按一行(列)展开 授课 时数 通过本节的学习,可以以使行列式的计算更简化 要求学生会应用行列式展开性质来计算行列式 行列式按一行展开的性质、展开性质的应用 展开性质的应用 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 在§4看到，对于n级行列式，有 a11?ai1?an1a12?ai2??a1n??ain?ai1Ai1?ai2Ai2???ainAin,i?1,2,?,n. (1) ?小结 an2?ann现在来研究这些Aij,i,j?1,2,?,n究竟是什么. 三级行列式可以通过二级行列式表示： a11a21a31a12a22a32a13a23?a11a32a33a22a23a33?a12a21a31a23a33?a13a21a31a22a33. (2) 定义7 在行列式 a11??ai1??an1?a1j?aij??a1n?ain ?ann?anj?中划去元素aij所在的第i行与第j列，剩下的(n?1)2个元素按原来的排法构成一个n?1级行列式 a11?ai?1,1ai?1,1?an1??a1,j?1?ai?1,j?1??an,j?1?ai?1,j?1a1,j?1?ai?1,j?1ai?1,j?1?an,j?1????a1n?ai?1,nai?1,n?ann (3) 称为元素aij的余子式，记作Mij 下面证明 Aij?(?1)i?jMij. (4) 为此先证明n级行列式与n?1级行列式的下面这个关系， 二、课时教学内容

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教 学 内 容 小结 a11a21?an?1,10a12a22?an?1,20????a1,n?1a2,n?1?an?1,n?10a1na2n?an?1,n1?a11a21?an?1,1a12a22???a1,n?1a2,n?1?. (5) an?1,2?an?1,n?1 其次,在(1)中令ai1?ai2???aij?1?aij?1???ain?0,aij?1,即可得证 定义8 上面所谈到的Aij称为元素aij的代数余子式. 这样，公式(1)就是说，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和.在(1)中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如说，第k行的元素，也就是 aij?akj,j?1,2,?,n,k?i. 于是 a11??a1n?akn?akn?ann ak1?ak1Ai1?ak2Ai2???aknAin??ak1??an1?右端的行列式含有两个相同的行，应该为零，这就是说，在行列式中，一行的元素与另一行相应元素的代数余子式的乘积之和为零. 定理3 设 a11d?a21?an1a12a22?an2?a1n?a2n??ann Aij表示元素aij的代数余子式，则下列公式成立： 二、课时教学内容

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教 学 内 容 小结 ?d,当k?i, (6) ak1Ai1?ak2Ai2???aknAin???0,当k?i.?d,当l?j, (7) a1lA1j?a2lA2j???anlAnj???0,当l?j.用连加号简写为 n?s?1?d,当k?i, aksAis???0,当k?i;?s?1n?d,当l?j, aslAsj???0,当l?j.在计算数字行列式时，直接应用展开式(6)或(7)不一定能简化计算，因为把一个n级行列式的计算换成n个(n?1)级行列式的计算并不减少计算量，只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用公式(6)或(7)才有意义.但这两个公式在理论上是重要的. 例1 计算行列式 5137?123325145020 000?2020?4?1例2 行列式 1a1d?a12?a1n?11a22a21?a3?2a31an2 (8) an??n?1a2??n?1n?1a3?an称为n级的范德蒙德(Vandermonde)行列式.证明对任意的n(n?2)，n级范德蒙德行列式等于a1,a2,?,an这n个数的所有可能的差ai?aj(1?j?i?n)的乘积. 用连乘号，这个结果可以简写为. 二、课时教学内容

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教 学 内 容 小结 1a1a12?a1n?11a22a21?a3?2a31an2an???n?1a2??1?j?i?n?(ai?aj). n?1n?1a3?an由这个结果立即得出，范德蒙德行列式为零的充要条件是a1,a2,?,an这n个数中至少有两个相等. 例3 证明 a11??ak1?c11??cr1?a1k?akkc1k?crk0?0??0?0b11?b1r??br1?brra11?a1k???ak1?akkb11?b1r?br1??brr. 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §7 Cramer法则 授课 时数 通过本节的学习，使学生会运用Gramer法则求线性方程组的解 通过本节的学习，要求学生会运用Gramer法则求线性方程组的解 Gramer法则的应用 Gramer法则的应用 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 现在应用行列式解决线性方程组的问题.在这里只考虑方程个数与未知量个数相等的情形. 定理4 如果线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 (1) ??????????????an1x1?an2x2???annxn?bn小结 的系数矩阵 ?a11??a21A?????a?n1a12a22?an2?a1n???a2n? (2) ????ann??d?|A|?0 的行列式 那么线性方程组(1)有解，并且解是唯一的，解可以通过系数表为 x1?dd1d,x2?2,?,xn?n, (3) ddd其中dj是把矩阵A中第j列换成常数项b1,b2,?,bn所成的矩阵的行列式，即 a11dj?a21?an1???a1,j?1?b1?a1,j?1a2,j?1???a1na2n?ann,j?1,2,?,n. (4) a2,j?1b2an,j?1bnan,j?1?定理中包含着三个结论：1）方程组有解；2）解是唯一的；3）解由公式(3)给出.这三个结论是有联系的，因此证明的步骤是： 1. 把(dd1d2,,?,n)代入方程组，验证它确是解. ddd2. 假如方程组有解，证明它的解必由公式(3)给出. 定理4通常称为克拉默法则. 二、课时教学内容

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教 学 内 容 例1 解方程组 ?2x1?x2?5x3?x?3x?12?2x2?x3???x1?4x2?7x3?x4?8,?6x4?9,?2x4??5,?6x4?0.小结 应该注意，定理4所讨论的只是系数矩阵的行列式不为零的方程组，它只能应用于这种方程组；至于方程组的系数行列式为零的情形，将在下一章的一般情形中一并讨论. 常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组.显然齐次方程组总是有解的，因为(0,0,?,0)就是一个解，它称为零解.对于齐次线性方程组，我们关心的问题常常是，它除了零解以外，还有没有其它解，或者说，它有没有非零解.对于方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，应用克拉默法则就有 定理5 如果齐次线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn??????????????an1x1?an2x2???annxn?0 (10) 的系数矩阵的行列式|A|?0，那么它只有零解.换句话说，如果方程组(10)有非零解，那么必有|A|?0. 例2 求?在什么条件下，方程组 ??x1?x2?0, ?x??x?02?1有非零解. 克拉默法则的意义主要在于它给出了解与系数的明显关系，这一点在以后许多问题的讨论中是重要的.但是用克拉默法则进行计算是不方便的，因为按这一法则解一个n个未知量n个方程的线性方程组就要计算n?1个n级行列式，这个计算量是很大的. 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §8 Laplace定理·行列式的乘法规则 授课 时数 通过本节的学习，使学生了解Laplace定理·行列式的乘法规则 通过本节的学习，要求学生了解Laplace定理·行列式的乘法规则 Laplace定理 Laplace定理 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 一、拉普拉斯定理 定义9 在一个n级行列式D中任意选定k行k列(k?n)，位于这些行和列的交点上的k2个元素按照原来的次序组成一个k级行列式M，称为行列式D的一个k级子式.在D中划去这k行k列后余下的元素按照原来的次序组成的n?k级行列式M?称为k级子式M的余子式. 从定义立刻看出，M也是M?的余子式.所以M和M?可以称为D的一对互余的子式. 例1 在四级行列式 小结 120?1D?0000122141 13中选定第一、三行，第二、四列得到一个二级子式M： 24, M?01M的余子式为 M??例2 在五级行列式 a11D?a21?a51a12a22?a52a12M?a22a4202. 01a13a14a15a25?a55a23a24??a53a54a13a23a43a15a25 a45 中 和 M??是一对互余的子式. a31a51a34a54 二、课时教学内容

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教 学 内 容 定义10 设D的k级子式M在D中所在的行、列指标分别是小结 i1,i2,?,ik;j1,j2,?,jk，则M的余子式M?前面加上符号(?1)(i1?i2???ik)?(j1?j2???jk)后称做M的代数余子式. 因为M与M?位于行列式D中不同的行和不同的列，所以有下述 引理 行列式D的任一个子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致. 定理6(拉普拉斯定理) 设在行列式D中任意取定了k(1?k?n?1)个行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D. 例3 利用拉普拉斯定理计算行列式 120?1D?1001121341 31从这个例子来看，利用拉普拉斯定理来计算行列式一般是不方便的.这个定理主要是理论方面的应用. 二、行列式的乘积法则 定理7 两个n级行列式 a11D1?a21?an1b11D2?b21?bn1a12a22?an2b12b22?bn2 ?a1n?a2n??ann 和 ?b1n?b2n??bnn 二、课时教学内容

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教 学 内 容 的乘积等于一个n级行列式 c11C?c21?cn1c12c22?cn2??c1n?c2n?cnn小结 , 其中cij是D1的第i行元素分别与D2的第j列的对应元素乘积之和： cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj??aikbkj. k?1n这个定理也称为行列式的乘法定理.它的意义到第四章§3中就完全清楚了. 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 第三章 线性方程组 §1消元法 授课 时数 通过本节的学习，使学生掌握方程组的有解判别 通过本节的学习，要求学生掌握方程组的有解判别 方程组的初等变换、方程组的有解判别 方程组的有解判别 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 一、线性方程组的初等变换 现在讨论一般线性方程组.所谓一般线性方程组是指形式为 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,?ax?ax???ax?b,?2112222nn2 (1) ????????????as1x1?as2x2???asnxn?bs小结 的方程组，其中x1,x2,?,xn代表n个未知量，s是方程的个数，aij(i?1,2,?,s;j?1,2,?,n)称为线性方程组的系数，bj(j?1,2,?,s)称为常数项.方程组中未知量的个数n与方程的个数s不一定相等.系数aij的第一个指标i表示它在第i个方程，第二个指标j表示它是xj的系数. 所谓方程组(1)的一个解就是指由n个数k1,k2,?,kn组成的有序数组(k1,k2,?,kn)，当x1,x2,?,xn分别用k1,k2,?,kn代入后，(1)中每个等式都变成恒等式. 方程组(1)的解的全体称为它的解集合.解方程组实际上就是找出它全部的解，或者说，求出它的解集合.如果两个方程组有相同的解集合，它们就称为同解的. 显然，如果知道了一个线性方程组的全部系数和常数项，那么这个线性方程组就基本上确定了.确切地说，线性方程组(1)可以用下面的矩阵 ?a11a12?a1nb1????a21a22?a2nb2? (2) ?????????a??s1as2?asnbs?来表示.实际上，有了(2)之后，除去代表未知量的文字外线性方程组(1)就确定了，而采用什么文字来代表未知量当然不是实质性的.在中学所学代数里学过用加减消元法和代入消元法解二元、三元线性方程组.实际上，这个方法比用行列式解线性方程组更有普遍性. 下面就来介绍如何用一般消元法解一般线性方程组. 例如，解方程组 二、课时教学内容

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教 学 内 容 ?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?2x?5.23?1小结 第二个方程组减去第一个方程的2倍，第三个方程减去第一个方程，就变成 ?2x1?x2?3x3?1,?4x2?x3?2, ??2x2?x3?4.?第二个方程减去第三个方程的2倍，把第二第三两个方程的次序互换，即得 ?2x1?x2?3x3?1,?2x2?x3?4, ??x3??6.?这样，就容易求出方程组的解为（9，-1，-6）. 分析一下消元法，不难看出，它实际上是反复地对方程组进行变换，而所用的变换也只是由以下三种基本的变换所构成： 1. 用一非零数乘某一方程； 2. 把一个方程的倍数加到另一个方程； 3. 互换两个方程的位置. 定义1 变换1，2，3称为线性方程组的初等变换. 二、线性方程组的解的情形 消元的过程就是反复施行初等变换的过程.下面证明，初等变换总是把方程组变成同解的方程组. 下面我们来说明，如何利用初等变换来解一般的线性方程组. 对于方程组(1)，首先检查x1的系数.如果x1的系数a11,a21,?,as1全为零，那么方程组(1)对x1没有任何限制，x1就可以取任何值，而方程组(1)可以看作x2,?,xn的方程组来解.如果x1的系数不全为零，那么利用初等 二、课时教学内容

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教 学 内 容 小结 a变换3，可以设a11?0.利用初等变换2，分别把第一个方程的?i1倍加a11到第i个方程(i?2,?,n).于是方程组(1)就变成 ?a11x1?a12x2???a1nxn?b1,??x2???a2?nxn?b2?,a22? (3) ?????????????a?s2x2???asnxn?bs,? 其中 ??aij?aijai1?a1j,i?2,?,s,j?2,?,n a11?x2???a2?nxn?b2?,?a22? (4) ??????????a?x???a?x?b?snnn?s22这样，解方程组(1)的问题就归结为解方程组 的问题.显然(4)的一个解，代入(3)的第一个方程就定出x1的值，这就得出(3)的一个解；(3)的解显然都是(4)的解.这就是说，方程组(3)有解的充要条件为方程组(4)有解，而(3)与(1)是同解的，因之，方程组(1)有解的充要条件为方程组(4)有解. 对(4)再按上面的考虑进行变换，并且这样一步步作下去，最后就得到一个阶梯形方程组.为了讨论起来方便，不妨设所得的方程组为 ?c11x1?c12x2???c1rxr???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr???c2nxn?d2,?????????crrxr???crnxn?dr,? (5) ?0?d,r?1??0?0,?????0?0.? 二、课时教学内容

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教 学 内 容 其中cii?0,i?1,2,?,r.方程组(5)中的“0=0”这样一些恒等式可能不出现，也可能出现，这时去掉它们也不影响(5)的解.而且(1)与(5)是同解的. 现在考虑(5)的解的情况. 如(5)中有方程0?dr?1，而dr?1?0.这时不管x1,x2,?,xn取什么值都不能使它成为等式.故(5)无解，因而(1)无解. 当dr?1是零或(5)中根本没有“0=0”的方程时，分两种情况： 1）r?n.这时阶梯形方程组为 ?c11x1?c12x2???c1nxn?d1,?c22x2???c2nxn?d2,?(6) ?????????cnnxn?dn,?小结 其中cii?0,i?1,2,?,n.由最后一个方程开始，xn,xn?1,?,x1的值就可以逐个地唯一决定了.在这个情形，方程组(6)也就是方程组(1)有唯一的解. 例1 解线性方程组 ?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?2x?5.23?12）r?n.这时阶梯形方程组为 ?c11x1?c12x2???c1rxr?c1,r?1xr?1???c1nxn?d1,?c22x2???c2rxr?c2,r?1xr?1???c2nxn?d2,? ?????????crrxr?cr,r?1xr?1???crnxn?dr,?其中cii?0,i?1,2,?,r.把它改写成 ?c11x1?c12x2???c1rxr?d1?c1,r?1xr?1???c1nxn,?c22x2???c2rxr?d2?c2,r?1xr?1???c2nxn,? (7) ?????????crrxr?dr?cr,r?1xr?1???crnxn.?二、课时教学内容

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教 学 内 容 由此可见，任给xr?1,?,xn一组值，就唯一地定出x1,x2,?,xr的值，也就是定出方程组(7)的一个解.一般地，由(7)我们可以把x1,x2,?,xr通过小结 xr?1,?,xn表示出来，这样一组表达式称为方程组(1)的一般解，而xr?1,?,xn称为一组自由未知量. 例2 解线性方程组 ?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?4x??1.23?1从这个例子看出，一般线性方程组化成阶梯形，不一定就是(5)的样子，但是只要把方程组中的某些项调动一下，总可以化成(5)的样子. 以上就是用消元法解线性方程组的整个过程.总起来说就是，首先用初等变换化线性方程组为阶梯形方程组，把最后的一些恒等式“0=0”(如果出现的话)去掉.如果剩下的方程当中最后的一个等式是零等于一非零的数，那么方程组无解，否则有解.在有解的情况下，如果阶梯形方程组中方程的个数r等于未知量的个数，那么方程组有唯一的解；如果阶梯形方程组中方程的个数r小于未知量的个数，那么方程组就有无穷多个解. 定理1 在齐次线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn ????????????as1x1?as2x2???asnxn?0中，如果s?n，那么它必有非零解. 矩阵 ??????? a11a21?as1a12?a1na22?a2n??as2?asnb1??b2? (10) ???bs??二、课时教学内容

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教 学 内 容 称为线性方程组(1)的增广矩阵.显然，用初等变换化方程组(1)成阶梯形就相当于用初等行变换化增广矩阵(10)成阶梯形矩阵.因此，解线性方程组的第一步工作可以通过矩阵来进行，而从化成的阶梯形矩阵就可以判别方程组有解还是无解，在有解的情形，回到阶梯形方程组去解. 例3 解线性方程组 ?2x1?x2?3x3?1,??4x1?2x2?5x3?4, ?2x?x?4x?0.23?1小结 解：（略） 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §2 n维向量空间 授课 时数 通过本节的学习，使学生理解n维向量概念、熟练掌握n维向量的运算。 通过本节的学习，要求学生理解n维向量概念、熟练掌握n维向量的运算。 n维向量概念、n维向量的运算 n维向量的运算 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 定义2 所谓数域P上一个n维向量就是由数域P中n个数组成的有序数组 小结 (a1,a2,?,an) (1) ai称为向量(1)的分量. 用小写希腊字母?,?,?,?来代表向量. 定义3 如果n维向量 ??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn) 的对应分量都相等，即 ai?bi(i?1,2,?,n). 就称这两个向量是相等的，记作???. n维向量之间的基本关系是用向量的加法和数量乘法表达的. 定义4 向量 ??(a1?b1,a2?b2,?,an?bn) 称为向量 ??(a1,a2,?,an),??(b1,b2,?,bn) 的和，记为 ????? 由定义立即推出： 交换律： ???????. (2) 结合律： ??(???)?(???)??. (3) 定义5 分量全为零的向量 (0,0,?,0) 称为零向量，记为0;向量(?a1,?a2,?,?an)称为向量??(a1,a2,?,an)的负向量，记为??. 显然对于所有的?，都有 ??0??. (4) 二、课时教学内容

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教 学 内 容 ??(??)?0. (5) (2)—(5)是向量加法的四条基本运算规律. 定义6 ??????(??) 定义7 设k为数域P中的数，向量 小结 (ka1,ka2,?,kan) 称为向量??(a1,a2,?,an)与数k的数量乘积，记为k? 由定义立即推出： k(???)?k??k?, (6) (k?l)??k??l?, (7) k(l?)?(kl)?, (8) 1???. (9) (6)—(9)是关于数量乘法的四条基本运算规则.由(6)—(9)或由定义不难推出： 0??0, (10) (?1)????, (11) k0?0. (12) 如果k?0,??0，那么 k??0. (13) 定义8 以数域P中的数作为分量的n维向量的全体，同时考虑到定义在它们上面的加法和数量乘法，称为数域P上的n维向量空间. 在n?3时，3维实向量空间可以认为就是几何空间中全体向量所成的空间. 以上已把数域P上全体n维向量的集合组成一个有加法和数量乘法的代数结构，即数域P上n维向量空间. 向量通常是写成一行： ??(a1,a2,?,an). 二、课时教学内容

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教 学 内 容 有时也可以写成一列： ?a1????a????2?. ????a??n?小结 为了区别，前者称为行向量，后者称为列向量。它们的区别只是写法上的不同. 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §3线性相关性 授课 时数 通过本节的学习，使学生能熟练掌握线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。 通过本节的学习，要求学生能熟练掌握线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。 线性组合、向量组等价、线性相关(无关)等一些基本概念、线性相关性的判定、极大线性无关组及向量组的秩。 求极大线性无关组及向量组的秩、论证向量组的等价。 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 一般向量空间除只有一个零向量构成的零空间外，都含有无穷多个向量，这些向量之间有怎样的关系，对于弄清向量空间的结构至关重要。 一、线性相关与线性无关 两个向量之间最简单的关系是成比例.所谓向量?与?成比例就是说有一数k使 小结 ??k?. 定义9 向量?称为向量组?1,?2,?,?s的一个线性组合，如果有数域P中的数k1,k2,?,ks，使 ??k1?1?k2?2???ks?s, 其中k1,k2,?,ks叫做这个线性组合的系数. 例如，任一个n维向量??(a1,a2,?,an)都是向量组 ??1?(1,0,?,0),???(0,1,?,0),?2 ? （1） ??????????n?(0,0,?,1)的一个线性组合. 向量?1,?2,?,?n称为n维单位向量. 零向量是任意向量组的线性组合. 当向量?是向量组?1,?2,?,?s的一个线性组合时，也说?可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出. 定义10 如果向量组?1,?2,?,?t中每一个向量?i(i?1,2,?,t)都可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，那么向量组?1,?2,?,?t就称为可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出.如果两个向量组互相可以线性表出，它们就称为等价. 二、课时教学内容

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教 学 内 容 由定义有，每一个向量组都可以经它自身线性表出.同时，如果向量组?1,?2,?,?t可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，向量组那么向量组?1,?2,?,?t?1,?2,?,?s可以经向量组?1,?2,?,?p线性表出，可以经向量组线性表出. 向量组之间等价具有以下性质： 1）反身性：每一个向量组都与它自身等价. 2）对称性：如果向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价，那么向量组?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?s等价. 3）传递性：如果向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?t等价，?1,?2,?,?t与?1,?2,?,?p等价，那么向量组?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?p等价. 定义11 如果向量组?1,?2,?,?s(s?2)中有一个向量是可以由其余的向量的线性表出，那么向量组?1,?2,?,?s线性相关. 从定义可以看出，任意一个包含零向量的向量组一定是线性相关的.向量组?1,?2线性相关就表示?1?k?2或者?2?k?1(这两个式子不一定能同时成立).在P为实数域，并且是三维时，就表示向量?1与?2共线.三个向量?1,?2,?3线性相关的几何意义就是它们共面. 定义11′向量组?1,?2,?,?s(s?1)称为线性相关的，如果有数域P中不全为零的数k1,k2,?,ks，使 小结 k1?1?k2?2???ks?s?0 这两个定义在s?2的时候是一致的. 定义12 一向量组?1,?2,?,?s(s?1)不线性相关，即没有不全为零的数k1,k2,?,ks，使k1?1?k2?2???ks?s?0就称为线性无关； 二、课时教学内容

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教 学 内 容 或者说，一向量组?1,?2,?,?s称为线性无关，如果由 小结 k1?1?k2?2???ks?s?0 可以推出 k1?k2???ks?0 由定义有，如果一向量组的一部分线性相关，那么这个向量组就线性相关.换句话说，如果一向量组线性无关，那么它的任何一个非空的部分组也线性无关.特别地，由于两个成比例的向量是线性相关的，所以，线性无关的向量组中一定不能包含两个成比例的向量. 定义11′包含了由一个向量组构成的向量组的情形. 单独一个零向量线性相关，单独一个非零向量线性无关. 不难看出，由n维单位向量?1,?2,?,?n组成的向量组是线性无关的. 具体判断一个向量组是线性相关还是线性无关的问题可以归结为解方程组的问题.要判断一个向量组 ?i?(ai1,ai2,?,ain)i?1,2,?,s (2) 是否线性相关，根据定义11，就是看方程 x1?1?x2?2???xs?s?0 (3) 有无非零解.(3)式按分量写出来就是 ?a11x1?a21x2???as1xs?0,?ax?ax???ax?0,?121222s2s (4) ??????????a1nx1?a2nx2???asnxs?0.因之，向量组?1,?2,?,?s线性无关的充要条件是齐次线性方程组(4)只有零解. 例1 判断P3的向量?1?(1,?2,3),?2?(2,1,0),?3?(1,?7,9) 是否线性相关。 二、课时教学内容

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教 学 内 容 例2 在向量空间P[x]里，对于任意非负整数n 小结 1,x,x2,?,xn线性无关. 例 3 若向量组?1,?2,?3线性无关，则向量组2?1??2,?2?5?3,4?3?3?1也线性无关. 从而，如果向量组(2)线性无关，那么在每一个向量上添一个分量所得到的n?1维的向量组 ?i?(ai1,ai2,?,ain,ai,n?1),i?1,2,?,s (5) 也线性无关. 定理2 设?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s是两个向量组.如果 1）向量组?1,?2,?,?r可以经?1,?2,?,?s线性表出， 2） r?s， 那么向量组?1,?2,?,?r必线性相关. 推论1 如果向量组?1,?2,?,?r可以经向量组?1,?2,?,?s线性表出，且?1,?2,?,?r线性无关，那么r?s. 推论2 任意n?1个n维向量必线性相关. 推论3 两个线性无关的等价的向量组，必含有相同个数的向量. 定理2的几何意义是清楚的：在三维向量的情形，如果s?2，那么可以由向量?1,?2线性表出的向量当然都在?1,?2所在的平面上，因而这些向量是共面的，也就是说，当r?2时，这些向量线性相关.两个向量组?1,?2与?1,?2等价，就意味着它们在同一平面上. 二、极大线性无关组 定义13 一向量组的一个部分组称为一个极大线性无关组，如果这 二、课时教学内容

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教 学 内 容 个部分组本身是线性无关的，并且从这个向量组中任意添一个向量(如果还有的话)，所得的部分向量组都线性相关. 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身. 极大线性无关组的一个基本性质是，任意一个极大线性无关组都与向量组本身等价. 例4 看P3的向量组 小结 ?1?(1,0,0),?2?(0,1,0),?3?(1,1,0) 在这里｛?1,?2｝线性无关，而?3??1??2，所以｛?1,?2｝是一个极大线性无关组.另一方面，｛?1,?3｝，｛?2,?3｝也都是向量组｛?1,?2,?3｝的极大线性无关组. 由上面的例子可以看出，向量组的极大线性无关组不是唯一的.但是每一个极大线性无关组都与向量组本身等价，因而，一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的. 定理3 一向量组的极大线性无关组都含有相同个数的向量. 定理3表明，极大线性无关组所含向量的个数与极大线性无关组的选择无关，它直接反映了向量组本身的性质.因此有 定义14 向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩. 一向量组线性无关的充要条件是它的秩与它所含向量的个数相同. 每一向量组都与它的极大线性无关组等价.由等价的传递性可知，任意两个等价向量组的极大线性无关组也等价.所以，等价的向量组必有相同的秩. 含有非零向量的向量组一定有极大线性无关组，且任一个线性无关的部分向量都能扩充成一极大线性无关组.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组.规定这样的向量组的秩为零. 现在把上面的概念与方程组的解的关系进行联系，给定一个方程组 二、课时教学内容

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教 学 内 容 ?a11x1?a12x2???a1nxn?d1,?ax?ax???ax?d,?2112222nn2??????????as1x1?as2x2???asnxn?ds,各个方程所对应的向量分别是(A1)(A2)(As)小结 ?1?(a11,a12,?,a1n,d1),?2?(a21,a22,?,a2n,d2),?, ?s?(as1,as2,?,asn,ds).设有另一个方程 b1x1?b2x2???bnxn?d,(B) 它对应的向量为??(b1,b2,?,bn,d).则?是?1,?2,?,?s的线性组合，??l1?1?l2?2???ls?s当且仅当(B)?l1(A1)?l2(A2)???ls(As)，即方程(B)是方程(A1),(A2),?,(As) 的线性组合.容易验证，方程组(A1),(A2),?,(As)的解一定满足(B).进一步设方程组 ?b11x1?b12x2???b1nxn?c1,?bx?bx???bx?c,?2112222nn2??????????br1x1?br2x2???brnxn?cr,(B1)(B2)(Br) 它的方程所对应的向量为?1,?2,?,?r.若?1,?2,?,?r可经?1,?2,?,?s线性表出，则方程组(A1),(A2),?,(As)的解是方程组(B1),(B2),?,(Br)的解.再进一步，当?1,?2,?,?s与?1,?2,?,?r等价时，两个方程组同解. 例5 （1）设?1,?2,?3线性无关，证明?1,?1??2,?1??2??3也线性无关；对n个线性无关向量组?1,?2,?,?n，以上命题是否成立？ （2）当?1,?2,?3线性无关，证明?1??2,?2??3,?3??1也线性无关，当?1,?2,?,?n线性无关时，?1??2,?2??3,?,?n?1??n,?n??1是否也线性无关？. 二、课时教学内容

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教 学 内 容 例6 设在向量组?1,?2,?,?n中，?1??0且每个?i都不能表成它的前i?1个向量?1,?2,?,?i?1的线性组合，证明?1,?2,?,?n线性无关. 小结 一、章（节、目）授课计划

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授课章节名称 教 学 目 的 教 学 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 教学 方法与手段 §4矩阵的秩 授课 时数 通过本节的学习，使学生会求矩阵的秩、能理解有关矩阵秩的相关理论。 要求学生会求矩阵的秩、能理解有关矩阵秩的相关理论。 矩阵的秩、矩阵秩的求法 矩阵秩的求法 讲授法 启发式 作业与 思考题 阅读 书目或参考 资料 教 学 后 记 1.张禾瑞，郝炳新编：《高等代数》，高等教育出版社。 2.王萼芳：《高等代数》，高等教育出版社。 3.田孝贵等：《高等代数》，高等教育出版社 二、课时教学内容

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教 学 内 容 一、矩阵的秩 如果把矩阵的每一行看成一个向量，那么矩阵就可以认为是由这些向量组成的.同样，如果把每一列看成一个向量，那么矩阵也可以认为是由列向量组成的. 定义15 所谓矩阵的行秩就是指矩阵的行向量组的秩；矩阵的列秩就是矩阵的列向量组的秩. 例如，矩阵 小结 ?1??0A??0??0?的行向量组是 132?100001??4? 5??0???1?(1,1,3,1),?2?(0,2,?1,4),?3?(0,0,0,5),?4?(0,0,0,0) 它的秩是3.它的列向量组是 ?1?(1,0,0,0)?,?2?(1,2,0,0)?,?3?(3,?1,0,0)?,?4?(1,4,5,0)? 它的秩也是3. 矩阵A的行秩等于列秩，这点不是偶然的. 引理 如果齐次线性方程组 ?a11x1?a12x2???a1nxn?0,?ax?ax???ax?0,?2112222nn （1） ????????????as1x1?as2x2???asnxn?0的系数矩阵 ???A?????a11a21?as1a12?a1n??a22?a2n?? ???as2?asn??的行秩r?n，那么它有非零解. 定理4 矩阵的行秩与列秩相等. 二、课时教学内容

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