泛函分析课程总结

泛函分析课程总结

数学与计算科学学院 09数本5班 符翠艳 2009224524 序号：26 一．知识总结 第七章 度量空间和赋范线性空间 1. 度量空间的定义：设X是一个集合，若对于X中任意两个元素x,y，都有唯

一确定的实数d?x,y?与之相对应，而且满足

?1、d?x,y??0,d?x,y??0的充要条件是x=y;???2、dx,y?dy,x;?????? ??3、dx,y?dx,z?dz,y,对任意z都成立。????????则称d为X上的一个度量函数，（X,d）为度量空间，d(x,y)为x,y两点间的度量。

2. 度量空间的例子

①离散的度量空间?X,d?

设X是任意的非空集合，对X中任意两点x,y?X,令

?1,当x?y?d?x,y????

?0,当x?y?②序列空间S

令S表示实数列（或复数列）的全体，对S中任意两点

x???1,?2,...,?n,...?及y???1,?2,...,?n,...?，令

1?i??id?x,y???i

21??i??ii?1?③有界函数空间B（A）

设A是一给定的集合，令B（A）表示A上有界实值（或复值）函数全体，对B（A）中任意两点x,y，定义

d?x,y??supx(t)?y(t)

t?A④可测函数空间m(X)

设m(X)为X上实值（或复值）的L可测函数全体，m为L测度，若m?X???，对任意两个可测函数f(t)及g(t)，令

d?f,g???f(t)?g(t)X1?f(t)?g(t)dt

⑤C?a,b?空间

令C?a,b?表示闭区间?a,b?上实值（或复值）连续函数的全体，对C?a,b?中任意两点x,y，定义

d?x,y??maxx(t)?y(t)

a?t?b

⑥l2空间 记l2????x????????xkxk????k?1???2??2?x??l，y??y??l，定义 ，设x??kk??????d?x,y????(yk?xk)2?

?k?1?注：度量空间中距离的定义是关键。 3.度量空间中的极限，稠密集，可分空间 3.1收敛点列和极限

定义： 设?xn?是?X,d?中的点列，如果存在x?X,使

?12limd?x,x??0，n??n则称点列?xn?是?X,d?中的收敛点列，x是点列?xn?的极限。 注：1.度量空间?X,d?中的收敛点列的极限是唯一的。

2.各个度量空间中各种极限概念不完全一致（依坐标收敛，一致收敛。依测度收敛等）

3.2度量空间中稠密子集和可分度量空间

定义：设X是度量空间，E和M是X中两个自己，令M表示M的闭包，如果E?M,那么称M在集E中稠密，当E= X时称M是X的一个稠密子集。如果X由一个可数的稠密子集，则称X是可分空间。

注：1.若A在B中稠密，B在C中稠密，则A在C中稠密。

2. 欧氏空间Rn、空间C[a,b]、空间Lp[a,b],lp是可分的。 3. l?不可分。

4.完备度量空间 4.1 柯西点列

定义：设X??X,d?是度量空间，?xn?是X中的点列，如果对任意给定的正数??0，存在正整数N?N(?),使当n,m>N时，必有

??

d?xn,xm???

则称?xn?是X中的柯西点列。那么称?X,d?是完备的度量空间。 4.2 完备度量空间的例子 ① l?是完备度量空间 ② C是完备度量空间 ③C?a,b?是完备度量空间

4.3定理的证明

定理：完备度量空间X的子空间M是完备空间的充要条件为M是X中的

闭子空间。 证明：设M是完备子空间，对每个x?M，存在M中点列?xn?，使

x?x(n??)，由前述，?xn?是M中的柯西点列，所以在M中收敛，有极限n?的唯一性可知x?M，即M?M,，所以M?M，因此M是X中的闭子空间。 5.度量空间的完备化 5.1等距同构映射

~~~?? 定义：设?X,d?，如果存在X到X上的保距映射T，?X,d?是两个度量空间，

????~~~??即d?Tx,Ty??d?x,y?，则称?X,d?和?X,d?等距同构，T称为X到X上的等距

??~同构映射。

5.2 度量空间的完备化定理

?~~? 定理：设X?(X,d)是度量空间，那么一定都一定存在一个完备空间?X,d?，

??使X与X的某个稠密子空间W等距同构。并且X在等距同构的意义下时唯一的，即(X,d)也是一完备度量空间，且X与X的某个稠密子空间等距同构，则

^^?~~?(X?X,d?与,d)等距同构。 ??^^~~^~~~??注：任一度量空间?X,d?都存在唯一的完备度量空间?X,d?，使X为X的稠密

??子空间。

6.压缩映射

6.1压缩映射 定义：设X是度量空间，T是X到X中的映射，如果存在一个数?，0???1，

使得对所有的x,y?X，

d?Tx,Ty???d?x,y?, （1）

则称T是压缩映射 6.2压缩映射定理

定理：设X是完备的度量空间，T是X上的压缩映射，那么T有且只有一个不动点（就是说，方程Tx?x，有且只有一个解）。

x2?Tx1?T2x0,...,xn?Txn?1?Tnx0,...。证明：设x0是X中任意一点，令x1?Tx0，

我们证明点列?xn?是X中柯西点列，事实上，

d?xm?1,xm??d?Txm,Txm?1???d(xm,xm?1)

??d(Txm?1,Txm?2)??2d(xm?1,xm?2) （2）

?...??md(x1,x0)

由三点不等式，当n>m时，

d(xm,xn)?d(xm,xm?1)?d(xm?1,xm?2)?...?d(xn?1,xn)

?(?m??m?1?...??n?1)d(x0,x1)

1??n?m???d(x0,x1).

1??m因0???1，所以1??n?m?1，于是得到

?md(xm,xn)?d(x0,x1) （n>m） (3)

1??所以当m??,n??时，d(xm,xn)?0，即?xn?是X中柯西点列，由X完备，存在x?X，使xm?x(m??)，又由三点不等式和条件（1），我们有

d(x,Tx)?d(x,xm)?d(xm,Tx)?d(x,xm)??d(xm?1,x).

上面不等式右端当m??时趋于0，所以d(x,Tx)?0,即Tx?x

下证唯一性。如果又有x?X,使Tx?x,则由条件（1），

d(x,x)?d(Tx,Tx)??d(x,x).

~~~~~~因??1，所以必有d(x,x)?0，即x?x。

注： 1. X是完备的度量空间 2.T是压缩映射

3.压缩定理可以推导出隐函数存在定理

4.压缩映射原理可以证明常微分方程解得存在性和唯一性定理 7.赋范线性空间和巴拿赫空间

7.1赋范线性空间

定义：设X是实（或复）的线性空间，如果对每个向量x?X，有一个确定的实数，记为x与之对应，并满足

?1.x?0,且x?0等价于x?0;??????2.?x??x,其中?为任意实（复）数；? ???3.x?y?x?y,x,y?X.???~~ 则称x为向量x的范数，称X按范数x成为赋范线性空间。

设?xn?是X中点列，如果存在x?X，使xn?x?0(n??)，则称?xn?依范数收敛于x，记为xn?x(n??)或limxn?x。如果令

n??d(x,y)?x?y (x,y?X)

即?xn?依范数收敛于x等价于?xn?按距离d(x,y)收敛于x，称d(x,y)为由范数

x导出的距离。

注：完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间

7.2几种常见的巴拿赫空间 ①欧式空间Rn

对每一个x???1,?2,...,?n??Rn，定义范数

?2??22?....??2nx?1 （1）

又因Rn完备，x是Rn中范数。故Rn按（1）式中范数成为巴拿赫空间。 ②空间C?a,b?

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