第十一章（PERT网络计划）

第十一章 网络计划与图解评审法

精典习题

11.1根据表11-1的给定条件，绘制PERT网络图

表11-1

(a)

作业代号 紧前作业 作业代号 A B C D E F G H I J K L M

11.2试根据表11-2给定的条件，绘制PERT网络图

作业 A B C D E 紧前作业 -- A A C C 作业 K L M N O 紧前作业 J B K,L J M,N (b) 紧前作业 无 无 无 A,B B B F，C B E，H E，H C，D，F，J K L，I，G

作业代号 A B C D E F G H I J K L M (c) 紧前作业 无 无 B C A,D D A,D E G，H I G I,K L a1 a2 a3 无 a2 a2 b1 无 b1 b2 b2 b3 c1 a1，b1 c1，a2，b2 a3，b3a1 c2，c2 c3 1

F G H I J

D,E A E,G E,H F P Q R S J,L I P,Q O,R 11.3分别计算下列PERT网络图（见图11-1（a）、(b)）中各作业的①最开始与最早结束时间；②最迟开始与最迟结束时间；③总时差与自由时差；④找出关健路线。

2 2 1 2 4 4 3 2 1 0 2 5 3 7 5 1 2 11 6 9 1 4 8 （a）

2 10 2 2 3 5 0 7 2 3 1 9 1 8 8 5 4 9 1 4 8 4 2 3 8 7 （b）

图11-1

11.4 已知下列资料 工序 紧前工序 工序时间 工序 紧前工序 工序时间 工序 紧前工序 工序时间 2

A B C D G，M H -- L 3 4 7 3 E F G H C A，E B，C -- 5 5 2 5 I K L M A，L F，I B，C C 2 1 7 3 要求：（1）绘制网络图；

（2）用图上计算法计算各项时间参数（r除外）； （3）确定关健路线。 11.5已知下列资料 工序 a b c d e f 紧前工序 工序时间 工序 -- a a a a a 60 14 20 30 21 10 g h i j k l 紧前工序 工序时间 b,c e,f f d,g h j,k 7 12 60 10 25 10 工序 m n o p q 紧前工序 工序时间 j,k i,l n m O,p 5 15 2 7 5 要求：（1）绘制图络图； （2）计算各项时间参数； （3）确定关健路线。 11.6已知下列资料

正常完成进赶进度一活 作业 紧前 正常完成进度的直赶进度一天所作业 紧前活活动 度的直接费天所需费动 时间 活动 接费用/百元 需费用/百元 时间 动 用/百元 用/百元 A B C D 4 8 6 3 - - B A 合计 工程的间接费用 求出这项工程的最低成本日程。

11.7表11-3中给出一个汽车库及引道的施工计划：

20 30 15 5 5 4 3 2 E F G H 5 7 4 3 A A B,D E,F,G 18 40 10 15 153 5（百元/天） 4 7 3 6 3

表11-3

作业编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 作业内容 清理场地，准备施工 备料 车库地面施工 墙及房顶桁架预制 车库混凝土地面保养 竖立墙架 竖立房顶桁架 装窗及边墙 装门 装天花板 油漆 引道混凝土施工 引道混凝土保养 清理场地，交工验收 作业时间（天） 10 8 6 16 24 4 4 10 4 12 16 8 24 4 紧前作业 无 无 1,2 2 3 4,5 6 6 6 7 8,9,10 3 12 11，13 试回答：①该项工程从施工开始到全部结束的最短周期；②如果引道混凝土施工工期拖延10天，对整个工程进度有何影响；③若天花板的施工时间从12天缩短到8天，对整个工程有何影响；④为保证工程不拖延，装门这项作业最晚应从哪一天开工；⑤如果要求该项工程必须在75天内完工，是否应采取什么措施。

11.8在上题中如果要求该项工程在70天内完工，又知各项作业正常完成所需时间、采取加班作业时最短所需要的完成时间，以及加班作业时每缩短一天所需附加费用见下表11-4

表11-4

作业编号 1 2 3 4 5 作业内容（d） 清理场地，准备施工 备料 车库地面施工 墙及房顶桁架预制 车库混凝土地面保养 正常作业所加班作业时所每缩短一天的附需天数（d） 需最短天数（d） 加费用(元/d) 10 8 6 16 24 6 -- 4 12 -- 6 -- 10 7 -- 4

6 7 8 9 10 11 12 13 14 竖立墙架 竖立房顶桁架 装窗及边墙 装门 装天花板 油漆 引道混凝土施工 引道混凝土保养 清理场地，交工验收 4 4 10 4 12 16 8 24 4 2 2 8 3 8 12 6 -- -- 18 15 5 5 6 7 10 -- -- 试确定保证该项工程70天完成而又使全部费用最低的施工方案。 11.9考虑如下所示PERT网络图（见图11-2）：

2 6 1 5 9 3 4

图11-2

已知各项作业的三个估计时间如表11-5所示：

表7-14

作业 (1,2) (1,3) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (5,6) (5,7) (6,7)

最乐观的估计（a） 最可能的估计(m) 7 5 6 4 7 10 3 4 7 3 5

最悲观的估计(b) 9 8 12 4 10 19 6 7 11 8 8 7 9 4 8 13 4 5 9 4

工序 正常时间（d） 加班时最短时间（d） 每缩短一天的附加费用（元/d） 1 3 5 6 7 10 11 14 10 6 24 4 4 12 16 4 6 4 -- 2 2 8 12 -- 6 10 -- 18 15 6 7 -- 由列表数据可知，工序10附加费用（6元/天）最低，可缩短工期12-8=4天；其次是工序1次低，可缩短工期10-6=4天，然与工序1平行工序2的工期为8天，所以只能缩短2天；附加费用再其次低为工序11，可缩短工期16-12=4天。因此，可工序10缩短4天，工序1缩短2天，工序11缩短4天，共计缩短10天，整个总工程为70天，增加费用为4××6+2×6+7×4=64（元），日程情况如下。

3 1，8 1 2，8 2 3，6 4 12，8 7 13，24 8，10 5，24 4，16 5 6，4 6 7，4 10,8 10 11,12 111 14,4 8 9，4 12 9LF 8 8 14 38 38 TF 0 0 0 14 0 FF 0 0 0 14 0

作业 1(1,3) 2(1,2) 3(3,4) 4(2,5) 5(4,5) t 8 8 6 16 24 ES 0 0 8 8 14 EF 8 8 14 24 38 LS 0 0 8 22 14 16

6(5,6) 7(6,8) 8(6,9) 9(6,9) 10(8,10) 11(10,11) 12(4,7) 13(7,11) 14(11,12)

4 4 10 4 8 12 8 24 4 38 42 42 42 46 54 14 22 66 42 46 52 46 64 66 22 46 70 38 42 44 50 46 54 34 42 66 42 46 54 54 54 66 42 66 70 0 0 2 8 0 0 20 20 0 0 0 2 8 0 0 0 20 0 关健路线为： 1 2，8

11.9解：（1）期望完成时间和标准偏差。 作业 (1,2) (1,3) (2,6) (3,4) (3,5) (3,6) (4,5) (5,6) (5,7) (6,7) 最乐观的估计（a） 最可能的估计(m) 7 5 6 4 7 10 3 4 7 3 8 7 9 4 8 13 4 5 9 4 最悲观的估计(b) 9 期望估计 偏差 8 0.11 0.25 0 0 0.25 0.25 0.25 0.25 0.44 0.69 6，4 5 6 7，4 8 10，8 11，12 11 14，4 10 12 2 3 3，6 4 5，24 10，8 8 11，12 14，4 10 11 12 1 1，8 3 3，6 4 5，24 5 6，4 6 7，4 8 7 12 4 10 19 6 7 11 8 9 4 8 14 4 5 9 5 17

8 12 4 17 21 4 0 4 4 8 12 0 2 6 21 21 0 26 26 0 9 5 15 16 1 20 21 1 5 7 8 1 7 0 0 0 7 7 0 7 7 0 21 21 0 9 5 4 11 12 1 24 26 2

15 17 2 24 26 2 14 8 3 7 8 1 11 12 0 7 8 1 15 16 0 4 4 关健路线： 1 7 3 14

6 5

7 总工期：S=26 11.10 解： 正常状态下PERT图

0 0 0 3 3 0 3 3 0 8 8 0 8 8 0 12 12 0 12 12 0 18 18 0 A，3 1 2 B，5 3 E，4 5 F，6 6 C，2 3 7 4 5 9 3 4 D，3 8 9 1 11 12 1 注： ES LS TF EF LF FF

关键路线为：A → B → E→ F

完成工程总费用为：3× 8+5× 10+2× 6+3× 6+4× 10+6× 12=216（万元） （b）正常状态下，完成工程为S=18（月），若要压缩3个月，需要压缩关键路线上工序工期。

关键路线上A的压缩费用最低（16万元），可压缩3-2=1月，帮压缩A为2个月。其

18

次是B工序的费用（22万元），可压缩5-3=2月，且B的平行工序C有3个月自由时差，所以B可压缩2个月，达到3个月完成，因此，A压缩1个月，B压缩2个月，达到总工期缩短3个月。

1 工程费用：2× 16+3× 22+2× 6+3× 6+4× 10+6× 12=240（万元）

A，2 2 B，3 C，2 3 E，4 5 F，6 6 D，3 4 19

考研题选编及点评

11-1选择题（每题1分）

（1）关于网络图中关键路线说法不正确的是（ ）

A．关键路线是网络图中最长的路 B 关键路线可能同时存在多条

C关键路线上的工序，其总时差为零 D关键路线是工程中施工难度最大的工序构成的路 （2）下列四种说法中，（ ）是错误的

A网络图有时需要引人虚活动 B虚活动的作业时间等于零

C当二个活动既具有同一个始点又具有同一个终点时，就要引入一个虚活动 D网络图中，结点消耗资源，但不占用时间

（来源：中国矿业大学2009年运筹学试题）

11-2（本题3分）在绘制网络计划图时，不允许出现的图形有（ ）、（ ）、（ ）。 （来源：2005年天津工业大学运筹学考研试题）

11-3（本题满分25分）已知下表所列资料： 工序 A B C C 要求：

（1）绘制网络图

（2）用表上作业法计算各工序的最早开工，最早完工，最迟开工，最迟完工时间及总时差，并指出关键工序。

（来源：2005年天津工业大学运筹学考研试题）

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紧前工序 —— —— A L 工序时间（周） 3 4 4 3 工序 E F G H 紧前工序 B H C,B G,M 工序时间（周） 4 5 2 2 工序 I K L M 紧前工序 H,L F,I,E B,C B 工序时间（周） 2 6 7 6

11-4（本题满分14分）某工程 十道工序A,B,……J,各费时如下： 工序 A B 5 C 3 D 4 E 5 F 6 G 5 H 6 I 6 J 4 费时（天） 10 又A、B同时开工；B的紧后工序是C；A、C是D、E的紧前工序；D的紧后工序是G、H；F的紧前工序是E；I的紧前工序是F和H；J的紧前工序是G；I，J是同时结束工序。

（1）绘出计划网络图。 （2）求出关键工序及其完工图。

（来源：2005年天津工业大学运筹学考研试题）

11-5（本题满分14分）某工程有10道工序，如下表：

工序 A B C D E F G H I J （1）绘出工程网络图。 （2）确定关键路线及完工图。

（来源：2005年天津工业大学运筹学考研试题）

11-6（20分）已知一项工程中各项作业的数据资料如下表：

作业 时间（天） 紧前作业 A 10 —— B 5 —— C 3 B D 4 B E 4 F 5 G 6 D H 6 E I 6 J 5 紧前工序 —— —— A C A，B C，E，H C，E，H A D，F，G D，F，G 所完成天数 10 9 12 8 6 10 6 3 1 4 A，C A，C F，G H，I （1）绘制PERT网络图

（2）计算各项作业的最早开始/结束时间、最迟开始/结束时间、自由时差和总时差，并用表格表示

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（3）找出关键路径。

（来源：2005年南开大学运筹学考研试题） 【点评】

计划评审方法和关键路线法在项目管理计划和控制中具有重要的应用价值，其研究内容首先是项目进度的PERT图绘制，掌握PERT图绘制得要求和方法，包括图得分解和合并。其二是计算PERT图得有关计算，包括最早开工、最早完工、最迟开工、最迟完工、总是差和自由是差的计算，关键路线成为计算得结构延伸。其他在关键路线分析的基础上队总共奇缩短得计划调整问题。最后是讨论对作业完成时间的估算方法讨论。绘制PERT图及相关计算时常出现在考研的选题中，而关键路线的确定成为必然的回答。总工期的缩短计算较为复杂，出现的机率则相对减少。

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考研题解答

11-1 解 (1) D

(2) D

11-2解 在绘制网络计划图是，不允许出现的图形为：

7 3 5 5 6 3

11-3 解 （1） B，4 1 G，2 A，3 3 C，4 （2） 作业 （i，j） A,(1,3) B,(1,2) C,(3,4) E,(2,9) M,(2,5) (2,4) G,(4,5) Τ,(4,7) H,(5,6) F,(6,9) (6,8) (7,8) D,(7,10) I,(8,9)

2 E，4 M，6 H，2 5 6 F，5 9 I，2 K，6 108 4 T，7 7 D，3

总时差 R(i,j) 1 0 1 9 0 4 1 1 0 0 3 1 6 1 工时 t（i，j） 3 4 4 4 6 0 2 7 2 5 0 0 3 2 最早开工 0 0 3 4 4 4 7 7 10 12 12 14 14 14 最早完工 3 4 7 8 10 4 9 14 12 17 12 14 17 16 23

最迟开工 1 0 4 13 4 8 8 8 10 12 15 15 20 15 最迟完工 4 4 8 17 10 8 10 15 12 17 15 15 23 17 K,(9,10)

6 17 23 17 23 0 因为R（1,2）= R（2,5）= R（5,6）= R（6,9）= R(9,10)= 0, 所以关键路线为： 1 总工期为23天。 11-4 解 （1）

G,6 6 D,4 A,11 C,5 B,2

（2） 作业 （i，j） A,(1,3) B,(1,2) C,(2,3) D,(3,4) E,(3,5) G (4,6) H,(4,7) F,(5,7) J,(6,8) I,(7,8) 工时 t（i，j） 10 5 3 4 5 5 6 6 4 6 0 0 5 10 10 14 14 15 19 21 最早开工 10 5 8 14 15 19 20 21 23 27 最早完工 0 4 9 11 10 18 15 15 23 21 最迟开工 10 9 11 15 15 23 21 21 27 27 最迟完工 总时差 R(I,j) 0 4 4 1 0 4 1 0 4 0 3 E,7 I,6 F,6 8 4 H,6 J,4 B 2 M 5 H 6 F 9 K 10 因为R(1,3)= R(3,5)= R(5,7)= R(7,8)= 0 ，所以关键路线为:

1 A 3 E 5 F 7 I 8 完成工期为20天。 11-5 解 (1)

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C,12 A,10 1 2 H,3 4 D,8 F,10 5 7 I,1 9 B,9 3 （2）

作业 工时 E,6 G,6 6 J,4 8 总时差 R(I,j) 0 7 0 9 6 6 0 2 4 0 4 0 3 0 最早开工 0 0 10 10 10 10 22 22 22 22 28 32 32 36 最早完工 10 9 22 13 10 16 22 30 28 32 28 36 33 36 最迟开工 0 7 10 19 16 16 22 24 26 22 32 32 35 36 最迟完工 10 16 22 22 16 22 22 32 32 32 32 36 36 36 （i，j） t（i，j） A,(1,2) B,(1,3) C,(2,4) H,(2,5) (2,3) E,(3,5) (4,5) D,(4,7) G,(5,6) F,(5,7) (6,7) J,(7,8) I,(7,9) (8,9) 10 9 12 3 0 6 0 8 6 10 0 4 1 0

因为R(1,2)= R(2,4)= R(4,5) = R(5,7) = R(7,8)= R(8,9) = 0 ，所以关键路线为:

1 A 2 C 4 5 F 7 J 8 9

完工期为s= 36天。

11-6 解 (1)

25

E,4 A,10 1 B,5 C,3 2 D,4 5 （2） 作业 工时 3 F,5 4 H,6 8 6 I,6 G,6

7 J,5 最早开工 最早完工 最迟开工 最迟完工 总时差 自由时差 0 0 5 5 10 10 9 14 15 21 10 5 8 9 14 15 15 20 21 26 0 0 7 5 11 10 9 15 15 21 10 5 10 9 15 15 15 21 21 26 R(I,j) 0 0 2 0 1 0 0 1 0 0 F(I,j) 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 （i，j） t（i，j） A,(1,3) B,(1,2) C,(2,3) D,(2,5) E,(3,4) F,(3,6) G,(5,6) H,(4,7) I,(6,7) J,(7,8) 10 5 3 4 4 5 6 6 6 5 （3）因为R(1，3)=R(3，6)= R(6，7)= R(7，8)=0；R(1，2)=R(2，5)= R(5，6)= R(6，7)= R(7，8)=0,所有都有两条关键路线，分别为：

1 A 3 F 6 I 7 J 8 J 1 B 2 D 5 G 6 I 7 8

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