概率论与数理统计(昆工版(教材习题第一至六章(学生用)

1

习题一（请尊重我的劳动，不要将资料外传）

3 设,,B A 为二事件，化简下列事件：B B B A B BA B A B A B A =?=??=??)()())()(1(

B B A B B A A A B A B A =???=??)())()(2(

4 电话号码由5个数字组成，每个数字可能是从0到9这10个数字中的任一个，求电话号码由5个不同数字组成的概率。 3024.010

302410

427210

6

789104

4

5

==

?=

????=

p

5 n 张奖券中有m 张有奖的，k 个人购买，每人一张，求其中至少有一人中奖的概率。答案：.1k n

k

m n C C --

6 从5双不同的鞋子中任取4只，这4只鞋子中“至少有两只配成一双”的概率是多少？ 解；将这五双靴子分别编号分组},,,,{};

,,,,{5432154321b b b b b B a a a a a A ==，则C 表示：

“至少有两只配成一双”；从5双不同的鞋子中任取4只，其可能选法有.4

5C 不能配对只能是：一组中选i 只，另一组中

选4-i 只，且编号不同，其可能选法为)0,1,2,3,4(;455=--i C C i

i i

410

4

5

34

152

3

2512

3545

1)(1)(C C C C C C C C C C P C P ++++-

=-=21

131

234789105

45324

5224551=?

??????+?+??+??+-

=

7在[—1，1]上任取一点，求该点到原点的距离不超过

51的概率。 答案：5

1

9在区间)1,0(内任取两个数，求这两个数的积小于

4

1

的概率。

10设,,B A 为二事件，设).(,36.0)(,9.0)(B A P AB P A P 求==

2 解：).(36.0)()()()(9.0B A P B A P AB P B B PA A P +=+=?==故.54.0)(=B A P

11设,,B A 为二事件，设).(,3.0)(,7.0)(B A P B A P B P ?==求

解： .4.0)()()(,3.0)(,7.0)(=-=?==B A P B P AB P B A P B P

.6.04.01)(1)()(=-=-==?AB P AB P B A P

12 设7.0)(,4.0)(=?=B A P A P .（1）若).(,B P AB 求互不相容

若).()()(,B P A P B A P AB +=?则互不相容3.0)()()(=-?=A P B A P B P

（2）若).(,B P AB 求相互独立

若A 与B 相互独立，则5.0)(),(4.04.07,0)()()()()(=+-=?+-?=B P B P B P A P A P B A P B P 13飞机投炸弹炸敌方弹药仓库，已知投一弹命中1，2，3号仓库的概率分别为0.01，0．02，0.03，求飞机投一弹没有命中仓库的概率。 解 0.94

14某市有50％的住户订日报，有65％的住户订晚报，有85％的住户至少订这两种报纸中的一种，求同时定这两种报纸的住户的百分比。

解：.:,:订晚报订日报B A )(65.05.0)()()()(85.0AB P AB P B P A P B A P -+=-+=?=， .3.085.015.1)()()()(=-=?-+=B A P B P A P AB P

15一批零件共100个，次品率10％,连续两次从这批零件中任取一个零件，第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品的概率。

解: 第一次取出的零件不再放回，求第二次才取得正品；等价于第一次取出的零件为次品，求第二次取得正品；故：0909.099

9999010010≈=?=p 16 设随机事件,0)(2)(,0)(,,,>==C P B P AB P C B A 已知两两独立且).(,85)(B A P C B P ?=

?求 )(2

1)(23)()()()()(85:2)(2)(B P B P C P B P C P B P C B P C P B P -=-+=?==解,210)()()(,0)(,5.0)()()()(02

1)(126412)(,05)(12)(42=

-+=?=?====?±=?=+-B P A P B A P A P A P B P A P AB P B P B P B P B P 17 设A 是小概率事件，即ε=)(A P 是给定的任意小的正数，试证明：当试验不断地重复进行下去，事件A 总会发生（以概率1发生）。

当试验不断地重复进行下去，事件A 发生的概率为：

101)1(lim 1)](1[lim 1)(lim 1=-=--=--=-∞

→∞→∞→n n n n n n A P A P ε 18 三人独立的破译一密码，他们能单独译出的概率分别为,4

1,31,51求此秘密被译出的概率。 解：以C B A ,,分别表示第一，二，三人独立地译出密码，D ：表示密码被译出，则

3 5

34332541)()()(1)(1)()(=-=-=??-=??=C P B P A P C B A P C B A P D P 20 三台机器相互独立的运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，求这三台机器中至少有一台发生故障的概率。 解：.496.0504.017.08.09.01=-=??-=P

21设,,B A 为二事件，设).(,4.0)(,6.0)(,7.0)(B A P A B P B P A P ?===求 解：,123.06.04.0)/()()(=?==A B P A P B A P ,48.012.06.0)()()(=-=-=B A P B P AB P

..82.048.07.06.0)()()()(=-+=-+=?AB P B P A P B A P

22设某种动物由出生算起活到20年以上的概率为8.0，活到25年以上的概率为4.0，问现在25岁的这种动物，它能活到25年以上的概率为多少？

解：,:表动物寿命X 5.08

.04.020}P{X }2520{}20/25{==≥≥≥=≥≥X X P X X P ， 23某地区历史上从某年后30年内发生特大洪水的概率为80％，40年内发生特大洪水的概率为85％，求已过去了30年未发生特大洪水的地区在未来10年内发生特大洪水的概。

:X 发生特大洪水的时刻。

25.02

.005.02.08.085.0}30{}4030,30{}304030{==-=≥<<≥=≥<

（1）问取道白球的概率是多少？ （2）假设取到白球，问该球来自甲袋的概率是多少？

解：解：:A “首先从甲袋中取到白球” :B 收到信号“然后从乙袋中取到白球.”;

由题设:2

1)/(,32)(,32)(,31

)(====A B P A P A B P A P 于是: 9

521323231)/()()/()()(=?+?=

+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:5

2953231)()/()()/(=?==B P A B P A P B A P ; 25 一批产品共有10件正品和2件次品，任取两次，每次取一件，取后不放回，求第2次取出的是次品的概率。 解：B A ,分别表示第一次、第二次取得的是次品，则

.6

1122121221121210111122)/()()/()()(===?+?=+=A B P A P A B P A P B P 26一批元件，，其中一等品占95％，二等品占4％，三等品占1％，它们能工作500h 以上的概率分别为90％，80％，70％，求任取一元件能工作500h 以上的概率。

解：321,,A A A 分别为任意抽出一元件是由一、二、三等品。:B 抽出的一个能工作500h 以上

894.0100

7010011008010041009010095)/()()(31=++=

=∑=i i i A B P A P B P 27 某厂用甲乙丙三地收购而来的药材加工生产一种中成药，三地供货量分别占40％，35％，25％，且用这三地的药材能生产出优等品的概率分别为0.65，0.70，和0.85，

（1）求从该厂产品中任取一件是优等品的概率。

（2）若取一件是优等品的概率，求它的材料来自甲地的概率。

4 （1）321,,A A A 分别为任意抽出一螺钉是由甲、乙、丙车间生产的。:B 抽出的一个是次品

035.01002

10040100410035100510025)/()()(31=++==∑=i i i A B P A P B P

（1） 由贝叶斯公式有:362.0045

.010*******)()/()()/(111≈==B P A B P A P B A P 28用某种检验方法检查癌症，根据临床记录，患癌症者施行此项检查，结果是阳性的概率为0.95，无癌症者施行此项检查，结果是阴性的概率为0.90，若据统计，某地癌症的发病率为0.0005，试求用此法检查结果为阳性者而而实际患癌症的概率。

解：:1A “患癌症.” :2A “未患癌症”; :B “检查结果为阳性”; :B “结果是阴性” 由题设:1.0)/(,9995.0)(,95.0)(,0005.0)(2211====A B P A P A B P A P 于是:

100425.01.09995.095.00005.0)/()()/()()(2211=?+?=+=A B P A P A B P A P B P 由贝叶斯公式有:47299.0100425

.0000475.0)()/()()/(111===B P A B P A P B A P ; 29 三人同时向一敌机射击，击中的概率分别是0.4，0.6和0.7；一人击中，敌机被击落的概率为0.2；二人击中，敌机被击落的概率为0.6；三人击中，敌机必被击落；求（1）敌机被击落的概率。（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率。

解：用,i A 表示第i 人击中，3,2,1=i ，则用,i B 表示恰有i 人击中，3,2,1,0=i ；

168

.07.06.04.0)(,446.03.06.04.07.04.04.07.06.06.0)()()()(;

304.0)()()(1)(,082.03.04.06.0)(3321321321232010=??=≈??+??+??=++==---==??=B P A A A P A A A P A A A P B P B P B P B P B P B P :B 表示敌机被击落，则

4962.01168.06.0446.02.0304.0)/()()(3

0≈?+?+?==∑=i i i B B P B P B P 338.04962.0168

.0)/(3==B B P

30 某厂产品有70％不需调试即可出厂，另30％需经调试，调试后有80％，能出厂，求：

（1）该厂产品能出厂的概率。（2）任取一出厂产品未经调试的概率。

解：:1A “任取一产品，.不需调试即可出厂” :2A “任取一产品，调试后能出厂”; :1B “任取一产品，能出厂.”; :2B “任取一产品，不能出厂”

由题设:8.0)/(,3.0)(,1)(,7.0)(212111====A B P A P A B P A P 于是:

94.08.03.017.0)/()()/()()(2121111=?+?=+=A B P A P A B P A P B P

由贝叶斯公式有:94

7094.07.0)()/()()/(111111===B P A B P A P B A P ; 31 进行一系列独立试验，假设每次试验成功的概率度、都是,p 求在试验成功2次之前已失败了3次的概率。

解：X:表示试验成功2次时的试验次数，

X=5,试验成功2次之前已失败了3次的概率等价于：前面4次成功了1次且第5次必成功。

5 .)1(4])1([323114

p p p p p C P -=-= 32 10个球中有一个红球，有放回的抽取，每次取出一球，求直到第n 次才取出)1(n k k ≤≤次红球的概率。 k r n k n k k n k n C C )10

1()109()101()109(10111111-------= 33灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个使用1000小时后，最多只有一只坏了的概率。 记P=P{灯泡使用在1000小时以上完好}

X: 3个使用1000小时后坏了的只数。则X ～)8.0,3(b

104.02.01342.032.02.08.02.08.0)1(3332133003=?=??+=?+?=≤C C X P

34某人有两盒火柴，每盒中各有n 根，吸烟时任取一盒，并从中任取一根，当他发现一盒已经用完时，

试求另一盒还有r 根的概率。 r n n r n C --222

1 注：可看作r n -2重贝努力试验，每次试验中取了第一盒（即用完的那一盒）中一根火柴的概率为21，取了第二盒中一根火柴的概率也为2

1，设所求事件为B ，则B 相当于“第一盒（即用完的那一盒）中取了n 根火柴，第二盒（即用完的那一盒）中取了r n -根火柴，”的事件，故r n n r n r n n n r n C C B P ----==2222

1)21()21()(

习题二 38页

1在测试灯泡的寿命的试验中，试写出样本空间并在其上定义一个随机变量。 解：样本空间X t t 用},0{>=Ω表示灯泡的寿命（h ）t t X X ==)(是随机变量。

2 报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元，报馆每天给报童1000份报，并规定不得把卖不出的报纸退回，设X 为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示。

{报童赔钱}={0.15X<100}, 66615

1066615.0100

解：,1}{}{}{1221αβ--=≤-<=<≤x X P x X P x X x P

4 设随机变量X 的分布函数??

???≥<≤<=1,110,0,0)(2x x x X x F ，试求（1）}21{)3(},431{)2(}21{>≤<-≤X P X P X P 4

3}21{1}21{)3(,;169)1()43(}431{)2(41)21(}21{)1(=≤-=>=--=≤<-==≤X P X P F F X P F X P 5 5个乒乓球中有两个是新的，3个是旧的，若果从中任取3个，其中新的乒乓球的个数是一个随机变量，求这个随机变量的概率分布律和分布函数，并画出分布函数的图形。

解：X 表示从中任取3个，其中新的乒乓球的个数；则X 的可能取值为0.1，2。

,1.01012

451}0{3502

33==?===C C C X P ,6.01062456}1{351223==?===C C C X P

6 ,3.010

32

453}2{3522

13==?===C C C X P 6某射手有5发子弹，射击一次命中率为0.9，如果他命中目标就停止射击，不命中就一直射击到用完5发子弹，求所用子弹数X 的分布律。

解：}4{1}5{;4,3,2,1;9.01.0}{1≤-=====-X P X P i i X P i 即

.0001.0}5{,0009.0}4{,009.0}3{;09.0}2{,9.0}1{==========X P X P X P X P X P

7 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X 的分布律。 解：2045.011

9123}1{,75.0129}0{≈?=====X P X P .0045.09

9101112123}3{,0409.010*******}2{≈?==≈??==X P X P 8从1到10中任取一个数字，若取到数字i,i=1,2,…,10的概率与i 成正比，即.,10,,2,1,}{k i ki i X P 求 === 解：由归一性：k k ki i X P i i 5511102

1}{1101101=??====

∑∑==,.551=k 9 已知随机变量X 服从参数为λ=1的泊松分布，试求满足条件01.0}{=>N X P 的自然数N. 解：.4)61211(1!1}1{99.010

1=?++==-≤≥∑-=-N e k e N X P N k

10 某公路一天内发生交通事故的次数X 服从泊松分布，且一天内发生一次交通事故与发生两次交通事故的概率相等，求一周内没有发生交通事故的概率。

发生交通事故数X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P

,!

02}0{,2220--====e e X P λ一周内发生交通事故的次数记为Y 则Y 服从二项分布)1,7(2--e B ，故一周内没有发生交通事故的概率为

14140207)1(}0{---=-==e e e C Y P

11 一台仪器在10000工作时内平均发生10次故障，试求在100作时内故障不多于两次的概率。 001.0=p ，（每个工作时内发生故障的概率）

X ：100作时内发生故障的次数，X ～)001.0,100(b

99984.01.0!

221.01.0!11.0!01.01.02001.098999.02100001.099999.01100100999.00100}2{}1{}0{}2{≈-+-+-=≈≈?+?+==+=+==≤e e e np C C C X P X P X P X P λ 12设X ～],5,2[U 现对X 进行3次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率。

解:322535}3{=--=

>X P .Y 表示对X 进行3次独立观察，观察值大于3的次数，则Y ～)32,3(b ，

7 27

2027894)32(31)32(}3{}2{}2{333223=+=+==+==≥C C Y P Y P Y P 13 设某种传染病进入一羊群，已知此种传染病的发病率为

,32求在50头已感染的羊群中发病头数的分布律。 )50,,2,1,0(,)3

1()32(}{5050 ===-k C k X P k k k 14设随机变量X 的概率密度为?

??<<=,0,10,2)(x x x f ，Y 表示对X 的三次重复观察中事件??????≤21X 出现的次数，则64

943161343)41(}2{223=?===C Y P 15已知X 的概率密度为???≤>=-.0,

0,0,)(2x x e ax x f x λ试求（1）未知系数a,(2)X 的分布函数F(x);(3)X 落在区间)1,0(λ

内取值的概率。 解：（1）x x de x a dx e x a dx x f λλλ-∞+-∞+∞∞-???-===2020)(1)(20

202x d xe a e x a x x λλλλλ---=-∞+∞+-? .2;22)(2233030202λλλλλλλλ=?=-=--=∞+--∞+∞+-?

a a e a x d e a xe a

x x x

（2）e x x x x e x F x 251)3(.0,

0,0),22(21)(22-?????≤>++-=-λλλ 16 设随机变量X 在[1，6]内服从均匀分布，求方程012=++Xx x 有实根的概率。

解：方程012=++Xx x 有实根，等价于：,2,2042-<>?>-=?X or

X X 方程012=++Xx x 有实根的概率为.5

4=P 17 已知随机变量X 服从正态分布b aX Y a a N +=且),,(2服从标准正态分布N （0，1），求.,b a

解：由37页例3知b aX Y +=服从正态分布),(),(4222a b a N a a b a a N +??+?，又已知 b aX Y +=服从标准正态分布N （0，1），故a=1,b=-1.

18已知随机变量X 服从参数为λ的指数分布，且X 落入区间（1，2）内的概率达到大，求λ

X 服从参数为λ的指数分布，则?

??≤>?=-.0,0,0,)(x x e x f x λλ???≤>?-=-.0,0,0,1)(x x e x F x λ λλλλλ22)1()1()21{)(-----=---=<<=e e e e X P g

.2ln ,0)12(2)(2=?=-=+-='----λλλλλλe e e e g

19设随机变量 X ～N(1,4);求).1(),6.10(<≤≤X P X P

8

解：由35页（5）式有：)2

1

0()216.1(

}6.10{---=≤

.0)6915.01(6179.0)2

1

()3.0(=--=--=φφ..5.0)0()211(}1{==-=<φφX P 20 设电源电压（单位：V ）X 服从)25,220(2N ，在240,240200,

200>≤<≤X X X 三种情况下电子

元件损坏的概率分别为0.1，0.001，0.2，求：（1）该电子元件损坏的概率α 解：由35页（5）式有：2119.07881.01)8.0()25

220

200(

}200{≈-≈-=-=≤?φX P 5762

..017881.021)8.0(2)25

220

200()25220240(}240200{=-?≈-=---=≤X P X P X P

063.02.02119.0001.05762..01.02119.0≈?+?+?=α

(2) 该电子元件损坏时,电压在200至240的概率β。 009.0063

.0001

.05762.0≈?=

β

求2X Y =的分布律。

解：Y 的所有可能取值为0，1，4，9，由概率的可加性，有：

得2X Y =的分布律为

22 设随机变量X 服从参数为0.7的0—1分布，求X X X 222-及的分布律。 解：2X 参数为0.7的0—1分布。

7.0}1{}12{,3.0}0{}02{22===-=-====-X P X X P X P X X P

23 设随机变量X 的概率密度函数为X Y x x f X 2,)

1(1

)(2

=+=求π内的概率密度函数).(y f Y

解：对任意的Y.

dx x f y

X P y X P y Y P y F X y

Y )(}2{}2{}{)(2?∞-=≤=≤=≤=dx x y

)

1(122

+=?∞-π，

9

所以：.)

4(2

)().(2

y y F y f Y

Y +='=π

24设随机变量X 服从U[0,2],求随机变量2X Y =在[0，4]内的概率密度函数).(y f Y

解：当40≤≤Y 时：dx x f y X y P y Y P y F X

y

y Y )(}{}{)(2

?

-=≤

≤=≤= dx dx y y

21

00

?

?

+=-，所以：??

?

??≤≤='=.,0,40,41

)().(其它y y y F y f Y

Y 25 设随机变量X 的概率密度函数为X x X e Y x x e x f =???<≥=-求,,

0,0,

0,)(的概率密度函数).(y f Y

解：当1

1

dx e dx y X P y e P y Y P y F x y X Y -∞

-?

?+=

≤=≤=≤= 所以：??

???<≥='=.1,0,1,1

)().(2y y y y F y f Y Y

补充：设X ～x e Y N =求)1(),1,0(的概率密度，（2）求122+=X Y 的概率密度， +∞

====='==>='∞+∞-==∞=∞-∞+∞-},m ax{,0},m in{,1

)(,

ln )()(,0)()()1(e e e e y y h y y h x x g e x g e x g Y x x βα有反函数，且）上恒有，在（ 故Y 的概率密度?

????≤>=-,0,

00,21)(2)(ln 2

y y e y y f y Y π (2)因

1

122≥+=X Y 则

)

1(,0)(≤=y y F y ，

当

1

>Y 时，

?

??

??

≤>-===

-<<--=<+=--

--

---

-

??

1,

0,

1,

)

1(21)(21221}21

2

1

{}12{)(41

2

10

2

2

1

2

12

222

y y e y y f dx

e

dx e

y X y P y X P y F y Y y x y y x

y ππ

π

习题三

1.离散随机变量Y

X 与相互独立同分布，,21}1{}1{=-==-=Y P X P .2

1

}1{}1{====Y P X P 求}{Y X P =的

概率.

10 .2

1)(}1,1{}1,1{}{===+-=-===已知独立Y X P Y X P Y X P .即使两个离散随机变量Y X 与相互独立同分布, Y X 与一般不会以概率1相等.

2设二维随机变量),(Y X 的概率分布如下表：

(1) 求b,(2)随机变量X,Y 是否相互独立？（3）求}1,1{≤≤Y X P

;1,0;2,1,0};{}{},{=======j i j Y P i X P j Y i X P 故X,Y 相互独立；

（3）.7.035.014.015.006.0}1,1{=+++=≤≤Y X P 补充题：设X 和Y 是相互独立同分布的随机变量，且,21}1{}1{====Y P X P ;21}2{}2{====Y P X P 求Y X Z +=的概率分布.

,41}2{==+Y X P }2{}1{}3{====+Y P X P Y X P 21}1,2{===+Y X P ,,41}4{==+Y X P （2）由已知易得,21}22{==X P ;2

1}42{==X P 3 设,31)(,31)(,41)(===A B P B A P A P 令???=???=,,0,,1,,0,,1不发生发生不发生发生B B Y A A X 求X,Y 的联合概率分布。 解：由6

1)(,4131121)()()(,121)(,43)(,31)(,41)(======?==B A P B A P AB P B P AB P A P B A P A P 32)(31)(,924

361

)

()()(=?====A B P A B P A P B A P A B P .1213141)/()(}1,1{11======A B P A P Y X P P .6

13241)/()(}0,1{12======A B P A P Y X P

P .1219243)/()(}1,0{21======A B P A P Y X P P .12

81}0,0{21121122=---====p p p Y X P P 4设二维随机变量),(Y X 的概率分布如下表：

11

（1）求X,Y 的边缘分布律。

解：见上表。

（2）求Y=1的条件下X 的条件分布律及X=2的条件下Y 的条件分布律。

略。

5.在一只箱子中有12只开关，其中2只是次品，在其中取两次，

每次任取一只，考虑两种试验：（1）放回抽样；（2）不放回抽样，我们定义随机变量X , Y 如下：

???=,1,0品，若第一次取出的是次若第一次取出的是正品X ?

??=;1,0品，若第二次取出的是次若第二次取出的是正品Y 试分别就（1）、（2）两种情况，写出X 和Y 的联合分布律．并问随机变量X 和Y 是否相互独立？

（1）放回时，,365}1,0{,3625}0,0{======Y X P Y X P ,365}0,1{===Y X P ,36

1}1,1{===Y X P （2）不放回抽样，,6610}1,0{,6645}0,0{====

==Y X P Y X P ,661}1,1{,6610}0,1{======Y X P Y X P 放回抽样时，两次抽样相互独立；不放回抽样，不相互独立．

6.随机变量),(Y X 在矩形域d y c b x a ≤≤≤≤,上服从均匀分布，求二维联合概率密度及边缘概率密度.随机变量X 及Y 是否独立？

解 按题意),(Y X 具有联合概率密度?????≤≤≤≤--=.,

0,,,))((1),(否则d y c b x a d c a b y x f

?????><≤≤-=b x a

x b x a a b x f X ,0,1)(, ?????><≤≤-=d y c y d y c d c y f Y ,0,1)(,X 及Y 是独立的.

事实上,若),(Y X 服从区域D 上的均匀分布，则只有当D 为矩形区域：d y c b x a ≤≤≤≤,时，X 与Y 分别服从

],[],,[d c b a 上的均匀分布，且X 与Y 独立，反之亦然.

7 随机变量),(Y X 的分布函数为),(y x F =)3arctan )(2arctan (1

2y C x B ++π. 求：（1）),(Y X 的概率密度；（2）边缘概率密度.（3）随机变量X 与Y 是否独立？ 解 由分布函数的性质有),(-∞x F =0,0),(=-∞y F ),(+∞+∞F =1

从而对任意的y x ,；有0)2)(2arctan (1

2=-+ππC x B ，,0)3arctan )(2(1=+-y C B ππ于是，有2π=B ，2π=C )9)(4(6),(222y x y x f ++=π)4(2)(2x x f X +=π，)9(3)(2y y f Y +=π 独立。

8 进行打靶试验，设弹着点A(X,Y)的坐标X 与Y 相互独立，且都服从。N(0,1)分布，规定点A 落在区域}1),{(221≤+=y x y x D 得2分，点A 落在区域}41),{(222≤+<=y x y x D 得1分，点A 落在区域}1),{(223>+=y x y x D 得0分，以Z 记打靶的得分，写出X,Y 的联合概率密度，并求Z 的分布律。

12 解：,,,21),(22

2+∞<<-∞+∞<<-∞=+-y x e y x f y x π .121),(}2{21

1022102012222---<+-=-===

=????e e rdr e d dxdy y x f z P r r y x θππ极坐标

.),(}1{22121241222---<+≤-=-===

=??e e e dxdy y x f z P r y x

.),(}0{2224222-∞+-≥+=-===

=??e e dxdy y x f z P r y x

9 设二维随机变量（X,Y ）的概率密度函数为???>>=+-,,

0,0,0,),()43(其它y x Ae y x f y x （1）求常数A,(2)X,Y 的边缘概率密度。（3）}20,10{≤<≤

解：（1）由))((12),(10403)43(00∞+-∞+-+-∞+∞+∞+∞-∞+∞-===?

???y

x y x e e A dxdy e A dxdy y x f 得12=A （2）???>>=+-,,0,0,0,12),()43(其它y x e y x f y x ?????≤>==---∞+?,0,

00,312)(3430x x e dy e e x f x y x X ?????≤>==---∞+?,0,

00,412)(4430y y e dx e e y f y y x Y （3）dy e dx e Y X P y x 42010312}20,10{--?

?=≤<≤<).1)(1())((83204103--==----e e e e y x 10 设随机变量(X,Y)的概率密度函数为：???<<<<=,,

0,10,10,),(2其它y x cxy y x f （1）求c,(2)问X 与Y 是否相互独立？

解：（画图）6,1)3

121121010==??=??c dx c dy y xdx c ；当10≤≤x 时，.26)(210x dy xy x f X ==? 故.,,0,10,2)(???≤≤=其它x x x f X .,,

0,10,36)(2210?????≤≤==?其它y y dx xy y f Y （2）独立。

11 平面区域D 由曲线x

y 1=及直线y=0,x=1,2e x =所围成，二维随机变量(X,Y)在D 上服从均匀分布，求（X,Y ）关于X 的边缘密度在x=2处的值。 解：2ln 122211101====???e e x e D x dx x dy dx S ,.41)2(,

0,21,2121)(10=??????≤≤==?X x X f x x dy x f 其它

13

12略

13设随机变量X,Y 相互独立，均服从同一分布，试证：.2

1}{=≤Y X P 证：},{}{X Y P Y X P ≤=≤

1}{)}(){(}{}{=Ω=≤?≤=≤+≤P X Y Y X P X Y P Y X P 故.2

1}{=

≤Y X P 14.设随机变量Y X ,相互独立同分布，都在区间[1,3]上服从均匀分布，记事件}{a X A ≤=.},{a Y B >=且,9

7

)(=

B A P 求常数a 4

)3)(1(123212321)()()()()(97--+

=----+-=-+=?=a a a

a a a B P A P B P A P B A P 3

7

3

5,0)73)(53(,035369;92434,4341222=

=

=--=+--=+-?+-+=a or a a a a a a a a a 15（1）X 和Y 是相互独立同分布的随机变量，且,21}1{}1{====Y P X P ;2

1

}2{}2{====Y P X P 求Y X Z +=的

概率分布. ,41}2{=

=+Y X P }2{}1{}3{====+Y P X P Y X P 21}1,2{===+Y X P ,,4

1

}4{==+Y X P

（2）求2X 的分布。

注意：由已知易得,21}22{==X P ;2

1

}42{==X P

例 （习题16） 设),(Y X 的概率分布如下表3—5： 表3—5

求1)X+Y 的概率分布，（2）X-Y 的概率分布. 解：由上表3-5 表3—6

从而易得X+Y 和X-Y 的概率分布.

14 17 设X 和Y 是相互独立的随机变量，X ～);,(1p n B Y ～);,(2p n B 证明Z=X+Y X ～);,(21p n n B + 证明：}{}{}{0i k Y P i X P k Z P k i -===

=∑=

)

()(0

0)(0212121212211k n m i k n i m k i k n n k k n n k n n k i k n i n k i i k n i k i k n i n i i n k i C C C q p C q p C C q p C q p C +-=-++-+-=-----=====∑∑∑其中用到组合公式

18略

19 设随机变量1X ～N(1,2);2X ～N(0,3),3X ～N(2,1),且321,,X X X 相互独立，求 ).8413.0)1((},6320{321=Φ≤-+≤已知X X X P 解：由62页32132X X X -+～N(2×1+3×0-2,4×2+9×3+1×1)即N(0,36),故由34页有 3413.0)0()1().8413.0)1((),6

00()606(}6320{321=Φ-Φ==Φ-Φ--Φ=≤-+≤已知X X X P 20.某种商品一周的需要量是一个随机变量，其概率密度为???≤>=-0,00,)(t t te t f t ，设各周的需要量是相互独立的，

试求两周需要量的概率密度.

i X 表第i 周的需求量，各i X 相互独立。设两周的需求量为21X X Z +=，则 111111)()(),()(21dx x z f x f dx x z x f z f X X Z -=-=??+∞

∞-+∞∞-,要???>>?>-11

11,0,0)()(21x z x x z f x f X X 而,)()()()(11)(11111121z x z x X X e x z x e x z e x x z f x f -----=-=- 故)0(,6)32()()(2031211110>=-=-=---?z e z e x z x dx e x z x z f z z z z z Z ,故?????≤>=-0,00,!3)(3z z e z z f z Z 21 设随机变量(X,Y)的概率密度为：

?????>>+=+-,,

0,0,0,)(21),()(其它y x e y x y x f y x （1）X 与Y 是否相互独立，（2）求Z=X+Y 的概率密度。 解：（1）y x y x X de y x e dy e y x e x f -∞+--∞+-+-=+=?

?)(21)(21)(00 .),()(),(),1(21)(),1(21)(2121):)((21)(21000不独立常量注x f x f y x f y e y f x e e e xe x y x d e e e y x e Y X y Y x y

x x y x y

x ≠+=+=-+=+++-=--∞+----+∞-∞+--? .2121)(21),()(,0)2(20)(0z z z x z x z Z e z dx ze dx e x z x dx x z x f z f z ---+-+∞∞-==-+=-=>?

??时当 22.设某种型号的电子管的寿命(以小时计)近似地服从)400,160(N 分布，随机的选取4只，求其中没有一只寿命小于180小时的概率.

15 设i X 为选取的第i 只电子管的寿命，则i X ～)20,160(2N .4,3,2,1=i 令},,,m in{4321X X X X Y =则=>}180{Y P [}180{1>X P ]4，而1587.0)1(1}180{1=-=>φX P 因此000634.0}180{=>Y P 23 设随机变量321,,X X X 相互独立，且i X 服从参数为)0(>i i λλ的指数分布，求}.},,{min{2321X X X X P =

解：321,,X X X 的联合密度为???>=---,,

00,,,),,(321321321332211其它x x x e x x x f x x x λλλλλλ .)(},{}},,{min{32122)(02331122023132103212232123213321122233221122λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ++====≤≤==++-∞+-∞+-∞+-∞+---+∞+∞+∞?????

??dx e dx e dx e dt e dx dx dx e e e X X X X P X X X X P x x x x x x x x x x x

习 题 四

补充;设随机变量321,,X X X 独立，1X 在[0.6]上服从均匀分布，2X 服从)2,0(2N ，3X 服从参数为3=λ的泊松分布，记32132X X X Y +-=，则4639443)(9)(4)()(321=?+?+=++=X D X D X D Y D

X 求)()3(),1()2(),()1(2X E X E X E +-

解：3

2)1(;314121************)1()(=+-=?+?+?+?+?-=X E X E ;24

354141211614161031)1()(222=?+?+?+?+?-=X E 2 设X 的概率密度为???∞<<=-,,

0,0,)(其它x e x f x 求)()2(),()1(2X E X E 解：1)(00000=-=+-=-==∞+--+∞∞+--+∞-+∞???x

x x

x x e dx e xe xde dx xe X E

22)(00220202=+-=-==-+∞∞+--+∞-+∞?

??dx xe e x de x dx e x X E x x

x x 3 设随机变量Y X ,相互独立，其概率率密度分别为：???≤>=???≤≤=--.5,

0,5,)(.,0,10,2)()5(y y e y f x x x f y Y X 其它求E(XY).

解： )()2()()().()5(5102dy e y dx x Y E X E XY E y --∞

+???==独立

16

4)15(3

2][32))(32()5(55)5()5(5103=+=+-=-=--∞+∞

+----∞+?

?dy e ye yde x y y y 4 验证)(,)

1(1

)(2

+∞<<-∞+=

x x x f π是某个随机变量X 的概率密度，但具有这概率密度的随机变量X

的数学期望不存在。 证明：（1）

1)

1(1

)

1(1

)(2

20

=+++=?

?

?∞

+∞-∞

+∞

-dx x dx x dx x f ππ

（2）

dx x x

dx x x

dx x xf )

1()

1()(2

20

+++=?

??∞

+∞-∞

+∞

-ππ

而

∞=+=

+∞-∞-?0

220

)1ln(1

)

1(x dx x x

π

π；所以……。

5．一工厂生产的某种设备的寿命X (以年计)服从指数分布，概率密度为??

???≤>=-.0,0,

0,41)(4x x e x f x

工厂规定，出售

的设备若在售出一年之内损坏可予以调换，若工厂售出一台设备获毛利100元，调换一台设备厂方需化费300

元.试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

:A 售出设备一年内调换，:Y 表示调换费用。则：?-

-

-==

1041

4,141)(e dx e

A P x

∑-=

-k

k k p y Y E )100()100(=64.33)1(20010041

4

1=---

-

e

e

（元）

6某车间生产的圆盘直径在期间),(b a 上服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望。

解 直径X ～?????≤≤-=,,

0,

,1)(其它b x a a b x f 记圆盘面积S,则

).(12

31414)4()(2

2322b ab a x a b dx a b x x E S E b a b a ++=?-?=-=?=?

ππππ

7．设Y X ,的分布律如下表:

17 （1）求)(),(Y E X E ，（2）设X

Y Z =，求);(Z E （3）设,)(2Y X Z -=求).(Z E （1）Y X ,的边缘分布见上表，故：,24.032.024.01=?+?+?=EX 03.013.01=?+?-=EY

（2）1511.0310311.0212.011-=?++-+-+-=

=∑∑ i j ij i j P X Y EZ ,（3）5)(2==-=∑∑ i j

ij j i P y x EZ

8Y X ,是相互独立同分布的随机变量，且,21}1{}0{=

===X P X P 求},min{},max{Y X Y X 和的数学期望。

解：记},min{},,max{Y X m Y X M ==则：

41}0{}0{}0{=====Y P X P M P ，4

3}0{1}1{==-==M P M P 41}1{}1{}1{=====Y P X P m P ，4

3}1{1}0{==-==M P m P 故4

1}],[min{,43}],[max{==Y X E Y X E 9 设随机变量),(Y X 的概率密度为???≤≤≤=,,

0,10,12),(2其它x y y y x f 求：).(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E + ?????∈==?,,0)1,0(,412)(320其它x x dy y x f x X ?????∈-==?,,

0)1,0(),1(1212)(221其它y y y dx y y f y Y .544)()(41010===??dx x dx x xf X E X .5

3)1(12)()(31010=-==??dy y y dy y yf Y E Y .2112)(2010=?=??dydx y xy XY E x 15

165232)()()(21021022=+==+=+?? dy y f y dx x f x Y X E Y X 10 设系统I 由元件B A ,并联而成，Y X ,分别表示B A ,的寿命（以h 记）并设B A ,相互独立，且服从同一分

布，其概率密度函数为???≤>=-0,

0,0,)(x x e x f x λλ求系统I 的寿命Z 的数学期望。 解：分布函数为},{0,

0,0,1)(Y X Max Z x x e x F x =???≤>-=-而λ，由63页 ?

??≤>-=????≤>-=---,0,00,)1(2)(0,0,0,)1()(2z z e e z f z z e z F z z Z z Z λλλλ .2321222)2()(2

)(200200200λλλλλλλλλλλ=-=-++-=-+--=-+∞∞+--+∞∞+--+∞-+∞????dz e ze dz e ze z d ze z d ze Z E z z z z z z

11 一批零件有9件合格品与3件废品，安装机器时，从这批零件中任取一件，若每次取出的废品不再放回，求在取出合格品之前已取出的废品数X 的期望与方差。。

18

解：2045.0119

123}1{,75.0129}0{≈?====

=X P X P .0045.09

9

101112123}3{,0409.010*******}2{≈?==≈??==X P X P

301.00045.030409.022045.0175.00)(≈?+?+?+?=X E

4086.00405.01636.02045.00045.090409.042045.0175.00)(2≈++≈?+?+?+?=X E

318.009.04086.0)()()(22≈-≈-=X E X E X D

12．随机变量X 服从几何分布，其分布律为,,2,1,)1(}{1 =-==-k p p k X P k 其中10<

∑∞

=--=?=

1

1)1()(k k p q p

kq X E =)(32 +++q q q p =.1

1p q q p ='

???

? ??- ∑∑

∞

=∞

=-'=?=

1

1

1

22

)()(k k k k kq p p q

k

X E =])11

([])([1''-=''∑

∞

=q

q p q q p k k

='

???

? ??-2)1(q q p 2421)1()1(2)1(p q q q q q p +=--+-= 其中“′”表示对q 的形式导数. ,)(2

p

q X D =

，

13．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 求.2)(,2),(==X D X E 14

设X 为随机变量，c

是常数，若}.){()(:),(2c X E X D X E c -<≠证明（由于

).(}){(},)]({[)(22X E c c X E X E X E X D =--=当上式表明时取到最小值。

证明：因为})]([)({)(2.)()(}){(22222X E X E c X cE X E X D c X E --+-=--

.0)]([)]([)(2222≥-=+-=X E c X E X cE c 所以：……。

15设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度为???????≤>=-.0,

0,0,)(2

22x x e x

x f x σσ其中,0>σ是常数.求).(),(X D X E

σ

π

π

σ

σ

σ

σσ

σσσσ2

4

2)2(

2)(0

)

2(

2020

20

22

2

2

2

22

2

2

=

==+

-=-

==

????∞+-∞+-

∞

+-

∞

+-

∞

+-

x d e

dx

e xe xde dx e x

X E x x x x x ，

2

222

2

222

20

220

220

22

3222)2(2)(22

22

2222

2

2

2σσσσ

σσσσσσσ=-=-

-=+

-=-

==

∞

+-∞

+-

∞+-

∞

+-∞+-

∞

+-

?

??

?x x x x x x e

x

d e dx e

e

x de x dx e x

X E 2)2

2(σπ

-=DX

16设随机变量X ～)4,0(N ,随机变量Y 服从（0，4）上的均匀分布，并且Y X 与相互独立，求

19 .)2(),32(),(2Y X E Y X D Y X D +++，

解：由已知及75页4 76页 7有,3

412)04()(,4)(2=-==Y D X D ；又Y X 与相互独立，再由73页知： .3

16)()()(=+=+Y D X D Y X D .281216)(9)(4)32(=+=+=+Y D X D Y X D ).3

129(3125)234(420404})]([)({4)()(4)]([)()(4)()(4)()2(222222参考答案=++??++=++++=++=+Y E Y D Y E X E X E X D Y E Y E X E X E Y X E 17 5家商店联营，它们每两周售出的农产品的数量（以㎏记）分别为),265,260(),225,180(),240,240(),225,200(,,,,,432154321N X N X N X N X X X X X X 服从服从服从服从已知)270,320(5N X 服从,,,,,,54321X X X X X 相互独立，

（1）求5家商店两周的总销售量的均值和方差。

（2）商店每隔两周进货一次，为了使新的供货到达前商店不会脱销的概率大于0.99，问商店的仓库应至少储存多少千克该产品？

解：（1）记.1200320260180240200)(,5

1=++++=?=

∑=X E X X i i .1225270265225240225)(=++++=X D

（2）,51i i X X ∑==

～).35,1200()1225,1200(2N N 即

)

(1282120033.23533.2351200),33.2(99.0)35

1200()351200351200()()5(34kg T T T T X P T X P P ≈+?>>-Φ≈>-Φ=-<-=<查表 18 设随机变量X 服从某一期间上的均匀分布，且.3

1)(,3)(=

=X D X E （1）求X 的概率密度。（2）求}2{=X P ；（3）求}.31{<

)(,3222b a or b a a b a b a b a b 故 ??

???<<=,,0,42,21)(其它x x f （2）0}2{==X P ;（3）.21210}31{3221=+=<

20 解1)

()()()]}([{)()()]}

()][({[,2-=-=--=-----=-=X D X D X D X E X E X n D X D X n E X n X E X E X n Y XY ρ 20设两随机变量Y X 与的方差分别为25和16，相关系数为0.4，求).2(),2(Y X D Y X D -+

解：由77页：.

148454.04116)()(4)()(4),(4)()(4)2(=???+=++=++=+Y D X D Y D X D Y X Cov Y D X D Y X D XY ρ 57

454.046425)()(4)(4)(),(4)(4)()2(=???-+=-+=-+=-Y D X D Y D X D Y X Cov Y D X D Y X D XY ρ 21 设B A ,是试验E 的两个随机事件，且,0)(,0)(>>B P A P 定义随机变量Y X ,如下：

?

??=???=,,0,,1,,0,,1不发生发生不发生发生B B Y A A X 证明：若Y X XY 和则,0=ρ必定是相互独立的。

.,,,,,;,216,0)()()(}1{}1{}1,1{)()()(78),(,0相互独立和故相互独立页定理由证明：Y X B A B A B A B P A P AB P Y P X P Y X P Y E X E XY E P Y X Cov XY ?=-===-===-=?=ρ

22设随机变量),(Y X 的概率密度为???<<<=,,

0,10,,1),(其它x x y y x f 求：),,(),(),(Y X Cov Y E X E 解：?????<<==?-,,0,10,21)(其它x x dy x f x x ?????<<--==?,,

0,11,11)(1其它y y dy x f y 故

0)1()(,322)()(112

10=-===??-dy y y Y E dx x X E 奇 .0)()()(),(0)()(10=-=?==??-Y E X E XY E Y X Cov dy y xdx XY E x x 奇

23 在圆心在原点的单位圆周上任取一点，记θ为该圆心角，),(Y X 为该点的坐标，证明： Y X 与不相关，但Y X 与不相互独立。 解：???==?????≤≤=,sin ,cos ,,0,20,21)(θθπθπθY X f 其它,0cos 21)(,0sin cos 41)(20220====?

?θθπθθθπππd X E d XY E 1,0,0sin 21)(2220=+=?==?Y X d Y E XY 但ρθθππ

24设随机变量}10,10),{(),(<<<<=y x y x D Y X 服从区域上的均匀分布，求相关系数.XY ρ 答案：0 25设随机变量Y X N Y N X ,),,(),,(22且服从服从σμσμ相互独立，试求Y X Z Y X Z βαβα-=+=21和的

21 相关系数（其中βα,是不为零的常数）。

解：)()(,)()(,)()(22222121Y X E Z Z E Z E Z E βαμβαμβα-=-=+=

因为.)]([)()()]([)()(222222μσ+=+=?-=X E X D X E X E X E X D

同理).)(()(.)(222221222μσβαμσ+-=+=Z Z E Y E 故

因Y X ,独立，故.)()()()(222221σβαβα+=+=Y D X D Z D

同理.)()(2222σβα+=Z D 故：

.)()())(()()()

()()(222

22222

22222221212121βαβασβαμβαμσβαρ+-=+--+-=-=Z D Z D Z E Z E Z Z E Z Z

26 对于随机变量)(),(;,22W E V E W V 若存在，证明（Cauchy-Schwarz ）不等式：

)()()]([222W E V E VW E ≤

证明：对任意的,R t ∈有.0)()(2)(.0)(2222≥++?≥+V E W tE W E t tW V E

故.0)]()()([4)()(4)](2[222222≤-=-=?V E W E VW E V E W E VW E 即)()()]([222W E V E VW E ≤。 27已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞平均数是7300，均方差是700，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液含白细胞数在5200～9400之间的概率。

解：由83页知：)}9400()5200({1}94005200{>+<-=<

891121007001)21007300(1}94005200(122

83=-=-≥>--=>?<-=P X P X X P 28 据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布。现随机的取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总合大于1920小时的概率。

解：75页5：)16,,2,1( =i X i ～?

??≤>=-,0,0,0,)(x x e x f x λλ70页3： )1(1001)(000已知==+-==-∞+∞+--∞

+?

?λλλλλdx e xe dx xe X E x x x ,

1001)]([)()(22)(2)1(2222002302由==-==+-==-∞+∞+--∞

+??λλλλλλX E X E X D dx xe e x dx e x X E x x

x

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