2016届高三数学一轮复习(知识点归纳与总结)：分类加法计算原理和

第一节分类加法计数原理和分步乘法计数原理

[备考方向要明了]

[归纳·知识整合]

1．分类加法计数原理

完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有m n种不同的方法，则完成这件事，共有N＝m1＋m2＋…＋m n 种不同的方法．

[探究] 1.选用分类加法计数原理的条件是什么？

提示：当完成一件事情有几类办法，且每一类办法中的每一种办法都能独立完成这件事情，这时就用分类加法计数原理．

2．分步乘法计数原理

完成一件事需要n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，…，完成第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1m2…m n种不同的方法．[探究] 2.选用分类乘法计数原理的条件是什么？

提示：当解决一个问题要分成若干步，每一步只能完成这件事的一部分，且只有当所有步都完成后，这件事才完成，这时就采用分步乘法计数原理．

[自测·牛刀小试]

1．一个袋子里放有6个球，另一个袋子里放有8个球，每个球各不相同，从两袋子里各取一个球，不同取法的种数为()

A．182B．14

C．48 D．91

解析：选C由分步乘法计数原理得不同取法的种数为

6×8＝48.

2．某学生去书店，发现3本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有()

A．3种B．6种

C．7种D．9种

解析：选C分3类：买1本书，买2本书和买3本书．各类的购买方式依次有3种、3种和1种，故购买方式共有3＋3＋1＝7种．

3．从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()

A．30 B．20

C．10 D．6

解析：选D从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类，①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由加法原理得共有N＝3＋3＝6种．

4．如图，从A→C有________种不同的走法．

解析：分为两类：不过B点有2种方法，过B点有2×2＝4种方法，共有4＋2＝6种方法．答案：6

5．设集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，可建立A→B的映射的个数为________．解析：建立映射，即对于A中的每一个元素，在B中都有一个元素与之对应，有2种方法，故由分步乘法计数原理得映射有23＝8个．

答案：8

[例1] (1)(2012·北京高考)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为( )

A ．24

B ．18

C ．12

D ．6 (2)将5名同学分到甲、乙、丙3个小组，若甲组至少两人，乙、丙组至少各一人，则不同的分配方案的种数为( )

A ．80

B ．120

C ．140

D ．50

[自主解答] (1)法一：(直接法)本题可以理解为选出三个数，放在三个位置，要求末尾必须放

奇数，如果选到了0这个数，这个数不能放在首位，所以n ＝C 23C 12A 22＋C 23C 12＝12＋6＝18；

法二：(间接法)奇数的个数为n ＝C 13C 12C 12A 22－C 13C 12＝18.

(2)分两类：若甲组2人，则乙、丙两组的方法数是C 13A 22，此时的方法数是C 25C 13A 22＝60；若甲

组3人，则方法数是C

35A 22＝20.根据分类加法计数原理得总的方法数是60＋20＝80.

[答案] (1)B (2)A

本例(1)条件不变，求有多少个能被5整除的数？

解：能被5整除的数分两类：当个位数是0时，有A 23＝6个；

当个位数是5时，若含有数字0时，则有2个，若不含有0时，则有C 1

2·A 22＝4个．故共有12个能被5

整除的数．

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使用分类加法计数原理计数的两个条件

一是根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准下进行分类；

二是完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．

1．若自然数n 使得作竖式加法n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)均不产生进位现象，则称n 为“良数”．例如：32是“良数”，因为32＋33＋34不产生进位现象；23不是“良数”，因为23＋24＋25产生进位现象．那么小于1 000的“良数”的个数为( )

A ．27

B ．36

C ．39

D ．48

解析：选D 一位“良数”有0,1,2，共3个；两位数的“良数”十位数可以是1,2,3，两位数的“良数”有10,11,12,20,21,22,30,31,32，共9个；三位数的“良数”有百位为1,2,3，十位数为0的，个位可以是0,1,2，共3×3＝9个，百位为1,2,3，十位不是零时，十位个位可以是两位“良数”，共有3×9＝27个．根据分类加法计数原理，共有48个小于1 000的“良数”．

[例2] 学校安排4名教师在六天里值班，每天只安排一名教师，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天要相连，那么不同的安排方法有________种(用数字作答)．

[自主解答] 有两名教师要值班两天，把六天分为四份，两个两天连排的是(1,2)，(3,4)；

(1,2)，(4,5)；(1,2)，(5,6)；(2,3)，(4,5)；(2,3)，(5,6)；(3,4)，(5,6)，共六种情况，把四名教师进行全

排列，有A 44＝24种情况，根据分步乘法计数原理，共有不同的排法6×24＝144种．

[答案] 144

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使用分步乘法计数原理计数的两个注意点

(1)要按照事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的；

(2)各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各个步骤都完成才算完成这件事.

2．将数字1,2,3,4,5,6按第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数的形式随机排列，设N i (i ＝1,2,3)表示第i 行中最大的数，则满足N 1

解析：由已知数字6一定在第三行，第三行的排法种数为A 13A 25＝60；剩余的三个数字中最大

的一定排在第二行，第二行的排法种数为A 12A 12＝4，由分类乘法计数原理知满足条件的排列个数是240.

答案：240

[例3] 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为1,5,9的小正方形涂相

同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．

[自主解答] 分步求解．只要在涂好1,5,9后，涂2,3,6即可，若3与1,5,9同

色，则2,6的涂法为2×2，若3与1,5,9不同色，则3有两种涂法，2,6只有一种涂法，同理涂4,7,8，即涂法总数是C 13(2×2＋C 12×1)×(2×2＋C 12×1)＝3×6×6＝108.

[答案]108

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应用两个原理解决实际问题的注意点

在解决实际问题中，并不一定是单一的分类或分步，而是可能同时应用两个计数原理，即分类的方法可能要运用分步完成，分步的方法可能会采取分类的思想求．分清完成该事情是分类还是分步，“类”间互相独立，“步”间互相联系．

3．如图所示，用四种不同颜色给图中的A，B，C，D，E，F六个点涂色，要求每个点涂一种

颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法共有(

)

A．288种B．264种

C．240种D．168种

解析：选B分三类：①B，D，E，F用四种颜色，

则有A44×1×1＝24种方法；

②B，D，E，F用三种颜色，则有A34×2×2＋2A34×2×1＝192种方法；

③B，D，E，F用两种颜色，则有A24×2×2＝48，所以共有不同的涂色方法24＋192＋48＝264种．

2个区别——两个计数原理的区别

3个注意点——利用两个计数原理解题时的三个注意点

(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；

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