上海电力学院高等数学(上)期中试卷级期末

上海电力学院高等数学(上)期终考试试卷

一．填空题（每小题3分，共15分）

1

1．设lim(1 asinx)x e，则 0

a _____．

x2．设f(x) ax b

x 1 x

2

x 1

在( , )上可导，则a ____，b ____．3．

x x2

dx __________

_________．

4

4．

11 xarctanx

1

1 x

2

dx ___________．

5．设f(x)连续，且y

x0

etf(ex et

)dt，则

dydx

_______________．

二．选择题（每小题3分，共15分） 1．下列结论正确的是（ ）．

Ａ．lim

1sin1 1； B．limxsin

11；

x 0

x

x

x

x

C．limxsin

1x

1； D．lim

sinx 1．

x 0

x

x

2．设函数f(x) x 1 x2

sinx2

，则点x 1是导函数f (x)的（ ）．

Ａ．无穷间断点； B． 连续点；

C．可去间断点； D． 跳跃间断点．

3．设f(x)有连续的导函数，则d[ f (x)dx] （ ）．

Ａ．f (x)dx；B．[f (x) C]dx

； C．f(x)dx；

D．[f(x) C]dx． 4．当x 0时，下列无穷小量中

①2x 1， ②ln(1 x2)， ③

1 ④cosx

cost2dt， x

2

0sintdt，

是同阶无穷小量的是（ ）．

Ａ．①，②； B．②，③； C．③，④； D．④，①． 5．设f(x)在定义域内可导，函数y f(x)图形如下图所示，

则导函数y f (x)的图形只可能为（ ）．

三．计算题（每小题5分，共20分） 1．求曲线x y ye

y

1在点(1,0)处的切线方程；

2．讨论函数f(x)

xe

(1

1lnt

)dt在区间(1, )的单调性和并求极值；

3．求lim1n

n[

(n 1)

2

1(n 2)

2

1(n n)

2

]；

4．求过直线x 1 y 1 z 1和点O(0,0,0)的平面方程； 四．（每小题6分，共24分）

2

1． lim2 x

2

2 ln(1 x)

；

x 0

(x sinx)(ex

1)

x ln t2

2．设函数y y(x)由

dyd2

yt

y usinu

决定，求dx，2；01 u2

dudx

3．证明sinx 2tanx 3x，x (0,

2

)；

14．设f(x)

1 ex

x 0，求 3

f(x 1)dx．

4 x2x 0

五．（8分）（1）求对数螺线 e ， [0,2 ]的弧长； （2）求 e ， [0,2 ]和极轴 0所围图形的面积．

六．（10分）设一容器侧面由曲线y x2绕y轴旋转而成，已知初始时刻液面高度为2(m)，

（1）求液面高度为h时，容器中液体体积；

（2）若在容器底部有一个直径为2(cm)的圆孔，当容器中液面高度为h(m)时，孔中液体流速为v c2gh(m/s)，求液面高度为h时，液面高度h关于时间t的变化率；

（3）容器中液体从小孔中流尽所需的时间．

七．（8分）设f(x)在[ 1,1]上具有连续的二阶导函数，且f(0) 0，f (x) 3(x [ 1,1])，

（1）写出f(x)在点x 0处带拉格朗日余项的一阶麦克劳林展开式； （2）证明

1) 1

f(xdx 1．

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