《一元一次不等式组》典型例题2(北师大版八年级数学下册)

一元一次不等式组》典型例题

例题 1 车站有待运的甲种货物1530 吨，乙种货物1150 吨，原计划用50 节A,B两种型号的车厢将这批货物运至北京，已知每节A型货箱的运费为0.5万元，每节B型货箱的运费为0.8万元，甲种货物35吨和乙种货物15吨可装满一节A型货箱，甲种货物25吨和乙种货物35吨可装满一节B型货箱，按此要求安排A, B 两种货箱的节数，共有哪几种方案？请你设计出来，并说明哪种方案的运费最少？

例题 2 幼儿园大班分苹果，若每人分3个，则余8个，若前面每人分 5 个，则最后一个小朋友得到的苹果数不足 3 个，求有多少个小朋友和多少个苹果？

例题 3 某班需要买一些笔记本和钢笔以表扬在数学竞赛中获奖的10 名学生，已知笔记本的单价是 3.5元，钢笔的单价是8元，且购买奖品的金额不超过70 元．问至多能买几支钢笔？

例题 4 某宾馆底楼客房比二楼少 5 间，某旅游团有48 人，若全安排在底楼，每间4人，房间不够，每间 5 人，有房间没有住满，又若安排住二楼，每间 3 人，房间不够，每间 4 人，又有房间没有住满，问宾馆底楼有客房几间？

例题 5 幼儿园有玩具若干件，分给小朋友，如果每人 3 件，那么还余59 件，如果每人分5件，那么最后一个小朋友少几件，来这个幼儿园有多少玩具？多少个小朋友？

例题6某工厂现有甲种原料360kg,乙种原料290kg,计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件.已知生产一件A种产品需甲种原料9kg、乙种原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg、乙种原料10kg.

(1) 设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组；

(2) 如果x是整数，有哪几种符合题意的生产方案？请你帮助设计.

例题8 一条铁路线上A,B,C,D,E各站之间的路程如图所示，单位为千

米.一列火车7: 30从A站开出，向E站行驶，行驶速度为80km/h，每站停车时间约4min,问这列火车何时行驶在D站与E站之间(不包括D站、E站)的铁路线上.

, SO t 50 , 70 , 60 ,

.4 H C D E

例题9某自行车厂今年生产销售一种新自行车，现向你提供以下有关信息：

(1)该厂去年已备有这种自行车的车轮10000只，车轮车间今年平均每月可生产车轮1500只，每辆自行车需装配2只轮；

(2)该厂装配车间(自行车生产最后一道工序的生产车间)每月至少可装配这种自行车1000辆，但不超过1200辆；

(3)今年该厂已收到各地客户订购这种自行车共14500辆的订货单；

(4)这种自行车出厂销售单价为500元/辆.

设该厂今年这种自行车的销售金额为a万元，请你根据上述信息，判断a的取值范围.

例题10某园林的门票每张10元，一次使用.考虑人们的不同需求，也为了吸引更多的游客，该园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种购买个人年票的售票方法(个人年票从购买日起，可供持票者使用一年).年票分代B,C三类：A类年票每张120元，持票者进入园林时，无需再买门票；B类年票每张60 元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次2元；C类年票每张40元，持票者进入该园林时，需再购买门票，每次3元.

(1)如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算，找出进入该园林的次数最多的购票方式.

2）求一年中进入该园林至少超过多少次时，购买 A 在年票比较合算．例题11 有两个学生参加四次测验，他们的平均分数不同，但都是低于90 分的整数．他们又参加了第五次测验，测验后他们的平均成绩都提高到90 分．问在第五次测验时，这两个学生的分数各是多少？（满分100 分，得分都是整数）

例题12 大小盒子共装球99 个，每个大盒装12个，小盒装 5 个，恰好装完，盒子个数大于10，问：大小盒子各多少个？

参考答案

例题1分析 这是一道方案设计优化问题，要将货物运至北京，车厢的总 装载重量必须大于或等于货物的总量，由此可列不等式。

解答 设需要A 型车厢x 节，

35x 25（50 x ） 1530

由题意得

15x 35（50 x ） 1150

解得28 x 30，

因为x 为整数，所以x 取28, 29, 30，

即有3种方案：

（1）A 型28节，B 型22节；（2）A 型29节，B 型21节；（3）A 型30节, B 型20节，

由题意知，运费y 0.5x 0.8（50 x ） 0.3x 40，当x 30时，y 取最小值，

即A 型车厢20节，B 型车厢20节时运费最少.

例题2分析设有x 个小朋友，则苹果数为3x 8 ?如果每人分5个，因为 最后一个小朋友的苹果数不足 3个，所以3x 8应在5（x 1）和5（x 1） 3之间， 可得不等式组.

解答 设幼儿园大班共有x 个小朋友，根据题意得

所以，有6个小朋友，共有苹果3冷+ 8 = 26 （个）.

例题3分析 因为每人只获1件奖品，故笔记本和钢笔的数量和是10,总 金额不超过70元.根据题意，可列出下列由方程和不等式组成的式子.

解答 设购买x 本笔记本，y 支钢笔，依题意可得

5(x 1) )3x 8,

(1) 3x 8 5(x 1) 3. (2)

由（1） 得5x 5 3x 8,2x 13,x 13 1 ； 由（2） 得3x 8 5x 5 3, 2x 10,x 13 x 2 又因为x 为整数，故x 6 .

所以不等式组的解集为5 5 .

x y 10, (1)

3.5x 8y 70. (2)

由(1)得 x 10 y , (3)

将(3)代入(2)得 3.5(10 y) 8y 70，解得 y 70 .

9

又y 是正整数，所以y 的最大值是7,即至多能买7支钢笔.

例题4解答 设底楼有x 间客房，则二楼有(x +5)间客房,

??? 9v x v 12.

? 7v x v 11.

故 x =10.

答：底楼有10间客房.

说明 本题是列不等式解应用题，在确定设未知数后，关键是找出不等式关 系和

列出不等式，为此须认真斟酌关键词语如 不够”和 没住满”的含义.

例题5分析 此问题中有两个未知数，且没有等量关系，有不等关系，因此可 考虑用不等式组来解.

解(1)，得 x 32， 解(2)，得 x 29.5，

? 29.5 x 32.

??? x 为整数，? x 30,31.

此时 3x 59 149,152.

答：幼儿园有小朋友30人，玩具149件；幼儿园有小朋友31人，玩具152

件.

说明利用一元一次不等式组解应用题的步骤与列一元二次方程组解应用 根据题意，得

5x 4x 48 48，

依题意，又可得

3(x 5)

48 4(x 5) 48 解答 设小朋友x 人，则有

3x 59 5(x 1) 3x 59 5x

题大体相同，不同的是后者寻求的是等量关系， 列出的是等式，前者寻求的是不 等关系，列出的是不等式，并且解不等式组所得结果通常为一解集， 需从解集中 找出符合题意的答案.

例题6解答 (1)根据题意，x 满足不等式组:

因为x 是整数，所以x 30,31,32 . 因此生产方案有三生产A 种产品30件、B 种产品20件；或生产A 种产 品31件、B 种产品19件；或生产A 种产品32件、B 种产品18 件. 例题7某校举行文艺汇演，评出一等奖5 个,二等奖10个，三等奖15 个, 学校决定给获奖的学生发奖品，同一等次的奖品相同，并且只能从下表所列物品 中选取一件.

(1) 如果获奖等次越高，奖品单价就越高，那么学校最少要花多少钱买奖 品？

(2) 学校要求一等奖的奖品单价是二等奖奖品单价的 5倍，二等奖的奖品 单价是三等奖奖品单价的4倍，在总费用不超过1000元的前提下，有几种购买 方案？花费最多的一种方案需要多少钱？

例题7解答 (1)根据题意得，最少花费为6>5+ 5X10+ 4X15= 140(元).

(2)设三等奖的奖品单价为x 元，根据题意得

5 10x 10 4x 15x

1000,

20x 120,

x 4, 解得4x6.

???方案1:三等奖奖品单价6元，二等奖奖品单价24元，一等奖奖品单价 120 元.

方案 2：三等奖奖品单价 4 元，二等奖奖品单价 16 元，一等奖奖品单价 80 元．

(2) 解不等式组，得 9x 4(50 x) 360

3x 10(50 x) 290

30 x 32 .

???购买方案有两种，其中花费最多需120X5+ 24X10+ 6X15= 930 (元).

例题8 分析如果设这列火车行驶至DE 这段铁路线上任意一处(不包括

D,E )所经过的时间为x,那么就能用x的一次式表示列车所经过的路程?根据这个路程应大于(80+ 50 + 70) km,且小于(80+ 50+ 70+ 60) km，就可列出不等式组，解出x的取值范围?再根据列车出发的时间，就能求出列车何时行驶在DE 这段铁路线上．

解答设这列火车行驶至DE这段铁路线上任意一处(不包括D,E )所经过

的时间为x，则相应所经过的路程为80( x 0.2) km .

依题意，得

80(x 0.2) (80 50 70 60),(1

)

80(x 0.2) (80 50 70).( 2)

解不等式( 1 )，得x 3.45 ．

解不等式( 2)，得x 2.7 ．

?不等式组的解集是 2.7 x 3.45．

7.5+2.7=10.2(时)，7.5+ 3.45= 1 0.95 (时) ．

答：这列火车行驶在DE这段铁路线上的时间是10: 12至10: 57.

说明列不等式组时，要注意单位的统一，否则会影响表达式的正确性．

例题9 解答 (1)去年备有和今年生产的车轮共有

1000+ 1500X12= 28000(只)，

共可装配自行车的辆数为

28000吃=14000 (辆).

( 2 )该厂全年生产自行车的辆数范围是：

1000 12 全年生产自行车辆数1200 12，

即12000 全年生产自行车辆数14400 ．

(3)今年订购自行车14500 辆，可知供不应求，以最快生产速度也不能满

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