清北学堂自主招生理科精英力学篇

力学篇

第一讲 点的直线运动

例题1（2008华约）在赤道上的A处静止放置一个小物体。现在设想地球对小物体的万有引力突然消失，则在数小时内，小物体相对于A点处的地面来说，将 。 A．水平向东飞去

B．原地不动，物体对地面的压力消失 C．向上并渐偏向西方飞去 D．向上并渐偏向东方飞去 E．一直垂直向上飞去

练习1 （13苏大）太阳从东边升起，西边落下是地球上的自然现象，但是在某些条件下，在纬度较高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太阳从西边升起的奇特现象，这些条件是（ ）

A时间必须在清晨，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大 B时间必须在清晨，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度必须较大 C时间必须在傍晚，飞机正在由东向西飞行，飞机的速度必须较大 D时间必须在傍晚，飞机正在由西向东飞行，飞机的速度不能太大。

练习2 (12复旦)在马路旁观察会感觉马路上开行的汽车白天快夜晚慢，这是因为（ ） A夜晚看不清马路两旁的参照物（房屋，行道等）B夜晚看不清车身 C白天车速的确较快D夜晚司机比较小心会降低车速。

练习3(12复旦)对不同的惯性参照物，如下物理量中与参照系无关的是（ ） A动能 B功 C力 D声音频率

例题2(10南大强化) 图示，地面上有一固定的小球，球面的斜上方P处有一小球。现要求确定一条从P到球面的光滑斜直轨道，使小球从静止开始沿轨道滑行到球面上经历时间最短。

1

练习4(11北大保送)PQC三点在同一竖直平面圆周上，PQ、QC、CP均为光滑细杆，PC为直径，Q处有一小圆环连接使小球顺利转弯，如果套在PC杆上的小球从顶点P静止释放，分别沿PQC轨道和PC竖直轨道运动，若沿PQC运动时间是沿PQ时间的1.5倍，求∠PCQ。

C

练习5如图所示，竖直平面上有一条光滑的1/4圆轨道AB弧，圆心O与A点等高，A到B又有一条直线轨道。小球从A点自静止出发沿AB弧轨道到达B点需要时间为t1，沿直线轨道到B点的时间为t2，比较t1与t2哪个大？

例题3图示，在光滑水平面上立着一根半径为R的竖直圆柱子，借组长为L的细长线将小冰球与圆柱子相连。开始冰球位于水平面上并且线被拉紧，现在猛一推冰球，使其具有垂直于线的初速度v0，于是冰球开始绕柱子运动，将线缠在柱子上。不计一切摩擦。线系在柱子下部，位于冰球滑动的水平面内。问经过多少时间后线全部缠在柱子上？

练习6（05同济）老鼠离开洞穴沿直线行进，它的速度与到洞穴的距离成反比，当它行进到离洞穴距离为d1的甲处时速度是v1,则它行进到离洞穴距离为d2的乙处时的速度是多少？从甲到乙用去的时间是多少？

2

例题4（12华约）如图所示为测量重力加速度的实验装置。装置包括：固定在水平底板上带有刻度的直杆；三个可通过螺丝固定在直杆上的支架A、B、C（这些支架上可以固定相应器材）；小钢珠一个；小型电磁铁一个（用于吸住或释放小钢珠）；光电门两个（用于测量钢珠通过两个光电门之间距离所需的时间，另一个光电门触发后停止计时）。

（1）试设计实验，通过测量小球在不同路程下的平均速度，作图求出当地重力加速度的值。（2）出实验原理（3）写出实验步骤，及需要测量的物理量。

练习7(12卓越)液体的黏滞系数是描述液体粘滞性大小的物理量。落球法测定蓖麻油的粘滞系数?，通常是将蓖麻油装满长为 1 m左右圆柱形玻璃筒，通过测得小球竖直落入蓖麻油后做匀速运动时的速度来获得。小球在蓖麻油中下落时刻受到重力、浮力和粘滞阻力F的作用，其中粘滞阻力F?3??vd（其中d、v分别是小球的直径和速度），当小球匀速运动时，利用受力平衡条件求出?，于是测得小球匀速运动的速度是这个实验的关键。若你手中只有秒表和毫米刻度尺可以利用，①你怎样确定小球已经做匀速运动了？②如何测得小球的匀速运动速度？

3

第二讲 相对运动

例1一人骑自行车向东行驶，当车速为4m/s时，他感到风从正南方吹来，当车速增加到7m/s时，他感到风从东南方向（东偏南45°）吹来，则风对地的速度大小为( ) A 7m/s B 6m/s C 5m/s D 4m/s

练习1（11西交大）如图所示，P是从港口A出发去拦截正以速度v0沿直线匀速航行的B船，P船与B船所在航线的垂直距离为a 。P启航时，P船与B船的距离为b（b > a），P 船一启航就匀速运动，求P船能拦截到B船的最小速率。

练习2如图所示，几辆相同的汽车以相等的速度v沿宽为c的直公路行驶，每车宽为b，头尾间距为a，则人能以最小的速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少？

例2 图1，汽车A在水平的河岸上，通过定滑轮拖动河中的船B，当车A的速度为v时，它的加速度为a，此时OB绳与水平方向夹角为?，OB?l。求此时刻船B的速度v?及加速度a?。

练习3(18预赛)如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为?时，杆的角速度为?，求此时物块M的速率vM。

4

练习4（11华约）图示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在水平杆OC上的小球M运动。运动开设时，AB杆在竖直位置，则小环M的加速度将（ ） A。逐渐增大。B。先减小后增大。C。先增大后减小。D。逐渐减小。

例3（11预赛）顶杆AB可在竖直滑槽K内滑动，其下端由凹轮M推动，凸轮绕O轴以匀角速ω转动，图1。在图示的瞬时，OA=r，凸轮轮缘与A接触法线n与OA之间的夹角为α，求此瞬时顶杆AB 的速度。

练习32图示，杆AB搁置在半径为R的半圆柱上，A端沿水平面以相等的速度v做直线运动，杆与水平面夹角?。图示瞬间。杆与半圆柱相切于C点，此时杆上C点的速度大小是多少？圆柱上与杆相切的切点移动的速度又是多少？

5

例8(90高考) 质量m=2.0kg的小铁块静止于水平导轨AB的A端.导轨及支架ABCD形状及尺寸如图,它只能绕通过支架D点的垂直于纸面的水平轴转动,其重心在图中的O点,质量M=4.0kg.现用一细线沿导轨拉铁块,拉力F=12N.铁块和导轨之间的摩擦因数μ=0.50.重力

2

加速度g=10m/s.从铁块运动时起,导轨(及支架)能保持静止的最长时间是多少?

练习10(00上海）图中是用电动砂轮打磨工件的装置，砂轮的转轴过图中O点垂直于纸 面，AB是一长度l?0.60m，质量m1?0.50kg的均匀刚性细杆，可绕过A端的固定轴在竖 直面（中纸面）内无摩擦地转动，工件C固定在AB杆上，其质量m2?1.5kg，工件的重心、 工件与砂轮的接触点P以及O点都在过AB中点的竖直线上，P到AB杆的垂直距离d?0.1m， AB杆始终处于水平位置，砂轮与工件之间的动摩擦因数??0.06。（1）当砂轮静止时，要 使工件对砂轮的压力F0?100N，则施于B端竖直向下的力FB应 是多大（2）当砂轮逆时针转动时，要使工件对砂轮的压力仍为

?F0?100N，则施于B端竖直向下的力FB应是多大？

例9（1竞赛）有一长为l,重为Wo的均匀杆AB,A端顶在竖直的粗糙墙壁上,杆端与墙面间的静摩擦因数为?；B端用一强度足够而不可伸长的绳悬挂,绳的另一端固定在墙壁C点，木杆呈水平状态，绳与杆的夹角为θ，图示。求（1）求杆能保持平衡时?与θ应满足的条件（2）杆保持平衡时，杆上有一点P存在，若在A点与P点间任一点悬挂一重物，则当重量W足够大时总可以使平衡破坏；而在P点与B点之间任一点悬挂任意重量的重物，都不能使平衡破坏。求出这一P点与A点的距离。

11

图1

练习11质量m、长度L的均质杆竖直放置，下端与地面间的摩擦因数为?，上端用水平绳索拉住，绳与直杆间夹角为?。在离地面高度h处以水平例F作用于直杆。问为使直杆不滑到，F的最大值是多少？

例10 （10南大强化）图1示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平面上，杆与地面接触点为A，与环面接触点为B。已知两个物体的质量线密度均为?，直杆与地面夹角为?，圆环半径为R，所有接触点的摩擦力足够大。求 (1)地给圆环的摩擦力(2)求A、B两点静摩擦系数的取值范围。

练习12（10北大）如图，质量为M，棱长为L的正方体放在粗糙平面上，在左上棱施力使正方体向前或向后翻转，正方体不与平面发生相对滑动。求向前和向后施力的最小值及对应的摩擦因数。

F

后 前

例11(26竞赛)图示正方形轻质刚性水平桌面由四条完全相同的轻质细桌腿1、2、3、4支撑于桌角A、B、C、D处，桌腿竖直立在水平粗糙刚性地面上。已知桌腿受力后将产生弹性微小形变。现于桌面中心点O至角A的连线OA上某点P施加一竖直向下的力F，令OP/OA=c，，求桌面对桌腿1的压力F1。

练习13(6预赛)有六个完全相同的刚性长条薄片AiBi（i=1，…，6）其两端下方各有一个小突起，薄片及突起的重量均可以不计。现将此六个薄片架在一只水平的碗口上，使每个薄片一端的小突起Bi恰在碗口上，另一端小突起Ai位于其下方薄片的正中，由正下方俯视如图所示。若将一质量为m的质点放在薄片A6B6上一点，这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起A6的距离，求薄片A6B6中点所受的（由另一薄片的小突起A1所施的）压力。

例12（09清华）质量为m、长为l的三根相同匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O

12

重合，底端A、B、C的间距均为l,图1示。求（1）A棒顶端所受的作用力F的大小。(2)若有一质量也为m的人（视为质点）坐在A棒的中点处，三棒仍保持不动，这时A棒顶端所受作用力F的大小又为多大？(3)在(2)情形下，地面与棒之间的静摩擦系数?至少为多大？

练习14（08上交大）质量为80kg的人沿如图所示的梯子从底部向上攀登，梯子质量为25kg，顶角为30。已知AC和CE都为5m，且用铰在C点处相连，BD为一段轻绳，两端固定在梯子高度一半处。设梯子与地面的摩擦可以忽略，求在人向上攀登过程中轻绳中张力的变化规律。

0

例13(04江苏)图示，半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内，两个轻质小圆环套在大圆环上．一根轻质长绳穿过两个小圆环，它的两端都系上质量为m的重物，忽略小圆环的大小。（1）将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图)．在—两个小圆环间绳子的中点C处，挂上一个质量M=2m的重物，使两个小圆环间的绳子水平，然后无初速释放重物M．设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距离． （2）若不挂重物M．小圆环可以在大圆环上自由移动，且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略，问两个小圆环分别在哪些位置时，系统可处于平衡状态?

第五节 功、动能定理

例1 图示，速度为v的向右匀速运动的车厢内，在光滑水平桌面上有一个弹簧系统，质量为m的物体与弹簧的自由端靠在一起（不连接），压缩的弹簧放手后，物体受到弹力作用在桌面上运动，离开弹簧时（仍在桌面上）对车厢的速度为v1,问从放手到物体离开弹簧瞬间，车厢壁板对弹簧的作用力做了多少功？（在地面参考系中计算）

13

练习 1图示，一帆船在静水中顺风漂行，风速为v0，问船速V为多大时，风供给船的功率最大？

练习2(13卓越)汽车在水平面上以速度v匀速运动，把它视为横截面积为S的长方体，已知空气密度为?，求汽车运动过程中受到的空气阻力和克服空气阻力的功率。

例2（10全国）如图，MNP 为竖直面内一固定轨道，其圆弧段MN与水平段NP相切于N，P端固定一竖直挡板。M相对于N的高度为h，NP长度为s.一物块自M端从静止开始沿轨道下滑，与挡板发生一次完全弹

性碰撞后停止在水平轨道上某处。MN段的摩擦不计，物块与NP段轨道间的滑动摩擦因数为

?，求物块停止的地方与N点距离的可能值。

练习3(03全国）一传送带装置示意图，其中传送带经过AB区域时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，未画出），经过CD区域时是倾斜的，AB和CD都与BC相切。现将大量的质量均为m的小货箱一个一个在A处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D处，D和A的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A处投放后，在到达B处之前已经相对于传送带静上，且以后也不再滑动（忽略经BC段时的微小滑动）。已知在一段相当长的时间T内，共运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。

例3(07江苏）图示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个 细环。棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg（k＞1）。断开轻绳 棒和环自由下落。假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失。

棒在整

环 个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计。求⑴棒第一次与地面碰撞弹起上升过

程中，环

的加速度 ⑵从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间，棒运动的路程S ⑶从断开

棒 轻绳到棒和环都静止，摩擦力对环及棒做的总功W。

14 H

练习4（03上交大）图示，在水平地面xOy上有一沿x正方向做匀速运动的传送带，运动速度为v1，传送带上有一质量为m的正方形物体随传送带一起运动，当物体运动到yOz平面时遇到一阻挡板C，阻止其继续向x正方向运动，设物体与传送带间的动摩擦因数为?1，与挡板之间的动摩擦因数为?2，此时若要使物体沿y轴正方向以匀速v2运动，问 ⑴沿y轴方向所加外力为多少 ⑵若物体沿y轴方向运动了一段时间t，则在此期间摩擦力所做的功为多少？

例4（11预赛）跳水运动员从高于水面H =10m的跳台自由落下，假设运动员的质量m=60kg，其体形可等效为一长度L=1.0m、直径d=0.3m的圆柱体，略去空气阻力，运动员入水后，水的等效阻力F作用于圆柱体的下端面，F的量值随入水深度Y变化的函数曲线，如图所示，该曲线可近似看作椭圆的一部分，该椭圆的长、短轴分别与坐标轴OY和OF重合，椭圆与Y轴相较于Y=h处，与F轴相较于F=5mg/2处，为了确保运动员的安全，试计算水池中水的深度h至少应等于多少？（水的密度取??1.0?10kg/m）

33

练习5(09东南)图示，细绳的一端绕过定滑轮与木箱相连，当以大小恒定的力F拉动细绳，将静置于A点的木箱经B点拉到C点（AB=BC），地面平直且摩擦因数处处相等。设从A到B和从B到C的过程中，F做功分别为W1、W2，克服摩擦力做功分别为A1、A2，木箱经过B、C时的动能和F的功率分别为EKB、EKC和PB、PC，则下列关系一定成立的有（ ）

15

例16（00全国）在原子核物理中，研究核子与核子关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似，两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑的水平直轨道上处于静止状态，在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P。右边有一小球C沿轨道以速度v0向B球，如图所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D，在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变，然后，A球与挡板P发生碰撞，碰撞后A、B都静止不动，A与P接触而不粘连，过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失），已知A、B、C三球的质量均为m。（1）求弹簧长度刚被锁定后A球的速度。（2）求在A球离开挡板P之后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。

练习17(03全国)如图，将N个振子放在轨道上，最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止，弹性势能E0。其余各振子间都有一定的距离，现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰。求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。

例17 (28预赛)如图所示，一木块位于光滑的水平桌面上，木块上固连一支架，木块与支架的总质量为M．一摆球挂于支架上，摆球的质量为m，m

0

并立即停留在球内，摆球和子弹便一起开始运动．已知摆线最大的偏转角小于90，在小球往返运动过程中摆线始终是拉直的，木块未发生转动。（1）求摆球上升的最大高度。（2）求木块的最大速率。（3）求摆球在最低处时速度的大小和方向．

练习18（00上海）24相隔一定距离的A、B两球，质量相等，假定它们之间存在恒定的斥力作用．原来两球被按住，处在静止状态．现突然松开两球，同时给A球以速度?0，使之沿两球连线射向B球，B球初速为零．若两球间的距离从最小值（两球未接触）到刚恢复到原始值所经历的时间为t0．求B球在斥力作用下的加速度。

21

例18(92高考)如图所示，一质量为M、长为l的长方形木板B放在光滑的水平地面上，在其右端放一质量为m的小木块A，m〈M。现以地面为参照系，给A和B以大小相等、方向相反的初速度(如图)，使A开始向左运动、B开始向右运动，但最后A刚好没有滑离L板。以地面为参照系。(1)若已知A和B的初速度大小为v0，求它们最后的速度的大小和方向。(2)若初速度的大小未知，求小木块A向左运动到达的最远处(从地面上看)离出发点的距离。

练习19(04全国)如图，木板ab的b端固定一档板，木板质量M=4.0kg，ab间距s=2.0m。木板位于光滑水平面上。a端有一小物块，m=1.0kg，小物块与木板间??0.10，它们都处于静止状态。现令小物块初速

v0?4.0m/s沿木板向前滑动，直到和档板相撞。碰后，小

物块恰好回到a端不脱离木板。求碰撞过程中损失的机械能。

练习20(04北京）A、B两物体位于光滑水平面上，仅限于沿同一直线运动。当它们间的距离?定值d时，相互作用力零；当它们之间距离

练习21(12广东）图1，小物块A、B均为m，水平面上PQ长l，与物块间的动摩擦因数μ，其余段光滑。初始时，挡板上的轻质弹簧原长；r连杆处于虚线位置；A紧靠滑杆（AB>2r）。连杆以角速度ω匀速转动，带动滑杆水平运动，滑杆的v-t图像图2示。A在滑杆推动下运动，并在脱离滑杆后与静止B发生完全非弹性碰撞。求（1）A脱离滑杆时速度vo，AB碰撞过程机械能损失ΔE（2）若AB不能与弹簧相碰，设AB从P到运动停止用时t1，ω的取值范围，t1与ω关系式（3）若AB能与弹簧相碰，但不能返P点左侧，设每次压缩弹簧过程中弹簧的最大弹性势能为Ep，ω的范围，Ep与ω关系式。

22

例21(10南大)图示，A是放在光滑水平面上滑块,质量M,滑块上端面是一水平台面，台面长度、高度均为h，滑块侧面有一条长度1/8圆周的圆弧形光滑槽，槽底跟水平面相切.另有一条高为H的固定光滑导轨，导轨底端对准A的滑槽。B是质量为m小球，m = 0.4 M，它由导轨的顶端滑下，初速为零.问，欲使小球撞击中A的平台，H/h的数值范围是多少？

练习22（07重庆）一种实验装置图示。用轻绳将N个大小相同、质量不等的小球并列悬挂于一水平杆，球间有微小间隔，从左到右，球的编号依次为1、2、3……N，球的质量依次递减，每球质量与其相邻左球质量之比为k<1。将1号球向左拉起，静止释放，使其与2球碰撞，2球再与3球碰撞……所有碰撞皆为无机械能损失正碰 ⑴设与n+1号球碰撞前n号球的速度为vn，求n+1号球碰撞后的速度 ⑵若N=5，1号球向左拉高h情况下，要使5球碰后升高16h（16 h小于绳长），求k值 ⑶在第⑵问的条件下，悬挂哪个球的绳最容易断？

例22(11华约样题)一质点从高处自由下落距离h后，落到倾角为45°的很长的光滑斜面上，并与斜面发生多次弹性碰撞。如图选取直角坐标，求（1）经过 n 次（n=1,2,3,…）碰撞后刚弹起时速度x分量un和y分量vn（2）任意两次碰撞间的时间间隔。

练习23（12北大保送）图示，质量M木板放在光滑水平面上以速度v0向左运动。现另有一个质量为m的小球以大小为v1、方向和竖直方向成?角的速度斜向右下方撞击木板，则要使球与板弹性碰撞，球不向前运动，应满足什么条件？设球和板间的动摩擦因数为?。

23

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/cti5.html