《数字信号处理》期末试题库

一、 单项选择题(10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的三个选项中只有一个选项

是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。 1. 下面说法中正确的是 。

A.连续非周期信号的频谱为周期连续函数 B.连续周期信号的频谱为周期连续函数 C.离散非周期信号的频谱为周期连续函数 D.离散周期信号的频谱为周期连续函数

2. 要处理一个连续时间信号，对其进行采样的频率为3kHz，要不失真的恢复该连续信号，则该连续信号的最高频率可能是为 。

A．6kHz B．1．5kHz C．3kHz D．2kHz

3.已知某序列Z变换的收敛域为5>|z|>3，则该序列为 。

A.有限长序列 B.右边序列 C.左边序列 D.双边序列 4. 下列对离散傅里叶变换（DFT）的性质论述中错误的是 。

A.DFT是一种线性变换 B. DFT可以看作是序列z变换在单位圆上的抽样 C. DFT具有隐含周期性 D.利用DFT可以对连续信号频谱进行精确分析 5. 下列关于因果稳定系统说法错误的是 。 A．极点可以在单位圆外

B．系统函数的z变换收敛区间包括单位圆 C．因果稳定系统的单位抽样响应为因果序列 D．系统函数的z变换收敛区间包括z=∞

6. 设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为 。

A．当n>0时，h(n)=0 B．当n>0时，h(n)≠0 C．当n<0时，h(n)=0 D．当n<0时，h(n)≠0

7. 要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条?答 。 (I)原信号为带限 II)抽样频率大于两倍信号谱的最高频率

(III)抽样信号通过理想低通滤波器

A.I、II B.II、III C.I、III D.I、II、III

8. 在窗函数设计法,当选择矩形窗时,最大相对肩峰值为8.95%，N增加时， 2π/N减小，起伏振荡变密， 最大相对肩峰值则总是8.95%，这种现象称为 。

A．吉布斯效应B．栅栏效应C．泄漏效应 D．奈奎斯特效应 9. 下面关于IIR滤波器设计说法正确的是 。

A．双线性变换法的优点是数字频率和模拟频率成线性关系 B．冲激响应不变法无频率混叠现象

C．冲激响应不变法不适合设计高通滤波器 D．双线性变换法只适合设计低通、带通滤波 10. 设两有限长序列的长度分别是M与N，欲通过计算两者的圆周卷积来得到两者的线性卷积，则圆周卷积的点数至少应取 。

A.M+N B.M+N-1 C.M+N+1 D.2(M+N)

二、填空题（共10空，每题2分，共20分）将正确的答案写在每小题的空格内。错填

或不填均无分。

11、数字信号是指 的信号。

12、DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的__________，而周期序列可以看成有限长序列的_________。

13、序列的Z变换与其傅立叶变换之间的关系为 。 14、 ? 2 n 0≤n ≤5 X ( n ) ? ? 其它

?0X用δ（n）及其移位加权和表示 ( n ) ? 。

15、抽样定理的主要内容是 。 16、若H（Z）的收敛域包括∞点，则h（n）一定是 序列。 17、 ( n ) ? A sin( n ? 0 ? ? X) 是周期序列的条件是 。

18、在用DFT计算频谱时会产生栅栏效应，可采 方法来减小栅栏效应。

19、序列u(n)的z变换为 ，其收敛域为 。

20、用DFT 分析某连续频谱，若记录长度为tA，则频率分辨力等于 。 三、计算分析题。(4小题，每小题10分，共40分，要求写出相应的计算分析过程。) 21、设模拟滤波器的系统函数为： 1 令T=1，利用冲激响应不变法

Ha(s)?2设计IIR滤波器。（6分）并说明此方法的优缺点。4分）

s?5s（?622 设系统差分方程为 y（n）= 4y（n-1）+ x（n）；其中x（n）为输入，y（n）为输出。

边界条件为y（0）=0

（1） 判断系统的线性性、移不变性、因果性、稳定性。（4分） （2） 求h（n）与H（z）。（3分）

（3） 画出系统的频率响应特性曲线图。（3分） 23、（1）已知一个IIR滤波器的系统函数

?1?1?1?1?1 H(z)?(1?0.5Z)(1?6Z)(1?2Z)(1?Z)(1?Z)

16试用典范型表示此滤波器。（5分）

1（2）已知一个FIR滤波器的系统函数 H(z)?1?4z?1?2z?2试用级联型结构实现此滤波器。（5分）

24、用矩形窗设计一个线性相位带通滤波器

?j?a-ωc≤ω-ω0≤ωc ?ej?Hd(e)??0 ≤ω<ω0-ωc, ω0+ωc<ω≤π ?0设计N为奇数时的h(n)。 （10分）

四、分析与简答：（20分）

1、直接计算DFT存在什么问题？（4分） 2、改进的基本思路? （4分）

3、画出基2的DIT的N=8时的运算结构流图。 （8分）

4、一个线性系统输入x（n）是一个非常长的序列或无限长系列，而系统的脉冲响应h（n）是有限长的系列，如何计算系统的零状态输出？（4分）

二、 单项选择题(10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的三个选项中只有一个选项

是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1. C 2. B 3. D 4. D 5. A 6. C 7. D 8. A．9. C 10 C

二、填空题（共10空，每题2分，共20分）将正确的答案写在每小题的空格内。错填或不

填均无分。

11、时间幅度都离散 12、一个周期，周期延拓 13、H(S)＝H(z)∣z=e 14、δ（n）+2δ（n-1）+4δ（n-2）+8δ（n-3）/+16δ（n-4）+32δ（n-5）15、抽样频率大于或等于信号的最高频率两倍时抽样后的信号能无失真恢复原信号 16、因果 17、2?/?0 为有理数 1 8、序

ＳＴ

列后补０，增加计算点数 9、 1 10、1/tA

,z?1三、计算分析题。(4小题，每小题10分，共40分，要求写出相应的计算分析过程。) ?11?Z21、 (1)

1 Ha (s ) ? 2 （2分）

由直接变换公sN?5s?6式： H TA k (z )??skT?1z k? （1分） 11?e有

TTTz?1(e?2T?e?3T) H(z)????1?2T?1?3TTT?z e?z?z(e?e?3 ) ?ze?5 1 1 e 1 ?1 2T ? ?2 （ 1 分）

0.15095z?1将Ｔ＝１代入得

H(z)??1 1 ? 0 .4177 ? 0 .01831 z ? 2 （1分 z

(2)优点: 模拟频率Ω和数字频率?是良好的线性关系。（2分）

缺点：有频率响应的混叠现象（2分）

22、（１）解:y（n）= 4y（n-1）+ x（n）

在边界条件为y（0）=0时,可利用线性性、移不变性、因果性、稳定性的定义判定系统为：线性、移变、非因果、稳定系统．（各１分，后面有相关证明内容的不扣分，直接给出结果的给一半分）

（2）令x(n)=δ(n)，此时的y(n)=h(n)(1分) (I)、当n?0时，有：

y（1）=4y（0）+x（1）=0 y（2）=4y（1）+x（2）=0

……

y（n）=4y（n-1）+x（n）=0 有h（n）=0，n?0 (1分) (II)、当n<0时，有：

y（-1）= [y（0）-x（0）]=－

11

4411y（-2）=[y（-1）-x（-1）]=-

416……

141有h（n）==- ()n ，n<0 (1分)

4 y（n）=[y（n-1）-x（n）]=-４n

于是有h（n）=-４nｕ（－ｎ－１）

?4?1zz1H(z)???1?4?1zz?41?4z?1|z|?4

(1分)

（3） 幅度响应H(ej?)?H(z)?z?ej?11?4e?j?为

?1(1?4cos?)?j4sin?（１分）

?asin??为 相位响应

?(?)?arg[H(ej?)]??arctan?? 1?acos???（１分）

频率响应图

|H(ej?)|(a)o?arg[H(ej?)](b)?o￡-?2???2??（１分）

1?4z?1?2z?2其中a1＝4， a2＝-2，（2分）故典范型结构如图（a）所示。

23、、（1）、解: H(z)?1

（2）

H(z)?(1?0.5Z?1)(1?6Z?1)(1?2Z?1)(1?261?1Z)(1?Z?1)6537?1（3分） ?(1?Z?1?Z?2)(1?Z?Z?2)(1?Z?1)（2分）故有级联型如图（b）所示。

y(n)Z?1x(n)4-2图(a)x(n)Z?1Z?1?52Z376?1Z?1Z?1Z?1-111图(b) （3分） （3分）

24、解: 根据该线性相位带通滤波器的相位 ? ( ? ) ? ? ?? ? ? ? N ? 1 (3 分 )

2 可知该滤波器只能是h(n)=h(N-1-n)即h(n)偶对称的情况，h(n)偶对称时，可为第一类和第二类滤波器，其频响 N?1?j? 2H(ej?)?H(?) (2 分)

当N为奇数时，h(n)=h(N-1-n)，可知H(ejω)为第一类线性相位滤波器，H(ω)关于ω=0, π, 2π有偶对称结构。题目中仅给出了Hd(ejω)在 0～π上的取值，但用傅里

叶反变换求hd(n)时， 需要Hd(ejω)在一个周期［-π,π］或［0, 2π］上的值，因此, Hd(ejω)需根据第一类线性相位滤波器的要求进行扩展，扩展结果为

则

hd(n)?12?1?2?????Hd(ej?)ej?nd?0??c?????0??ce?j?aej?nd????0??c12????0??c0??ce?j?aej?nd?1ej?(n??)?2?j(n??)???0??c1ej?(n??)?2?j(n??)??0??c0??csin[?c(n??)]?2cos[?0(n??)]?(n??)(5分)

四、 1、直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和N2成正比的，当N很大时，运算量是很可观的，在实际运用中，不能满足实时性的要求。（4分）

2.由于乘法次数和加法次数都与N2成正比，所以如果能将长的序列转换成若

nkWN干个较短的序列，则可以减少计算量。由 的对称性，周期性，可约性以及系数

之间的一些关系也为这样的分解提供了可能。 （4分，只要能说明是将长序列的分解成短序列就给4分）

3、基2的DIT的N=8时的运算结构流图：

X(0) x(0)0WN x(4)X(1)-1 0WNX(2) x(2)-102WNWN

x(6)X(3)-1-1 0WN x(1)X(4)-1 01WNWNX(5) x(5)-1-102WNWN x(3)X(6)-1-1 023WNWNWN x(7)X(7)-1-1-1

（评分标准：三级蝶形结构正确给4分，输入输出序排列正确给2分，其它系数正确给2分）

4、应该采用分段积分的方法。将输入信号x（n）分解成与h(n)差不多长的段，每段与x（n）进行卷积，可采用FFT 快速算法实现，将分段卷积的结果再重新组合而

成最后的输出。根据分段的方法不同，有重叠相加法和重叠保留法两种。（能说明分段积分或分段过滤的给3分，能够将基本实现的原理说清楚的给4分） 一. 填空题

1、一线性时不变系统，输入为 x（n）时，输出为y（n） ；则输入为2x（n）时，输出为 2y(n) ；输入为x（n-3）时，输出为 y(n-3) 。

2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率fmax关系为： fs>=2fmax 。 3、已知一个长度为N的序列x(n)，它的离散时间傅立叶变换为X（ejw），它的N点离散傅立叶变换X（K）是关于X（ejw）的 N 点等间隔 采样 。 4、有限长序列x(n)的8点DFT为X（K），则X（K）= 。

5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计，它的主要缺点是频谱的 交叠 所产生的 频谱混叠 现象。

6．若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是奇对称的，长度为N，则它的对称中心是 (N-1)/2 。

7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗比加三角窗时，所设计出的滤波器的过渡带比较 窄 ，阻带衰减比较 小 。

9、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 8 。

10、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，过渡带的宽度不但与窗的 类型 有关，还与窗的 采样点数 有关

11．DFT与DFS有密切关系，因为有限长序列可以看成周期序列的 主值区间截断 ，而周期序列可以看成有限长序列的 周期延拓 。

12．对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用xm(n)表示，其数学表达式为xm(n)= x((n-m))NRN(n)。

13．对按时间抽取的基2-FFT流图进行转置，并 将输入变输出，输出变输入 即可得到按频率抽取的基2-FFT流图。

14.线性移不变系统的性质有 交换率 、 结合率 和分配律。

15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时，可能出现的问题有混叠失真、 泄漏 、 栅栏效应 和频率分辨率。

16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有直接Ⅰ型，直接Ⅱ型， 串联型 和 并联型 四种。

17.如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要5μs，每次复数加需要1μs，则在此计算机上计算210点的基2 FFT需要 10 级蝶形运算，总的运算时间是______μs。 8、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构上有反馈环路，因此是 递归 型结构。 二．选择填空题

1、δ(n)的z变换是 A 。 A. 1 B.δ(w) C. 2πδ(w) D. 2π

2、从奈奎斯特采样定理得出，要使实信号采样后能够不失真还原，采样频率fs与信号最高频率fmax关系为： A 。

A. fs≥ 2fmax B. fs≤2 fmax C. fs≥ fmax D. fs≤fmax

3、用双线性变法进行IIR数字滤波器的设计，从s平面向z平面转换的关系为s= C 。

1?z?11?z?121?z?121?z?1A. z? B. S=z? C. z? D. z? ?1?1?1?11?z1?zT1?zT1?z4、序列x1（n）的长度为4，序列x2（n）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 ，5点圆周卷积的长度是 。

A. 5, 5 B. 6, 5 C. 6, 6 D. 7, 5 5、无限长单位冲激响应（IIR）滤波器的结构是 C 型的。 A. 非递归 B. 反馈 C. 递归 D. 不确定

？6、若数字滤波器的单位脉冲响应h（n）是对称的，长度为N，则它的对称中心是 B 。

A. N/2 B. （N-1）/2 C. （N/2）-1 D. 不确定 7、若正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= D 。 A. 2π B. 4π C. 2 D. 8 8、一LTI系统，输入为 x（n）时，输出为（yn） ；则输入为2x（n）时，输出为 ；输入为x（n-3）时，输出为 。 A. 2y（n），y（n-3） B. 2y（n），y（n+3） C. y（n），y（n-3） D. y（n），y（n+3）

9、用窗函数法设计FIR数字滤波器时，加矩形窗时所设计出的滤波器，其过渡带比加三角窗时 ，阻带衰减比加三角窗时 。

A. 窄，小 B. 宽，小 C. 宽，大 D. 窄，大

10、在N=32的基2时间抽取法FFT运算流图中，从x(n)到X(k)需 B 级蝶形运算 过程。

A. 4 B. 5 C. 6 D. 3 ？11．X(n)=u(n)的偶对称部分为（ A ）。

A． 1/2+δ(n)/2 B. 1+δ(n) C. 2δ(n) D. u(n)- δ(n) ？12. 下列关系正确的为（ B ）。

A． u(n)???(n?k) B. u(n)???(n?k)

k?0nn?C． u(n)?k?????(n?k) D. u(n)???(n?k)

k???k?0?13．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT的是（ B ） A．时域为离散序列，频域也为离散序列

B．时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 C．时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号 D．时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 14．脉冲响应不变法（ B ）

A．无混频，线性频率关系 B．有混频，线性频率关系。 C．无混频，非线性频率关系 D．有混频，非线性频率关系 15．双线性变换法（ C ）

A．无混频，线性频率关系 B．有混频，线性频率关系 C．无混频，非线性频率关系 D．有混频，非线性频率关系 15．FIR滤波器稳定，线性相位

52脉冲响应不变法的优点是频率变换关系是线性的，即ω=ΩT;脉冲响应不变法的最大缺点是会产生不同程度的频率混叠失真，其适合用于低通、带通滤波器的设计，不适合用于高通、带阻滤波器的设计。

53数字频率ω与模拟频率Ω之间的非线性关系是双线性变换法的缺点，其关系

2?式:??tan(),它使数字滤波器频响曲线不能保真地模仿模拟滤波器频响的曲线形

T2状。

★16．对于序列的傅立叶变换而言,其信号的特点是（ D ）

A．时域连续非周期，频域连续非周期 B．时域离散周期，频域连续非周期 C．时域离散非周期，频域连续非周期 D．时域离散非周期，频域连续周期 17．设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（ C ） A．当n>0时，h(n)=0 B．当n>0时，h(n)≠0 C．当n<0时，h(n)=0 D．当n<0时，h(n)≠0

★18.若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，则只要将抽样信号通过( A )即可完全不失真恢复原信号。

A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器

19.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2)时输出为( C )。 A.R3(n) B.R2(n)

C.R3(n)+R3(n-1) D.R2(n)+R2(n-1)

20.下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D ) A.h(n)=δ(n) B.h(n)=u(n) C.h(n)=u(n)-u(n-1) D.h(n)=u(n)-u(n+1)

21.一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包括( A )。 A.单位圆 B.原点 C.实轴 D.虚轴

22.已知序列Z变换的收敛域为｜z｜<1，则该序列为( C )。 A.有限长序列 B. 无限长右边序列 C.无限长左边序列 D. 无限长双边序列 23.实序列的傅里叶变换必是( A )。

A.共轭对称函数 B.共轭反对称函数 C.奇函数 D.偶函数

24.若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是( A )。 A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M

25.用按时间抽取FFT计算N点DFT所需的复数乘法次数与( D )成正比。 A.N B.N2

C.N3 D.Nlog2N

26.以下对双线性变换的描述中不正确的是( D )。

A.双线性变换是一种非线性变换

B.双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换

C.双线性变换把s平面的左半平面单值映射到z平面的单位圆内 D.以上说法都不对

？27.以下对FIR和IIR滤波器特性的论述中不正确的是( A )。

A.FIR滤波器主要采用递归结构 (X:IIR才是采用递归结构的) B.IIR滤波器不易做到线性相位 C.FIR滤波器总是稳定的

D.IIR滤波器主要用来设计规格化的频率特性为分段常数的标准滤波器

28、设系统的单位抽样响应为h(n)=δ(n-1)+δ(n+1)，其频率响应为（ A ）A．H(ejω)=2cosω B. H(ejω)=2sinω C. H(ejω)=cosω D. H(ejω)=sinω

？29. 若x(n)为实序列，X(ejω

)是其离散时间傅立叶变换，则（ C ） A．X(ejω)的幅度合幅角都是ω的偶函数

B．X(ejω)的幅度是ω的奇函数，幅角是ω的偶函数 C．X(ejω)的幅度是ω的偶函数，幅角是ω的奇函数 D．X(ejω)的幅度合幅角都是ω的奇函数

30. 计算两个Ｎ１点和Ｎ2点序列的线性卷积，其中Ｎ１>Ｎ２，至少要做( B 点的ＤＦＴ。

A. Ｎ１ B. Ｎ１+Ｎ２-１ C. Ｎ１+Ｎ２+１ D. N2 31. y(n)+0.3y(n-1) = x(n)与 y(n) = -0.2x(n) + x(n-1)是( C )。

A. 均为IIR B. 均为FIR C. 前者IIR，后者FIR D. 前者FIR, 后者IIR 三、计算题

一、设序列x(n)={4，3，2，1} ， 另一序列h(n) ={1，1，1，1}，n=0,1,2,3 （1）试求线性卷积 y(n)=x(n)*h(n) （2）试求6点循环卷积。 （3）试求8点循环卷积。

二．数字序列 x(n)如图所示. 画出下列每个序列时域序列：

(1) x(n-2); (2)x(3-n); (3)x[((n-1))6],(0≤n≤5); (4)x[((-n-1))6],(0≤n≤5);

4x(3-n)320.51n

-3-2-101234

)

x[((n-1))6]1234x[((-n-1))6]40.5320.51n

012345012345

三．已知一稳定的LTI 系统的H(z)为

n2(1?z?1)H(z)?(1?0.5z?1)(1?2z?1)

试确定该系统H(z)的收敛域和脉冲响应h[n]。 解：

Im0.52Re 系统有两个极|<2, |z|>2 因为稳定，收敛域应包含单位圆，则系统收敛域点，其收敛域可能有三种形式，|z|<0.5, 0.5<|z为：0.5<|z|<2

2(1?z?1)4/32/3H(z)????1?1?1(1?0.5z)(1?2z)1?0.5z1?2z?1

42nnh(n)?(0.5)u(n)?2u(?n?1)

33

四．设x(n)是一个10点的有限序列

x（n）={ 2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,6}，不计算DFT，试确定下列表达式的值。 (1) X(0), (2) X(5), (3)

?9X(k) ,（4）

?9e?j2?k/5X(k) k?0k?0解：（1） 9

（2） W0N?1X[0]??x[n]?14 ?1n?偶数n?0?8?9 W5n10????1n?奇数X[5]?x[n]?x[n]??12n（3）

n??0偶nn??1 x[0]?110?99奇X[k]X[kk?0?]?10*x[0]?20k?0（4） x[((n?m))N]?e?j(2?k/N)mX[k] ?j(2?k/10)2x[((10?2))19 10]?

10?eX[k]k?0

9?j(2?k/10)2 ?eX[k]?10*x[8]?0k?0

五． x(n)和h(n)是如下给定的有限序列 x(n)={5, 2, 4, -1, 2}， h(n)={-3, 2, -1 }

(1) 计算x(n)和h(n)的线性卷积y(n)= x(n)* h(n)；

(2) 计算x(n)和h(n)的6 点循环卷积y1(n)= x(n)⑥h(n)； (3) 计算x(n)和h(n)的8 点循环卷积y2(n)= x(n)⑧h(n)； 比较以上结果，有何结论？ 解：（1）

5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 2y(n)= x(n)* h(n)={-15,4,-3,13,-4,3,2}

(2)

5 2 4 -1 2-3 2 15 2 4 -1 210 4 8 -2 4-15 -6 -12 3 -6-15 4 -3 13 -4 3 22-13 4 -3 13 -4 3 2

11

y1(n)= x(n)⑥h(n)= {-13,4,-3,13,-4,3} (3)因为8>(5+3-1),

所以y3(n)= x(n)⑧h(n)＝{-15,4,-3,13,-4,3,2，0} y3(n)与y(n)非零部分相同。

六．用窗函数设计FIR滤波器时，滤波器频谱波动由什么决定 _____________，滤波器频谱过渡带由什么决定_______________。 解：窗函数旁瓣的波动大小，窗函数主瓣的宽度

七．一个因果线性时不变离散系统，其输入为x[n]、输出为y[n]，系统的差分方程如下：

y（n）-0.16y(n-2)= 0.25x(n-2)＋x(n) (1) 求系统的系统函数 H(z)=Y(z)/X(z); (2) 系统稳定吗?

(3) 画出系统直接型II的信号流图; (4) 画出系统幅频特性。

解：(1)方程两边同求Z变换：

Y(z)-0.16z-2Y(z)= 0.25z-2X(z)＋X(z)

(z)?Y(z)1?0.25z?2HX(z)?1?0.16z?2

(2)系统的极点为：0.4和－0.4,在单位圆内，故系统稳定。 (3) (4)

x(n)y(n)z-10.16z-10.25ImH(ej?)j0.52.7-0.40.40Re-j0.5??0.34??0???22

八．如果需要设计FIR低通数字滤波器，其性能要求如下： (1)阻带的衰减大于35dB, (2)过渡带宽度小于?/6.

窗函数主瓣宽度过渡带宽旁瓣峰值衰减阻带最小衰减(dB)(dB)矩形4?/N1.8?/N-13-21汉宁8?/N6.2?/N-31-44汉明8?/N6.6?/N-41-53布莱克曼12?/N11?/N-57-74

12

请选择满足上述条件的窗函数，并确定滤波器h(n)最小长度N 解：根据上表，我们应该选择汉宁窗函数，

十．已知 FIR DF的系统函数为H(z)=3-2z-1+0.5z-2-0.5z-4＋2z-5-3z-6,试分别画出直接型、线性相位结构量化误差模型。

8???N6N?48x(n)3z-1z-1z-1z-1z-1z-1-20.5-0.52-3y(n)直接型

e1(n)e2(n)e3(n)e4(n)e5(n)e6(n)x(n)线性相位型3-1

z-1-1z-1-1z-1z-1z-1z-1y(n)e1(n)-20.5e2(n)e3(n)

三、 单项选择题(10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的三个选项中只有一个选项

是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1. 下列系统（其中y(n)为输出序列，x(n)为输入序列）中哪个属于线性系统？答 。

A.y(n)=y(n-1)x(n) B.y(n)=x(n)/x(n+1) C.y(n)=x(n)+1 D.y(n)=x(n)-x(n-1) 2. 在对连续信号均匀采样时，要从离散采样值不失真恢复原信号，则采样角频率Ωs与信

号最高截止频率Ωc应满足关系 。

A.Ωs>2Ωc B.Ωs>Ωc C.Ωs<Ωc D.Ωs<2Ωc 3 已知某线性相位FIR滤波器的零点

有 。

zi位于单位圆内，则位于单位圆内的零点还

1A．zi* B．1* C． D．0

zizi*4序列x(n)=R5(n)，其8点DFT记为X(k)，k=0,1,…,7，则X(0)为 。 A.2 B.3 C.4 D.5 5.下列序列中z变换收敛域包括|z|=∞的是__ ____。

A. u(n+1)-u(n) B. u(n)-u(n-1) C. u(n)-u(n+1) D. u(n)+u(n+1) 6. 设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为 。

A．当n>0时，h(n)=0 B．当n>0时，h(n)≠0 C．当n<0时，h(n)=0 D．当n<0时，h(n)≠0 7.若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，.则频域抽样点数N需满足的条件是______。

A.N≥M B.N≤M C.N≥M/2 D.N≤M/2 8.下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT的是 。

A．时域为离散序列，频域也为离散序列

B．时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列 C．时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号

13

D．时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列

9. 下列关于冲激响应不变法的说法中错误的是 。 A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系

B.能将线性相位的模拟滤波器映射为一个线性相位的数字滤波器 C.具有频率混叠效应

D.可以用于设计低通、高通和带阻滤波器

10． 对x1(n)(0≤n≤N1-1)和x2(n)(0≤n≤N2-1)进行8点的圆周卷积，其中______的结果不等于线性卷积。

A．N1=3，N2=4 B．N1=5，N2=4 C．N1=4，N2=4 D．N1=5，N2=5

二、填空题（共10空，每题2分，共20分）将正确的答案写在每小题的横线上，错填或不填均无分。

11、若信号在时域是离散的，则在频域是 的。

12、Z变换、傅里叶变换之间的关系可表示为 。 13、系统是因果系统的含义是 。 14、 ? ? n 0≤n ≤5

?2 X ( ? 其它 n ) ???0用δ（n）及其移位加权和表示 ( n ) ? 。 X15、理想抽样和实际抽样对原信号频谱的作用不同点在于 。

16、若h（n）为因果序列，则H（Z）的收敛域一定包括 点。 17、物理可实现系统是指 系统。

18、若要求频率分辨率≤10Hz，则最小记录长度Tp= 。 19、H（n）= a n-1 u（n-1）的Z变换为 。 20、 ? 3n 0≤n ≤5

? X (n ) ? 其它 则△X（n） 。 ?0

三、计算题。(4小题，每小题10分，共40分，要求写出相应的计算分析过程。)

21、设模拟滤波器的系统函数为： 1 令T=2，利用双线性变换

Ha(s)?2法设计IIR滤波器。（6分）并说明此方法的优缺点。（4分） s?7s?12

22、已知x（n）和y（n）如图所示，

（1）直接计算x（n）*y（n） （3分） （2）计算x（n）⑥y（n）；x（n）⑦y（n）（4分）

（3）由（2）分析能用圆周卷积代替线性卷积的条件。（3分）

x ( n ) 1 n01234567

y(n)

1

0 n456123、（1）已知一个IIR滤波器的系统函数 H ( z ) 1 ? 2 ? ?1?5z?6z试用并联结构表示此滤波器。（5分）

（2）已知一个FIR滤波器的系统函数

1?1?1?1?1H(z)?(1?0.25Z)(1?6Z)(1?4Z)(1?Z)(1?Z?1)

6 14

试用直接型结构实现此滤波器。（5分）

24、用频率采样法设计一线性相位滤波器，N=15，幅度采样值为：

?1k?0? ?Hk??0.5k?1,14 ?k?2θ,3,k?,13h(n)。?试设计采样值的相位，并求（10分） ?0

四 、分析与简答：（20分）

5、直接计算DFT存在什么问题？（4分）

6、画出基2的DIF的N=8时的运算结构流图。（8分） 7、利用FFT算法计算一个较短序列x（n）（如点数N=100）和一个很长序列y（n）（如点数N=10000000）的线性卷积，该如何处理？并说明重叠相加法计算线性卷积的基本过程。（8分）

四、单项选择题(10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的三个选项中

只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题后的括号内。

1. D 2. A 3 C． 4 D 5.B 6. C 7.A 8.D 9 D 10．D.

二、填空题（共10空，每题2分，共20分）将正确的答案写在每小题的横线上，错填或不填均无分。 1、周期 2、2、H(j?)＝Ｈ(z)∣z=ej? 3 .h（n）＝0(ｎ＜0) 4、δ(n)+δ(n-1) /2+δ(n-2)/4+δ(n-3)/8+δ(n-4)/16+δ(n-5)/32 5、理想抽样后的延拓信号幅度相等,而实际抽样延拓信号幅度随频率衰减。 6、∞ 7、 因果稳定。8.0.1S 9.z-1/(1-az-1) ∣z∣>∣a∣ 10、

n?1?1?n?1n?20?n?4?2?n?5??32?其它?0

三、计算题。(4小题，每小题10分，共40分，要求写出相应的计算分析过程。)

121、 Ha(s)?s2?7s?12 由双线性变换公式: H(Z)＝Ha(s)(2分)因为是低通滤波器,故

s?c1?z1?z?1?1C取C?2?1(1分)，

T代入得H(Z)?(C11?Z1?Z2)?3(C)?21?Z?11?Z?1?1?11?2Z?1?Z?6?2Z?1?2（３分）

优点：消除了频率响应的混叠现象（２分）

缺点：模拟频率Ω和数字频率?不是线性关系。（2分）

?122、解:（１）x(n)?y(n)??x(m)h(n?m)???2m?0?0??n?3,8n?4,5,6,7 （3分） 其它 15

?2? （２）x(n)⑥y(n)＝?1?0?n?0，1，4，5n?2，3（2分） 其它?2x(n)⑦y(n)＝??1?0?n?0，4，5，6 n?1，3（2分）其它（３）由（２）知，当Ｎ的取值较小时，圆周卷积不能代替线性卷积，增大Ｎ，当Ｎ＝9，x(n)?⑨y(n)＝?2??0?1n?3,8n?4,5,6,7其它 可以代替线性卷积.故圆周卷积能代替线性卷积的条件是N?N1?N2?1,其

中N1和N2是x(n)和y(n)的点数。（3分）

23（1）已知一个IIR滤波器的系统函数 试用并联型结构表示此滤

波器。（5分）

1?1?1?1?1?1（2）已知一个FIR滤波器的系统函数 H(z)?(1?0.25Z)(1?6Z)(1?4Z)(1?Z)(1?Z)6

试用直接型结构实现此滤波器。（5分）

解:（1）、H(Z)?11?3Z?1?Z2??21?，（2分） 故级联型结构如图（a）所示。（3分） ?1?11?Z1?Z?1?（2）、H(Z)?(1?Z?1)(1?6Z1?)(1?4Z)(1?1Z?)(11?Z?)

1416?1?11?1627?2627?311?4（3分） Z?Z?Z?Z?Z?5（2分）故直接型结构如图（b）所示。

12242412-1x(n)y(n)Z?1Z?1Z?1Z?1Z?1x(n)Z?111112-1?62724y(n)2

图(b)

24、由题意N=15，且Ｈk=HN-k满足偶对称条件，H0=1，这是第一类线性相位滤

波器。（2分）

2?N?114N?1???k???k?k?(?)???相位，因此有： N 2 15 （ 2 分）

2 N 2 ?

jnk1N?11?1?nk h(n)??H(k)WN??Hkej?eNNk?0Nk?0 2?jnk1N?11N?1j??nk??H(k)WN??HkeeN

15k?0Nk?0 2?jnk114j???Hkee15

15k?0 14??2?14??2???n???j??14n??14???115151515???? ??1?0.5e?0.5e?15????

1?14??（3分） ?2???1?cos?n????15?15?? ?15kkk2图(a)Z?162724?11121 16

2???H(e)??H(k)????k?N??k?0??2??N?sin??k????2??N?1??14?j????k?N?2??N?2????????H(k)e??2???n?0Nsin????k?/2N?????j?N?1?2e?Nsin2?j14?15sin?NN?1?j?2?0.514?j?15??2??N?sin???????2??N?1?????14??N?2?N???e?j??2?????2???Nsin?????/2?N?????0.5??2??N?sin?????14???j????2??14?N?1?????N?2???e??N?2???2???Nsin?????14?/2?N???????115?11/2??sin???152????????14??sinsin???sin?????2?215??215???? （3分）

四、1、直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和N2成正比的，当N很大时，运算量是很可观的，在实际运用中，不能满足实时性的要求。（5分）

2、

x(0)x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)x(6)x(7)0WNX(0)W-10NX(4)X(2)-1W2NW-10NW-1-1-1-10N-1X(6)X(1)1WN0WNWW2N3NW-1-10N2N-1X(5)X(3)WW-10N

（评分标准：三级蝶形结构正确给4分，输入输出序排列正确给2分，其它系数正确给2分）

３、当x(n)的点数很多时，即当L>>M。通常不允许等x(n)全部采集齐后再进行卷积; 否则，使输出相对于输入有较长的延时。此外，若N=L+M-1 太大，h(n)必须补很多个零值点，很不经济，且FFT的计算时间也要很长。这时FFT法的优点就表现不出来了，因此需要采用分段卷积或称分段过滤的办法。即将x(n)分成点数和h(n)相仿的段，分别求出每段的卷积结果，然后用一定方式把它们合在一起，便得到总的输出，其中每一段的卷积均采用FFT方法处理。（４分）

重叠相加法：设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。我们将x(n)分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级相同，用xi(n)表示x(n)的第i段： 则输入序列可表示成

X(7)x(n)??xi(n)i?0?

17

这样，x(n)和h(n)的线性卷积等于各xi(n)与h(n)的线性卷积之和，即

?

y(n)?x(n)?h(n)?xi(n)?h(n)（2分）

i?0每一个xi(n)*h(n)都可用上面讨论的快速卷积办

法来运算。 由于xi(n)*h(n)为L+M-1 点，故先对xi(n)及h(n)补零值点，补到N点。 为便于利用基-2 FFT算法，一般取N=2m≥L+M-1，然后作N点的圆周卷积：

?

由于xi(n)为L点，而yi(n)为（L+M-1）点（设N=L+M-1）， 故相邻两段输出序列必然有（M-1）个点发生重叠，即前一段的后（M-1）个点和后一段的前（M-1）个点相重叠，应该将重叠部分相加再和不重叠的部分共同组成输出y(n)。

分）

重叠相加法 （2

十一．两个有限长的复序列x[n]和h[n]，其长度分别为N 和M，设两序列的线性卷积为y[n]=x[n]*h[n]，回答下列问题：. (1) 序列y[n]的有效长度为多长？

(2) 如果我们直接利用卷积公式计算y[n] ，那么计算全部有效y[n]的需要多少次复数乘法？

(3) 现用FFT 来计算y[n]，说明实现的原理，并给出实现时所需满足的条件，画出实现的方框图，计算该方法实现时所需要的复数乘法计算量。 解：(1) 序列y[n]的有效长度为：N+M-1；

(2) 直接利用卷积公式计算y[n]， 需要MN次复数乘法 (3)

2需要次复数乘法。

十二．用倒序输入顺序输出的基2 DIT-FFT 算法分析一长度为N点的复序列x[n] 的

3LlogL补零L点-DFTL点-IDFT补零

L点-DFT18

DFT，回答下列问题：

(1) 说明N所需满足的条件，并说明如果N不满足的话，如何处理？

(2) 如果N=8, 那么在蝶形流图中，共有几级蝶形？每级有几个蝶形？确定第2级中蝶形的蝶距(dm)和第2级中不同的权系数(WNr )。 (3) 如果有两个长度为N点的实序列y1[n]和y2 [n]，能否只用一次N点的上述FFT运算来计算出y1[n]和y2 [n]的DFT，如果可以的话，写出实现的原理及步骤，并计算实现时所需的复数乘法次数；如果不行，说明理由。

解(1)N应为2的幂，即N＝2m，（m为整数）；如果N不满足条件，可以补零。

(2)3级，4个，蝶距为(3) y[n]=y1[n]+jy2[n]

knY[k]??y[n]WNn?0N?12，WN0 ，WN2

1Y1[k]?Yep[k]?{Y[((k))N]?Y*[((?k))N]} 21Y2[k]?Yop[k]?{Y[((k))N]?Y*[((?k))N]}2十三．考虑下面4个8点序列，其中 0≤n≤7，判断哪些序列的8点DFT是实数，那些序列的8点DFT是虚数，说明理由。 (1) x1[n]={-1, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, (2) x2[n]={-1, -1, 0, 0, 0, 0, 1, 1}, (3) x3[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1}, (4) x4[n]={0, -1, -1, 0, 0, 0, -1, -1}, 解：

*共轭反对称分量： xo(n)??xo(N?n)??Xo(N?n)*共轭对称分量： xe(n)?xe(N?n)?Xe(N?n)DFT[xe（n）]=Re[X（k）]

19

DFT[x0（n）]=jIm[X（k）]

x4[n]的DFT是实数 , 因为它们具有周期性共轭对称性；x3[n] 的DFT是虚数 , 因为它具有周期性共轭反对称性 十四. 已知系统函数H(z)?解：

2?0.25z?1 H(z)??1?21?0.25z?0.3zY(z)2?0.25z?1 ??1?2X(z)1?0.25z?0.3z2?0.25z?11?0.25z?1?0.3z?2，求其差分方程。

Y(z)(1?0.25z?1?0.3z?2)?X(z)(2?0.25z?1)

y(n)?0.25y(n?1)?0.3y(n?2)?2x(n)?0.25x(n?1)

一、 填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分）

1. 两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积后结果的长度

是 ，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 至 为线性卷积结果。

nk2. DFT是利用WN的 、 和 三个固有特性来实现FFT快速运算

的。

3. IIR数字滤波器设计指标一般由 、 、 和 等四项组成。 4. FIR数字滤波器有 和 两种设计方法，其结构

有 、 和 等多种结构。

二、 判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（ ）

2. Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（ ） 3. 按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（ ） 4. 冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（ ）

5. 双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（ ） 6. 巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（ ） 7. 只有FIR滤波器才能做到线性相位，对于IIR滤波器做不到线性相位。（ ） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR滤波器实现其阶数一定低于FIR阶数。（ ） 三、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 若x (n)= {3，2，1，2，1，2 }，0≤n≤5， 1) 求序列x(n)的6点DFT，X (k)=？

20

2) 若G(k)?DFT[g(n)]?W62kX(k)，试确定6点序列g(n)=?

3) 若y(n) =x(n)⑨x(n)，求y(n)=？

四、 IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分）

设计一个数字低通滤波器，要求3dB的截止频率fc=1/π Hz，抽样频率fs=2 Hz。 1. 导出归一化的二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数Han(s)。

2. 试用上述指标设计一个二阶巴特沃思模拟低通滤波器，求其系统函数Ha(s)，

并画出其零极点图。

3. 用双线性变换法将Ha(s)转换为数字系统的系统函数H(z)。 4. 画出此数字滤波器的典范型结构流图。

五、 FIR滤波器设计（本题满分16分，每小问4分）

1设FIR滤波器的系统函数为H(z)?(1?0.9z?1?2.1z?2?0.9z?3?z?4)。

101． 求出该滤波器的单位取样响应h(n)。

2． 试判断该滤波器是否具有线性相位特点。 3． 求出其幅频响应函数和相频响应函数。

4． 如果具有线性相位特点，试画出其线性相位型结构，否则画出其卷积型结构图。

填空题（本题满分30分，共含4道小题，每空2分）

1. 两个有限长序列x1(n)，0≤n≤33和x2(n)，0≤n≤36，做线性卷积后结果的长度

是 70 ，若对这两个序列做64点圆周卷积，则圆周卷积结果中n= 6 至 63 为线性卷积结果。

nk2. DFT是利用WN的 对称性 、 可约性 和 周期性 三个固有特性来实现FFT快速

运算的。

3. IIR数字滤波器设计指标一般由ωc、ωst、δc和δst 等四项组成。(ΩcΩstδcδst) 4. FIR数字滤波器有 窗函数法 和 频率抽样设计法 两种设计方法，其结构有 横截型(卷积型/直接型) 、 级联型 和 频率抽样型（线性相位型） 等多种结构。

一、 判断题（本题满分16分，共含8道小题，每小题2分，正确打√，错误打×） 1. 相同的Z变换表达式一定对应相同的时间序列。（×）

2. Chirp-Z变换的频率采样点数M可以不等于时域采样点数N。（√） 3. 按频率抽取基2 FFT首先将序列x(n)分成奇数序列和偶数序列。（×） 4. 冲激响应不变法不适于设计数字带阻滤波器。（√）

5. 双线性变换法的模拟角频率Ω与数字角频率ω成线性关系。（×） 6. 巴特沃思滤波器的幅度特性必在一个频带中（通带或阻带）具有等波纹特性。（×） 7. 只有FIR滤波器才能做到线性相位，对于IIR滤波器做不到线性相位。（×） 8. 在只要求相同的幅频特性时，用IIR滤波器实现其阶数一定低于FIR阶数。（√） 二、 综合题（本题满分18分，每小问6分）

21

5X(k)??x(n)Wnk62分n?0?3?2Wk6?W2k4k5k6?2W3k6?W6?2W61） ?3?2Wk?2k6?W2k6?2W3k6?W6?2W?k62分

?3?4cosk?3?2cos2k?3?2(?1)k?[11,2,2,?1,2,2]0?k?5,2分2k5?nk52）

g(n)?IDFT[W6X(k)]??X(k)W6W2k6?W?(n?2)k6k?0?X(k)k?0

?x(n?2)?{3，2，1，2，1，2}2?n?75y1(n)?x(n)*x(n)??x(m)x(n?m)?{9,12,10,16,15,20,14,8,9,4,4}3）

m?08 y(n)??x(m)x((n?m))9R9(n)?{13,16,10,16,15,20,14,8,9}0?n?9m?0

四、IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分） 答：（1）其4个极点分别为：sj(1?2k?1k??)j(12k?1ce22N??e2?4)?k?0,1,2,3 分

H1an(s)?5??1?1(s?ej3?4)(s?ej4)(s?2222s2?2s?1 2?j2)(s?2?j2)分

（2）?c?2?fc?2rad/s 1分

Hs4a(s)?Han(s?)?Han()?2?4 3分 c2s?22s零极点图：

1分

H(z)?H1?z?1a(s)s?21?z?1?Ha(4（3）

T1?z?11?z?1)?z?1)21?2z?1?2?(14(1?z?1)2?22(1?z?1)(1?z?1)?(1?z?1)2??z5?22?6z?1?(5?22)z?21?2z?1?z?2H(z)?b0?b1（4）

5?22?6z?1?(5?22)z?2?z?1?b2z?21?a?121z?a2z?a6?221?5?22a2??55?22b121

0?5?22b1?5?22b2?5?22 2

322

五、 FIR滤波器设计（本题满分16分，每小问4分） 解：1．?H(z)??n????h(n)z?n

?h(n)?0.1?(n)?0.09?(n?1)?0.21?(n?2)?0.09?(n?3)?0.1?(n?4) （4分） ?{0.10.090.210.090.1}0?n?42．?h(n)?h(N?1?n)，?该滤波器具有线性相位特点 （4分） 3．?H(ej?)?H(z)?j2?z?ej??1(1?0.9e?j??2.1e?j2??0.9e?j3??e?j4?) 10ej2??e?j2?ej??e?j??e(0.2??0.18??0.21)22?e?j2?(0.2cos2??0.18cos??0.21)?H(?)ej?(?)

幅频响应为H(?)?0.2cos2??0.18cos??0.21 2分 相频响应为 ?(?)??2? 2分 4．其线性相位型结构如右图所示。 4分

六、 填空题（本题满分30分，共含6道小题，每空2分）

1?2z?1?3z?21. 一稳定LTI系统的H(z)?, H(z)的收敛域为 ，?1?1?2(1?2z)(1?z?0.25z)该系统是否为因果系统 。

1?z?12. 已知一个滤波器的H(z)?, 试判断滤波器的类型(低通，高通，带通，带

1?0.9z?1阻) 。如不改变其幅频特性只改变相位，可以级联一个 系统。 3. IIR数字滤波器有 、 和 三种设计方法，其结构有 、 、 和 等多种结构。

4. 设计切比雪夫滤波器就是根据设计指标计算 和 。 5. FIR滤波器的窗函数设计法中，滤波器的过渡带宽度与窗函数的 有

23

关，阻带衰减与窗函数的 有关。

七、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 设x(n)=[3，2，0，0，-1，0，0，2]，

1. 试计算x(n)的8点离散付立叶变换X(k)=DFT[x(n)]。

2. 画出基2频率抽选8点FFT（输入自然位序，输出倒位序）的流图。

3. 将离散时间序列x(n)=[3，2，0，0，-1，0，0，2]填写到画好的流图中，并利用流

图求k=4时DFT的值X(4)。

八、 IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分）

设低通滤波器通带3dB截止频率为Ωc=2rad/s，抽样频率为Ωs=2πrad/s。 1、请写出二阶巴特沃兹低通滤波器的幅度平方函数表达式 |Ha(jΩ)|2 。

2、由幅度平方函数 |Ha(jΩ)|2可求出，其4个极点分别为：?2?j2, ?2?j2，试求稳定的二阶巴特沃兹低通滤波器系统函数Ha(s) 。

3、试用双线性变换法将Ha(s)转换为相应的数字滤波器H(z)。 4、比较冲激响应不变法和双线性变换法的优缺点。

九、 FIR滤波器设计（本题满分16分，每小问4分）

1设FIR滤波器的系统函数为H(z)?(0.9?0.85z?1?0.85z?3?0.9z?4)

21．求出该滤波器的单位取样响应h(n)。

2．试判断该滤波器是否具有线性相位特点。 3．求出其幅频响应函数和相频响应函数。

4．如果具有线性相位特点，试画出其线性相位型结构，否则画出其卷积型结构图。 一、 填空题（本题满分30分，共含6道小题，每空2分）

1?2z?1?3z?21. 一稳定LTI系统的H(z)?, H(z)的收敛域为 ?1?1?2(1?2z)(1?z?0.25z)0.5<|z|<2 ，该系统是否为因果系统 否（双边序列） 。

1?z?12. 已知一个滤波器的H(z)?, 试判断滤波器的类型(低通，高通，带通，带

1?0.9z?1阻) 高通 。如不改变其幅频特性只改变相位，可以级联一个 全通 系统。 3. IIR数字滤波器有 冲击响应不变法 、阶跃响应不变法 和 双线性变换法 三种设

计方法，其结构有 直接I型 、 直接II型 、 级联型 和 并联型 等多种结构。 4. 设计切比雪夫滤波器就是根据设计指标计算 N 和 ε 。

5. FIR滤波器的窗函数设计法中，滤波器的过渡带宽度与窗函数的 形状和长度 有

关，阻带衰减与窗函数的 形状 有关。

二、 综合题（本题满分18分，每小问6分） 1）

24

2）

X(k)??x(n)W8nk?3?2W8k?W84k?2W87kn?07

?3?2W8k?W84k?2W8?k?3?4cosk??(?1)k40?k?7,

?[6,4?22?22j,2?4j,4?22?22j,?2,4?22?22j,2?4j,4?22?22j]3）

X(4)?[((x(0)?x(4))?(x(2)?x(6)))?((x(1)?x(5))?(x(3)?x(7)))]W80?x(0)?x(4)?x(2)?x(6)?(x(1)?x(5)?x(3)?x(7))?3?1?2?2??2IIR滤波器设计（本题满分20分，每小问5分）

2

三、

1) Ha(j?)?1116??4 ?2N?4??161?()1?()?c22?c2) Ha(s)?(s?2?j2)(s?2?j2)?44 ?22(s?2)?2s?22s?4H(z)?Ha(s)s?21?z?13）

T1?z?11?z?1?Ha(2)?11?z?12?1?2?4(1?z)1?2z?z?4(1?z?1)2?42(1?z?1)(1?z?1)?4(1?z?1)22?2?(2?2)z?2

4) 冲激响应不变法采用时域模仿逼近，时域抽样必定产生频域的周期延拓，产生频率响应的混叠失真。

双线性变换法，先将s域平面压缩到一个中介平面s1，然后再将s1映射到Z平面。利用单值映射避免混叠失真，但是采用双线性变换法，使得除了零频率附近，Ω与ω之间产生严重的非线性（畸变）。

四、 FIR滤波器设计（本题满分16分，每小问4分） 解：1．?H(z)??nh(n)z， ??n??? 25

?h(n)?0.45?(n)?0.425?(n?1)?0.425?(n?3)?0.45?(n?4) 4分

2．?h(n)??h(N?1?n)，?该滤波器具有线性相位特点 4分 3．?H(ej?)?H(z)ej???1(0.9?0.85e?j??0.85e?j3??0.9e?j4?) 2?e?e2?j2?ej2??e?j2?ej??e?j?(0.9??0.85?)2j2j

?2?j2?(0.9sin2??0.85sin?)?H(?)ej?(?)幅频响应为H(?)?0.9sin2??0.85sin? 2分

25．其线性相位型结构如右图所示。 4分

相频响应为?(?)???2? 2分

一、 填空题（每题2分，共10题）

1、1、 对模拟信号（一维信号，是时间的函数）进行采样后，就是 信号，再进行幅度量化后就是 信号。

j?j?2、2、 FT[x(n)]?X(e)，用x(n)求出Re[X(e)]对应的序列为 。

３、序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在 的N点等间隔

采样。

４、x1?R4(n)x2?R5(n)，只有当循环卷积长度L 时，二者的循

环卷积等于线性卷积。

５、用来计算N＝16点DFT，直接计算需要_________ 次复乘法，采用基2FFT算法，需要________ 次复乘法，运算效率为__ _ 。

６、FFT利用 来减少运算量。 ７、数字信号处理的三种基本运算是： 。

h(0)?h(5)?1.5h(1)?h(4)?2８、FIR滤波器的单位取样响应h(n)是圆周偶对称的，N=6， h(2)?h(3)?3 ，其幅度特性有什么特性？

，相位有何特

26

性？ 。

1H(z)?N1??akz?kK?1９、数字滤波网络系统函数为，该网络中共有 条反馈支

路。 １０、用脉冲响应不变法将Ha(s)转换为H(Z)，若Ha(s)只有单极点sk，则系统H(Z)稳定的条件是 （取T?0.1s）。

二、 选择题（每题3分，共6题） 1、1、 x(n)?e，该序列是 。

?N?6 A.非周期序列 B.周期C.周期N?6? D. 周期N?2?

n2、2、 序列x(n)??au(?n?1)，则X(Z)的收敛域为 。

A.Z?a B.Z?a C.Z?a D.Z?a

3、3、 对x(n)(0?n?7)和y(n)(0?n?19)分别作20点DFT，得X(k)和Y(k)，

F(k)?X(k)?Y(k),k?0,1,?19，f(n)?IDFT[F(k)],n?0,1,?19，

n?j(?)36n在 范围内时，f(n)是x(n)和y(n)的线性卷积。 A.0?n?7 B.7?n?19 C.12?n?19 D.0?n?19

4、4、 x1(n)?R10(n)，x2(n)?R7(n)，用DFT计算二者的线性卷积，为使计算量尽可能的少，应使DFT的长度N满足 。 A.N?16 B.N?16 C.N?16 D.N?16

５、已知某线性相位FIR滤波器的零点Zi , 则下面那些点仍是该滤波器的零点 。

A ZI* B 1 / ZI* C 1 / Zi D 0

６、在IIR数字滤波器的设计中，用 方法只适合于片断常数特性滤波器的设计。

A.脉冲响应不变法 B.双线性变换法 C.窗函数法 D.频率采样法 三、 分析问答题（每题5分，共2题）

??n?n0n0?n??nx(n)??h(n)??n?n0，?0?01、1、 已知

卷积，讨论关于y(n)的各种可能的情况。

0?n?N其它，y(n)是h(n)和x(n)的线性

2、2、 加有限窗截断序列引起的截断效应对谱分析的影响主要表现在哪些方面，如何减弱？

四、 画图题（每题8分，共2题）

１、已知有限序列的长度为8，试画出基2 时域FFT的蝶形图，输出为顺序。

?0.2n,0?n?5h(n)???0,其它,求其直接型结构流图。 ２、已知滤波器单位取样响应为

五、 计算证明题（每题9分，共4题）

1、1、 对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F?20Hz，信号最高频率fc?2kHz。

27

① ① 试确定最小记录时间Tpmin，最少采样点数Nmin和最大采样间隔Tmax； ② ② 要求谱分辨率增加一倍，确定这时的Tpmin和Nmin。 ２、设X(k)?DFT[x(n)],x(n)是长为N的有限长序列。证明

?0 （1） 如果x(n)??x(N?1?n),则X(0）（2）当N为偶数时，如果

x(n)?x(N?1?n),则X(j??j?(?)N）?02

N?12，N为３、FIR 滤波器的频域响应为H(e)?Hg(?)e，设

滤波器的长度，则对FIR 滤波器的单位冲击响应h（n）有何要求，并证明你的结论。

5Ha(s)?2s?3s?2，设T?0.5s， ４、已知模拟滤波器传输函数为

?(?)????,?为用双线性变换法将Ha(s)转换为数字滤波器系统函数H(z)。

填空题（每题2分，共10题）

3、若线性时不变系统是有因果性，则该系统的单位取样响应序列h(n)应满足的充分必要条件是 。

????22X(ej?)???0?????j?24、已知，X(e)的反变换X(n)? 。

３、x(n)??(n?3)，变换区间N?8，则X(k)? 。

1，2，1，1，2，1，1，2?，x2(n)??0，1，3，2，0?，x3(n)是x1(n)和x2(n)的8点（n?0）（n?0）４、x1(n)??循环卷积，则x3(2)? 。

５、用来计算N＝16点DFT直接计算需要_ 次复加法，采用基2FFT算法，需要 次复乘法

６、基2DIF-FFT 算法的特点是

７、有限脉冲响应系统的基本网络结构有 ８、线性相位FIR滤波器的零点分布特点是

９、IIR系统的系统函数为H(z)，分别用直接型，级联型，并联型结构实现，

其中 的运算速度最高。

１０、用双线性变换法设计理想低通数字滤波器，已知理想低通模拟滤波器的截止频

)rad/s，并设T?0.4ms，则数字滤波器的截止频率?c? 率?c?2?(2000（保留四位小数）。

三、 选择题（每题3分，共6题） 5、以下序列中 的周期为5。

3?3?x(n)?cos(n?)x(n)?sin(n?)58 58 A.B. D.x(n)?e2?j(?n?)58

C.x(n)?e2?j(n?)58

C.没有零、极点

D.

28

6、FIR系统的系统函数H(Z)的特点是 。

A.只有极点，没有零点 B.只有零点，没有极点

既有零点，也有极点

?x(n)?x(n)?x(n)0?n?N?1xepop7、有限长序列，则(N?n)? 。 A.xep(n)?xop(n) B.xep(n)?xop(N?n)

D.xep(n)?xop(N?n)

C.xep(n)?xop(n)

8、对x(n)(0?n?9)和y(n)(0?n?19)分别作20点DFT，得X(k)和Y(k)，

F(k)?X(k)?Y(k),k?0,1,?19，f(n)?IDFT[F(k)],n?0,1,?19， n在 范围内时，f(n)是x(n)和y(n)的线性卷积。 A.0?n?9 B.0?n?19 C.9?n?19 D.10?n?19 ５、线性相位FIR滤波器有 种类型 A 1 B 2 C 3 D 4

６、利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器时，为了使系统的因果稳定性不变，在将Ha(s)转换为H(Z)时应使s平面的左半平面映射到z平面的 。

A.单位圆内 B.单位圆外 C.单位圆上 D.单位圆与实轴的交点

四、 分析问答题（每题5分，共2题）

3、某线性时不变因果稳定系统单位取样响应为h(n)（长度为N），则该系统的频率特性、复频域特性、离散频率特性分别怎样表示，三者之间是什么关系？

4、用DFT对连续信号进行谱分析时，主要关心哪两个问题以及怎样解决二者的矛盾？

五、 画图题（每题8分，共2题）

1j?y(n)?y(n?1)?x(n)H(e)?21、已知系统，画出幅频特性（的范围是0?2?）。

141111y(n)?y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1)?x(n?2)1556362、已知系统，用直接Ⅱ型

结构实现。

六、 计算证明题（每题9分，共4题）

2、对实信号进行谱分析，要求谱分辨率F?100Hz，信号最高频率fc?1kHz。 ① 试确定最小记录时间Tpmin，最少采样点数Nmin和最低采样频率fmin； ② 在频带宽度不变的情况下，将频率分辨率提高一倍的Ｎ值。

3、设x(n)是长度为2N的有限长实序列，X(k)为x(n)的2N点DFT。试设计用一次N点FFT完成X(k)的高效算法。

３、FIR数字滤波器的单位脉冲响应为h(n)?2?(n)??(n?1)??(n?3)?2?(n?4)

（1） 写出频率采样型结构中复数乘法器系数的计算公式，采样点数为N＝5。 （2） 该滤波器是否具有线性相位特性？为什么？

3Ha(s)?2s?5s?6，设T?0.5s， ４、已知模拟滤波器传输函数为

用脉冲响应不变法（令h(n)?Tha(nT)）将Ha(s)转换为数字滤波器系统函数H(z)。 一、（8分） 求序列

(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}的共扼对称、共扼反对称部分；

29

(b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}周期共扼对称、周期共扼反对称部分。 二、（8分）系统的输入输出关系为

y[n]?a?nx[n]?x[n?1],a?0

判定该系统是否为线性系统、因果系统、稳定系统和时移不变系统，并说明理由。 三、（8分）求下列Z变换的反变换

z?z?2?H?z???z?0.2??z?0.6?，z?0.2

四、（3分）一个FIR滤波器的系统函数为

H?z??1?0.3z?1?2.5z?2?0.8z?3?1.5z?4

求另一个n?4时h?n??0，且具有相同幅度响应的因果FIR滤波器。 五、（8分）已知单位脉冲响应长度为9的类型3实系数线性相位FIR滤波器具有零点：z1?4，z2?1?j。

（a） 求其他零点的位置 （b） 求滤波器的传输函数 六、（8分）已知x?n?（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X?k?，

（1） 用X?k?表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换。 （2） 如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。

Y(z)H(z)?X(z) 七、（10分）确定以下数字滤波器的传输函数

n

八（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器

G?z??18z318z3?3z2?4z?1?0.361?0.5z?1?0.241?0.3333z?1?0.4

?1?0.3333z??12

九、（10分）低通滤波器的技术指标为：?p?0.2?，?s?0.3?，?p??s?0.001，请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。

30

十、（20分）用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，技术指标为： ?s?0.1?， ?p?0.3?，A?10, ??0.4843

十一、（7分）信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号：

y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd?

求一个能从y?n?恢复x?n?的可实现的滤波器． 1、（8分）求序列

(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}的共扼对称、共扼反对称部分。 (b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}周期共扼对称、周期共扼反对称部分。

*{h[?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5} 解：(a)

Hcs[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?4.5?j1.5,3.5?j2,?5,3.5?j2,?4.5?j1.5}

Hca[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?2.5?j3.5,0.5?j,?j,?0.5?j,?2.5?j3.5}

*h(b)[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3} Hpcs[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{?2,?1.5?j2.5,?4?j2.5,?4?j2.5,?1.5?j2.5} Hpca[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{j5,?5.5?j0.5,?1?j3.5,?1?j3.5,?5.5?j0.5} 2、（8分）系统的输入输出关系为

y[n]?a?nx[n]?x[n?1],a?0

判定该系统是否为线性系统、因果系统、稳定系统和时移不变系统，并说明理由。

解：非线性、因果、不稳定、时移变化。 3、（8分）求下列Z变换的反变换

z?z?2?H?z???z?0.2??z?0.6?，z?0.2

解：

h?n???2.75?0.2?u??n?1??1.75??0.6?u??n?1?

4、（3分）一个FIR滤波器的系统函数为

nnz?z?2?1?2z?12.751.75H?z??????z?0.2??z?0.6?1?0.2z?11?0.6z?11?0.2z?11?0.6z?1

????H?z??1?0.3z?1?2.5z?2?0.8z?3?1.5z?4

求另一个n?4时h?n??0，且具有相同幅度响应的因果FIR滤波器。

5、（8分）已知单位脉冲响应长度为9的类型3实系数线性相位FIR滤波器具有零点：z1?4，z2?1?j。

（c） （a） 求其他零点的位置 （d） （b） 求滤波器的传输函数

?4?3?2?1??Hz?z?0.3z?2.5z?0.8z?1.5 解：

31

解：（a）z?4，z??1

H?z??1?z?11?z?11??1?j?z?11??1?j?z?1z?111z??1?j?z??1?j?4，z?1?j，z?1?j，22，，z?1，

????????11?1??1?1???1??1??1??1?j?z??1??1?j?z?1?4z?1?z???2??4? （b）?2 6．（8分）已知x?n?（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X?k?

??（1）用X?k?表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换。 （2）如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。

3k?j6?k/NX[k] 解：(1)V[k]?WNX[k]?enknkX[k]??x[n]WN???nWN???Wn?0n?0n?0N?1N?1N?1k1??WN?k1??WNn(2)

?knN???N

7、（10分）确定以下数字滤波器的传输函数

H(z)?Y(z)X(z)

解：

?V?X?2W??1?W?azV?bU??2U?zV?XU?z?2?X?2W??X?1?z?2X?2z?2W??Y?z?2V?W?1?2?1?2? 1?2az?2bzW?az?b?bzX

az?1?b?bz?2b?az?1??1?b?z?2?2?2?2Y?z?X?2W??W?zX??1?2z?X?X1?2az?1?2bz?21?2az?1?2bz?2

8、（10分）分别用直接型和并联型结构实现如下滤波器

??????G?z??18z318z3?3z2?4z?1?0.361?0.5z?1?0.241?0.3333z?1?0.4

?1?0.3333z??12

9. （10分）低通滤波器的技术指标为：?p?0.2?，?s?0.3?，?p??s?0.001， 请在附录中选择合适的窗函数，用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤

32

波器。

解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.001)=-60dB，因此只能采用布莱克曼窗。

????s??p?0.1?

5.56?5.56???56??0.1?

2?n4?n??0.42?0.5cos()?0.08cos()?M?n?Mw[n]??2M?12M?1?0其它? ?c?(?s??p)/2?0.25?， M?ht[n]?hd[n?M]w[n?M]?sin(?c(n?M))w[n?M]?(n?M) ，0?n?2M

10．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，技术指标为： ?s?0.1?， ?p?0.3?，A?10, ??0.4843

解：

0.0?H(ej?)?0.1 0???0.1?

0.3?????。

我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。

我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为?s?0.1?，通带截止频率为

0.9?H(ej?)?1.011??2先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且

???tan()2

有：

??s?tan(s)?tan(0.05?)?0.15842 ?p?p?tan()?tan(0.15?)?0.50952

?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们用变换s?1/s有

??1/??1/0.5095?1.9627?pp ??1/??1/0.1584?6.3138?ss

所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为

?p?0.3?，且A=1/0.1=10,

?0.9???199= 0.4843

33

??pk??0.3109??s

判别因子(discrimination parameter)为：

k1?

因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：

log10(1/k1)N??2.59log(1/k)

我们取N=3, 则 ????p2Np2??()????c?0.7853 ?c?2N???2ss?()?A?1??c??2.1509 ?c????ps???c??2.1509， 如取?c?2.5，则所求得的低通巴特沃兹滤波器 我们可取 0.7853为：

1?)?Ha(s?)3?2(s?)2?2(s?)?1?/??/??/?(sccc

11?)?Ha(s??/2.5)3?2(s?/2.5)2?2(s?/2.5)?10.064s?3?0.32s?2?0.8s??1 (s

?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/ss3Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s3

?0.04867A?1

2?1?z?1s?1?z?1最后采用双线性变换

H(z)?Ha(s)s?1?z?1

1?z?11?z?13()?11?z??11?z1?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()?1?1?11?z1?z1?z?

?0.456z?3(1?z?1)3?2.072z?2?3.288z?1?2.184

11.（7分）信号y?n?包含一个原始信号x?n?和两个回波信号：

y?n??x?n??0.5x?n?nd??0.25x?n?2nd?

求一个能从y?n?恢复x?n?的稳定的滤波器．

解：因为X(z) 与Y(z)的关系如下：

34

?nd?2ndY(z)?(1?0.5z?0.25z)X(z)

以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：

1G(z)?1?0.5z?nd?0.25z?2nd

1F(z)?nd1?0.5z?1?0.25z?2 注意到：G(z)?F(z)，且

F(z)的极点在：

z??0.25(1?j3)

?nd它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内r'?(0.5)处，所以G(z)是可实现的。

1． 1． (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分：

(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}

(b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}

2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。

y[n]?x[n]?x[?n]

3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量

?5?x[n]???u[?n]?3?

4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]

（1） （1） 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换 （2） （2） 如果x[n]??（0?n?N?1），求其N点DFT。

Y(z)H(z)?X(z) 5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数

X(z) k2 -k1 Z-1 -k2 Z-1 a2 a 1

Y(z)

6．(10分)以以下形式实现传输函数为

nnH(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9z?2?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5

的FIR系统结构。

35

(1) (1) 直接形式

(2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。 7. (10分)低通滤波器的技术指标为：

0???0.3?

H(ej?)?0.01 0.35?????

用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。

8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且

0???0.1? 0.9?H(ej?)?1.0 0.3?????。

9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]

求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．

z?1?a*H(z)?1?az?1， 这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为

(a) 求实现这个系统的差分方程

(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）

(c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应 g(n)。

2． 1． (8分) 确定下列序列的共扼对称、共扼反对称或周期共扼对称、周期共扼反对称部分：

(a) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}

0.0?H(ej?)?0.10.99?H(ej?)?1.01(b) {h[n]}?{?2?j5,4?j3,5?j6,3?j,?7?j2}

*解：(a) {h[?n]}?{?7?j2,3?j,5?j6,4?j3,?2?j5}

Hcs[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?4.5?j1.5,3.5?j2,?5,3.5?j2,?4.5?j1.5}

Hca[n]?0.5*(h[n]?h*[?n])?{?2.5?j3.5,0.5?j,?j,?0.5?j,?2.5?j3.5}

*(b)h[N?n]?{?2?j5,?7?j2,3?j,5?j6,?4?j3} Hpcs[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{?2,?1.5?j2.5,?4?j2.5,?4?j2.5,?1.5?j2.5} Hpca[n]?0.5*(h[n]?h*[N?n])?{j5,?5.5?j0.5,?1?j3.5,?1?j3.5,?5.5?j0.5}

2. (8分) 下式给出系统的输入与输出关系，判断它是线性的还是非线性的，移位不变还是移位变化的，稳定还是不稳定的，因果的还是非因果的。

y[n]?x[n]?x[?n]

解： (a) 令：对应输入x1[n]的输出为y1[n]，对应输入x2[n]的输出为y2[n],对应输入x[n]=x1[n]+x2[n]的输出为y[n]，则有

y1[n]?x1[n]?x1[?n] y2[n]?x2[n]?x2[?n]

y[n]?x[n]?x[?n]?(x1[n]?x2[n])?(x1[?n]?x2[?n])

?(x1[n]?x1[?n])?(x2[n]?x2[?n])?y1[n]?y2[n] 所以此系统为线性系统。

36

(b)

(b) 设对应x[n]的输出为y[n]，对应输入x1[n]＝x[n-n0]的输出为y1[n],则

y1[n]?x1[n]?x1[?n]?x[n?n0]?x[?(n?n0)]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n]?x[n]?x[?n] y[n?n0]?x[n?n0]?x[?n?n0] y[n?n0]?y1[n]

此系统为移位变化系统。 (c )假设x[n]?B，则有

y[n]?x[n]?x[?n]?x[n]?x[?n]?2B 所以此系统为BIBO稳定系统。 (d)此系统为非因果系统。

3. (6分) 确定下列序列的平均功率和能量

能量为：

n???2n?0?5?x[n]???u[?n]?3?

n52nn???5?2nn???32n1?x??x[n]??()??()??()??25/161?9/25n???n???3n?03n?05

功率为：

1n??k1n?052n1n??k5?2n2px?limx[n]?lim()?lim()???k??2k?1k??2k?1k??2k?13n??kn??kn?03

k?11n??k9n11??9/25?px?lim()?lim?0?k??2k?1k??2k?1251?9/25n?0

4．(6分)已知x[n]（0?n?N?1）为长度为N（N为偶数）的序列，其DFT变换为X[k]

（3） （1） 用X[k]表示序列v[n]?x[?n?3?N]的DFT变换

nx[n]??（4） （2） 如果（0?n?N?1），求其N点DFT。 3k?j6?k/NV[k]?WX[k]?eX[k] N解：(1)

nknkX[k]??x[n]WN???nWN???Wn?0n?0n?0N?1N?1N?1(2)

?knN?k1??WN?k1??WN??N

5．. (8分)确定下列数字滤波器结构的传输函数

X(z) k2 -k1 Z-1 a1 a2 Y(z) -k2 V[z] H(z)?Y(z)X(z)

Z-1

37

?1?1?1解： X[z]?k1z(?k2V(z)?zV(z))?k2zV(z)?V(z)

1V(z)?X(z)?1?21?(k?kk)z?kz2121 则 ?1?1?1又(z?k2)V(z)?1z??2zV(z)?Y(z) ?1?2则有Y[z]?[(?2?k2?1)z??1z]V(z)

(?2?k2?1)z?1??1z?2?X{z}1?(k2?k1k2)z?1?k1z?2

6．(10分)以以下形式实现传输函数为

H(z)?(1?0.7z?1)5?1?3.5z?1?4.9z?2?3.43z?3?1.2005z?4?0.16807z?5

的FIR系统结构。 (2) (1) 直接形式

(2) 一个一阶系统，两个二阶系统的级联。

x[n]

z-1 z-1 z-1 z-1 z-1

解：(1) 4.9 -3.43 1.2005 -3.5 1 -0.16807

y[n]

?15?1?1?2?1?2 (2) H(z)?(1?0.7z)?(1?0.7z)(1?1.4z?0.49z)(1?1.4z?0.49z)

y[n]

x[n] z-1 z-1 z-1 -1.4 -1.4 -0.7 z-1 z-1 0.49 0.49 7. (10分)低通滤波器的技术指标为： 0???0.3?

H(ej?)?0.01 0.35?????

用窗函数法设计满足这些技术指标的线性相位FIR滤波器。

解：用窗函数法设计的低通滤波器，其通带、阻带内有相同的波动幅度。由于滤波器技术指标中的通带、、阻带波动相同，所以我们仅需要考虑阻带波动要求。阻带衰减为20log(0.01)=-40dB，我们可以采用汉宁窗，虽然也可以采用汉明窗或布莱克曼窗，但是阻带衰减增大的同时，过渡带的宽度也会增加，技术指标要求过渡带的宽度为????s??p?0.05?。由于 M??= 3.11?,

38

0.99?H(ej?)?1.01

2?n??0.5?0.5cos()?M?n?Mw[n]??3.11?2M?1M??52?0其它?0.05?所以：， 且：

?，所以滤波器为： 一个理想低通滤波器的截止频率为?c?(?s??p)/2?0.325sin(?c(n?M))w[n?M]?(n?M) ，0?n?2M

8．(20分)用双线性变换法设计一个离散时间巴特沃兹(Butterworth)高通滤波器，通带内等波纹，且

ht[n]?hd[n?M]w[n?M]? 0???0.1? 0.9?H(ej?)?1.0 0.3?????。

解： 我们可以用两种方法设计离散时间高通滤波器。我们可以设计一个巴特沃兹模拟低通滤波器，然后用双线性变换映射为巴特沃兹低通滤波器，再在z域进行低通到高通的转换。另一种方法是在双线性变换前就在s平面域进行低通到高通的转换，然后用双线性变换将模拟高通滤波器映射为离散时间高通滤波器。两种方法会得到同样的设计结果。我们采用第二种方法，更容易计算。

我们要设计一个高通滤波器，阻带截止频率为?c?0.1?，通带截止频率为

0.0?H(ej?)?0.111??2先将数字滤波器的技术指标转换到连续时间域。Ts=2, 且

???tan()2

有：

??s?tan(s)?tan(0.05?)?0.15842 ?p?p?tan()?tan(0.15?)?0.50952

?将这些高通滤波器的截止频率为映射为低通滤波器的截止频率，我们用变换s?1/s有

??1/??1/0.5095?1.9627?pp ??1/??1/0.1584?6.3138?ss

所以模拟滤波器的选择因子(transition ratio or electivity parameter)为

??pk??0.3109??s

判别因子(discrimination parameter)为：

?k1??0.048672A?1

因此，所需的巴特沃兹滤波器的阶数为：

log10(1/k1)N??2.59log(1/k)

我们取N=3, 则

39

?p?0.3?，且A=1/0.1=10,

?0.9???199= 0.4843

?2N???2ss?()?A?1??c??2.1509 ?c????ps???c??2.1509， 如取?c?2.5，则所求得的低通巴特沃兹滤波器 我们可取 0.7853为：

1?)?Ha(s?)3?2(s?)2?2(s?)?1?/??/??/?(sccc

11?)?Ha(s??/2.5)3?2(s?/2.5)2?2(s?/2.5)?10.064s?3?0.32s?2?0.8s??1 (s

?将低通滤波器转换为高通滤波器： 用低通到高通的转换关系s?1/ss3Ha(s)?0.064?0.32s?0.8s2?s3

????p2Np2?()????c??0.7853 ?c1?z?1s?1?z?1最后采用双线性变换

H(z)?Ha(s)s?1?z?1

1?z?11?z?13()?11?z?1?z?11?z?121?z?130.064?0.32?0.8()?()1?z?11?z?11?z?1?

9.（10分））信号y[n]包含一个原始信号x[n]和两个回波信号： y[n]=x[n]+0.5x[n-nd]+0.25x[n-2nd]

求一个能从y[n]恢复x[n]的可实现滤波器．

解：因为X(z) 与Y(z)的关系如下：

?nd?2ndY(z)?(1?0.5z?0.25z)X(z)

以y[n]为输入，x[n]为输出的系统函数为：

1G(z)?1?0.5z?nd?0.25z?2nd

1F(z)?nd1?0.5z?1?0.25z?2 注意到：G(z)?F(z)，且

F(z)的极点在：

?0.456z?3(1?z?1)3?2.072z?2?3.288z?1?2.184

z??0.25(1?j3)

?nd它在单位圆内半径为r=0.5处，所以G(z)的极点在单位圆内r'?(0.5)处，所以G(z)是可实现的。

40

z?1?a*H(z)?1?az?1， 这里a?1 10 (14分))一个线性移不变系统的系统函数为

(a) 求实现这个系统的差分方程

(b) 证明这个系统是一个全通系统（即频率响应的幅值为常数的系统）

(c) H(z)和一个系统G(z)级联，以使整个系统函数为1，如果G(z)是一个稳定系统，求单位采样响应 g(n)。

Y(z)z?1?a*H(z)??X(z)1?az?1 解：(a)

?1?1* Y(z)(1?az)?X(z)(z?a) 对方程的两边进行反z变换： * y[n]?ay[n?1]?x[n?1]?ax[n]

e?j??a*j?H(e)?1?ae?j? (b)频率响应为：

所以幅值的平方为：

(*ej?)e?j??a*ej??a1?a?2Reaj?j?*j?H(e)?H(e)H(e)???1?j?*j?2*j?1?ae1?ae1?a?2Rea(e) 所以系统为一个全通滤波器

1?az?111?az?1G(z)??1??***?1z?aa1?(az)?

2*此系统在z?1/a处有一极点，在z?1/a处有一零点。因为a?1，极点在单位圆外。

2所以，如果 g[n]是稳定的，收敛域一定为z?1/a。因而g[n]是左边序列。

*?n?1*?(n?1)u[?n] g[n]?(a)u[?n?1]?a(a)

一、填空题：（每空1分，共18分）

1、数字频率?是模拟频率?对采样频率fs的归一化，其值是 连续 （连续还是离散？）。

2、双边序列z变换的收敛域形状为 圆环或空集 。

kn3、某序列的DFT表达式为X(k)??x(n)WM，由此可以看出，该序列时域的长度为

n?0N?1N ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 2? 。 M8(z2?z?1)4、线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为H(z)?2，则系统的极

2z?5z?2点为 z1??,z2??2 ；系统的稳定性为 不稳定 。系统单位冲激响应h(n)的初值h(0)?4；终值h(?) 不存在 。

41

12

5、如果序列x(n)是一长度为64点的有限长序列(0?n?63)，序列h(n)是一长度为

)，记y(n)?x(n)?h(n)（线性卷积）128点的有限长序列(0?n?127，则y(n)为

64+128-1＝191点 点的序列，如果采用基2FFT算法以快速卷积的方式实现

线性卷积，则FFT的点数至少为 256 点。

6、用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时，模拟频率?与数字频率

?之间的映射变换关系为???T。用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波

2?tan()T2器时，模拟频率?与数字频率?之间的映射变换关系为????2arctan(?T)。 2或

7、当线性相位FIR数字滤波器满足偶对称条件时，其单位冲激响应h(n)满足的条件为h(n)?h(N?1?n) ，此时对应系统的频率响应H(ej?)?H(?)ej?(?)，则其对应的相位函数为?(?)??N?1?。 28、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、

椭圆滤波器 。 三、（15分）、已知某离散时间系统的差分方程为

y(n)?3y(n?1)?2y(n?2)?x(n)?2x(n?1)

系统初始状态为y(?1)?1，y(?2)?2，系统激励为x(n)?(3)nu(n)， 试求：（1）系统函数H(z)，系统频率响应H(ej?)。

（2）系统的零输入响应yzi(n)、零状态响应yzs(n)和全响应y(n)。 解：（1）系统函数为H(z)?1?2z?11?3zj??1?2z?2?z2?2zz2?3z?2e2j?

?2系统频率响应H(e)?H(z)z?ej??e2j??2ej??3ej?

解一：（2）对差分方程两端同时作z变换得

Y(z)?3z?1[Y(z)?y(?1)z]?2z?2[Y(z)?y(?1)z?y(?2)z2]?X(z)?2z?1X(z)

即：Y(z)?3y(?1)?2z?1y(?1)?2y(?2)1?3z?1?2z?2?(1?2z?1)1?3z?1?2z?2X(z)

上式中，第一项为零输入响应的z域表示式，第二项为零状态响应的z域表示式，将初始状态及激励的z变换X(z)?分别为

Yzi(z)??1?2z?11?3z?1?2z?2??z2?2zz2?3z?2z代入，得零输入响应、零状态响应的z域表示式z?3

42

Yz?1zs(z)?1?21?3z?1??zz2?2z2z?2z?3?zz2?3z?2?z?3 将Yzi(z),Yzs(z)展开成部分分式之和，得

Yzi(z)z?23?z??z?3z?2?42z?1?z?2 2315Yzs(z)?z?2z?1?2z?1??82zz2?3z?2z?3z?2?z?3

3即 z15Yzzi(z)?3z?4z?1?z?2 Yz)??8zzzs(22z?1?z?2?z?3 对上两式分别取z反变换，得零输入响应、零状态响应分别为

yzi(k)?[3?4(2)k]?(k)

y315zs(k)?[2?8(2)k?2(3)k]?(k)

故系统全响应为

y(k)?yy915zi(k)?zs(k)?[2?12(2)k?2(3)k]?(k)

解二、（2）系统特征方程为?2?3??2?0，特征根为：?1?1，?2?2；故系统零输入响应形式为 yzi(k)?c1?c2(2)k

将初始条件y(?1)?1，y(?2)?2带入上式得

???y(1zi(?1)?c1?c2?2)?1 解之得 c?1???yzi(?2)?c1?c2(13，c2??4，4)?2故系统零输入响应为： yzi(k)?3?4(2)k k?0

系统零状态响应为

Yzs(z)?H(z)X(z)?1?2z?11?3z?1?2z??zz?3?z2?2zz2z2?3z?2?z?3 2315Yzs(z)?z?2z?2?1z?3?2z?1??82z?2?2zz?3zz?3

3即

z15Y?8zzzs(z)?2z?1?z?2?2z?3 对上式取z反变换，得零状态响应为 y315zs(k)?[2?8(2)k?2(3)k]?(k)故系统全响应为

y(k)?y?y915zi(k)zs(k)?[2?12(2)k?2(3)k]?(k)

43

四、回答以下问题：

（1） 画出按时域抽取N?4点基2FFT的信号流图。

（2） 利用流图计算4点序列x(n)?(2,1,3,4)（n?0,1,2,3）的DFT。 （3） 试写出利用FFT计算IFFT的步骤。 解：（1）

x(0)x(2)x(1)x(3)Q0(0)Q0(1)?1Q(0)Q1(1)?11X(0)?j?1jX(1)X(2)X(3)k010W20W2011W20W2rlk010W40W4011W40W42W40W42

4点按时间抽取FFT流图 加权系数 （2） ?0 ?1

Q(1)?x(0)?x(2)?2?1??1Q(1)?x(1)?x(3)?1?4??301??X(0)?Q0(0)?Q1(0)?5?5?10

3W40W43

?Q(0)?x(0)?x(2)?2?3?5?Q(0)?x(1)?x(3)?1?4?51 X(1)?Q0(1)?W4Q1(1)??1?j?3

X(2)?Q0(0)?W42Q1(0)?5?5?0 X(3)?Q0(1)?W43Q1(1)??1?3j

即： X(k)?(10,?1?3j,0,?1?3j),k?0,1,2,3 （3）1）对X(k)取共轭，得X?(k)； 2）对X?(k)做N点FFT；

3）对2）中结果取共轭并除以N。

五、（12分）已知二阶巴特沃斯模拟低通原型滤波器的传递函数为

1Ha(s)?2

s?1.414s?1试用双线性变换法设计一个数字低通滤波器，其3dB截止频率为?c?0.5?rad，写出数字滤波器的系统函数，并用正准型结构实现之。（要预畸，设T?1） 解：（1）预畸

?c??220.5?arctan(c)?arctan()?2 T2T21ss()2?1.414()?1224s2?2.828s?4 （2）反归一划

H(s)?Ha(s)s?s?c??

（3） 双线性变换得数字滤波器

H(z)?H(s)s?21?z?1?T1?z?14s2?2.828s?4s?21?z?11?z?1?(241?z?11?z?1)2?2.828?21?z?11?z?1

?4 44

?4(1?2z?1?z?2)13.656?2.344z?2?0.2929(1?2z?1?z?2)1?0.1716z?21z?1

（4）用正准型结构实现

x(n)10.2929y(n)21z?1?0.1716

六、（12分）设有一FIR数字滤波器，其单位冲激响应h(n)如图1所示：

h(n)21?134120n?2

图1

试求：（1）该系统的频率响应H(ej?)；

（2）如果记H(ej?)?H(?)ej?(?)，其中，H(?)为幅度函数（可以取负值），?(?)为相位函数，试求H(?)与?(?)；

（3）判断该线性相位FIR系统是何种类型的数字滤波器？（低通、高通、带通、

带阻），说明你的判断依据。

（4）画出该FIR系统的线性相位型网络结构流图。 解：（1）h(n)?(2,1,0,?1,?2)

H(ej?)??h(n)en?04?j?n?h(0)?h(1)e?j??h(2)e?j2??h(3)e?j3??h(4)e?j4?

?2?e?j??e?j3??2e?j4??2(1?e?j4?)?(e?j??e?j3?)

?2e?j2?(e?j2??ej2?)?e?j2?(ej??e?j?)?e?j2?[4jsin(2?)?2jsin(?)]

（2）H(e)?ej??j2?ej?2[4sin(2?)?2sin(?)]?ej(?2?)2[4sin(2?)?2sin(?)]?

H(?)?4sin(2?)?2sin(?)， ?(?)??2?2?

（3）H(2???)?4sin[2(2???)]?2sin(2???)??4sin(2?)?2sin(?)??H(?)

故 当??0时，有H(2?)??H(0)?H(0)，即H(?)关于0点奇对称，H(0)?0；

当???时，有H(?)??H(?))，即H(?)关于?点奇对称，H(?)?0

45

上述条件说明，该滤波器为一个线性相位带通滤波器。 （4）线性相位结构流图

x(n)z?1z?1z?1h(0)h(1)z?1h(2)y(n)

八、（15分）简答题

（1） 试写出双线性变换法设计IIR数字高通滤波器的主要步骤。

（2） 简述利用窗函数来设计FIR滤波器时，对理想低通滤波器加矩形窗处理后

的影响。为了改善FIR滤波器的性能，尽可能的要求窗函数满足哪两个条件？ 解：（1）1）将数字高通滤波器的频率指标转换为模拟高通滤波器的频率指标(其

中将高通截止频率通过预畸转换为模拟高通滤波器的截止频率)

2）将模拟高通滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器技术指标 3）设计模拟低通原型滤波器

4）将模拟低通原型滤波器通过双线性映射为数字低通原型滤波器 5）将数字低通原型滤波器通过频域变换为数字高通滤波器 （2）理想低通滤波器加窗后的影响有3点：

1）理想幅频特性的陡直的边沿被加宽，形成一个过渡带，过渡带的带宽取决于窗函数频响的主瓣宽度。

2）在过渡带的两侧附近产生起伏的肩峰和纹波，它是由窗函数频响的旁瓣引起的，旁瓣相对值越大起伏就越强。

3）增加截取长度N，将缩小窗函数的主瓣宽度，但却不能减小旁瓣相对值。只能减小过渡带带宽，而不能改善滤波器通带内的平稳性和阻带中的衰减。

为了改善滤波器的性能，尽可能要求窗函数满足：

1）主瓣宽度窄，以获得较陡的过渡带

2）旁瓣相对值尽可能小，以改善通带的平稳度和增大阻带中的衰减。 一、填空题（每空1分, 共10分）

1．序列x(n)?sin(3?n/5)的周期为 。

2．线性时不变系统的性质有 律、 律、 律。 3．对x(n)?R4(n)的Z变换为 ，其收敛域为 。

4．抽样序列的Z变换与离散傅里叶变换DFT的关系为 。 5．序列x(n)=(1，-2，0，3；n=0，1，2，3), 圆周左移2位得到的序列为 。 6．设LTI系统输入为x(n) ，系统单位序列响应为h(n)，则系统零状态输出y(n)= 。

7．因果序列x(n)，在Z→∞时，X(Z)= 。 二、单项选择题（每题2分, 共20分） 1．δ(n)的Z变换是 （ ）A.1 B.δ(ω) C.2πδ(ω) D.2

46

π

2．序列x1（n）的长度为4，序列x2（n）的长度为3，则它们线性卷积的长度是 （ ）A. 3 B. 4 C. 6 D. 7 3．LTI系统，输入x（n）时，输出（yn）；输入为3x（n-2），输出为 （ ） A. y（n-2） B.3y（n-2） C.3y（n） D.y（n）

4．下面描述中最适合离散傅立叶变换DFT的是 （ ）

A.时域为离散序列，频域为连续信号

B.时域为离散周期序列，频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列，频域为连续周期信号

D.时域为离散有限长序列，频域也为离散有限长序列

5．若一模拟信号为带限，且对其抽样满足奈奎斯特条件，理想条件下将抽样信号通过 即可完全不失真恢复原信号 （ ）A.理想低通滤波器 B.理想高通滤波器 C.理想带通滤波器 D.理想带阻滤波器 6．下列哪一个系统是因果系统 （ ）A.y(n)=x (n+2) B. y(n)= cos(n+1)x (n) C. y(n)=x (2n) D.y(n)=x (- n)

7．一个线性时不变离散系统稳定的充要条件是其系统函数的收敛域包括 （ ）

A. 实轴 B.原点 C.单位圆 D.虚轴

8．已知序列Z变换的收敛域为｜z｜>2，则该序列为 （ ）A.有限长序列 B.无限长序列 C.反因果序列 D.因果序列

9．若序列的长度为M，要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列，而不发生时域混叠现象，则频域抽样点数N需满足的条件是 ( )

A.N≥M B.N≤M C.N≤2M D.N≥2M

10．设因果稳定的LTI系统的单位抽样响应h(n)，在n<0时，h(n)= ( )

A.0 B.∞ C. -∞ D.1 三、判断题（每题1分, 共10分）

1．序列的傅立叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。 （ ）

2．x(n)= sin（ω0n)所代表的序列不一定是周期的。 （ ）

3．FIR离散系统的系统函数是z的多项式形式。 （ ）

4．y(n)=cos[x(n)]所代表的系统是非线性系统。 （ ）

5．FIR滤波器较IIR滤波器的最大优点是可以方便地实现线性相位。 （ ）

6．用双线性变换法设计IIR滤波器，模拟角频转换为数字角频是线性转换。 （ ）

7．对正弦信号进行采样得到的正弦序列一定是周期序列。

47

（ ）

8．常系数差分方程表示的系统为线性移不变系统。 （ ） 9．FIR离散系统都具有严格的线性相位。 （ ）

10．在时域对连续信号进行抽样，在频域中，所得频谱是原信号频谱的周期延拓。 （ ）

四、简答题 （每题5分，共20分）

1．用DFT对连续信号进行谱分析的误差问题有哪些？

2．画出模拟信号数字化处理框图，并简要说明框图中每一部分的功能作用。 3．简述用双线性法设计IIR数字低通滤波器设计的步骤。 4．8点序列的按时间抽取的（DIT）基-2 FFT如何表示？ 计算题 （共40分）

z21．已知X(z)?,(z?1)(z?2)（6分） z?2，求x(n)。

2．写出差分方程表示系统的直接型和级联型结构。（8分） ．．

311y(n?1)?y(n?2)?x(n)?x(n?1) 4833．计算下面序列的N点DFT。

y(n)?（1）x(n)??(n?m)（2）x(n)?ej2?mnN(0?m?N)（4分） （4分）

(0?m?N)4．设序列x(n)={1，3，2，1；n=0,1,2,3 }，另一序列h(n) ={1，2，1，2；n=0,1,2,3}， （1）求两序列的线性卷积 yL(n)； （4分） （2）求两序列的6点循环卷积yC(n)。 （4分） （3）说明循环卷积能代替线性卷积的条件。（2分） 5．设系统由下面差分方程描述：

y(n)?y(n?1)?y(n?2)x(n?1)

（1）求系统函数H（z）；（2分） （2）限定系统稳定，写出H（z）的收敛域，并求出其单位脉冲响应h(n)。（6分） ．．

一、填空题（本题共10个空，每空1分，共10分）

本题主要考查学生对基本理论掌握程度和分析问题的能力。 评分标准：

1．所填答案与标准答案相同，每空给1分；填错或不填给0分。

2．所填答案是同一问题（概念、术语）的不同描述方法，视为正确，给1分。 答案： 1.10

2.交换律，结合律、分配律

1?z?4,3.

1?z?1

z?0

48

4. Z?ej2?kN

5.{0，3，1，-2; n=0,1,2,3} 6.y(n)?x(n)?h(n)

7. x(0)

二、单项选择题（本题共10个小题，每小题2分，共20分）

本题主要考查学生对基本理论的掌握程度和计算能力。

评分标准：每小题选择正确给1分，选错、多选或不选给0分。 答案：

1.A 2.C 3.B 4.D 5.A 6.B 7.C 8.D 9.A 10.A 三、判断题（本题共10个小题，每小题1分，共10分）

本题主要考查学生对基本定理、性质的掌握程度和应用能力。 评分标准：判断正确给1分，判错、不判给0分。 答案：

1—5全对 6—10 全错

四、简答题（本题共4个小题，每小题5分，共20分）

本题主要考查学生对基本问题的理解和掌握程度。 评分标准：

1.所答要点完整，每小题给4分；全错或不答给0分。 2.部分正确可根据对错程度，依据答案评分点给分。 答案：

1.答：混叠失真；截断效应（频谱泄漏）；栅栏效应 2.答：

第1部分：滤除模拟信号高频部分；第2部分：模拟信号经抽样变为离散信号；第3部分：按照预制要求对数字信号处理加工；第4部分：数字信号变为模拟信号；第5部分：滤除高频部分，平滑模拟信号。

3.答：确定数字滤波器的技术指标；将数字滤波器的技术指标转变成模拟滤波器的技术指标；按模拟滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器；将模拟低通滤波器转换成数字低通滤波器。 4．答：

五、计算题 （本题共5个小题，共40分）

本题主要考查学生的分析计算能力。

49

评分标准：

1.所答步骤完整，答案正确，给满分；全错或不答给0分。

2.部分步骤正确、答案错误或步骤不清、答案正确，可根据对错程度，依据答案评分点给分。

3.采用不同方法的，根据具体答题情况和答案的正确给分。 答案：

1．解：由题部分分式展开

F(z)zAB ???z(z?1)(z?2)z?1z?2 求系数得 A=1/3 ， B=2/3

1z2z? 所以 F(z)? （3分） 3z?13z?2收敛域?z?>2，故上式第一项为因果序列象函数，第二项为反因果序列象函数，

12则 f(k)?(?1)k?(k)?(2)k?(k) （3分）

332．解：(8分)

3．解：（1）

?N,k?mkn （4分） （2）X(k)?? （4分） X(k)?WN?0,k?m4．解：（1） yL(n)={1，5，9，10，10，5，2；n=0,1,2…6} （4分）

（2） yC(n)= {3，5，9，10，10，5；n=0,1,2,4,5} （4分） （3）c≥L1+L2-1 （2分）

z5．解：（1） H(z)?2 （2分）

z?z?1 （2）

5?11?5?z? （2分）； 22h(n)??11?5n11?5n()u(n)?()u(?n?1) （4分） 2255十、 填空题（本题满分30分，共含6道小题，每空2分）

1?2z?1?3z?26. 一稳定LTI系统的H(z)?, H(z)的收敛域为 ，?1?1?2(1?2z)(1?z?0.25z)该系统是否为因果系统 。

1?z?17. 已知一个滤波器的H(z)?, 试判断滤波器的类型(低通，高通，带通，带?11?0.9z

50

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ct4w.html